Giải phương trình 3

(1)

SỞ GD&ĐT BẮC NINH PHÒNG QUẢN LÍ CHẤT LƯỢNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CUỐI NĂM NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN: Toán – Lớp 10

Câu Đáp án Điểm

1.a. Giải phương trình 3x 2 1. 1,0

3 2 1 1

3 2 1 3 2 1 1.

3 x x

x x x

    

 

         1,0

1.b. Giải phương trình 3  x x 1. 1,0

2 2

1 0 1

3 1 3 ( 1) 2 0

x x

x x x x x x

 

    

 

           ^0,5 1

2 2.

1 x

x x

x

  

    

0,5

1.c. Giải bất phương trình 1 4.

1 x 

 0,5

1 4 1 4 0 4 3 0

1 1 1x

x   x    x 

   0,25

Từ bảng xét dấu suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là 3 1.

4  x 0,25

Lưu ý: Học sinh cũng có thể trình bày như sau

1 0 1

1 4 1 4(1 ) 3 3 1.

1 4

4 x x

x x

  

   

 

       

   

2.a. Giải bất phương trình f x( ) 0 khi m  1. 1,0 Với m  1 thì bất phương trình f x( ) 0 trở thành

2x2     x 3 0 x 1 hoặc 3 .

x 2 1,0

2.b. Tìm m để giá trị nhỏ nhất của f x( ) trên  đạt lớn nhất. 1,0 Ta có

2 2

2 2 4 20

( ) 2 ( 2) 2 2

4 8

m m m

f x  x  m x m   x      ^nên

2 4 20

( ) , .

8

m m

f x     x  ^Trên tam thức f x( ) có giá trị nhỏ nhất bằng

2 4 20 ,

8

m m

   đạt được khi 2 .

4 x  m

0,5

Biến đổi ² 4 20 2 1( 2)² 2.

8 8

m m m

         Do đó ² 4 20 8

m m

   đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi m  2. Vậy m  2 là giá trị cần tìm.

0,5

3. Tính cos , cos2 , tan2 . 1,5

Ta có cos² 1 sin² 1 1 8.

9 9

     0,25

(2)

Vì 0

2

 

  nên cos 2 2.

 3 0,25

Ta có cos2 1 2sin² 1 2 7.

9 9

     0,5

sin2 2sin cos 4 2

   9 tan2 sin2 4 2. cos2 7

   0,5

4.a. Viết phương trình đường thẳng BC. 1,0

Đường thẳng BC có phương trình 1 4 3 12 0.

3 4

x  y   x  y

 1,0

4.b. Viết phương trình đường tròn ( )T tâm A và tiếp xúc với BC. 1,0 Bán kính của đường tròn ( )T là ^r ^^{d ,}



^{A BC}



^ ^{4.7 3.2 12}₄₂^_{ }_{( 3)}^₂ ^^2. ^0,5

Đường tròn ( )T có phương trình (x7)²  (y 2)² 4. 0,5 4.c. Tìm điểm M trên đường tròn ( )T sao cho MB²MC² 53. 1,0

Gọi ^{M x y}

 

^; ^thì^MB²^^MC² ^⁵³^^x²^{ }⁽^y ⁴⁾²^{ }⁽^x ³⁾²^{ }^y² ⁵³

3x 4y 23 0.

    0,5

Tọa độ của điểm M thỏa mãn

2 2 2

2

3 4 23 0 23 34

23 3

( 7) ( 2) 4 ( 7) 2 4

4 y x

x y

x

x y x

 

 

    

 

 

   

        

  

      

25 2 314 945 0 5

23 3 2

4

x x x

x y

y

    

  

 

    

hoặc

189 25 .2 25 x y

 

 



Vậy ^M

 

^5;2 ^hoặc^M^^^^{189 2}_{25 25}^; ^^^.

0,5

5. Chứng minh rằng ⁴₆ ⁴₆ ⁴₆ ⁴₆ ⁴₆ ⁴₆ 3 . 4

a b b c c a

     

   (1) 1,0

Gọi ABC là tam giác có diện tích S 3 và các cạnh BC a CA b AB c ,  ,  . Từ (a b a )( ⁵b⁵) 0 suy ra a⁶  b⁶ ab a( ⁴b⁴),

dẫn tới ⁴₆ ⁴₆ 1 sin sin 1 sin

sin 2 2 3

a b C C C

ab ab C S

a   b  

 . 0,25

Tương tự ⁴₆ ⁴₆ 1 1 sin , ⁴₆ ₆⁴ 1 1 sin .

2 3 2 3

b c bc A c a ca B

b c c a

     

 

Bất đẳng thức (1) trở thành sin sin sin 3 3

A B C  2 (2).

0,25

Ta có sin sin 2sin cos 2 sin

2 2 2

A B A B A B

A B      ,

3 3 3

sinC sin3 2sin C6cos C6 2sin C6,

0,25

(3)

nên sinAsinBsinC sin3 2sin3C62sinA B2 

3( ) 3( ) 3( )

4sin cos 4sin 4sin .

12 12 12 3

A B C   C A B   A B C   

  

Do đó sin sin sin 3sin 3 3

3 2

A B C    . Bất đẳng thức (2) được chứng minh.

Đẳng thức ở (2) xảy ra khi ABC là tam giác đều. Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Đẳng thức ở (1) xảy ra khi a b c  2.

0,25

Chú ý:

1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Câu làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa.

2. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho Câu hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.

3. Điểm toàn Câu là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm.