Ôn tập chương I A. Lý thuyết
1. Tính đơn điệu của hàm số 1.1 Nhắc lại định nghĩa
- Định nghĩa:
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là
x1 < x2 f(x1) < f(x2).
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là
x1 < x2 f(x1) > f(x2).
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:
a) f(x) đồng biến trên K 2 1 1 2 1 2
2 1
f (x ) f (x )
0 ; x ; x K; (x x )
x x
.
f(x) nghịch biến trên K 2 1 1 2 1 2
2 1
f (x ) f (x )
0 ; x ; x K; (x x )
x x
.
b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
1.2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm - Định lí:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
- Chú ý:
Nếu f’(x) = 0 với x K thì f(x) không đổi trên K.
Ví dụ. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số a) y = x2 + 2x – 10;
b) x 5
y 2x 3
. Lời giải:
a) Hàm số đã cho xác định với mọi x . Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2
Và y’ = 0 khi x = – 1.
Lập bảng biến thiên:
x – 1
f’(x) – 0 +
f(x) – 11
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
1;
và nghịch biến trên khoảng
; 1
.b) x 5
y 2x 3
Hàm số đã cho xác định với x 3
2
Ta có: y' 13 2 0 x 3
(2x 3) 2
Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ; 3 2
và 3; 2
.
- Chú ý:
Ta có định lí mở rộng sau đây:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f (x) 0 f (x) 0 ;
x K Và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.Ví dụ. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x3 – 6x2 + 12x – 10.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x . Ta có: y’ = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2
Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với x 2.
Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên . 2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
2.1 Quy tắc
- Bước 1. Tìm tập xác định.
- Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2.2 Áp dụng
Ví dụ. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = 4x3 – 4x
y’ = 0 x 0
x 1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và (1;) Hàm số nghịch biến trên
; 1
và (0; 1).Ví dụ. Cho hàm số y x3 6x2 9x 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9 Và y’ = 0 x 1
x 3
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên (; 1) và (3; ). 3. Khái niệm cực đại, cực tiểu.
- Định nghĩa.
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là ; b là
) và điểm x0 (a; b).
a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x(x0 – h; x0 + h) và xx0thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.
b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x(x0 – h; x0 + h) và xx0thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.
- Chú ý:
1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.
Kí hiệu là fCĐ (fCT) còn điểm M(x0; f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
2. Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f’(x0) = 0.
4. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị - Định lí 1
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x0}; với h > 0.
a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x0 – h; x0) và f’(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x0 – h; x0) và f’(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
Ví dụ. Tìm các điểm cực trị của hàm số y = – 2x3 + 3x2. Lời giải:
Hàm số xác định với mọi x.
Ta có: y’ = – 6x2 + 6x Và y’ = 0 x 0
x 1
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, suy ra x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số và x = 1 là điểm cực đại của hàm số.
Ví dụ. Tìm các điểm cực trị của hàm số y 2 x 2x 2
. Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với x 1. Ta có: y ' 6 2 0
(2x 2)
x 1
Vậy hàm số đã cho không có cực trị (vì theo khẳng định 3 của chú ý trên, nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì y’(x0) = 0).
5. Quy tắc tìm cực trị . - Quy tắc 1.
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
- Định lí 2.
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0 – h; x0 + h) với h >
0. Khi đó:
a) Nếu f’(x0) = 0; f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f’(x0) = 0; f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
- Quy tắc II.
1. Tìm tập xác định
2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu xi ( i = 1; 2; ….; n) là các nghiệm của nó.
3. Tính f”(x) và f”(xi).
4. Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi. - Ví dụ. Tìm cực trị của hàm số f (x)x4 2x210.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x Ta có: f’(x) = 4x3 – 4x
x 0
f '(x) 0
x 1
Ta có: f”(x) = 12x2 – 4
Suy ra: f”(0) = – 4 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại.
f”(1) = f”(– 1) = 8 > 0 nên x = 1 và x = –1 là điểm cực tiểu.
Kết luận:
Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 1 và x = – 1; fCT = f(1) = f(–1) = 9.
Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = 0 và fCD = f(0) = 10.
6. Định nghĩa GTLN, GTNN
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f (x) M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f(x0) = M.
Kí hiệu:
Mmax f xD .
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f (x)m với mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f(x0) = m.
Kí hiệu:
mmin f xD .
- Ví dụ. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số không có giá trị lớn nhất.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 9 tại x = – 3.
7. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn 1. Định lí.
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
- Nhận xét:
Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.
Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm xi (xi < xi+ 1) mà tại đó f’(x) bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số y = f(x) đơn điệu trên mỗi khoảng (xi; xi+1). Rõ ràng, giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [a; b] là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a; b và tại các điểm xi nói trên.
- Quy tắc:
1. Tìm các điểm x1; x2; …; xn trên khoảng (a; b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.
2. Tính f(a); f(x1); f(x2); ….; f(xn); f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:
[a; b]
[a;b]
M max f (x); mmin f (x).
- Chú ý: Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Chẳng hạn hàm số f (x) 1
x không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; 1).
Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một khoảng như ví dụ sau:
Ví dụ. Tìm giá trị lón nhất, nhỏ nhất của hàm số y 2xx2 trên khoảng 0; 3
2
. Lời giải:
Điều kiện: 2x – x2 0 0 x 2. Ta có:
2
2 2
(2x x )' 1 x y '
2 2x x 2x x
y ' 0 1 x 0 x 1
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên trên ta thấy, trên khoảng 0; 3 2
hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x = 1 và tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất
0;3 2
Max f (x) f (1) 1
.
8. Đường tiệm cận
8.1 Đường tiệm cận ngang
- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( a; ); ( ;b) ; ( ; ). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
0 0 xlim f (x) y ; lim f (x) yx
.
Ví dụ. Cho hàm số y x 22
x 1
.
Hàm số xác định trên khoảng ( ; ).
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 vì 2 2
x x
x 2 x 2
lim 0; lim 0
x 1 x 1
.
8.2 Đường tiệm cận đứng - Định nghĩa:
Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
0 0
0 0
x x x x
x x x x
lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) .
- Ví dụ. Tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y x 2
x 4
. Lời giải:
Ta có:
x x
x 2 x 2
lim 1; lim 1
x 4 x 4
nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.
Lại có:
x 4 x 4
x 2 x 2
lim ; lim ;
x 4 x 4
Suy ra: đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 4.
9. Sơ đồ khảo sát hàm số 1. Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số.
2. Sự biến thiên.
+ Xét chiều biến thiên của hàm số.
- Tính đạo hàm y’.
- Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định.
- Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
+ Tìm cực trị
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên (ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).
3. Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố ở trên để vẽ đồ thị hàm số.
- Chú ý:
1. Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.
2. Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
3. Nên lưu ý tính chẵn, lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
10. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức.
10.1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
Ví dụ. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = – x3 + 3x2 – 1 Lời giải:
1. Tập xác định: R.
2. Sự biến thiên + Chiều biến thiên:
y’ = – 3x2 + 6x; y’ = 0 x 0
x 2
Trên các khoảng (; 0) và (2; ); y' âm nên hàm số nghịch biến.
Trên khoảng (0; 2); y’ dương nên hàm số đồng biến.
+ Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x = 2; yCĐ = y(2) = 3 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = y(0) = –1.
+ Các giới hạn vô cực:
3 2 3 2
xlim ( x 3x 1) ; lim ( xx 3x 1)
+ Bảng biến thiên:
x 0 2
f’(x) – 0 + 0 – f(x)
–1
3 3. Đồ thị
Ta có y(0) = – 1 nên (0; – 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy. Điểm đó cũng là điểm cực tiểu của đồ thị.
Đồ thị hàm số được cho trên hình bên.
Ví dụ. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 3x + 1.
Lời giải:
1. Tập xác định: R.
2. Sự biến thiên.
+ Chiều biến thiên:
Vì y’= 3x2 – 6x + 3 = 3(x – 1)2 0 x R và f’(x) = 0 tại x = 1 nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ; ).
Hàm số không có cực trị.
+ Giới hạn vô cực:
3
2 3
x x
3
2 3
x x
3 3 1
lim f (x) lim x . 1 ;
x x x
3 3 1
lim f (x) lim x . 1
x x x
Bảng biến thiên:
x 1
f’(x) + 0 + f(x) 2
3. Đồ thị hàm số đã cho cắt trục Oy tại điểm (0; 1) và đi qua điểm A(1; 2).
Đồ thị hàm số được cho như hình vẽ dưới đây.
Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0).
10.2 Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
Ví dụ. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = – x4 + 2x2 – 1.
Lời giải:
1. Tập xác định:
2. Sự biến thiên + Chiều biến thiên;
Ta có: y’ = – 4x3 + 4x x 0 y ' 0
x 1
Trên các khoảng ( ; 1) và (0; 1) thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến.
Trên các khoảng (– 1; 0) và (1; ) thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biên.
+ Cực trị
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 và yCT = y(0) = – 1.
Hàm số đạt cực đại tại x = – 1 và x = 1; yCD = y(– 1)= y(1) = 0.
+ Giới hạn tại vô cực:
4
2 4
x
4
2 4
x
2 1
lim x 1 ;
x x
2 1
lim x 1 ;
x x
+ Bảng biến thiên:
x –1 0 1 f’(x) + 0 – 0 + 0 –
f(x) 0
–1
0
3. Đồ thị
Hàm số đã cho là hàm số chẵn vì f(– x) = – (– x)4 + 2(– x)2 – 1 = – x4 + 2x2 – 1
= f(x).
Do đó, hàm số nhận trục Ox làm trục đối xứng.
Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm (– 1; 0) và (1; 0) ; cắt trục tung tại điểm (0 ; – 1).
Dạng của đồ thị y = ax4 + bx2 + c (với a ≠ 0)
10.3 Hàm số ax b
y ; (c 0; ad bc 0)
cx d
.
Ví dụ. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2x 1
y x 1
. Lời giải:
1. Tập xác định: R\ { – 1}.
2. Sự biến thiên
+ Chiều biến thiên: 1 2
y' 0 x 1
(x 1)
Và y’ không xác định khi x = –1; y’ luôn luôn dương với mọi x khác – 1.
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng
; 1
và ( 1; ).+ Cực trị
Hàm số đã cho không có cực trị.
+ Tiệm cận
x 1 x 1
2x 1 2x 1
lim ; lim ;
x 1 x 1
Do đó, đường thẳng x = – 1 là đường tiệm cận đứng.
Lại có:
x x
2x 1 2x 1
lim 2; lim 2
x 1 x 1
Suy ra, đồ thị có tiệm cận ngang là y = 2.
+ Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 1); cắt trục hoành tại điểm 1 2 ; 0
.
Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.
Dạng của đồ thị hàm số ax b
y ; (c 0; ad bc 0)
cx d
11. Sự tương giao của các đồ thị.
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C1) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C2). Để tìm hoành độ giao điểm của (C1)và (C2), ta phải giải phương trình f(x) = g(x).
Giả sử phương trình trên có các nghiệm x0; x1; … khi đó, các giao điểm của (C1)và (C2) là M0 (x0; f(x0)); M1 (x1; f(x1))…..
Ví dụ. Tìm giao điểm của đồ thị (C): y = x3 – 3x2 + 3x + 2 và đường thẳng y = x + 2.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
x3 – 3x2 + 3x + 2 = x + 2
x3 – 3x2 + 2x = 0
x 0
x 1
x 2
Với x = 0 thì y(0) = 2;
Với x = 1 thì y(1) = 3.
Với x = 2 thì y(2) = 4.
Vây hai đồ thị đã cho cắt nhau tại 3 điểm là A(0; 2); B(1; 3) và C(2; 4).
Ví dụ. Cho hàm số y 2x 1 x 1
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d: y = – x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
2x 1 x m x 1
(điều kiện x ≠ 1) Suy ra: 2x – 1 = (x – 1) .(– x + m)
2x – 2 = – x2 + mx + x – m
x2 + (1 – m)x + m – 2 = 0 (*)
Để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
2 2
2
(1 m) 4.1.(m 2) 0 m 6m 9 0 1 (1 m).1 m 2 0 0 0 (vli)
Vậy không có giá trị nào của m để d cắt (C ) tại hai điểm phân biệt.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a) y = – x4 + 2x2 + 2;
b) y = x3 – 3x2 + 1;
c) x
y x 1
. Lời giải:
a) Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = – 4x3 + 4x x 0
y ' 0
x 1
. Bảng biến thiên
x –1 0 1
f’(x) + 0 – 0 + 0 –
f(x) 3
2
3
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ; 1) và (0; 1).
Nghịch biến trên khoảng (–1; 0) và (1;).
b) Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = 3x2 – 6x.
Và y' 0 x 0;x 2 Bảng biến thiên:
x 0 2
f’(x) + 0 – 0 +
f(x) 1
– 3
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (; 0) và (2; ). Nghịch biến trên khoảng (0; 2).
c) x
y x 1
Hàm số đã cho xác định với mọi x 1.
Ta có: 1 2
y' ; x 1
(x 1)
Ta thấy với mọi x khác – 1 thì y’ > 0.
Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
; 1
và ( 1; ).Bài 2. Chứng minh hàm số
x2 1
y x
đồng biến trên từng khoảng xác định.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x 0 . Ta có:
2 2
2 2
2x.x 1.(x 1) x 1
y' ; x 0
x x
Ta thấy, với mọi x ≠ 0 thì y’ > 0.
Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
; 0
và (0;) (đpcm).Bài 3. Chứng minh hàm số y 8xx2 đồng biến trên khoảng (0; 4); nghịch biến trên khoảng (4; 8).
Lời giải:
Điều kiện: 8x x2 0 0 x 8.
2
2 2
(8x x )' 8 2x
y '
2 8x x 2 8x x
y ' 0 x 4
Bảng biến thiên:
x 0 4 8
f’(x) + 0 – f(x)
0
4
0
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 4) và nghịch biến trên khoảng (4;
8) (đpcm).
Bài 4. Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) y = x4 – 2x3 + x2 – 8;
b) y x 3 x 4
. Lời giải:
a) TXĐ: D = .
Ta có: y’ = 4x3 – 6x2 + 2x x 1
y ' 0 x 1 2 x 0
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và x = 1; fCT = f(0) = f(1) = – 8
Hàm số đạt cực đại tại 1 CD 127 x ; f
2 16
.
b) y x 3 x 4
TXĐ: D = R\{– 4}.
2
y' 7 0 x 4
(x 4)
Phương trình y’ = 0 vô nghiệm nên hàm số không có cực trị.
Bài 5. Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 2x4 – 4x2 + 2;
b) y = x5 – 2x3 + x + 1;
c) y x2 2
x. Lời giải:
a) y = 2x4 – 4x2 + 2 TXĐ: D = R.
Ta có: y’ = 8x3 – 8x.
x 0 y ' 0
x 1
Đạo hàm cấp hai: y” (x) = 24x2 – 8
Vì y”(– 1) = 16 > 0; y”(1) = 16 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1; x = 1 và yCT = y(1) = y(– 1) = 0.
và y” (0) = –8 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCD = y(0) = 2.
b) y = x5 – 2x3 + x + 1 TXĐ: D = R.
Ta có: y’ = 5x4 – 6x2 + 1
x 1
y ' 0 1
x 5
Đạo hàm cấp hai: y” = 20x3 – 12x
Và y”(1) = 8 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
y”(– 1) = – 8 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = – 1.
1 8 5
y" 0
5 5
nên hàm số đạt cực đại tại 1
x 5
1 8 5
y" 0
5 5
nên hàm số đạt cực tiểu tại 1
x 5 Vậy hàm số đã cho có 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
c) y x2 2
x
TXĐ: D = R\{ 0}
3
2 2
2 2x 2 y ' 2x
x x
y ' 0 x 1
2 2 3 4
4 4
6x .x 2x.(2x 2) 2x 4x y"
x x
y”(1) = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = y(1) = 3.
Bài 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – mx2 + (2m – 3).x – 3 đạt cực đại tại x = 1.
Lời giải:
TXĐ: D = R.
Và y’ = 3x2 – 2mx + 2m – 3;
y” (x) = 6x – 2m
Để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1 thì:
y'(1) 0 3 2m 2m 3 0 0 0 (ld)
y"(1) 0 6 2m 0 m 3 m 3
Vậy để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1 thì m > 3.
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) Hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x + 2 trên đoạn [–1; 2].
b) Hàm số
x2 3x
y x 1
trên đoạn [– 4; – 2].
c) Hàm số y x2 4x trên đoạn [4; 6].
Lời giải:
a) Ta có: y’ = 6x2 + 6x – 12
x 1 1;2
y' 0
x 2 1;2
Và f (– 1) = 15; f(1) = – 5; f(2) = 6
Vậy max f (x) f ( 1) 15;min f (x) f (1) 1;2 1;2 5
.
b) Ta có:
2 2
(2x 3).(x 1) 1.(x 3x)
y' (x 1)
2 2 2
2 2
2x 2x 3x 3 x 3x x 2x 3
(x 1) (x 1)
x 1 4; 2
y' 0
x 3 4; 2
Ta có: 28
y( 4) 3
; y(– 2) = – 10; y(– 3) = – 9.
Vậy max f (x) y( 3)4; 2 9; min f (x) y( 2) 4; 2 10
. c) Điều kiện: x2 4x 0 x 0
x 4
.
2 2
2x 4 x 2
y'
2 x 4x x 4x
y' 0 x 2 (không thỏa mãn điều kiện).
Ta có: y(4) = 0; y(6) 2 3
Vậy max f (x) y(6) 2 3;min f (x) y(4) 0 4;6 4;6 .
Bài 8. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yx 1 x . 2 Giá trị của M – 2m bằng bao nhiêu?
Lời giải Điều kiện xác định: 1 x 2 0 1 x 1 Xét hàm số f (x)x 1 x 2 trên [–1; 1], có
2 2
2
2 2
x 1 2x
f '(x) 1 x
1 x 1 x
Phương trình 1 x 12 2 2
f '(x) 0 x ;
2 2
1 2x 0
Tính 2 1 2 1
f ( 1) f (1) 0;f ;f
2 2 2 2
Vậy [ 1;1]
[ 1;1]
m min f (x) 1
1 1 3
2 M 2m 2.
1 2 2 2
M max f (x) 2
.
Bài 9. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau. Tìm a để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn [0; 20] là 8.
Lời giải:
Theo bảng biến thiên ta có:
2 0; 20
max f (x) 1a
8 Theo giả thiết ta có: 1 2 2
a 8 a 64 a 8
8 Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn là a = 8 hoặc a = – 8.
Bài 10. Tìm các đường tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau:
a) 2x 10
y x 20
;
b) 2 x 3
y x 4x 10
;
c) x 3
y x 4
. Lời giải:
a) Ta có:
x x
2x 10 2x 10
lim 2; lim 2
x 20 x 20
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 2.
b) 2 2
x x
x 3 x 3
lim 0; lim 0;
x 4x 10 x 4x 10
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0.
c) Điều kiện: x 0; x 4 Ta có
x
lim x 3 0
x 4
.
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0.
Bài 11. Tìm các đường tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số sau:
a) 3 x
y x 5
;
b) 2x 1
y x 5x 4
;
c) 2x 2
y x 3x 2
. Lời giải:
a) Ta có:
x 5 x 5
3 x 3 x
lim ; lim ;
x 5 x 5
Suy ra: đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 5.
b) Ta có: x2 – 5x + 4 = (x – 4)(x – 1) Khi đó:
2 2
x 4 x 4
2 2
x 1 x 1
x 1 x 1
lim ; lim ;
x 5x 4 x 5x 4
x 1 x 1
lim ; lim ;
x 5x 4 x 5x 4
Suy ra: đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 4 và x = 1.
c) Ta có: 2x 2 x 2 1
y x 3x 2 (x 1).(x 2) x 1
x 1 2 x 1 x 1
x 1 2 x 1 x 1
x 2 x 2 1
lim lim lim ;
x 3x 2 (x 1).(x 2) x 1
x 2 x 2 1
lim lim lim ;
x 3x 2 (x 1).(x 2) x 1
Do đó, đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng là x = – 1.
Bài 12. Đồ thị hàm số
2 2
2x x 1
y x x 6
có bao nhiêu tiệm cận?
Lời giải:
Vì
2 2
2 2
x x
2x x 1 2x x 1
lim 2; lim 2;
x x 6 x x 6
Nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là y = 2.
Ta có:
2 2
2
2x x 1 2x x 1
y x x 6 (x 3)(x 2)
Vì
2 2
x 3 2 x 3
2 2
x 3 2 x 3
2x x 1 2x x 1
lim lim ;
x x 6 (x 3)(x 2)
2x x 1 2x x 1
lim lim ;
x x 6 (x 3)(x 2)
Và
2 2
x 2 2 x 2
2 2
x 2 2 x 2
2x x 1 2x x 1
lim lim ;
x x 6 (x 3)(x 2)
2x x 1 2x x 1
lim lim ;
x x 6 (x 3)(x 2)
Nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là x = 3 và x = – 2.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 tiệm cận (gồm 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.
Bài 13. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 – 3x.
Lời giải:
1. Tập xác định:
2. Sự biến thiên + Chiều biến thiên:
y’ = 3x2 – 3x; y’ = 0 x 0 x 1
Trên các khoảng (; 0) và (1; ); y'dương nên hàm số đồng biến.
Trên khoảng (0; 1) thì y’ âm nên hàm số nghịch biến.
+ Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = y(0) = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = y(1) = – 2.
+ Các giới hạn vô cực:
3 3
xlim (x 3x) ; lim (xx 3x)
+ Bảng biến thiên:
x 0 1
f’(x) + 0 – 0 +
f(x) 0
–2 3. Đồ thị
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 0); cắt trục hoành tại 3 điểm là (0; 0);
3; 0 ; (
3; 0),Đồ thị hàm số được cho trên hình bên.
Bài 14. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 + 2x2. Lời giải:
1. Tập xác định:
2. Sự biến thiên + Chiều biến thiên:
Ta có: y’ = 4x3 + 4x y' 0 x 0
Trên các khoảng (; 0) thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.
Trên các khoảng (0; ) thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến.
+ Cực trị
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 và yCT = y(0) = 0.
Hàm số không có cực đại.
+ Giới hạn tại vô cực:
4 x 2
4 x 2
lim x 1 2 ;
x lim x 1 2
x
+ Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
Hàm số đã cho là hàm số chẵn vì f(– x) = (– x)4 + 2(– x)2 = x4 + 2x2 = f(x).
Do đó, hàm số nhận trục Ox làm trục đối xứng.
Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm (0; 0) ; cắt trục tung tại điểm (0 ; 0).
Bài 15. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x 2 x 1
. Lời giải:
1. Tập xác định: R\ {1}.
2. Sự biến thiên
+ Chiều biến thiên: 3 2 y ' (x 1)
Và y’ không xác định khi x = 1; y’ luôn luôn âm với mọi x khác 1.
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng
; 1
và (1; ).+ Cực trị
Hàm số đã cho không có cực trị.
+ Tiệm cận
x 1 x 1
x 2 x 2
lim ; lim ;
x 1 x 1
Do đó, đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng.
Lại có:
x x
x 2 x 2
lim 1; lim 1
x 1 x 1
Suy ra, đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1.
+ Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; – 2); cắt trục hoành tại điểm (– 2; 0).
Bài 16. Cho hàm số y = – 2x3 + 3x2 – 1 có đồ thị (C) như hình vẽ. Dùng đồ thị (C) để biện luận theo m số nghiệm của phương trình – 2x3 + 3x2 – 1 – m = 0.
Lời giải:
Ta có: – 2x3 + 3x2 – 1 – m = 0 (1)
– 2x3 + 3x2 – 1 = m
Do đó, số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m (song song hoặc trùng với trục Ox và đi qua điểm (0;
m)).
Dựa vào đồ thị ta thấy:
+ Nếu m < – 1 thì phương trình (1) có 1 nghiệm.
+ Nếu m = – 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm.
+ Nếu –1< m < 0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm.
+ Nếu m = 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm.
+ Nếu m > 0 thì phương trình (1) có đúng 1 nghiệm.
