1 nên liên tục

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BỘ MÔN TOÁN

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 1 NĂM HỌC 2019 – 2020 Ngày thi: 25/12/2019 – Ca thi: 9h45

Đề 02

Câu Đáp án Điểm

1 (1đ) Miền xác định: ^{x −}



^{1,1 .}



(

¹

) (

¹

) (

¹

) (

¹

) (

¹

)

²

sin 2sin⁻ x +cos 2sin⁻ x − = 1 0 2sin sin⁻ x cos sin⁻ x + −1 2 sin sin ⁻ x  − =1 0.

(

²

)

2

0 0

2 1 0 2

1 , 0. .

2 x x

x x x

x x x x

 =

 = 

 − − =  − =   =

0.5

0.25+0.25

2a

(1.5đ) ^{Df =[0,+)}; f là hàm sơ cấp xác định trên ^{D=[0,+) \ 1}

 

nên liên tục; ^f

( )

^{1 =m;}

( ¹)²

( )

^{( 1)2}

1 1

2 1

lim 1 lim 0.

1 1

2

x x

x x

x e

e x

x

− −

→ →

− = − =

−

Hàm số f liên tục trên [0,+ ) f liên tục tại 1

( ) ( )

1

lim 1

x f x f

 → = m=0.

0.5 0.5 0.5 2b

(1đ) Với m=0, ^f

( )

^{1 =0.}

( )

( )

( )

( ) ( )

2

2

1

1

1 1 2

1 0 1 1

' 1 lim lim 1 2.

1 1

x

x

x x

e x e

f x

x x

−

−

→ →

− −

− −

= = + =

− −

Vậy hàm số f khả vi tại 1 và ^{f ' 1}

( )

^=2.

0.25 0.5 0.25 3

(1đ) Đạo hàm hai vế phương trình đã cho theo x:

2 2

2 dy 3 dy 5 5 dy 0

xy x y y x

dx dx dx

+ + − − = ₂5 2₂

3 5 .

dy y xy

dx x y x

 = −

+ −

Hệ số góc tiếp tuyến của đường cong tại ^P

( )

^{1, 2 :}

(

^{1, y 2}

)

^3.

4 dy x

dx = = =

Tiếp tuyến của đường cong tại ^P

( )

^{1, 2} có phương trình ^{3 5}.

4 4

y= x+

0.5 0.25 0.25 4

(1.5đ) ^{D= −( , 4]}, ^'

( )

^{1 1 2 4 1}

2 4 2 4

g x x

x x

= − = − −

− − ; ' 0 ¹⁵

g =  =x 4 . Số tới hạn: 15

, 4.

x= 4 x=

x − ¹⁵

4 4

'

g + 0 − ||

g 17

4

4

−

0.5+0.25

0.5

2 Vậy hàm số đạt cực đại tương đối tại 15 17

4 , 4

 

 

 . 0.25

5 (1đ)

Gọi x y, lần lượt là khoảng cách từ vị trí A đến người đi xe đạp và quả bóng; zlà khoảng cách giữa người và quả bóng. Ta có x y, , z là hàm khả vi theo t và x²+y² =z².

dx dy

x y

dz dt dt

dt z

= + , trong đó: dx 12,dy 3.

dt = dt =

Chọn t=0 là thời điểm thả quả bóng, sau 5 giây: x=12 5 =60, y=  =3 5 15, z=15 17.

Vậy tốc độ thay đổi khoảng cách giữa người và quả bóng là 60 12 15 3

3 17 / . 15 17

dz ft s

dt

 + 

= =

0.25 0.25 0.25 0.25 6

(1đ) Đưa pt ban đầu về dạng tách biến:

( )

1 2

2

cosy dy

. 3 sin

xe x dx y

= +

+ Lấy tích phân hai vế phương trình trên:

1 2

1 .

3 sin 2

e x

y C

− = + + +

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:

1 2

1 .

3 sin 2

e x

y C

− = + + +

0.25 0.25+0.25 0.25 7

(1đ) Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng

 

^{1, 5} xác định bởi công thức

( ) ( )

5 3 5

2 2 2

1 1 3

2 3 2 3 2 3

S=



t − −t dt= −



t − −t dt+



t − −t dt 16 32

3 3 16

S= + = (đvđd).

0.5 0.5 8

(1đ) Đặt dt

2 1, 2

t x

= + dx= khi đó

( ) ( )

^{2 1}

( ) ( ) ( )

^{2 1}

( )

^{2 1}

0 0

' 3 1 3 1 2 6 2 12 4 .

x t

u u x x

d d dt

G x F x u e du u e du x e x e

dx dt dx

+

+ +

   

= =  − =  −  = + = +





 





( ) ( )

^{2 1 5}

' 24 20 0

6

G x = x+ e x⁺    −x : hàm số tăng trên [- ,⁵ ) 6 +

( ) ( )

^{2 1 5}

' 24 20 0

6

G x = x+ e x⁺    −x : hàm số giảm trên ( , ⁵].

− −6

0.5 0.25 0.25 Hết