TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
3.2 Tín hiệu rời rạc
3.2.2 Phân loại tín hiệu
Chương 3. Tín hiệu và hệ thống rời rạc
3.2. Tín hiệu rời rạc
Ví dụ 3.2(Tín hiệu rời rạc tuần hoàn) Xét tín hiệu rời rạc x(n)=cos(2πf0n),
trong đó f0là một hằng số dương. Ta biết rằng,cos(t)tuần hoàn với chu kỳ2π, tức làcos(t+2π)=cos(t). Tuy nhiên, muốn biếtx(n)có tuần hoàn hay không, ta phải tìm xem có hiện hữu một số nguyên dương Nlớn thỏa mãn điều kiện (3.14) hay không, tức là ta phải có
cos(2πf0n+2πf0N)=cos(2πf0n).
Điều kiện trên chỉ được thỏa mãn nếu f0N là một số nguyên dương.
Từ điều kiện này, ta suy ra f0 phải là một số hữu tỉ p/q, lúc đó ta chỉ cần chọn N=kqthì điều kiện tuần hoàn được thỏa mãn.
Một cách tổng quát, khi lấy mẫu một tín hiệu liên tục tuần hoàn, nếu vận tốc lấy mẫu không có mối liên hệ hữu tỉ với chu kỳ của tín hiệu liên tục thì chắc chắn tín hiệu rời rạc sẽ không bao giờ được lặp lại, có nghĩa là tín hiệu rời rạc không tuần hoàn. Đối với một tín hiệu rời rạc tuần hoàn có chu kỳNthì công suất trung bình của nó là:
P= 1 N
NX−1
n=0|x(n)|2 (3.15)
Nếu tín hiệu tuần hoàn không có mẫu có giá trị vô cực thì công suất trung bình của nó luôn luôn hữu hạn.
Tín hiệu chẵn và tín hiệu lẻ
Một tín hiệu thực x(n)được gọi làtín hiệu chẵnnếu
x(−n)=x(n), (3.16)
với mọi n. Tín hiệu chẵn cũng được gọi là tín hiệu đối xứng, được minh họa trên hình 3.6(a). Một tín hiệu thực x(n) được gọi là tín hiệu lẻnếu
x(−n)= −x(n), (3.17)
với mọin. Tín hiệu lẻ được gọi là tín hiệu phản đối xứng, được minh họa trên hình 3.6(b). Chú ý là đối với tín hiệu lẻ,x(0)phải triệt tiêu.
Chương 3. Tín hiệu và hệ thống rời rạc
“./figures/SignalsSystems_6” — 2012/6/11 — 18:52 — page 12 — #1
n x(n)
(a) Đối xứng
“./figures/SignalsSystems_7” — 2012/6/11 — 18:52 — page 12 — #1
n x(n)
(b) Phản đối xứng
Hình 3.6: Tín hiệu đối xứng và phản đối xứng.
Một tín hiệu x(n)bất kỳ nào cũng đều có thể phân tích thành
3.2. Tín hiệu rời rạc
hai thành phần chẵn và lẻ. Thật vậy, đặt xe(n)=1
2[x(n)+x(−n)] (3.18)
xo(n)=1
2[x(n)−x(−n)] (3.19)
Rõ ràng, xe(n)là một tín hiệu chẵn vàxo(n)là một tín hiệu lẻ, đồng thời x(n)được phân tích thành
x(n)=xe(n)+xo(n). (3.20) 3.2.3 Một số tính toán đơn giản trên tín hiệu
Trong lý thuyết tín hiệu và hệ thống rời rạc, một số thao tác biến đổi thời gian và biến đổi biên độ được sử dụng phổ biến.
Dịch gốc thời gian
Thao tác biến đổi thời gian thứ nhất là dịch gốc thời gian, thay thế biến độc lậpnbởin−n0 trong đón0 là một hằng số nguyên, có thể âm hay dương. Thao tác này được biểu diễn toán học bằng toán tử dịch trễ thời gianDn0{·}:
Dn0{x(n)}=x(n−n0). (3.21) Nếun0>0thì thao tác này dịch trễ tín hiệun0bước và nếun0<0thì nó làm sớm (kéo lùi) tín hiệu|d| bước. Hình 3.7 minh họa dịch trễ và kéo lùi tín hiệu. Đối với tín hiệu liên tục, thực thi toán tử dịch trễ thời gian rất phức tạp còn toán tử kéo lùi thời gian là bất khả thi.
Ngược lại đối với tín hiệu rời rạc,x(n)được ghi lại trong bộ nhớ cho nên dịch trễ thời gian hay kéo lùi thời gian củax(n)trở nên rất đơn giản.
Đổi chiều thời gian
Thao tác thứ hai của biến đổi thời gian làđổi chiều thời gian, thay thế biến độc lập nbằng−n, như được mình họa trên hình 3.8.
Chương 3. Tín hiệu và hệ thống rời rạc
“./figures/SignalsSystems_8” — 2012/6/11 — 18:53 — page 13 — #1
n x(n)
1 2 3 4 5 6
(a) Tín hiệu ban đầu
“./figures/SignalsSystems_9” — 2012/6/11 — 18:52 — page 13 — #1
n x(n+1)
−1 1 2 3 4 5
(b) Tín hiệu lùi 1 bước
“./figures/SignalsSystems_10” — 2012/6/11 — 18:52 — page 13 — #1
n x(n−1)
1 2 3 4 5 6 7
(c) Tín hiệu trễ 1 bước
Hình 3.7: Minh họa tín hiệu trễ và tín hiệu lùi.
Thao tác này được biểu diễn toán học bằng toán tử đổi chiều thời gianI{·}:
I{x(n)}=x(−n). (3.22)
Lưu lý là dịch gốc thời gian và đổi chiều thời gian không có tính khả hoán. Thật vậy, nếu thực hiện đổi chiều thời gian củax(n)trước rồi sau đó dịch gốc nó đin0bước, kết quả là
Dn0{I{x(n)}}=Dn0{x(−n)}=x(−n−n0). (3.23) Trong khi đó, nếu dịch gốc đin0bước trước rồi mới đổi chiều, kết quả là
I©
Dn0{x(n)}ª
=I{x(n−n0)}=x(−n+n0). (3.24) Rõ ràng, hai kết quả trên là hoàn toàn khác biệt.
3.2. Tín hiệu rời rạc
“./figures/SignalsSystems_11” — 2012/6/11 — 18:53 — page 13 — #1
n x(n)
−2 −1 1 2 3
(a) Tín hiệu gốc
“./figures/SignalsSystems_12” — 2012/6/11 — 18:53 — page 13 — #1
n x(−n)
−3 −2 −1 1 2
(b) Tín hiệu đảo
Hình 3.8: Đổi chiều thời gian.
Đổi thang thời gian
Thao tác biến đổi thời gian thứ ba làđổi thang thời gian, thay thếnbằngαntrong đóαlà một hằng số nguyên dương. Toán tử đổi thang thời gian được ký hiệu là↓α{·}:
↓α{x(n)}=x(αn) (3.25)
Thao tác đổi thang thời gian còn được gọi là giảm tốc độ lấy mẫu, như lý giải trong ví dụ sau.
Ví dụ 3.3(Giảm tốc lấy mẫu và đổi thang thời gian) Thật vậy, xét tín hiệu liên tụcxa(t). Ta có thể lấy mẫuxa(t)với hai chu kỳ lấy mẫu khác nhauT1vàT2để có hai tín hiệu rời rạc khác nhau. Giả sử, chu kỳ lấy mẫu thứ nhất là T1=T và thứ hai là T2=2T. Gọi x1(n)và x2(n) là hai tín hiệu rời rạc có được do hai quá trình lấy mẫu này, x1(n)vàx2(n)được xác định như sau:
x1(n)=xa(nT) (3.26)
x2(n)=xa(n2T) (3.27)
Có thể thấy ngayx2(n)=x1(2n). Đây chính là kết quả đổi thang thời gian vớiα=2, tức là x2(n)=↓2{x1(n)}.
Chương 3. Tín hiệu và hệ thống rời rạc
Khuếch đại tín hiệu
Đối với biến đổi biên độ của tín hiệu, một thao tác quan trọng làkhuếch đại tín hiệu, nhân tất cả các mẫu của một tín hiệu với cùng một hằng sốa
y(n)=ax(n), (3.28)
với mọin. Cộng tín hiệu
Đối với tính toán trên nhiều tín hiệu, ta có thao táccộng tín hiệu. Tổng của hai tín hiệux1(n)vàx2(n)là một tín hiệuy(n)có mẫu tại mỗi thời điểmnđược xác định bởi tổng của hai mẫu củax1(n)và x2(n)tại cùng thời điểm đó:
y(n)=x1(n)+x2(n), (3.29) với mọin.
Nhân tín hiệu
Tương tự, một thao tác biến đổi biên độ khác lànhân tín hiệu. Tích của hai tín hiệu x1(n)và x2(n) là một tín hiệu y(n)có mẫu tại mỗi thời điểmnđược xác định bởi tích của hai mẫu củax1(n)vàx2(n) tại cùng thời điểm đó:
y(n)=x1(n)·x2(n) (3.30) với mọin.