KĨ THUẬT “ĐÁNH CẢ CỤM” KHI DÙNG CASIO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

(1)

1

KĨ THUẬT “ĐÁNH CẢ CỤM” KHI DÙNG CASIO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

(dành cho bạn đọc muốn thử sức với một số PT vô tỉ phức tạp phải dùng máy tính Casio trợ giúp

và thử sức giải phương trình bậc 3)

Bài viết này xin được giới thiệu các phương trình dùng máy tính cầm tay tìm biểu thức liên hợp có dạng ax² bxc^k P(x),với a,b,c là các số nguyên

Sau đây là các thí dụ đơn giản của dạng này

(phương pháp tìm biểu thức nêu ở 2 chuyên đề ở phần sau các thí dụ)

Thí dụ 1 Giải phương trình

5 3 4 12 2 12 7

10

5x² x   x³ x  x² x Hướng dẫn.

Biểu thức cần tìm là 2x²3x2 5x²10x7 và 2x²3 12x³2x12 PTcó 2 nghiệm

2 3 1

  x

2 2 4 7 3 8

7 7

3x² x  x³x² x  x² x Hướng dẫn.

Biểu thức cần tìm là 2x²2x1 3x²7x7 và 2x²1 8x³x²2x7 PTcó 2 nghiệm

4 17 1

 x

2 3 6 23 16 64

5 5

18x² x  x² x  x² x

Biểu thức cần tìm là 2x²x1 18x²5x5 và 4x²2x1 64x²16x23

PTcó 4 nghiệm ;

4 1 17



x 4

33 3

  x

(2)

2 Thí dụ 4 Giải phương trình

3 3 6 9 32 32

6 11

14x² x  x² x  x² x Hướng dẫn.

Biểu thức cần tìm là 2x²x2 14x²11x6 và 4x²2x1 32x²32x9

PTcó 4 nghiệm ;

4 1 17



x 2

; 1 1  



 x x

2 3 6 17 36 24

5 10

8x² x  x² x  x² x

Biểu thức cần tìm là 2x²x1 8x²10x5 và 4x²2x1 24x²36x17 PTcó 2 nghiệm

4 17 1

 x

2 4 6 ) 17 21 8

)(

1 ( 5 10

8x²  x  x x² x  x²  x Hướng dẫn.

Biểu thức cần tìm là 2x²x1 8x²10x5 và 4x² 3x1 (x1)(8x² 21x17) PTcó 2 nghiệm

4 17 1

 x

3 4 6 20 44 37

8 5 10

8x² x  x³ x² x  x² x Hướng dẫn.

Biểu thức cần tìm là 2x²x1 8x²10x5 và 4x²3x2 8x³37x²44x20

PTcó 2 nghiệm

4 17 1

 x

(3)

3 Thí dụ 8 Giải phương trình

Hướng dẫn.

Biểu thức cần tìm là 2x²x1(3x1) 2x1 và 2x² 14x³2x²6x2 PT đã cho có 2 nghiệm:x1;

6

78 12 359 78

12 359

5³  ³ 

 x

Thí dụ 9 Giải phương trình 1 1 4

2 6 2 14 1 2 ) 1 3 (

2

3 











x x

x x x x

x

Hướng dẫn.

Biểu thức cần tìm là 2x²x1(3x1) 2x1 và 2x² 14x³2x²6x2 PT đã cho có 2 nghiệm:x1;

6

78 12 359 78

12 359

5³  ³ 

 x

Thí dụ 10 Giải phương trình 3 1

2

2 4

1 3 ) 1 (

2

3 







x x

x x x x

x

Hướng dẫn.

Biểu thức cần tìm là x²x2(x1) 3x1 và x²1 x³4x²x2 PT đã cho có 2 nghiệm:x1;

3 3 3

18

633 27

633

27  

 x

4 10 4

1 3 ) 2 (

2

3 











x x

x x x x

x

Hướng dẫn.

1 1 4

2 6 2 14 1 2 ) 1 3 (

2

3 











x x

x x x x

x

(4)

4

Biểu thức cần tìm là 2x²x3(x2) 3x1 và 2x²1 x³4x²10x4 PT đã cho có 2 nghiệm:x1;

12

) 249 18 281 ( 5 ) 249 18 281 ( 5

5³  ³ 

  x

Thí dụ 12 Giải hệ phương trình

















2 2 2

3 2

2 2 2

9 8 8 2 4 3 4 3 ) 2 (

4 2

y x x

x x x

x

xy y x

Hướng dẫn.

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với x2hoặc x y²22 Với x=2 các bạn tự xử lí trường hợp dễ này

Với x y²22thay vào PT thứ 2 của hệ ta được (*) 2 9

8 8 2 4 3 4 3 ) 2

(x x²  x³ x² x  x² x

Biểu thức cần tìm là 3x² x2(x2) 3x² 4 và 2x² 4x³2x²8x8

PT(*) có 2 nghiệm:x2;

3

4 31 183 3 4

31 183

1³ 3  ³ 



 x

Đến đây các bạn tự giải tiếp Thí dụ 13 Giải hệ phương trình













 



 



5 3 3 41 16 2

13 3

0 2 2 2 1

2 2 2

2 2

2 4

2 2

y x x

x x

y

y y

y x

x

Hướng dẫn.

Sử dụng Hàm đặc trưng có

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương x y²22

(5)

5 Với x y²22thay vào PT thứ 2 của hệ ta được

(*) 11 3 3 41 16 2

13 3 ) 2

(x x²  x² x  x² x

Biểu thức cần tìm là 2x² 3x6(x2) 3x² 13 và x²5 2x²16x41 PT(*) có 2 nghiệm:x2;

3

1 57 3 2 1 57 3 2

2 ³   ³ 

 x

Đến đây các bạn tự giải tiếp Thí dụ 14 Giải hệ phương trình























15 3 3 67 10 4

13 3

0 2

2 2

2

x x x

x x

y

y x xy x

Hướng dẫn.

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với x1hoặc x y²22 Với x=1 các bạn tự xử lí trường hợp dễ này

Với x y²22thay vào PT thứ 2 của hệ ta được (*) 15 3 3 67 10 4

13 3 ) 2

(x x²  x² x  x²  x

Biểu thức cần tìm là 2x² 3x7(x2) 3x²13 và x²8 4x²10x67 PT(*) có 2 nghiệm:x1;

3

681 9 17 681 9 17

1³  ³ 

  x

Đến đây các bạn tự giải tiếp

Sử dụng lí thuyết của 2 chuyên đề dưới đây có thể tìm ra các biểu

thức cần xuất hiện

(6)

6

Chuyên đề 1

PHƯƠNG PHÁP THẾ TRONG THỦ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH ĐỂ TÌM NHÂN TỬ CHUNG HOẶC TÌM BIỂU THỨC TRONG NHÂN LIÊN HỢP KHI GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH VÔ TỈ

Một kĩ năng rất hữu ích có thể giúp ta giải được một phương trình vô tỉ là kĩ năng tìm nhân tử chung hoặc tìm biểu thức trong nhân liên hợp. Đôi khi việc tìm ra các biểu thức đó là rất khó khăn nếu ta không có máy tính cầm tay trợ giúp. Bài viết này xin được giới thiệu kĩ thuật dùng máy tính cầm tay tìm nhân tử chung hoặc biểu thức để ta xử lí nhân liên hợp có dạng ax² bxc^k P(x),với a,b,c là các số nguyên. Sau đây là các thí dụ

Thí dụ 1 Giải phương trình 2 6 3 2

1 4

10 6 3 3

2 2

3 4 6

 











x x x

x x x x

Lời giải

Phương trình(PT) đã cho tương đương với PT:

) 1 ( 0 6 3 4

12 6 8 3

3 ⁴ ³ ² ²

6 x  x  x  x  x  x 

x

Ta tìm nghiệm của PT(1) bằng máy tính CASIO fx-570VN PLUS như sau:

Nhập biểu thức vế trái(VT) của PT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X=2 Ấn nút sang trái để quay lại PT(1)

Sửa biểu thức thành VT(1):( X-2) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm10 =, máy cho ta nghiệmX 2,546818277 Bấm SHIFT STO A (lưu nghiệm vừa tìm vào A)

Giả sử nhân tử của PT(1) có dạng ax² bxc x² 3x6 chứa 2 nghiệm vừa tìm.

Nghiệm X=2 suy ra 4a2bc20c4a2b2

(7)

7

Nhân tử của PT(1) trở thành: ax² bx4a2b2 x²3x6 6

3 2

) 2 ( ) 2 )(

2

(       ²  

a x x b x x x

Xét a(x2)(x2)b(x2)2 x²3x6 0

suy ra ( 2)

2 2 6

2 3



 





  a x

x x

b x (2)

Vì A là nghiệm của PT(2) nên

ta tìm a,b là số nguyên bằng cách bấm máy tính nhƣ sau:

MODE 7 máy hiện f(X)= ,ta nhập A X

A A

A ( 2)

2 2 6

2 3



 





 bấm =

Máy hiện Start? Ta bấm 9 = Máy hiện End? Ta bấm 9 = Máy hiện Step? Ta bấm 1 =

Quan sát bảng ta thấy khi X=1=a thì F(X)=0=b là số nguyên Nhƣ vậy a=1,b=0,c=2

Nên nhân tử cần tìm là x² 2 x²3x6 Suy ra PT xuất hiện 4(x² 2 x² 3x6) Biểu thức còn lại là x⁶3x⁴3x³12x²6x4

Biểu thức này chứa nhân tử cần tìm nên nó chứa nhân tử sau:

2 3 5 )

6 3 ( ) 2

(x² ² x² x x⁴ x² x

Thật vậy,sử dụng kĩ năng chia đa thức ta đƣợc 4

6 12 3

3 ⁴ ³ ²

6 x  x  x  x

x (x⁴5x²3x2)(x²2) Do đó

0 ) 6 3 2

( 4 ) 2 )(

2 3 5 ( ) 1

(  x⁴  x²  x x²   x²   x²  x  PT

0 ) 6 3 2

( 4 ) 2 )(

6 3 2

)(

6 3 2

( ²   ²  ²   ²  ²  ²  ²   

 x x x x x x x x x x

(8)

8



⁽ ²⁾ ³ ⁶



⁰

) 6 3 2

( ²  ²  ⁴ ²  ²  

 x x x x x x x





















 

) 4 ( 0 6 3 )

2 (

) 3 ( 2 6

3

2 2

4

2 2

x x x

x

x x

x

Dễ thấy PT(4) vô nghiệm



















 

4 4 6

3 0 ) 2

3

( 2 4 2

2

x x x

x PT x



















 

0 ) 1 2

)(

2 (

0 2

2 3 2

x x x x x

Giải tiếp ta được nghiệmx2và

3

2 29 9 61 2

29 9

2³ 61 ³ 



 x

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm:x2;

3

2 29 9 61 2

29 9

2³ 61 ³ 



 x

1 3 9 8 ) 2 ( 3

6 2 2

2 3 2

2 3

4 



x x x

x x x x

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với PT:

) 1 ( 0 3 9 8 ) 2 ( 3 6 2

2x⁴ x³  x²  x  x²  x³  x²  

Nhập biểu thức vế trái của PT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệmX 2,25992105 Bấm SHIFT STO A

Nhập biểu thứcVT(1):(X A)⁴rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm 0 =, chờ gần 6 phút máy hiện Can’t Solve

Khi này ta sẽ chuyển sang hướng tìm nghiệm ngoại lai (nếu có)của PT bằng cách đổi dấu trước căn PT đã cho.Dẫn tới tìm nghiệm của PT sau:

) 2 ( 0 3 9 8 ) 2 ( 3 6 2

2x⁴ x³  x²  x  x²  x³  x²  

(9)

9 Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) của PT(2) nhƣ sau:

Bấm MODE 7 máy hiện f(X)=

Ta nhập biểu thức vế trái PT(2) bấm = Máy hiện Start? Ta bấm -9 = Máy hiện End? Ta bấm 9 = Máy hiện Step? Ta bấm 1 =

Khi này xem bảng ta thấyX `1thì F(X)=0 Vậy nghiệm ngoại lai cần tìm là x= -1

Giả sử nhân tử của PT(1) có dạng ax²bxc 8x³9x²3

Vì x= -1 nghiệm ngoại lai nên nó là nghiệm PT: ax² bxc 8x³9x²3 0 suy ra abc20cab2

Nhân tử của PT(*) trở thành: ax² bxab2 8x³9x²3 3

9 8 2 ) 1 ( ) 1 )(

1

(       ³ ²

a x x b x x x

Xét a(x1)(x1)b(x1)2 8x³9x²30

suy ra a x Z

x x

b x   



  ( 1)

1 2 3 9

8 ³ ²

Ta tìm a,b bằng cách bấm máy tính nhƣ sau:

MODE 7 máy hiện f(X)= ,ta nhập A X

A A

A ( 1)

1

2 3 9

8 ³ ²  



 bấm =

Máy hiện Start? Ta bấm -9 = Máy hiện End? Ta bấm 9 = Máy hiện Step? Ta bấm 1 =

Quan sát bảng ta thấy khi X=1 thì F(X)=3 là số nguyên

Nhƣ vậy a=1,b=3,c=0.Ta đƣợc nhân tử là x² 3x 8x³ 9x² 3

(10)

10 Mà (x²3x)² (8x³9x² 3)x⁴2x³3

PT(1) trở thành: x⁴2x³3(x² 2)(x² 3x 8x³9x²6)0 0 ) 3 9 8 2 3 2 )(

6 9 8 3

( ²  ³ ² ²   ³ ² 

 x x x x x x x x





















 

) 4 ( 0 6 8 3

) 7 4 ( 3 2

) 3 ( 3 3

9 8

2 2

3

x x x

x

Dễ thấy PT(4) vô nghiệm

 















 

0 2 ) 1 ( ) 1 (

0 ) 3

3

( 3

2

x x

x

PT x x1³ 2.

Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x1³ 2 Thí dụ 3 Giải phương trình

1 4 17

44 36

1

2 3 5 2

2 3

4

2 















x x x

x

x x

x

Lời giải

) 1 ( 0 1 4

17 44

36 2 3 5

2 x²  x  x⁴  x³  x² x x  Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) của PT(1) như sau:

Bấm MODE 7 máy hiện f(X)=

Ta nhập biểu thức vế trái PT(1) bấm = Máy hiện Start? Ta bấm -9 = Máy hiện End? Ta bấm 9 = Máy hiện Step? Ta bấm 1 = Khi này ta thấy X=1 thì F(X)=0

Nhập biểu thức VT(1):( X-1) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi X=? ta bấm0 =, máy cho ta nghiệmX 0,629960524

(11)

11

Làm tương tự các thí dụ trên ta được: ( 1)

1 2 2 3

5 ²  





  a x

x x

b x và

) 1 1 (

2 4 17

44

36 ⁴ ³ ²  





  a x

x

x x x

b x

Nên 5x²3x2(2x²x1)và 4x²3x1 36x⁴44x³17x²x4 là các biểu thức cần xuất hiện trong phương trình

PT(1) trở thành:2( 5x²3x22x²x1)(4x²3x1 36x⁴44x³17x² x4)0

   

0 4 17

44 36

1 3 4

4 17

44 36

1 3 4 1 2

2 3 5

1 2

2 3 2 5

2 3

4 2

2 3

2 4 2

2 2

2 2 2

 





















 















 



x x x

x x

x

x x x

x x

x

x x x

x

 

^] ⁰

4 17

44 36

1 3 4

5 1

2 2 3 5 [ 2 1 4

4 2 2 2 4 3 2

3

4 











 









 







x x x

x x

0 1 4

4 ⁴ ³  

 x x x (x1)(4x³1)0















3

4 1 1

x x

Kiểm tra điều kiện xác định thấy các nghiệm thỏa mãn.

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm x1; ³ 4

 1

 x

1 11 12 16

6 8

5

3 2 7 4 14 2

2 3

4 2

2 3 3

4

 















x x

x x x

x

x x x x

x

Lời giải

) 1 ( 0 6 5 2

11 12 16

6 3

2 7

4x³ x² x  x⁴  x³ x² x x⁴ x³x² x  Bấm máy tính như các thí dụ trên để tìm nghiệm nguyên ta thấy không có

Tìm và lưu các nghiệm ta được ít nhất 3 nghiệm là

(12)

12 732050808

,

2

A ;B1,414213562;C0,732050807

Chú ý: Nếu máy hiện Continue:[=] thì ta bấm = ,đợi một lúc ta được nghiệm Giả sử biểu thức thứ nhất có dạng ax²bxc 4x³7x² 2x3

Do A,B,C là nghiệm của biểu thức nên ta có 3 2 7

4 ³ ²

2bAc A  A  A

aA

3 2 7

4 ³ ²

2bBc B  B  B

aB

3 2 7

4 ³ ²

2 bCc C  C  C

aC

Bấm MODE 5 rồi bấm 2 để giải hệ 3 ẩn a,b,c gồm 3 PT trên.Ta được a=1;b=1;c=1 Như vậy biểu thức thứ nhất cần tìm làx²x1 4x³7x²2x3

Tương tự biểu thức thứ hai cần tìm là 2x²1 x⁴ 6x³16x²12x11

0 4 4 4 2 11

12 16

6 1

2

3 2 7 4 1 )

1 (

2 3 4 2

3 4 2

2 3 2



























x x x x x

x x

x x x x

x PT

) 2 ( 0 ) ( ) 4 4 4 2

( ⁴ ³ ²  

 x x x x P x với

0 1 11 12 16

6 1

2

3 3

2 7 4 1 ) 1

( 2 3 2 2 4 3 2  





 





 

x x

x x x

x x x x

x x P

Suy raPT(2)x⁴2x³4x² 4x40 (x²2x2)(x²2)0













 

2 3 1 x x

Kiểm tra điều kiện xác định thấy các nghiệm thỏa mãn

Vậy PT đã cho có 4 nghiệm x1 3 ;x 2

Chú ý: Do AC2 ;AC 2 nên PT có nhân tử làx² 2x2

Mở rộng dạng toán: Nếu a,b,c hoặc nghiệm PT là các số hữu tỉ thì ta đưa về tìm các biểu thức dạng )

( )

(x px² qx r P

n^k    ,với p,q,r là số nguyên và n là số nguyên dương ta tìm được hoặc ta thử chọn. Vấn đề nữa đặt ra là liệu có phương trình mà ta phải tìm biểu thức dạng phức tạp hơn chẳng hạn như ^k P(x)(ax³bx²cxd).Hãy làm bài tập dưới đây các bạn sẽ rõ

(13)

13 Bài tập Giải phương trình

1 2 16

4 2

2 13 ) 4

1

2 3

2

4 









x x x

3 3

3

6 9 3

3 ) 7

2 2

2 3 3

4 









x x

x x x

x

1 14 3 4 ) 1 (

8 5 3 ) 2

3 2 2

2 3 4

 









x x x

x

x x x x

2 1 3

4 2 3 4 4 2 ) 3

4 ₂

2 2

3

4 





x x

x x x

x x

1 1

13 14 7

3 2

2 23 24 4

12 16

)3

5 4 2

2 3

4 













x x

x

x x

x x x

1 3

2 5 12 1

1 4 12 8

2 )2

6 4 2

3 6 5 4

 







x x x

x

1 2 7 3 4

2

1 5 3 2

) 3 7

2 3 4

3 6 5

 















x x x x

1 3 2 26 2

1 20

3 6 27 4

6 ) 2

8 2 3 2

2 3

3

4 









x x x

x x

x x x

x x

1 6 12 5 2 ) 2 ( 3

3 4 10 6

4 )2

9 2 3 4 3 2

2 4

2 3

 











x x x

x x

x x x

2 5 8 3 7 2 4

5

20 30 9

20 3 12 )18

10

2 3 2

2 3

2 













x x x x

x

x x

6 1 5 8 3

7 3 4 4 7 5 ) 2 )(

11 ₅ ₄ ₃ ₂

2 3 4 5

3 













x x x x x

x x x x x x x

1 2 11 4

11 2

6 14 2

5 27 15

21 3

8 ) 7

12 4 2 4 3 2

2 3

4 3

 



















x x x x

x x

(14)

14 1 6 6 35 )

11 25 36

( 1 4

4 5 4 43 )

11 29 28

) ( 13

2 2

 













x x x x

x x

x x x

x

5 4 5 12 19

19 20

4 4

3 4 5 9 13 19

21 ) 14

2 3 4

5 6

7 8

2 3 4 5

6





















x x x x

x x

x x x x x x

Chuyên đề 2

PHƯƠNG PHÁP CỘNG DÙNG TRONG THỦ THUẬT MÁY TÍNH CẦM TAY TRỢ GIÚP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Điều kiện sử dụng phương pháp: Bấm máy tính tìm được ít nhất 2 nghiệm A,B phân biệt

Nếu PT có chứa P(x) thì giả sử biểu thức cần xuất hiện có dạng: ax² bxc P(x) ,trong đó a,b,c là các số nguyên .Do A,B là nghiệm của biểu thức nên

(*) 0 )

2bAc P(A  aA

0 )

2bBc P(B  aB

Chú ý: Nếu B là nghiệm ngoại lai ta cóaB² bBc P(B) 0 (các bạn tự xử lí TH này) Trừ vế với vế ta được:

) ( ) ( ) ( ) )(

(A B A B b A B P A P B

a      

Suy ra A B a

B A

B P A

b P( ) ( ) ( )



 

 

Trường hợp 1: AB0thì

B A

B P A b P



 ( ) ( )

Nhập biểu thức

B A

B P A P



 ( ) )

( bấm = máy hiện giá trị của b cần tìm

(15)

15 Từ (*) suy ra c P(A)aA² bA

Ta tìm a,c bằng máy tính như sau:

Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập P(A)XA² bAbấm = Máy hiện Start? Ta bấm 9 =

Máy hiện End? Ta bấm 9 = Máy hiện Step? Ta bấm 1 =

Quan sát bảng ta chỉ lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên Suy ra a=X,c=F(X)

Trường hợp 2: AB0

Do A B a

B A

B P A

b P( ) ( ) ( )



 

  nên ta tìm a,b bằng máy tính như sau:

Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập biểu thức A B X B

A

B P A

P( ) ( ) ( )



 

 bấm =

Quan sát bảng ta lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên Từ đó suy ra a=X,b=F(X)

Từ PT(*) ta tìm c P(A) aA² bA

Nhập biểu thức P(A)aA² bAbấm = máy hiện giá trị của c cần tìm Sau đây là các thí dụ.

3

8 2 2 6 6

2 4

2 3 4 6

6 











x x x

x x x x x x

Lời giải

(16)

16 Phương trình đã cho tương đương với PT:

) 1 ( 0 10 12

3 )

(x x⁶ x⁴  x²x  P

Với P(x)  x⁶ 6x⁴ 6x³ 2x² 2x8

Nhập biểu thức vế trái(VT) của PT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệmX 2,25992105 Bấm nút mũi tên sang trái để quay lại VT(1) ta bấm = để lưu VT(1) Bấm ALPHA X SHIFT STO A để lưu nghiệm vào A

Bấm nút mũi tên đi lên để về VT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm -10 = máy cho ta nghiệmX 2,25992105 Bấm SHIFT STO B

Bấm máy A+B máy hiện 0 suy ra

B A

B P A b P



 ( ) ( )

Nhập biểu thức

B A

B P A P



 ( ) )

( bấm = máy hiện -1. Vậy b=

-

1

Do b= -1 nên c P(A)aA² (1)A P(A)aA² A Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập P(A)A²X Abấm = Máy hiện Start? Ta bấm 9 =

Máy hiện End? Ta bấm 9 = Máy hiện Step? Ta bấm 1 =

Quan sát bảng ta thấy khi X=3 thì F(X)=1 nguyên Suy ra a=3,c=1

Biểu thức cần tìm là: x⁶ 6x⁴ 6x³ 2x² 2x8(3x² x1) PT(1) trở thành P(x)(3x²x1)x⁶3x⁴9x²90

(17)

17 0 9 9 3 1

3 ) (

) 1 3

( )

( 6 4 2

2

2     









  x x x

x x x P

0 9 9 3 1

3 ) (

9 9

3 6 4 2

2 2 4

6     









  x x x

x x x P

x x x

0 ) 9 9 3 ](

1 1 3

) (

[ 1 ⁶ ⁴ ²

2     





  x x x

x x x P

0 9 9

3 ⁴ ²

6   

x x x

0 ) 3 3 ( ) 3

( ³ ² ² ² 

 x x x (x³3x²3x3)(x³3x²3x3)0



⁽ ^¹⁾³^²



⁽ ^^`¹⁾³^²



^⁰

 x x













 

2 ) 1 (

3 3

x

x x(1³ 2)

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm x(1³ 2) Thí dụ 2 Giải phương trình

1 7

12 10

2

1 2 5 7 4 2 4 4

2 3

4 6 2

2 3 4 6 2

 



















x x

x x x x

x x x x x x

x

Lời giải

) 1 ( 4 3

) ( )

(x  Q x  x² x P

Với P(x)  2x⁶ x⁴ x³10x² 12x7 Q(x)  2x⁶ 4x⁴ 7x³5x² 2x1 Tìm và lưu các nghiệm như thí dụ 1 ta được 2 nghiệm là

793700526 ,

0

A ;B1,25992105 Ta có AB0,46622052390

Có A B a

B A

B P A

b P( ) ( ) ( )



 

  nên ta tìm a,b như sau:

(18)

18

Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập A B X

B A

B P A

P( ) ( ) ( )



 

 bấm =

Quan sát bảng ta thấy F(X)=-2 khi X=1

Suy ra a=1,b= -2. Khi này c P(A)A² 2A

Nhập biểu thức P(A)A²2Abấm = máy hiện số 3 Ta được c=3

Biểu thức cần tìm là P(x)(x² 2x3)

Tương tự biểu thức nữa cần tìm là Q(x)(2x² x1)

PT(1) trở thành P(x)(x²2x3) Q(x)(2x²x1)0

1 0 2

) (

) 1 2

( ) ( 3 2 )

(

) 3 2 ( ) (

2

2 2

2

2 2

 



 









 

x x x Q

x x x Q x

x x P

x x x P

0 1 2

) (

2 3 2 3

2 )

(

2 3 2

2 3 6 2

3 6

 





 









 

x x x Q

x x x

x x P

x x

0 ] 1 2

) (

1 3

2 )

( )[ 1 1 2 )(

2

( 2 2

3

3 



 





 



 x x P x x x Q x x x

0 ) 1 2 )(

2

( ³ ³ 

 x x

















3 3

2 1 2

x x

Vậy phương trình có 2 nghiệm x³ 2 ; ³ 2

 1 x

Vấn đề đặt ra là liệu với một biểu thức P(x) có khi nào có nhiều lựa chọn biểu thức

(19)

19

dạng ax² bxc P(x)hay không.Ví dụ sau sẽ làm sáng tỏ điều này Thí dụ 3 Giải phương trình

1 6 51 12

6 4 24 12

3 2 2

2 3

4 









x x

x x x

x x x x

Lời giải

) 1 ( 0 ) ( ) ( 3 2 2 ³ ²

4  x x  x  P x  Q x 

x

Với P(x)  12x³ 24x² 4x6 và Q(x)  12x³51x² 6 Tìm và lưu các nghiệm ta được 2 nghiệm là

449489743 ,

3

A ;B1,449489743 Bấm máy tính có AB20 ;AB5

(Theo Định lí Vi-ét thì PT sẽ có nhân tử là x²2x5)

Có A B a

B A

B P A

b P( ) ( ) ( )



 

  nên ta tìm a,b như sau:

Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập biểu thức A B X B

A

B P A

P( ) ( ) ( )



 

 bấm =

Quan sát bảng ta thấy tất cả các giá trị F(X) đều nguyên. Vì thế ta chọn 1 cặp là X=2;F(X)= 1. Suy ra a=2,b=1c P(A)2A² A

Nhập biểu thức P(A)2A² Abấm = máy hiện số 1.Ta được c=1 Suy ra 2x² x1 P(x) là biểu thức cần tìm

Tương tự ta chọn được 3x²x1 Q(x) là biểu thức cần tìm

(20)

20 Phương trình(1) tương đương với PT:

0 5 2 4 2 )

( 1 3

) ( 1

2x²x  P x  x²x  Q x x⁴ x³ x² x  0 ) 1 )(

5 2 ( ) ( 1 3

) ( 1

2 ²     ²    ²  ² 

 x x P x x x Q x x x x

0 1 )

( 1 3

1 9 )

( 1 2

1 ) 4

5 2

( ²

2 2 2

2

2 









  





 



 



 x

x Q x

x x x

P x

x x x

x

0 5

22  

x x x1 6

Vậy phương trình có 2 nghiệmx1 6

Chọn cặp biểu thức khác chẳng hạnx² 3x6 P(x);3x² x1 Q(x) ta cũng giải được PT theo cách nhân liên hợp

Chú ý:

+Việc chọn biểu thức trong thí dụ 3 là tùy ý hay cần chọn hợp lí để ta dùng được cách nhân liên hợp. Xin dành cho mọi người tìm hiểu điều này.

+ Một số phương trình ta có thể tìm biểu thức phức tạp hơn chẳng hạn )

( )

(x ax³ bx² cx d

P     và có thể giải quyết theo cách bài viết đã nêu khi điều kiện về nghiệm của PT ta tìm được nhiều hơn(kể cả nghiệm ngoại lai hay nghiệm bội)

Bài tập Giải phương trình 9 1 9 8

1 9 4 24 )3

1 4 2

2 3

3 











x x x

x x x x

3 2

3 4

6 2

2 3 6

3 4 7 12 9

5 5 9 ) 9

2 x

x x x

x x

x 









1 1 6 2 6 4 10 3

2 12 4

18 4

) 4

3 4 2 3 2

2 3 3

 







x x x x

x

x x

x

1 21 26 49

16 20 5

6 9 16 6

3 7 ) 4

4

2 3

2

2 3

2 4

 











x x

x

x x x

x x

1 15 2 11 4 4 1

5 12 6

4 5

)4

5 2 6 3 2

2 3 6

2 



















x x x x x

x x

x x x

x

(21)

21 1 20

2 5 4

17 8 8 3

3 )4

6

2 4 6 2

 















x x x x x

x

1 8 2 3 2 7 4 1

14 4

8 ) 2

7

2 3 4 6

2 4

6 













x x x x x

x x x x

1 5

2 5 4 1

`

8 8 8 4

3 )3

8 6 4 2

2 4 6

2 

















x x x x

x x x x x

x

3 2

3 4 6

2 4 5

6

3 8 8 4 33 5

2 8 2 24 ) 3

9 x

x x x x x

x x x x

x 

















1 15

2 5 4 4 1

16 12

4 6

3 )3

10 8 5 4 2

2 4

5 8 2

 







x x x x x

x x

x x x x

x

3 2

3 4

5 7

3 4

5 7

2 15 2 3 18 7

4

16 4 18 6

) 2

11 x

x x x x

x x

x x x

x

x 

















1 8 2 14 22

19 6

1 11

9 18 15

) 6 12

2 3

4 5

6 8

2 4 5 6

7 







x x x

x x

x x x

x x

x