THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ IIR
5.1 Lọc tương tự
5.1.1 Các phương pháp xấp xỉ Butterworth và ChebychevChebychev
Có một số loại bộ lọc tương tự quan trọng nhưng giáo trình này chỉ quan tâm tới hai loại phổ cập nhất, đó là Butterworth và Chebychev.
Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR
“./figures/IIRnew_8” — 2012/6/11 — 17:59 — page 83 — #1
σ jΩ
2
−2
3 4
−3
−4
Hình 5.6: Nghiệm không và nghiệm cực củaH(s)H(−s)trong phương trình (5.17).
Họ bộ lọc Butterworth
Loại bộ lọc thông thấp phổ biến nhất làbộ lọc Butterworth, cũng gọi làbộ lọc phẳng tối đa*. Loại bộ lọc này có A2(−s2)được xấp xỉ bởi biểu thức
A2(Ω)= 1
1+(Ω/Ωc)2n, (5.18) trong đónlà bậc của bộ lọc vàΩclàtần số cắt†(rads/s) của bộ lọc.
TạiΩ=Ωc, đáp ứng tần số có biên độ thấp hơn3dB so với biên độ cực đạiH(0), được xác định bởiA(0). KhiΩc=1, ta gọi làtần số cắt chuẩn hóa‡và ký hiệu làΩr. Hình 5.7 mô tả A(Ω)và đáp ứng biên độ hệ thống|H(Ω)|tương ứng cho họ bộ lọc Butterworth với các bậc khác nhau và cùng có tần số cắt chuẩn hóaΩr=1 rad/s. Đáp ứng tần số là một hàm suy giảm đều, có trị cực đại tạiΩ=0và lúc số bậc càng tăng thì đáp ứng tần số càng trở nên phẳng. Đồng thời độ suy giảm ở trong miền tần số lớn hơn tần số cắt là6ndB/octave.
*Maximally flat filter.
†Cutoff frequency
‡Normalized cutoff frequency.
5.1. Lọc tương tự
“./figures/IIRnew_9” — 2012/6/11 — 18:00 — page 84 — #1
Ω Ωc
A2(Ω)
1 1
12
(a)A2(Ω)
“./figures/IIRnew_10” — 2012/6/11 — 18:00 — page 84 — #1
Ω Ωc
|H(Ω)|
1 1
p1 2
(b)|H(Ω)|
Hình 5.7: Đáp ứng tần số của họ bộ lọc Butterworth với các bậc khác nhau, và có cùng tần số cắt chuẩn hóaΩr=1rad/s.
Ví dụ 5.2 Xác định hàm truyền của bộ lọc Butterworth bậc 3 có tần số cắtΩc=1rad/s.
Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR
Áp dụng biểu thức (5.18) với bậcn=3và tần số cắtΩc=1, ta có
A2(Ω)= 1 1+(Ω)6
= 1
1+(Ω2)3
và như thế
A2(Ω)=H(s)H(−s)
= 1
1+(−s2)3
= 1
1+ −s6.
Biểu thức trên đây là một hàm hữu tỷ chứa6nghiệm cựcs=e−j2πk6 với k=0,1,...,5, được biểu diễn như trên hình 5.8. Ta chọn các nghiệm
“./figures/IIRnew_11” — 2012/6/11 — 18:00 — page 85 — #1
σ jΩ
1
−1
Hình 5.8: Giản đồ điểm cực điểm không
5.1. Lọc tương tự
Bảng 5.1: Đa thức Butterworth chuẩn hóa n 1/H(s)
1 s+1
2 s2+1.4142s+1 3 (s+1)(s2+s+1)
4 (s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1) 5 (s+1)(p2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)
6 (s2+0.5176s+1)(s2+1.4142s+1)(s2+1.9319s+1)
cực ở nửa trái mặt phẳngschoH(s), tức là các nghiệm z1=ej2π26 = −1
2+j p3
2 , z2=ej2π36 = −1, z3=ej2π46 = −1
2+j p3
2 . Do đó, ta có
H(s)= 1
(s+1)(s2+s+1)= 1
s3+2s2+2s+1.
Bảng 5.1 bao gồm đa thức Butterworth chuẩn hóa cho các bậc từ1đến6.
Họ bộ lọc Chebychev
Bộ lọc Chebychevlà một bộ lọc mà đáp ứng tần số có độ gợn sóng đều trong dải thông. Phép xấp xỉ này được xây dựng dựa trên các đa thức ChebychevCn(x)được xác định như sau:
Cn(x)=
(cos(n·arcos(x)) |x| <1,
cosh(n·arcosh(x)) |x| >1, (5.19) trong đó n là bậc của đa thức. Đây là một họ các đa thức trực giao trên khoảng(−1,1), trong đó nó có độ gợn sóng đều, có giá trị cực đại
Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR
Bảng 5.2: Đa thức Chebychev n Cn(x)
1 x
2 2x2−1 3 4x3−3x 4 8x4−8x2+1 5 15x5−20x3+5x 6 32x6−48x4+18x2−1
là1 và giá trị cực tiểu là −1. Cn(x) biến thiên cực nhanh lúc x>1. Bảng 5.2 cho ta các đa thức Chebychev được minh họa trên hình 5.9.
Ta thấy,Cn(x)là một hàm chẵn lúcnchẵn và lẻ lúcnlẻ.
Bộ lọc thông thấp Chebychevbậcncó bình phương của đáp ứng biên độ có dạng:
A2(Ω)= α 1+²2C2n³
Ω Ωc
´, (5.20)
trong đó²2 là một thông số được chọn để có độ gợn sóng thích hợp, αlà một hằng số được chọn để thỏa mãn độ khuếch đại cho tín hiệu d.c. vàΩclà tần số cắt. Đáp ứng biên độ chon=3(nlẻ) và có độ gợn sóng2dB được minh họa ở hình 5.10(a). Đáp ứng biên độ với n=4 (nchẵn) và độ gợn sóng2dB được minh họa ở hình 5.10(b).
Đáp ứng biên độ của bộ lọc Chebychev có một số tính chất quan trọng như sau. Dải thông được định nghĩa là khoảng tần số trong đó độ gợn sóng dao động giữa hai giới hạn tức là từ0 đến Ωc. Tần số cắtΩc là tần số cao nhất của đáp ứng tần số mà giới hạn của độ gợn sóng được thỏa mãn. Vượt quaΩc, ta có dải chuyển tiếp.Độ gợn sóng dải thông*, ký hiệu là r và có đơn vị là dB, được định nghĩa như sau:
r=10log10A2max
A2min =20log10 Amax
Amin, (5.21)
trong đóAmaxvàAminlà giới hạn cực đại và cực tiểu của độ gợn sóng
*Passband ripple.
5.1. Lọc tương tự
“./figures/IIRnew_12” — 2012/6/11 — 18:00 — page 86 — #1
x Cn(x)
0
n=1 n=2 n=3
n=4 n=5 n=6
1 1
−1
Hình 5.9: Gợn sóng dải triệt trong dải thông. Phương trình (5.20) cho ta
Amax=α, (5.22)
Amin= α
1+²2. (5.23)
Từ đó ta suy ra
r=10log10(1+²2) (5.24)
và
²2=10r/10−1. (5.25) Độ triệt tại một tần số trong dải triệt sẽ tăng nếu ta tăng độ gợn sóng. Như thế, khi chọn bộ lọc Chebychev thì hiện tượng này là điều
Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR
“./figures/IIRnew_13” — 2012/6/11 — 18:00 — page 87 — #1
Ω A2(Ω)
0 α
1+α²2
(a)nlẻ
“./figures/IIRnew_14” — 2012/6/11 — 18:00 — page 87 — #1
Ω A2(Ω)
0 α
α 1+²2
(b)nchẵn
Hình 5.10: Gợn sóng dải thông
kiện trao đổi giữa chất lượng lọc trong dải triệt và độ méo trong dải thông.
Số cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) trong dải thông bằng bậc của bộ lọc. TạiΩ=0, A(Ω)đạt cực đại nếu nlẻ và cực tiểu nếu n chẵn.
Nếu ta muốn có độ khuếch đại d.c. là đơn vị thì đối với bộ lọc bậc lẻ chọnα=1 và đối với bộ lọc bậc chẵn chọn α=1+²2. Nếu ta muốn chọnAmax=1thì chọnα=1.
5.1. Lọc tương tự
Tần số cắtΩccủa bộ lọc Chebychev không có cùng tính chất như đối với bộ lọc Butterworth. Trong trường hợp bộ lọc ButterworthΩc là tần số cắt ở3dB, còn trong trường hợp ChebychevΩclà tần số lớn nhất thỏa mãn điều kiện gợn sóng của dải thông. Đặc tính này rất quan trọng lúc thiết kế bộ lọc Chebychev.
Ví dụ 5.3 Xác định hàm truyền của bộ lọc Chebychev bậc2có độ gợn sóng trong dải thông là 1 dB, tần số cắt là Ωc=1 rad/s và độ khuếch đại tại d.c. là đơn vị.
Theo công thức (5.25) ta có
²=p
10r/10−1=0,25892541.
Từ bảng 5.2 và phương trình (5.20) ta có
A2(Ω)= 1,2589254
1,0357016Ω4−1,0357016Ω2+1,2589254. và viết theoslà
A2(s)= 1,2589254
1,0357016s4+1,0357016s2+1,2589254 Như vậy,H(s)H(−s)có4nghiệm cực sau:
s1= −0,54886717336682+0,89512857959049i, s2= −0,54886717336682−0,89512857959049i, s3=0,54886717336682+0,89512857959049i, s4=0,54886717336682−0,89512857959049i.
Ta chọn2cực ổn định làs1vàs2để xây dựngH(s). Cuối cùng, ta tìm được
H(s)= 1,1025103
s2+1,0977343s+1,1025103.
Dựa trên bộ lọc thông thấp, có một số biến đổi cho phép ta thiết kế những bộ lọc thông dải, triệt dải và thông cao. Các biến đổi này sẽ được trình bày ngắn gọn trong các phần tiếp theo.
Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR
5.1.2 Phép biến đổi một bộ lọc thông thấp thành bộ