®o¸n nµy l¹i gi¶ ®Þnh chøng minh tÝnh gi¶ dèi cña c¸c ph¸n ®o¸n kh¸c m©u thuÉn víi nã, v× ch©n thùc vµ gi¶ dèi n»m trong quan hÖ phñ ®Þnh lÉn nhau.
TÊt c¶ nh÷ng c¸i ®ã x¸c ®Þnh b¶n chÊt cña chøng minh: ®ã lµ h×nh thøc t− duy, mµ nhê ®ã trªn c¬ së mét sè tri thøc ch©n thùc ng−êi ta x¸c lËp tÝnh ch©n thùc hay gi¶ dèi cña c¸c tri thøc kh¸c.
H×nh thøc ng«n ng÷ thÓ hiÖn chøng minh lµ c¸c kÕt cÊu ng«n ng÷ t−¬ng
®èi phøc t¹p ®−îc cÊu thµnh tõ mét sè c¸c mÖnh ®Ò liªn hÖ víi nhau theo c¸ch x¸c ®Þnh ®Ó chuyÓn t¶i chuçi c¸c suy luËn.
1.2. Vai trß vµ ý nghÜa cña chøng minh. Nh− tõng suy luËn riªng rÏ, chøng minh còng nh»m môc ®Ých mang l¹i tri thøc gi¸n tiÕp. Nh−ng nÕu sø mÖnh cña suy luËn lµ rót ra tri thøc míi, th× chøng minh l¹i chuyÓn träng t©m sang viÖc x¸c ®Þnh tÝnh ch©n thùc hoÆc gi¶ dèi cña tri thøc ®ang cã.
Chøng minh cã mÆt ë mäi khoa häc. NhiÖm vô cña mäi khoa häc – kh«ng chØ kh¸m ph¸ ra vµ lín tiÕng tuyªn bè vÒ ch©n lý ®−îc t×m ra, mµ cßn ph¶i chøng minh chóng. To¸n häc lµ h×nh mÉu tiªu biÓu cña m«n khoa häc chÆt chÏ, mµ trong ®ã hÇu nh− tÊt c¶ ®Òu ph¶i ®−îc chøng minh. To¸n häc lµ toµ l©u
®µi ®å sé c¸c chøng minh dùa c¬ së trªn kh«ng nhiÒu c¸c tiªn ®Ò, ®Þnh ®Ò.
Cã nh÷ng luËn ®iÓm tõ bÊy l©u nay ch−a thÓ ®−îc coi lµ ch©n thùc hay gi¶ dèi, khi ch−a cã chøng minh t−¬ng øng.
Trong thùc tÕ, mét luËn ®Ò cã thÓ ®−îc chøng minh nhê c¸c luËn cø kh¸c nhau, cßn mét luËn cø cã thÓ sö dông ®Ó chøng minh nh÷ng luËn ®Ò kh¸c nhau.
2.1.3. LuËn chøng. Qu¸ tr×nh s¾p xÕp, tæ chøc c¸c luËn cø theo m¹ch l«gÝc x¸c ®Þnh gäi lµ luËn chøng. X−¬ng sèng l«gÝc cña luËn chøng lµ quan hÖ kÐo theo. NÕu luËn ®Ò ®−îc rót ra mét c¸ch l«gÝc tõ c¸c luËn cø, th× ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ, cã c¬ së ®Çy ®ñ cho nã; vµ ng−îc l¹i, nÕu c¸c luËn cø lµ cÇn vµ ®ñ, th×
tÊt yÕu l«gÝc rót ra luËn ®Ò tõ chóng.
NÕu nh− c¸c ph¸n ®o¸n thùc hiÖn chøc n¨ng cña luËn ®Ò vµ luËn cø, th×
chøc n¨ng luËn chøng do c¸c suy luËn thùc hiÖn. Nh− vËy, chøng minh lµ hÖ thèng c¸c suy luËn ®−îc s¾p xÕp theo c¸ch x¸c ®Þnh, mµ kÕt luËn cuèi cïng cña chuçi suy luËn Êy chÝnh lµ luËn ®Ò.
2.2. C¸c kiÓu chøng minh
Phô thuéc vµo môc ®Ých, c¸ch chøng minh vµ kiÓu suy luËn dïng trong luËn chøng cã thÓ chia chøng minh ra thµnh ba nhãm chung nhÊt.
2.2.1. Chøng minh vµ b¸c bÎ
Chøng minh cã c¸c môc ®Ých kh¸c nhau – luËn chøng cho tÝnh ch©n thùc cña luËn ®Ò hoÆc tÝnh gi¶ dèi cña nã. Phô thuéc vµo môc ®Ých Êy mµ cã hai kiÓu chøng minh: chøng minh theo nghÜa riªng cña tõ nµy vµ b¸c bÎ.
a) Chøng minh theo nghÜa riªng cña tõ lµ luËn chøng cho tÝnh ch©n thùc cña luËn ®Ò.
b) B¸c bÎ. Lµ luËn chøng cho tÝnh gi¶ dèi hoÆc kh«ng chøng minh ®−îc cña luËn ®Ò nhê c¸c luËn cø ch©n thùc.
B¸c bÎ cã c¸c d¹ng kh¸c nhau. §ã cã thÓ lµ b¸c bá luËn ®Ò, lµ phª ph¸n luËn cø, lµ chØ ra sù thiÕu mèi liªn hÖ gi÷a c¸c luËn cø vµ luËn ®Ò. NhiÒu khi b¸c bá mang tÝnh toµn diÖn: ®ông ®Õn tÊt c¶ c¸c bé phËn cña phÐp chøng minh.
2.2.2. Chøng minh trùc tiÕp vµ gi¸n tiÕp lµ c¸c kiÓu chøng minh cã ®−îc do ph©n chia dùa vµo c¸ch luËn chøng.
a) Chøng minh trùc tiÕp lµ chøng minh, trong ®ã ng−êi ta tæ chøc c¸c luËn cø ®Ó trùc tiÕp dÉn ®Õn tÝnh ch©n thùc hay gi¶ dèi cña luËn ®Ò. Trong c¸c
chøng minh trùc tiÕp nhiÖm vô ®Æt ra lµ: 1) t×m kiÕm nh÷ng luËn cø ®−îc thõa nhËn lµ cã tÝnh thuyÕt phôc cao; vµ 2) thiÕt lËp mèi liªn hÖ l«gÝc gi÷a c¸c luËn cø t×m ®−îc víi luËn ®Ò.
b) Chøng minh gi¸n tiÕp lµ chøng minh, trong ®ã c¸c luËn cø ®−îc tæ chøc ®Ó luËn chøng cho tÝnh ch©n thùc cña luËn ®Ò b»ng c¸ch luËn chøng cho tÝnh gi¶ dèi cña ph¶n ®Ò. Theo luËt bµi trung, nÕu mét trong sè hai luËn ®iÓm m©u thuÉn nhau lµ gi¶ dèi, th× luËn ®iÓm kia lµ ch©n thùc. Ph¶n ®Ò gi¶ dèi cã nghÜa lµ, luËn ®Ò ch©n thùc. Nh− vËy, chøng minh gi¸n tiÕp tr¶i qua c¸c giai
®o¹n sau: 1) nªu ph¶n ®Ò vµ tõ ®ã rót ra c¸c hÖ qu¶ ®Ó mong t×m trong sè chóng Ýt nhÊt lµ mét gi¶ dèi; 2) chØ ra, ®óng lµ trong sè c¸c hÖ qu¶ cã hÖ qu¶ gi¶ dèi;
3) kÕt luËn r»ng, ph¶n ®Ò kh«ng ®óng; 4) tõ sù gi¶ dèi cña ph¶n ®Ò rót ra kÕt luËn: luËn ®Ò ch©n thùc – lµ ®iÒu cÇn chøng minh.
Mét c¸ch ng¾n gän c¸c b−íc trªn ®−îc m« t¶ b»ng c«ng thøc cña luËt chøng minh gi¸n tiÕp nh− sau: (7A → B) ∧ (7A → 7B) → A
Chøng minh gi¸n tiÕp cã mét sè d¹ng nh− ph¶n chøng hoÆc ph©n liÖt.
* Chøng minh ph¶n chøng lµ c¸ch chøng minh, mµ b−íc ®Çu t×m c¸ch chøng minh tÝnh gi¶ dèi cña ph¶n ®Ò m©u thuÉn víi luËn ®Ò cÇn chøng minh;
sau ®ã dÉn ph¶n ®Ò gi¶ sö Êy ®Õn m©u thuÉn víi ch©n lý ®· ®−îc x¸c lËp, vµ cuèi cïng tõ tÝnh gi¶ dèi cña ph¶n ®Ò rót ra kÕt luËn vÒ tÝnh ch©n thùc cña luËn
®Ò ph¶i chøng minh.
Nãi riªng, trong chøng minh ph¶n chøng cã mét c¸ch gäi lµ dÉn ®Õn phi lý. NÕu nh− tõ mÖnh ®Ò A rót ra ®−îc c¶ B, lÉn phñ ®Þnh cña B (7B), th× khi ®ã phñ ®Þnh cña A sÏ lµ ch©n thùc: (A → B) ∧ (A → 7B) → 7A.
B¸c bÎ còng cã thÓ ®−îc tiÕn hµnh d−íi h×nh thøc chøng minh gi¸n tiÕp b»ng ph¶n chøng. H×nh thøc b¸c bÎ phæ biÕn nhÊt lµ rót tõ luËn ®Ò cÇn b¸c bÎ ra nh÷ng hÖ qu¶ m©u thuÉn víi ch©n lý. Dùa vµo tÝnh chÊt cña t− duy ®óng ®¾n lµ kh«ng ®−îc chøa m©u thuÉn l«gÝc, cho nªn, nÕu nh− chØ cÇn mét hÖ qu¶ l«gÝc cña luËn ®Ò lµ gi¶ dèi, th× chÝnh luËn ®Ò Êy còng gi¶ dèi.
Ng−îc l¹i, ®Ó x¸c lËp tÝnh gi¶ dèi cña luËn ®Ò, th× cã thÓ ®i chøng minh tÝnh ch©n thùc cña ph¶n ®Ò.
Trong tÊt c¶ c¸c chøng minh gi¸n tiÕp nªu trªn chØ cã hai t×nh thÕ: luËn
®Ò vµ ph¶n ®Ò. Nh−ng nÕu sè c¸c kh¶ n¨ng kh«ng h¹n chÕ ë hai: luËn ®iÓm cÇn ph¶i chøng minh vµ phñ ®Þnh cña nã, mµ nhiÒu h¬n, th× chóng ta ph¶i t×m c¸ch chøng minh kh¸c nh− giíi thiÖu d−íi ®©y.
* Chøng minh ph©n liÖt. Trong c¸ch chøng minh nµy tÝnh ch©n thùc cña luËn ®Ò ®−îc x¸c ®Þnh b»ng con ®−êng lo¹i trõ tÊt c¶ c¸c gi¶i ph¸p ®èi lËp víi nã. VÝ dô, ®Ò chøng minh hai vËt b»ng nhau, ta chøng minh r»ng vËt cÇn ph¶i chøng minh kh«ng lín h¬n, mµ còng kh«ng nhá h¬n vËt so s¸nh víi nã, vËy nã chØ cã thÓ b»ng víi vËt kia. Quan träng ë ®©y lµ ph¶i tÝnh hÕt c¸c ph−¬ng ¸n, kh¶ n¨ng cã thÓ xÈy ra, tøc lµ ®Ó phÐp tuyÓn ph¶i ®Çy ®ñ, “khÐp kÝn”.
2.2.3. C¨n cø vµo nhãm suy luËn dïng trong luËn chøng mµ ng−êi ta cßn chia ra thµnh c¸c kiÓu chøng minh nh− chøng minh diÔn dÞch, chøng minh quy n¹p, chøng minh lo¹i suy, vµ chøng minh hçn hîp.
Cuèi cïng lµ s¬ ®å cña chøng minh:
A1, A2, . . . An → T, trong ®ã T – luËn ®Ò; A – luËn cø; “→” lµ chØ quan hÖ kÐo theo gi÷a c¸c luËn cø vµ luËn ®Ò.
3. C¸c quy t¾c chøng minh 3.1. Quy t¾c ®èi víi luËn ®Ò
1) LuËn ®Ò chøng minh cÇn ph¶i ch©n thùc.
2) LuËn ®Ò ph¶i ®−îc ph¸t biÓu chÆt chÏ, chÝnh x¸c, râ rµng.
3) Ph¶i gi÷ nguyªn luËn ®Ò trong suèt qu¸ tr×nh chøng minh.
3.2. Quy t¾c ®èi víi luËn cø
1) C¸c luËn cø cÇn ph¶i ch©n thùc.
2) TÝnh ch©n thùc cña c¸c luËn cø ph¶i cã c¬ së ®éc lËp víi luËn ®Ò.
3) C¸c luËn cø kh«ng ®−îc m©u thuÉn nhau.
4) Mçi luËn cø lµ cÇn, cßn tÊt c¶ chóng cïng nhau th× ph¶i lµ ®ñ ®Ó luËn chøng cho luËn ®Ò.
3.3. Quy t¾c ®èi víi luËn chøng
1) LuËn ®Ò cÇn ph¶i ®−îc tÊt suy l«gÝc tõ c¸c luËn cø.
2) Kh«ng ®−îc chøng minh vßng quanh.