50 bài tập về Giới hạn của dãy số (có đáp án 2022) – Toán 11

Các bài toán về giới hạn dãy số 1. Lý thuyết

a) Dãy số có giới hạn 0

Ta nói rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi,

|u_n| nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu: _n

nlim u 0

  hay lim u_n = 0 hay u_n 0 khi

n  

. b) Dãy số có giới hạn hữu hạn

Ta nói rằng dãy số (u_n) có giới hạn là số thực L nếu lim (u_n – L) = 0 Kí hiệu: _n

nlim u L

  hay lim u_n = L hay u_n L khi

n  

. c) Dãy số có giới hạn vô cực

y số u_n) có giới hạn à



^khi

n  

, nếu u_n có thể ớn hơn ột số dương t ể từ ột số hạng nào đó trở đi.

ý hiệu

limu_n  

ho c

u_n   khi n 

y số u_n) có giới hạn à  khi

n  

, nếu

lim   u

n

  

ý hiệu

limu_n  

ho c

u_n   khi n 

d) Một vài giới hạn đặc biệt

n n

limu   0 lim u  0 lim 1 0

n 

^; k



^*



lim 1 0, k 0, k

n   

^;

limn

^k

  , k   0,k 

^*



n

0 khi q 1

limq khi q 1

 

    

e) Định lý về giới hạn hữu hạn

* Nếu lim u_n = a và lim v_n = b và c là hằng số. hi đó ta có : lim(u_n + v_n) = a + b

lim(u_n - v_n) = a - b lim(u_n v_n) = a.b

 

n n

u a

lim , b 0

v  b 

lim(cu_n ) = c.a lim|u_n | = |a|

3 3

lim u

n

 a

Nếu u_n 0 với mọi n thì

a  0

và

lim u

_n

 a

.

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (v_n); (u_n) và (w_n):

Nếu

     

n n n ^*

n n

v u w , n N

lim v lim w a

    

 

 



^{thì lim un = a.}

Hệ quả: Cho hai dãy số (u_n) và (v_n):

Nếu

*

n n

n

u v , n N lim v 0

   

 

 

^{thì lim un = 0.}

f) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

* Quy tắc tìm giới hạn tích lim (u_nv_n)

Nếu limu_n  L 0, lim v_n  (hay ). hi đó: lim (unv_n)

lim u

n

= L lim v

n

lim (u

n

v

n

)

+  

+

_{ }

- 



-

_



* Quy tắc tìm giới hạn thương ⁿ

n

limu v

lim u

n

= L lim v

n

D u của v

n

n n

limu v

L  Tùy ý 0

L > 0

0 + 

0 -

_

L < 0

0 +

_

0 - 

g) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Xét c p số nhân vô hạn u1; u₁q; u₁q²; … u1qⁿ; … có công ội |q| < 1 được gọi à c p số nhân ùi vô hạn.

Tổng của c p số nhân ùi vô hạn à 1 1 1 ^{2 1}

 

S u u q u q .... u q 1

     1 q 



2. Các dạng toán

Dạng 1. Tính giới hạn sử dụng một vài giới hạn đặc biệt Phương pháp giải:

Sử dụng các giới hạn đ c biệt:

n n

limu   0 lim u  0 lim 1 0

n 

; k



^*



lim 1 0, k 0, k

n   

;

limn

^k

  , k   0,k 

^*



n

0 khi q 1

limq khi q 1

 

    

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)

1

₂

lim n

b) ₂

1

lim n   n 3

c) 1

limn n

Lời giải Áp dụng công thức tính giới hạn đ c biệt, ta có:

a)

1

₂

lim 0

n 

b) ₂

1

lim 0

n n 3 

 

c)

1

lim 0

n n 

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)

1

n

lim 2

   

 

b)

5

n 1

lim 4

 



   

c) lim (-0,999)ⁿ

Lời giải a)

1

n

lim 0

   2

   

^vì

1 1 2  b)

5

n 1

lim 4

   



   

^vì

5 1 4 

c) lim (-0,999)ⁿ = 0 vì |-0,999| < 1.

Dạng 2. Tính giới hạn hữu hạn của phân thức Phương pháp giải:

Trường hợp ũy thừa của n: Chia cả tử và và mẫu cho n^k (với n^k à ũy thừa với số ũ lớn nh t).

Trường hợp ũy thừa ũ n Chia cả tử và mẫu cho ũy thừa có cơ số lớn nh t.

Sử dụng một vài giới hạn đ c biệt:

n n

limu   0 lim u  0 lim 1 0

n 

; k



^*



lim 1 0, k 0, k

n   

;

limn

^k

  , k   0,k 

^*



n

0 khi q 1

limq

khi q 1

 

    

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau a)

3 2

4 3

2n 3n 4 lim n 4n n

  

 

b)

 

 

n n

n 1 n 1

5 4

lim 7 ^ 4 ^

 

 

c) 2

2n n 1 lim n 2 n 3



 

Lời giải

a)

3 2

4 3

2n 3n 4 lim n 4n n

  

 

3 2

4

4 3

4

2n 3n 4

lim n

n 4n n

n

  

  

2 4

3

2 3 4

n n n

lim 4 1

1 n n

  



 

0 0 4 1 0 0 0

  

 

 

Vì

2

lim 0,

n  3

₂

lim 0,

n  4

₄

lim 0

n 

,

4 lim 0

n 

và

1

₃

lim 0

n 

.

b)

 

 

n n

n 1 n 1

5 4

lim

7 ^ 4 ^

 

 

     

     

n n

n 1 n 1

n 1 n 1

n 1 n 1

5 4

7 7

lim

7 4

7 7

 

 

 

 

 

 

  

n n

n 1

1 5 1 4

. .

7 7 7 7

lim

1 4

7



    

   

     

    

1 1

.0 .0

7 7 0

1 0

  

 



Vì

n n

5 4

lim lim 0

7 7

      

     

   

c) 2

2n n 1 lim n 2 n 3



 

2 2

2

2n n 1 lim n

n 2 n 3 n



  

2

2

2 1

n n

lim 2 3

1 n n n





 

0 0 1 0 0 0

  

 

Vì 2

lim 0,

n 

1

₂

lim 0

n 

, 2

lim 0,

n n 

3

₂

lim 0

n 

. Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)

2 2

5n 3n 7

lim n

 

b)

2 2

4n n 2 lim 2n n 1

  

 

c)

2n 2 n

lim n

 

d)

n

n n

lim 4

2.3  4

Lời giải a)

2 2

5n 3n 7

lim n

  ²

2 2 2

5n 3n 7

lim n n n

 

    

  ²

3 7

lim 5 5

n n

 

    

 

b)

2 2

4n n 2 lim 2n n 1

  

 

2 2 2

2

4n n 2 lim n

2n n 1 n

  

  

2

2

1 2

4 n n 4

lim 2

1 1 2

2 n n

   

   

 

c)

2n 2 n

lim n

 

²ⁿ_n ^{2 n}_n

lim n

n

 



2 2 1

lim n 2 1

1

    

d)

n

n n

lim 4

2.3  4

n n

n n

n n

4 lim 4

3 4

2. 4 4





ⁿ

lim 1 1

2. 3 1 4

 

  

  

Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp

Phương pháp giải: Sử dụng các công thức liên hợp thường sử dụng trong các bài toán chứa căn)

a b

a b

a b

  

 a b

a b

a b

  

 a b

2

a b

a b

  

 a b

2

a b

a b

  



3 3

2 2

3 3 3

a b

a b

a ab b

  

 

3 3

2 2

3 3 3

a b

a b

a ab b

  

 

3 3

2 2

3 3

a b a b

a a.b b

  

 

3 3

2 2

3 3

a b a b

a a.b b

  

 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim  n

²

  7 n

²

 5 

b)

lim  n

²

  1 n 

c)

lim  n

²

 3n   5 n 

Lời giải a)

lim  n

²

  7 n

²

 5  22 2 2

n 7 n 5

lim

n 7 n 5

  

   

2 2

lim 2 0

n 7 n 5

 

  

b)

lim  n

²

  1 n   2 2  2 

n 1 n n 1 n

lim

n 1 n

   

  

2 2

2 2

n 1 n 1

lim lim 0

n 1 n n 1 n

    

   

c)

lim  n

²

 3n   5 n 



²



²



2

n 3n 5 n n 3n 5 n lim

n 3n 5 n

     

   

2 2

2

n 3n 5 n lim

n 3n 5 n

  

    ²

3n 5 lim

n 3n 5 n

 

  

2 2

3n 5 n n lim

n 3n 5 n

n n

 

   2

3 5 n 3

lim 3 5 2

1 1

n n

  

  

.

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:

lim 3 n3  3n2  n 

Lời giải



^{3 3 2}



lim n  3n  n

   

 

3 2 3 2 2 3 2 2

3 3 3

3 2 2 3 3 2 2

3

n 3n n n 3n n n 3n n

lim

n 3n n n 3n n

 

       



   

 

3 2 3

3 2 2 3 3 2 2

3

n 3n n lim

n 3n n n 3n n

 



   

 

2

3 2 2 3 3 2 2

3

lim 3n

n 3n n n 3n n



   

 

2 2

3 2 2

3 3 3 2 2

2 2 2

3n lim n

n 3n n n 3n n

n n n



   



^{3 2}



^{2 3 2}

3 3

6 3

lim 3

n 3n n 3n

n n 1



   

2 3 3

3 3

lim 1

1 1 1

3 3

1 1 1

n n

  

       

 

 

Dạng 4: Tính giới hạn ra vô cực dạng chứa đa thức hoặc căn thức Phương pháp giải:

t c ớn nh t của đa thức à nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (u_nv_n)

Nếu limu_n  L 0, lim v_n  (hay ). hi đó: lim (unv_n)

lim u

_n

= L lim v

_n

lim (u

_n

v

_n

)

+  

+

_{ }

- 



-

_



Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)

lim n 

⁴

 2n

²

 3 

b)

lim   2n

³

 3n 1  

c)

lim 5 

ⁿ

 2

ⁿ



Lời giải

a)



^{4 2}



⁴ 2 4

2 3

lim n 2n 3 lim n 1

n n

 

       

limn⁴   ^; 2₂ 3₄

lim 1 1 0

n n

    

 

  ^.

b)



³



³ 2 3

3 1

lim 2n 3n 1 lim n 2

n n

 

        

limn³   ^; 3₂ 1₃

lim 2 2 0

n n

     

 

 

c) ^{lim 5}



^{n 2n}



^{lim 5 . 1n 2 n}

5

    

        

Vì

lim5

ⁿ

 

và

2 n

lim 1 1 0

5

    

   

   

  ^.

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau a)

lim 2n   n

³

 2n  2 

b)

lim n 

²

 n 4n 1  

Lời giải a)

lim 2n   n

³

 2n  2 

3

2 3

2 2

lim 2n n 1

n n

  

      

2 3

2 2 2

lim n n 1

n n

n

 

       

 

lim n n   ;

2 2

₂

2

₃

lim 1 0 1 1 0

n n

n

 

       

 

 

b)

lim n 

²

 n 4n 1  

2 2

2

4 1 lim n n. n

n n

  

     

2

2

4 1

lim n 1

n n

 

      

 

Vì limn²   và

4 1

₂

lim 1 1 0

n n

 

   

 

 

^.

Dạng 5: Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức Phương pháp giải:

t c ớn nh t của tử và mẫu ra à nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (u_nv_n)

Nếu limu_n  L 0, lim v_n  (hay ). hi đó: lim (u_nv_n)

lim u

n

= L lim v

n

lim (u

n

v

n

)

+  

+

_{ }

- 



-

_



Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)

4 3

3

2n 3n 2 lim n 2

 



b)

  

²



³

5 3

2n 1 3n 2 lim 2n 4n 1

 

  

Lời giải

a)

4 3

3

2n 3n 2 lim n 2

 



4

4

3

3

3 2 n 2

n n

lim 2

n 1 n

   

 

 

   

 

4

3

3 2 2 n n lim n.

1 2 n

   

 

   



 

 

limn  

; ⁴

3

3 2

2 n n

lim 2 0

1 2 n

   



.

b)

  

²



³

5 3

2n 1 3n 2 lim 2n 4n 1

 

  

 

^{2 3} 2 ³ 5

2 5

1 2

n 2 . n 3

n n

lim 4 1

n 2

n n

     

   

   

       

 

3 2 2

2 5

1 2

2 3

n n

lim n .

4 1

2 n n

    

  

  

  

  

limn²   ;

3 2 3

2 5

1 2

2 3

n n 2.3

lim 27 0

4 1 2

2 n n

    

  

      

   

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau

2 4

2

3n 2n 3n 2 lim

4n 3n 2

  

  ^.

Lời giải

2 4

2

3n 2n 3n 2 lim

4n 3n 2

  

 

2

3 4

2

3 2

n 3 2

n n

lim

n 4 3 2 n

 

  

 

 

  

 

 

 

3 4

2

3 2

3 2

n n

lim n

4 3 2 n

 

  

 

 

  

 

 

 

 

limn  

;

3 4

2

3 2

3 2

n n 3 2

lim 0

4 3

4 3 2 n

 

  

 

    

  

 

 

 

.

Dạng 6: Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp Phương pháp giải:

Sử dụng định lý kẹp và hệ quả của định lý kẹp

Định lí kẹp: Cho ba dãy số (v_n); (u_n) và (w_n): Nếu

     

n n n ^*

n n

v u w , n N

lim v lim w a

    

 

 



^thì

lim u_n = a

Hệ quả: Cho hai dãy số (u_n) và (v_n): Nếu

*

n n

n

u v , n N lim v 0

   

 

 

^{thì lim un = 0.}

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)

  1

ⁿ

lim n 4





b)

 

ⁿ

n 1 n 1

1 1

lim 2 ^ 3 ^

  

  

 

 

Lời giải a) Vì

 

^{1 n} 1

n 4 n 4

 

  ^và

lim 1 0 n 4 



Nên

  1

ⁿ

lim 0

n 4

 



^.

b) Vì

 

ⁿ

n 1 n 1 n 1 n 1

1 1 1 1

2 ^ 3 ^ 2 ^ 3 ^

   

và

n 1 n 1

n 1 n 1

1 1 1 1

lim lim 0 0 0

2 3 2 3

 

 

 

         

     

      

Nên

 

ⁿ

n 1 n 1

1 1

lim 0

2 ^ 3 ^

  

 

 

 

 

. Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau : a)

sin n2

lim n2 b)

1 cos n

3

lim 2n 3





Lời giải a) Vì

sin n2 1 n 2  n 2

  ^và

lim 1 0 n 2 



Nên

sin n2

lim 0

n 2 

 b) Vì

1 cos n3 2 2n 3 2n 3

 

  ^và

lim 2 0

2n 3 



Nên

1 cos n

3

lim 0

2n 3

 



^.

Dạng 7: Giới hạn dãy số có công thức truy hồi Phương pháp giải:

Cho dãy số (u_n) ở dạng công thức truy hồi, biết (u_n) có giới hạn hữu hạn Giả sử lim u_n = a (a là số thực) thì lim u_n+1 = a.

Thay a vào công thức truy hồi. Giải phương tr nh t a.

Ta được giới hạn của (un) là lim u_n = a.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm lim u_n biết (u_n) có giới hạn hữu hạn và

 

n ¹ n * n 1

n

u 1

u : 2u 3

u , n

u 2



 

 

  

 



.

Lời giải Giả sử lim u_n = a, hi đó i u_n+1 = a

Suy ra

2a 3 a a 2

 



a

2

2a 2a 3

     a

²

 3

  a 3.

Do _{1 n 1} ^{n *}

n

2u 3

u 1 0, u 0 n

u 2



      

 ^nên a  0 a 3

V y limu_n  3^.

Ví dụ 2: Tìm lim u_n biết (u_n) có giới hạn hữu hạn và

 

n ¹ *

n 1 n

u 2

u :

u _ 2 u , n

 

   

 ^.

Lời giải Vì

u

₁

 2  0;u

_{n 1}

 2  u

_n

 0

Giả sử lim u_n = a a > 0), hi đó i u_n+1 = a

Suy ra a 2a

 a

²

  a 2

a² a 2 0 ^{a 1 (Loai)} a 2

  

       ^. V y lim u_n = 2.

Dạng 8: Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn Phương pháp giải:

* Rút gọn (u_n) (sử dụng tổng c p số cộng, c p số nhân ho c phương pháp à trội)

* Rồi tìm lim u_n theo định lí ho c dùng nguyên í định lí kẹp.

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (u_n) và (w_n): Nếu

     

n n n ^*

n n

v u w , n N

lim v lim w a

    

 

 



^thì

lim u_n = a

Hệ quả: Cho hai dãy số (u_n) và (v_n): Nếu

*

n n

n

u v , n N lim v 0

   

 

 

^{thì lim un = 0.}

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)

lim 1.3 1 3.5 1 ...  2n 1 2n 1  1 

 

  

   

 

b) ^lim



^{1 3 31 22 333 4 ... n}... 3 . n 1ⁿ

  

    

     

Lời giải a)

lim 1.3 1 3.5 1 ...  2n 1 2n 1  1 

 

  

   

 

  

1 2 2 2

lim . ...

2 1.3 3.5 2n 1 2n 1

 

         

1 1 1 1 1 1 1

lim . ...

2 1 3 3 5 2n 1 2n 1

 

          

1 1 1

lim 1

2 2n 1 2

 

    

b) ^{L lim}



^{1 3 31 22 333 4 ... n}... 3 . n 1ⁿ

  

    

      

Xét tử số: Ta th y 1; 2; 3; 4; … ; n là một dãy số thuộc c p số cộng có n số hạng với u₁

= 1 và d = 1.

Tổng n số hạng của c p số cộng:



1 n

  

n

u u n 1 n n

S .

2 2

 

 

Xét mẫu số: Ta th y 1; 3 ; 3² ; 3³ ; … ; 3ⁿ là một dãy số thuộc c p số nhân có (n+1) số hạng với u₁ = 1 và q = 3.

Tổng (n + 1) số hạng của c p số nhân:

n 1 n 1 n 1

n 1 1

1 q 1 3 3 1

S u . .

1 q 1 3 2

  



  

  

 

hi đó :

 

n 1

1 n n L lim 2

3 1

.(n 1) 2





  

^{n 1}

lim n

3

^

1

 

Vì

n n

n 1 n n n

n n n 2 2

3

^

1 3.3 1 3 3 3

       

   

^và

2

n

lim 0

   3

   

Nên _{n 1}

n

L lim 0

3

^

1

 



(Bằng quy nạp ta luôn có

n  2 , n

ⁿ

 

^* và

n *

3    1, n  3

^{n 1}

 3

ⁿ

 2.3

ⁿ

  2 1  3

^{n 1}

  1 3

ⁿ).

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: 1 3 5 2n 1 lim 2 4 6 2n

     

 

 

Lời giải Xét _n

1 3 5 2n 1

u 2 4 6 2n

    

Ta có

2k 1 2k 1

₂

2k 1

₂

2k 1 ,  k * 

2k 4k 4k 1 2k 1

        

 

^.

1 1

2 3

3 3

4 5

...

2n 1 2n 1

2n 2n 1

 



 

 



    

1 3 2n 1 1 3 2n 1

. ...

2 4 2n 3 5 2n 1

 

   



n

u 1

  2n 1

 ^.

o đó _n

1

u , n

 2n 1 



^và

lim 1 0

2n 1 



Nên lim u_n = 0.

V y 1 3 5 2n 1

lim 0

2 4 6 2n

     

 

  ^.

Dạng 9: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp giải:

Tổng của c p số nhân ùi vô hạn à 1 1 1 ^{2 1}

 

S u u q u q .... u q 1

     1 q 



Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

a)

1 1 1

S 1      2 4 8

b) ^{S 1 0,9  }

   

^{0,9 2  0,9 3}

Lời giải

a)

1 1 1

S 1      2 4 8

là tổng c p số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1 và

1 q  2

^.

Nên

1 1 1 1

S 1 2

2 4 8 1 1

2

      



^.

b) ^{S 1 0,9  }

   

^{0,9 2  0,9 3} là c p số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1 và q = 0,9.

Nên

S 1 0,9     0,9

²

0,9

³

1 10

1 0,9

     



^.

Ví dụ 2: Biểu diễn các số th p phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:

a) a0,32111...

b) b2,151515...

Lời giải

a) Ta có

32 1

₃

1

₄

1

₅

a 0,32111... ...

100 10 10 10

     

Vì

1

₃

1

₄

1

₅

10  10  10  ...

là tổng của c p số nhân lùi vô hạn với ₁

1

₃

u  10

và

1 q  10

Nên

3

1

32 10 289

b 100 1 1 900 10

  



.

b) Ta có

15 15

₂

15

₃

b 2,151515... 2 ...

100 100 100

     

Vì

15 15

₂

15

₃

100  100  100  ...

là tổng của c p số nhân lùi vô hạn với ₁

15 u  100

và

q 1

 100

Nên

15 100 71 b 2

1 33 1 100

  



.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề Sai?

A. 3

lim 1 0

n  ^{. B.}

 

ⁿ

2

lim 1 0

n

 

. C.

1

₃

lim 1

n  

. D.

lim 1 0 n  .

Câu 2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A.

4

n

3

   

 

^{. B.}

4

n

3

  

 

 

^{. C.}

5

n

3

  

 

 

^{. D.}

1

n

3

   

 

^. Câu 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A.

2 2

n 2n lim 5n 5n





^{. B.}

lim 1 2n 5n 5





^{. C.}

1 2n

2

lim 5n 5





^{. D.}

2

lim 1 2n 5n 5n





^.

Câu 4. Tính giới hạn

 

2

sin n!

lim n 1 ^bằng

A. 0. B. 1. C.



. D. 2.

Câu 5. Cho dãy số (u_n) với

 

n 2

1 3 5 ... 2n 1

u 3n 4

    

 

. hi đó i u_n bằng

A.

1

3

^{. B. 0. C.}

2

3

^{. D. 1.}

Câu 6. Cho dãy số (u_n) với

 

n

1 1 1

u ....

1.2 2.3 n n 1

   



. hi đó i u_n bằng

A. 2 B.1. C.

3

2

^. D. Không có

giới hạn.

Câu 7. Tính

lim n  

³

8n

³

 3n  2  bằng:

A.



^{. B.} . C. -1. D. 0.

Câu 8. Tính

lim n  

³

4n

²

 n

³



^bằng:

A.

4

 3

. B.



. C.

4

3

^{. D. -4.}

Câu 9. Tính

n n

n

3 2.5 lim 7 3.5





^bằng:

A.

2

3

^{. B.}

1

 6

. C.

1

7

^{. D.}

2

 3

. Câu 10. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là

0

?

A.

n n

2 3 lim1 2



 ^{. B.}

  

²

3

2n 1 n 3 lim n 2n

 



^.

C.

2 2

lim1 2n n 2n



 ^{. D.}

n

n n

2 1 lim 3.2 3





^. Câu 11. Cho dãy số (u_n) được xác định bởi



_n



1 n 1

n

2 2u 1 u 1, u

u 3



  

 ^{với mọi}

n 1 

. Biết dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn, lim u_n bằng:

A. -1. B. 2. C. 4. D.

2

3

^. Câu 12. Giới hạn dãy số (u_n) với

4 n

3n n u 4n 5

 



^là.

A. . B.



. C.

3

4

^{. D. 0.}

Câu 13. Chọn kết quả đ ng của

n3 2n 5 lim 3 5n

 

 ^.

A. 5. B.

2

5

^{. C. . D.}



.

Câu 14. Tổng

 

^{n 1}

n

1 1 1 1

S +...+ ...

2 4 8 2

 

 

     ^bằng:

A.

1

. B.

1

3

^{. C.}

3 .

4

^D.

2 3

Câu 15. Biểu diễn số th p phân 1,24545454545… như ột phân số:

A.

249

200

^B.

137

110

^C.

27

22

^D.

69 55

Bảng đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

C D D A A B B C D D B A D B B