TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
3.5 Biến đổi Z và áp dụng vào hệ thống tuyến tính bất biến
3.5.2 Biến đổi Z ngược
Thao tác từ tín hiệu x(n)suy ra X(z)là biến đổi Z. Ngược lại, thao tác từ X(z)suy rax(n)được gọi làbiến đổiZngược*và được
*Inverse Z transform.
Chương 3. Tín hiệu và hệ thống rời rạc
Bảng 3.2: Tính chất của biến đổiZ.
x(n) S(z)
a1x1(n)+a2x2(n) a1x1(z)+a2x2(z) s(n−n0) z−n0X(z)
e−nax(n) S(eaz)
α−nx(n) S(αz)
h(n)?x(n) H(z)X(z)
ký hiệu toán tử làZ−1{·}:
x(n)=Z−1{X(z)}. (3.66)
Nếu biến đổi Z được biểu diễn bởi chuỗi hình thức theo (3.64) thì hiển nhiên biến đổi Zngược là hoàn toàn xác định bởi các hệ số của chuỗi hình thức này. Tuy nhiên, trong quá trình tính toán, trong các vùng hội tụ thì chuỗi này được biểu diễn bởi các hàm tường minh như được minh họa bởi các ví dụ trước đây. Trong trường hợp các biểu thức tường minh này ta có thể dùng công thức biến đổi ngược dựa trên định lý Cauchy trong lĩnh vực hàm phức, cụ thể như sau:
x(n)=Z−1{X(z)}= 1 2πj
I
X(z)z−ndz. (3.67) Tuy nhiên, trong giáo trình này, các hàm tường minh của biến đổiZcó dạng hữu tỷ theoz−1. Trong trường hợp đó, không cần dùng công thức (3.67) để tính biến đổi ngược mà dùng trực tiếp các kết biến đổi Z hữu dụng, như đã cho trong bảng 3.1. Khi tính biến đổi ngược theo phương pháp này, cần chú ý đến vùng hội tụ của chuỗi, tức là vùng trong vùng đó biểu thức tường minh của biến đổiZmới có giá trị.
3.5. Biến đổiZvà áp dụng vào hệ thống tuyến tính bất biến
Ví dụ 3.13 (Tìm biến đổi Z ngược từ bảng) Tìm x(n) từ X(z) cho sau đây bằng cách tính biến đổiZngược củaX(z).
X(z)= 3z
z−0,5, |z| >0,5.
Từ đề bài, biết rằng vùng hội tụ của X(z) là vùng nằm ngoài vòng tròn có bán kính0,5và như thế x(n)là một tín hiệu nhân quả.
Đồng thời có thể biểu diễn X(z)= 3z
z−0,5=3× 1 1−0,5z−1.
Với hai thông tin này, đối chiếu với các kết quả biến đổiZhữu dụng trong bảng 3.1 có thể thấy cặp sau đây là phù hợp
anu(n)−→Z 1 1−az−1 Suy ra
1 1−0,5z−1
Z−1
−→(0,5)nu(n).
Cuối cùng, áp dụng tính chất tuyến tính của biến đổiZtrong bảng 3.2 để có
x(n)=3(0,5)nu(n).
Chú ý rằng
1
1−az−1= z z−a.
Vì vậy, khi phân tích một hàm hữu tỷ thành tổng các thành phần đơn, thay vì dùng trực tiếp X(z), phân tích X(z)/z thành các phần đơn có dạng 1/(z−a), từ đó ra suy ra dễ dàng kết quả như sẽ được minh họa trong ví dụ sau.
Ví dụ 3.14(Tính biến đổiZngược bằng phân tích thành phần đơn) Tìm biến đổi Zngược của X(z)cho bởi
X(z)= z(z−4)
(z−1)(z−2), 1< |z| <2.
Chương 3. Tín hiệu và hệ thống rời rạc
Có thể thấy vùng hội tụ là một vành, nên tín hiệu x(n) không nhân quả. Vì vậy, để tính biến đổi ngược, cần phân tích nó thành hai thành phần nhân quả và phản nhân quả. Để có thể dùng bảng biến đổi phổ cập, trước tiên ta phân tích X(z)/z thành các phần tử đơn, trong trường hợp này sẽ có
X(z)
z = z−4
(z−1)(z−2)= 3 z−1− 2
z−2. Suy ra
X(z)=3 z
z−1−2 z
z−2=3 1
1−z−1−2 1 1−2z−2.
Biết rằng, vùng hội tụ của X(z)là1< |z| <2nhận thấy thành phần 1/(1−z−1)có biến đổi ngược là nhân quả và thành phần1/(1−2z−1)là phản nhân quả. Do đó, đối chiếu với bảng 3.1, ta có
x(n)=3u(n)+2.2n(1−u(n)).
Trong kết quả trên,1−u(n)=1lúcnâm và triệt tiêu lúcn≥0. 3.5.3 Biến đổiZ và hệ thống tuyến tính bất biến
Biến đổi Z rất hữu ích lúc nghiên cứu tín hiệu rời rạc và hệ thống rời rạc, đặc biệt là đối với các hệ thống tuyến tính bất biến bậc hữu hạn. Đối với loại hệ thống này, như ta đã biết ở phương trình (3.32), đầu vào và đầu ra của hệ thống được nối kết bởi một phương trình sai phân tuyến tính có hệ số là hằng số như sau:
XN
k=0aky(n−k)= XM
k=0bkx(n−k). (3.68) Đáp án của phương trình này, tức là y(n), có thể biểu diễn dưới hai dạng khác nhau.
Dạng thứ nhất
y(n)=yh(n)+yp(n). (3.69)
3.5. Biến đổiZvà áp dụng vào hệ thống tuyến tính bất biến
Trong (3.74), yp(n) là một nghiệm bất kỳ thỏa mãn phương trình sai phân (3.74). Nghiệm này thường được gọi là nghiệm riêng hay nghiệm đặc biệt của phương trình sai phân. Cònyh(n)là nghiệm của phương trình thuần nhất sau:
XN
k=0akyh(n−k)=0. (3.70) Do vậy, yh(n)có dạng
yh(n)=A1rn1+A2rn2+ ··· +ANrnN, (3.71) trong đó A1, A2,..., AN là hằng số vàr1, r2,..., rN làN nghiệm của phương trình sau:
a0rN+a1rN−1+ ··· +aN−1r+aN=0. (3.72) Phương trình (3.72) được gọi là phương trình đặc trưng. Chú ý kết quả tổng quát trong (3.71) chỉ đúng khi N nghiệm của phương trình đặc trưng là khác nhau. Tuy nhiên, trong trường hợp nghiệm kép thì rnk vẫn xuất hiện trong đáp án của hệ thống. Các thông số A1,A2,...,AN được xác định bởi các điều kiện ban đầu y(−N),y(1− N),...,y(−1) của phương trình sai phân. Đáp án của hệ thống, tức nghiệm của phương trình sai phân (3.74) có thể được trình bày dưới một dạng có nhiều ý nghĩa vật lý hơn, như tiếp theo.
Dạng thứ hai
y(n)=yz.s(n)+yz.i(n). (3.73) Trong (3.73), yzs(n)là nghiệm của phương trình sai phân vớiNđiều kiện ban đầu triệt tiêu; ký hiệu zs là viết tắt của “zero-state” có nghĩa là hệ thống khởi động từ gốc. Còn yzi(n) là nghiệm của phương trình thuần nhất được xác định vớiNđiều kiện ban đầu của phương trình sai phân. Theo cách trình bày này thì (3.73) là hoàn toàn tương đương với phương trình (3.69), nhưng ý nghĩa vật lý thì rõ ràng hơn rất nhiều. Ngoài ra, với phân tích này, cũng thấy ngay
Chương 3. Tín hiệu và hệ thống rời rạc
x(n) H(z) y(n)
Hình 3.17: Sơ đồ khối hệ thống biểu diễn bằng hàm truyền hệ thống H(z).
rằngyzs(n)có tính chất tuyến tính. Nghĩa là nếu hệ thống được kích thích bởi một tổ hợp tuyến tính các tín hiệu đầu vào thì yzs(n)sẽ là một tổ hợp tuyến tính của các đáp ứng tương ứng với các kích thích đầu vào. Kết quả toán học này cho thấy phương trình sai phân (3.74) định nghĩa cho ta một hệ thống là tuyến tính nếu các điều kiện ban đầu là triệt tiêu. Trong tinh thần này, từ nay về sau, ta chỉ xét hệ thống tuyến tính bất biến được định nghĩa bởi một phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số, viết tắt là LCCDE*.
Lấy biến đổiZhai vế của phương trình sai phân (3.74) với điều kiện ban đầu triệt tiêu và áp dụng tính chất tuyến tính và dịch trễ của biến đổiZ, ta có
XN
k=0akz−kY(z)= XM
k=0bkz−kX(z), (3.74) trong đóX(z)vàY(z)là biến đổi Zcủa đầu vào và đầu ra. Đặt
H(z)=Y(z)
X(z) (3.75)
và gọiH(z)làhàm truyền hệ thống. Như vậy, ta có H(z)=b0+b1z−1+ ··· +bMz−M
a0+a1z−1+ ··· +aNz−N (3.76) và mối liên hệ giữaY(z)vàX(z)được cho bởi
Y(z)=H(z)X(z). (3.77) Như vậy, cũng có thể biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối như trên hình 3.17.
*LCCDE: Linear Constant Coefficient Difference Equation.
3.5. Biến đổiZvà áp dụng vào hệ thống tuyến tính bất biến
Nếu hệ thống được kích thích bởi một xung Kronecker x(n)= δ(n), tức là X(z)=1, ta sẽ có đầu ra là Y(z)=H(z). Kết quả này cho thấy hàm truyền của hệ thống là biến đổi Zcủa đáp ứng xung của hệ thống đó, tức là
H(z)=Z{h(n)}. (3.78)
Tùy tính chất nhân quả, phản nhân quả hay không nhân quả mà ta có các điều kiện hội tụ khác nhau cho hàmH(z). Như thế,H(z) vẫn có thể biểu diễn cho hai hệ thống khác nhau, như trong ví dụ sau.
Ví dụ 3.15(Hai hệ thống khác nhau nhưng có cùng biến đổiZ) Xét hệ thống có hàm truyền sau:
H(z)= z 1−0,5z−1.
Nếu hệ thống là nhân quả thì vùng hội tụ là ngoài vòng tròn có bán kính0,5. Nếu hệ thống là phản nhân quả thì vùng hội tụ nằm trong vòng tròn bán kính0,5. Như vậy, trong trường hợp là nhân quả ta có
h(n)=3(0,5)nu(n), và trong trường hợp phản nhân quả ta có
h(n)= −3(0,5)n[1−u(n)].
Ngoài ra, phương trình (3.71) và phương trình (3.73) cho thấy hệ thống nhân quả chỉ ổn định khi tất cả các nghiệmrkcủa hệ thống đều có trị tuyệt đối nhỏ hơn1. Ngược lại, nếu hệ thống là phản nhân quả thì giá trị tuyệt đối này phải lớn hơn1.
Trong thực tế, mặc dù vẫn quan tâm đến các hệ thống không nhân quả, nhưng đáp ứng của hệ thống thường bắt đầu tại một thời điểm hữu hạn−n0nào đó. Bằng cách dịch trễn0bước, hệ thống dịch trễ trở thành nhân quả, do đó giáo trình này chỉ quan tâm đến hệ thống nhân quả và ổn định mà thôi.
Chương 3. Tín hiệu và hệ thống rời rạc
Với hàm truyền H(z) cho bởi (3.76), nghiệm của đa thức ở tử số gọi lànghiệm không của hàm truyền và nghiệm của đa thức ở mẫu số gọi lànghiệm cựccủa hàm truyền. Ngoài ra, nghiệm cực là nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống (3.72). Do đó, tính ổn định của hệ thống phụ thuộc vào nghiệm cực của hệ thống, hệ thống là ổn định khi các nghiệm cực củaH(z)nằm trong vòng tròn đơn vị.