Sau đó tác giả trình bày định lý về điểm bất động đôi của ánh xạ trong không gian metric nón

(1)

Vũ Hồng Quân Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 176(16): 117 - 120

117 ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐÔI CỦA ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

Vũ Hồng Quân^* Trường Đại học Kỹ thuật công nghiệp- ĐH Thái Nguyên

TÓM TẮT

Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân và trong nhiều nghiên cứu của Vật lí. Các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co được nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, trên nhiều loại không gian khác nhau.Trong bài viết này, tác giả đề cập đến khái niệm không gian mê tric nón, điểm bất động đôi, và một vài định nghĩa về hội tụ dãy Cauchy. Sau đó tác giả trình bày định lý về điểm bất động đôi của ánh xạ trong không gian metric nón. Tác giả chứng minh định lý tổng quát và từ đó rút ra những hệ quả quan trọng. Những kết quả này giúp sinh viên và giảng viên nghiên cứu điểm bất động toán học hệ thống, logic hơn.

Từ khóa: Ánh xạ, điểm bất động, metric, Mohamed A. Khamsi, nón...

GIỚI THIỆU

Định lý điểm bất động của Banach đối với các ánh xạ co trên không gian metric đầy đủ là một kết quả kinh điển của toán học. Sau khi được Banach chứng minh, định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co trở thành một trong những vấn đề thu hút được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co được nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, trên nhiều loại không gian khác nhau. Cho đến nay có khoảng 10000 công trình về định lý điểm bất động, được công bố trên các tạp chí toán học. Năm 2007, L-G. Huang and X.Zang [3] với bài báo “cone metric spaces and fixed poin theorems of contractive mapping’’ đưa ra khái niệm không gian metric nón và đã đặt nền móng cho điểm^*bất động trong không gian mới-không gian metric nón. Bài báo đã vận dụng sáng tạo, đưa định lý ánh xạ co ^{d Tx Ty}



^,



^^{kd x y}

 

^, ^, ^k^



^0,1



từ không gian metric thông thường sang không gian metric nón, và khẳng định sự tồn tại và duy nhất của điểm bất động của ánh xạ đó. Không những thế các tác giả còn mở rộng kết quả sang các ánh xạ dạng co kiểu



^,



⁽ ^{, )}



^,



d Tx Ty  k d Tx x d Ty y ,

*Tel: 0974 902509, Email: vuhongquan.cb@gmail.com

0,1

k 2. Từ đó rất nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm như Bhaskar, T.G, Lakshmikanthan [1], D. Ilíc and V. Racocevi [2], Mohamed A. Khamsi [4], M. Abbas and G. Jungck [5], Nguyen Huu Dien [6], S.Rezapour and R. Hamlbarani [7]...Bài báo này đưa ra kết quả khác về điểm bất động ánh xạ 2 biến trên không gian metric nón.

KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN

Định lý 1. Cho



^{X ,d}



là không gian metric nón đầy đủ. Giả sử ánh xạ F X:  X X thỏa mãn điều kiện sau với x y u v

, , ,

X ^và

0,1

^ 2^ : d F x y F u v( ( , ), ( , ))₀

(1) 0



d x u d y v d F x y x( , ), ( , ), ( ( , ), ),

d F u v u d F x y u d F u v x( ( , ), ), ( ( , ), ), ( ( , ), )



Khi đó F có điểm bất động đôi duy nhất.

Định nghĩa 2. [3] Cho X là tập khác  và E là không gian Banach thực với quan hệ thứ tự bộ phận  đối với nón P. Giả sử rằng

:

d X X E thỏa mãn:

i) ⁰^^{d x y}

 

^, ^^{x y}^, ^^X

ii) ^{d x y}

 

^, ^{  }⁰ ^x ^y

iii) ^{d x y}

 

^, ^^{d x z}

   

^, ^^{d z y}^,

Khi đó d gọi là tựa metric nón trên X. Cặp



^{X ,d}



gọi là không gian tựa metric nón

(2)

118

Hơn nữa nếu d thỏa mãn

iv) d (x, y)=d (y, x) x y

,

X thì d gọi là metric nón trên X và cặp



^{X ,d}



^{gọi là}

không gian metric nón.

Định nghĩa 3. [3] Cho



^{X ,d}



là không gian metric nón, xXvà

 

xn n_₁ là dãy trong X.

Thế thì

i)

 

xn hội tụ tới x nếu  c E, c0, n0

 : n n₀, d x x



n^,



c Kí hiệu lim _n

n x x

  hoặc x_nx

ii)

  xn là dãy Cauchy nếu  c E, c0, n0

 : m n, n0:d x



_m,x_n



c

iii)



^{X ,d}



là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X hội tụ trong X.

Bổ đề 4. [3] Cho



X ,d là không gian metric



nón, lấy P là nón chuẩn tắc với hằng số K và

 

xn n_₁



^X.

i)x_nx d x x



n^,



⁰ ( tương đương d x x



n^,



⁰)

ii)

 

xn là dãy Cauchy d x x



n^, m



⁰ iii) x_nx,y_ny thì d x y



n^, n



d x y

 

^,

Định nghĩa 5.[1] Cho



^{X ,d}



là không gian metric nón. Phần tử ( , )x y  X X gọi là điểm bất động đôi của ánh xạ

:

F X X Xnếu F x y( , )x , ( , )

F y x y

Chứng minh định lý 1

Chọn x y₀

,

₀X và tậpx₁F x y

( ,

₀ ₀

)

,

1 ( 0, 0)

y F y x ,..,x_n_₁F x y( ,_n _n),

1 ( , )

n n n

y_ F y x Bởi (1) ta có:



_n, _n1



( ( _n1,, _n1), ( _n, _n) d x x_ d F x_ y _ F x y

1 1 1 1 1

{ (d x_n ,x_n), (d y_n ,y_n), ( (d F x_n ,y_n ),x_n ),

     



1 1 1

( ( ,_n _n), _n), ( ( _n , _n ), _n), ( ( ,_n _n), _n )}

d F x y x d F x_ y_ x d F x y x_

1 1

{ (d x_n ,x_n), (d y_n ,y_n),

 _ _



d x( _n_¹,x_n), (d x_n_¹,x_n_¹)}

(2) Tương tự:



_n, _n1

 

( _n1, _n), ( _n1, _n), d y y_  d y_ y d x_ x

d y( _n_1,y_n), (d y_n_1,y_n_1)



(3) Từ (2) xảy ra các khả năng sau:

   

0

1 1

(1 ).d x x_n, _n_ d x x_n, _n_



_n, _n1



0 _n 1 _n ... 0

d x x_ x_ x x

     

Hay



1

 

1



, , , 0,1

n n n n 2

d x x_ d x _ x ^ ^

   

0

1 1

(2 ). , , , 0,1

n n n n 2

d x x_ d x _ x ^ ^

   

0

1 1 1

(3 ). d x x_n, _n_ d x_n_,x_n_

d x



_n_1,x_n



d x x



_n, _n_1



Hay



, 1

 

1,



n n 1 n n

d x x  d x x

   



Vì 1

0,2

^ ^ nên



^0,1



1



^



(4⁰). d x x



_n, _n_1



d y



_n_1,y_n



Theo (3) ta xét các trường hợp sau:

i)



_n, _n1

 

_n 1, _n



²



_n 2, _n1



d x x_ d y _ y  d x_ x_

 

0 1

1 1 2

, , 2

...

, , 2 1

n

d x x n m d x x n m



 ^

 

 

  



1

, 0,

m ^ 2^ ii)d x x



_n, _n_1



d y



_n_1,y_n



²d y



_n_1,y_n_2





0 1



... , , 0,1

2

nd y y

  ^ ^

    iii) d x x



_n, _n_1



d y



_n_1,y_n



 

2

1, 1

n n n n

d y y x x n

 _ _

   



1

 

1



, , , 0,1

n n n n 2

d x x _ d x _ x  ^ ^

   

iv) d x x



_n, _n_1



d y



_n_1,y_n



   

2 2

1, 2 1,

n n n n

d y y d y y

 _ _  _

 



¹

  0 1

... , , 0,1

2

n n

d y y

  ^  ^ ^

    

(3)

119 Từ (1⁰), (2⁰), (3⁰), (4⁰),và kết hợp với (i), (ii),

(iii), (iv) ta suy ra

  xn là dãy Cauchy trong X. Tương tự:   yn cũng là dãy Cauchy trong X.

Vì (X,d) là không gian đầy đủ nên nên

* *

x ,y X

  : lim _n x^*

n

x

  , lim _n ^*

n

y y

  0,

suy ra c  N₀

* *

: 0: ( , x ) , ( , )

2 2

n n

c c

n N d x d y y

m m

   

Ta sẽ chứng minh



^{x y}^^, ^



là điểm bất động đôi của F.

Thật vậy, ta có:

* * * * * *

1 1

( ( , ), ) ( ( , ), _N ) ( _N , ) d F x y x d F x y x _ d x _ x

* * *

( ( , ), ( _N, _N)) ( _N 1, ) d F x y F x y d x _ x

 

*

( _N 1, ) d x x

  _

 

* * * * *

{ ( ,d x x_N), (d y y, _N), ( ( ,d F x y),x),



( ( _N, _N), _N),

d F x y x d F x( ( _N,y_N),x^*),

* *

( ( , ), _N), d F x y x }

Hay: d F x y( ( ,^* ^*),x^*)  + (d x_N_₁,x^*)

* * * * *

* * *

1

{ ( , ), ( , ), ( ( , ), ),

( , ), ( ( , ), )

N N

d x x d y y d F x y x d x x d F x y x







d x x( ,^* _N), (d x_N_₁,x^*)}

Suy ra:

* * * * * *

( ( , ), ) ( ( , ), )

d F x y x d F x y x

2 2

c c

m m



 

Hay: ^* ^* ^* 1

( ( , ), )

1 2

d F x y x c

m



 

 Vì mNtùy ý nên:

d F x y( ( ,^* ^*),x^*)0F x y( ,^* ^*)x^*

Tương tự F y x( ^*, ^*)y^*. Từ đó ( ,x y^* ^*) là cặp điểm bất động của F

Bây giờ ta sẽ chứng minh tính duy nhất.

Giả sử

( ', ') x y

là cặp điểm bất động khác của F. Theo (1):

* * *

( ', ) ( ( ', '), ( , )

d x x d F x y F x y  

* * *

{ ( ',d x x ), ( ',d y y ), ( ( ', '),d F x y x ),



* * * * * *

( ( , ), ), ( ( ', '), ), ( ( , ), ')}

d F x y x d F x y x d F x y x Hay d x x

( ',

^*

)

  với

{ ( ',d x x^*), ( ',d y y^*)} (4) Tương tự: d y y( ', ^*)  với

{ ( ',d x x^), ( ,d y y ^*)} (5) Từ (4) và (5) ta có:

*

* *

*

( ', ) 0

( ', ') ( , ).

( ', ) 0 d x x

x y x y d y y

 

 

 

 Từ định lý trên ta có các kết quả sau:

Hệ quả 6. Cho



X ,d là không gian metric



nón đầy đủ. Giả sử hàm F X:  X X thỏa mãn điều kiện sau với x y u v

, , ,

Xvà

0,1

^ 2^: d F x y F u v( ( , ), ( , ))₀

0



d x u d y v( , ), ( , ),

 

( ( , ), ) ( ( , ), ) 2 ,

d F x y x d F u v u

( ( , ), ) ( ( , ), ) 2

d F x y u d F u v x 

 (6) Khi đó F có điểm bất động đôi duy nhất.

Chứng minh:

Không giảm tổng quát giả sử

( ( , ), ( , ))d F x y F u v d F x y x( ( , ), ) Tráo vai trò



^{x y}^,



^và

 

^{u v}^, ^{ta được:}

( ( , ), ( , ))d F x y F u v d F u v u( ( , ), ) Từ đó:

d F x y F u v

    

^, ^, ^,



( ( , ), ) ( ( , ), ) 2

d F x y x d F u v u

 Tương tự, nếu:

( ( , ), ( , ))d F x y F u v d F x y u( ( , ), ) thì ta cũng có:

( ( , ), ( , ))d F x y F u v d F u v x( ( , ), ) Từ đó:

d F x y F u v

    

^, ^, ^,



( ( , ), ) ( ( , ), ) 2

d F x y u d F u v x



Nên (6) là trường hợp riêng của (1). Từ đó áp dụng định lý (1) ta có điều phải chứng minh.

(4)

120

KẾT LUẬN

Tác giả chứng minh một kết quả về điểm bất đôi của ánh xạ trong không gian mê tric nón.

Từ đó rút ra các hệ quả quan trọng. Từ định lý này ta có thể phát triển kết quả lên không gian b mêtríc.

LỜI CẢM ƠN

Nghiên cứu này được tài trợ bởi trường Đại học Kỹ thuật công nghiệp- Đại học Thái Nguyên trong đề tài cấp cơ sở năm 2017-2018 mã số T2017-B17.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Bhaskar, T.G, Lakshmikanthan, V (2006), Fixed poin theory in partially ordered metric spaces anh applications, NonlinearAnal, 65:1379- 1393.

2. D. Ilíc and V. Racocevi ( 2008), Common fixed points for maps on the cone metric space, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol.

341, no.2, pp.876-882.

3. L-G. Huang and X.Zang (2007), Cone metric spaces and fixed poin theorems of contractive mapping, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 332, no.2, pp.1468-1476.

4. Mohamed A. Khamsi (2010), Remarks on cone metric spaces and fixed poin theorems of contractive mappings, fixed point theory and Applications, vol.2010, Article ID 315398, 7 pages, doi: 10.1155/ 315398.

5. M. Abbas and G. Jungck (2008), Common fixed poin results for noncommuting mappings without continuity in cone metric spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 341, no.1, pp.416-420.

6. Nguyen Huu Dien (1994), Some remarks on common fixed poin theorems, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 187, no.1, october 1.

7. S.Rezapour and R. Hamlbarani (2008), Some notes on the paper: Cone metric spaces and fixed poin theorems of contractive mapping, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 345, no.2, pp.719-724.

SUMMARY

COUPLED FIXED POINT OF MAPPING IN THE CONE METRIC SPACE

Vu Hong Quan^* University of Technology – TNU The Fixed point theory is a growing and exciting branch of mathematics with a variety of wide applications in optimal theory, game theory, differential formulations, and in physics sciences. The fixed point theorems for spatial mapping are extensively studied for many types of mappings, on a variety of different types of spaces. In this article, the author mentions the concept of the cone metric space, coupled fixed point and several definitions of Cauchy sequence converges. The author then demonstrates the theorem about coupled fixed point of mapping in the cone metric space. The author also proves the general theorem and obtains important corollaries of theorem. These results help students and lectures study fixed point more systematically and logically.

Key words: Mapping, fixed point, metric, Mohamed A. Khamsi, cone…

Ngày nhận bài: 01/11/2017; Ngày phản biện: 24/11/2017; Ngày duyệt đăng: 05/01/2018

*Tel: 0974 902509, Email: vuhongquan.cb@gmail.com