Chuyên đề hình học OXYZ có lời giải chi tiết

(1)

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1)

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG b) Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C.

CMR: ABC là tam giác đều.

Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0)

Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng

30

⁰.

Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

¹ ²

2 3 5 0 2 2 3 17 0

( ) : à (d ) :

2 0 2 2 3 0

x y z x y z

d v

x y z x y z

       

 

        

 

Lập phương trình mặt phẳng đi qua

( ) d

₁ và song song với

( d

₂

)

_. Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

¹ ²

5 2

7 0 ( ) : 1 à (d ) :

2 3 16 0

5

x t

x y z

d y t v

x y z

z t

  

   

   

      

  



Viết phương trình mặt phẳng chứa ( ) à (d v₁ d₂)

Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d):

( ) : P x     y z 7 0

_;

2 5 0 ( ) :

2 3 0

x y z

d x z

   

    



Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (P).

Bài 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng(P) : 4x-3y+11z-26=0

và 2 đường thẳng:

(2)

¹ ²

3 1 4 3

( ) : à ( ) :

1 2 3 1 1 2

x y z x y z

d   v d  

   



a) CM: ( ) à (d v₁ d₂)chéo nhau.

b) Viết phương trình đường thẳng  nằm trong (P) cắt cả ( ) à (d v₁ d₂). Bài 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình

¹ ²

3 1 0

( ) : 1 à ( ) :

2 1 0

1 2 1

x z

x y z

d v d

x y

  

 

      

a) CM: ( ) à (d v₁ d₂)chéo nhau.

b) Viết phương trình đường thẳng d cắt cả ( ),(d₁ d₂)và song song với 4 7 3

( ) :

1 4 2

x y z

  



Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng ( ),(d₁ d₂)và mặt phẳng (P) có phương trình:

¹ ²

1 1 2 2 2

( ) : à ( ) :

2 3 1 1 5 2

x y z x y z

d    v d  

   



( ) : 2 P x   y 5 z   1 0

a) CM:. ( ) à (d v₁ d₂)chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng.

b) Viết phương trình đường thẳng



vuông góc với (P), cắt cả ( ),(d₁ d₂).

Bài 9: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mp( ) :2 x y 2z150 và điểm J(-1;-2;1). Gọi I là điểm đối xứng của J qua ( ) . Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết nó cắt ( ) theo một đường tròn có chu vi là 8π.

Bài 10: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với 2 mặt phẳng có phương trình lần lượt là:

(P): x+2y-4=0 và (Q): x+2y+6=0

Bài 11: Trong KG cho mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0)

(3)

Và mặt cầu (S’) đi qua 4 điểm: '( ; 0; 0), '(0; ; ),¹ ^{1 1} '(1;1; 0), '(0;1;1)

2 2 2

A B C D .

Tìm độ dài bán kính đường tròn giao tuyến của 2 mặt cầu đó.

Bài 12: Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 đường thẳng có PT:

¹ ²

5 2

( ) : à ( ) : 2

0

x t x s

d y t v d y

z z s

  

 

     

 

   

 

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d1 và I cách d2 một khoảng bằng 3. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 5.

Bài 13: Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 điểm: A(0;-1;1) và B( 1;2;1) .

Viết PT mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của đường thẳng AD và đường thẳng chứ trục Ox.

ƯỚNG DẪN GI I

Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1)

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG d) Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C.

CMR: ABC là tam giác đều.

Giải:

a Do ) OG  ( ) P n n ê n

( )_P

 OG  (1;1;1;)

( ) :1( P x 1) 1( y 1) 1( z 1) 0 hay P x ( ) : y z 3 0

          

) ì Ox : 0 (3; 0; 0) 0

b V y A

z

 

  



Tương tự :

B (0;3;0) à v C (0;3;0)

Ta có: AB=BC=CA=3 2  ABC là tam giác đều Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0)

(4)

Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng

30

⁰_.

Giải:

Giả sử mặt phẳng cần có dạng :

( ) ( )

0

( )

( ) ( )

( ) : 1( , , 0)

( ) 1 à ( ) 3 ( ) : 1

3 1

1 1 . 3 2

( ) ( ; ;1) à (0; 0;1) os30

3 . 2

( ) : 1

3 3 2 1

2

xOy xOy

xOy

x y z

a b c

a b c

x y z

Do I c v do K a

b

n n

n v n c b

b n n

x y z



  



   

         

       

   

Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

¹ ²

2 3 5 0 2 2 3 17 0

( ) : à (d ) :

2 0 2 2 3 0

x y z x y z

d v

x y z x y z

       

 

        

 

Lập phương trình mặt phẳng đi qua

( ) d

1 và song song với

( d

2

)

_. Giải:

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

(1; 1; 1); (1; 2; 2) . ( 4; 3; 1)

(4;3;1)

d d Q d d

Q

Do u u n u u

Hay n

 

            



Mặt khác:

1 2

(2; 1; 0) ; (0; 25;11)

( ) : 4( 2) 3( 1) 0 ( ) : 4 3 5 0

I d J d

Q x y z hay Q x y z

   

         

Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

¹ ²

5 2

7 0 ( ) : 1 à (d ) :

2 3 16 0

5

x t

x y z

d y t v

x y z

z t

  

   

   

      

  



Viết phương trình mặt phẳng chứa ( ) à (d v₁ d₂)

(5)

Giải:

Giả sử mặt phẳng cần lập là (Q) ta có:

¹

1 2

( ) ( )

(5;1;5) ; (5; 2;0) (0;1; 5)

à . (0;1; 5) ( ) : 3( 5) 5( 1) 5 0

( ) : 3 5 25 0

Q d

M d N d MN

v n u MN Q x y z

hay Q x y z

    

 

           

   

Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d):

( ) : P x     y z 7 0

;

2 5 0

( ) :

2 3 0

x y z

d x z

   

    



Giải:

Đường thẳng ( )d cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) chứa (d) và có VTCP là

n

^{( )}^P

( ) ( ) ( ). ( )

ó : (1; 4; 2) à M(-2;0;-1) (d) (6; 1; 5)

( ) : 6( 2) 5( 1) 0 6 5 7 0

6 5 7 0

ình hình chiê u ( ) :

7 0

d Q d P

Ta c u v n u n

Q x y z hay x y z

x y z

H d

x y z

 

         

         

   

  

      

Bài 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng(P) : 4x-3y+11z-26=0

và 2 đường thẳng:

¹ ²

3 1 4 3

( ) : à ( ) :

1 2 3 1 1 2

x y z x y z

d     v d    



c) CM: ( ) à (d v₁ d₂)chéo nhau.

d) Viết phương trình đường thẳng  nằm trong (P) cắt cả ( ) à (d v₁ d₂). Giải:

   

1 2

( ) ( ) 1 1 2 2

( ) ( )

1 2 1 2 1 2

) ó : ( 1; 2;3) (1;1; 2) à (0;3; 1) ; (4;0;3)

(4; 3; 4) . . 23 0 à éo

d d

a Ta c u u v M d M d

M M u u M M d v d ch nhau

     

 

         

(6)

1 2

) ( ) ( 2; 7;5) à ( ) (3; 1;1)

2 7 5

: ( ) :

5 8 4

b GS d P A A v d P B B

x y z

KQ AB

       

  

  

 

Bài 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình

¹ ²

3 1 0

( ) : 1 à ( ) :

2 1 0

1 2 1

x z

x y z

d v d

x y

  

 

      

c) CM: ( ) à (d v₁ d₂)chéo nhau.

d) Viết phương trình đường thẳng d cắt cả ( ),(d₁ d₂)và song song với 4 7 3

( ) :

1 4 2

x y z

  



Giải:

   

1 2

( ) ( ) 1 1 2 2

( ) ( )

1 2 1 2 1 2

) ó : (1; 2;1) ; (1; 2;3) à (0; 1;0) ; (0;1;1)

(0; 2;1) . . 8 0 à éo

d d

M M u u M M d v d ch nhau

     

 

        

   

1 1 1 1 2 2 2 2

2 1 1 2 2 1

2 1 1 2 1 2

( )

1 2

) ( ; 1 2 ; ) à ( ;1 2 ;1 3 )

( ; 2 2 2 ;1 3 )

1 3 1

1 2 2

2; 1 2;3; 2 : 1; 1; 4

4 7 3

: ( ) :

1 4 2

b GS d d A A t t t v d d B B t t t

AB t t t t t t

t t t t t t

Do d song song u AB

t t A B

x y z

KQ d



         

      

    

     

    

  

  



Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng ( ),(d₁ d₂)và mặt phẳng (P) có phương trình:

¹ ²

1 1 2 2 2

( ) : à ( ) :

2 3 1 1 5 2

x y z x y z

d    v d  

   



( ) : 2 P x   y 5 z   1 0

a) CM:. ( ) à (d v₁ d₂)chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng.

b) Viết phương trình đường thẳng



vuông góc với (P), cắt cả ( ),(d₁ d₂).

(7)

Giải:

   

1 2

( ) ( ) 1 1 2 2

( ) ( )

1 2 1 2 1 2

) ó : (2;3;1) ; (1;5; 2) à ( 1;1; 2) ; (2; 2;0)

(3; 3; 2) . . 62 0 à éo

d d

M M u u M M d v d ch nhau

      

 

          

1 2

. .MN 62

ó : ( )

. 195 u u Ta c d d d

u u

 

 

  

 

 

1 1 1 1 2

2 2 2 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

( )

) (2 1;3 1; 2) à

( 2;5 2; 2 ) ( 2 3;5 3 3; 2 2)

2 3 5 3 3 2 2

( ) (2; 1; 5)

2 1 5

1 4 3

: ( ) :

2 1 5

P

b GS d A A t t t v d B

B t t t AB t t t t t t

t t t t t t

Do P n AB

x y z

KQ

         

            

      

         

 

  

   

 

Bài 9:Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mp( ) :2 x y 2z150 và điểm J(-1;-2;1). Gọi I là điểm đối xứng của J qua ( ) . Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết nó cắt ( ) theo một đường tròn có chu vi là 8π.

Giải:

Gọi I(a;b;c) ta có:

^{( )}

2 3

1 2 1

IJ ( 1; 2; 1). IJ n

2 3

2 1 2

a b

a b c

a b c Do

c b

      

             

Nhưng trung điểm M của IJ lại nằm trên ( ) nên ta có : b= -4 và I (-5;-4;5) Ta tính được khoảng cách từ I đến ( ) là IO’=3.

Vì C=2πR0=8π nên R0=4 . => RIA IO'²AO'²  4²3² 5 Vậy: ( ) :(C x5)²  (y 4)²  (z 5)² 25

Bài 10:

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với 2 mặt phẳng có phương trình lần lượt là:

(P): x+2y-4=0 và (Q): x+2y+6=0 Giải:

Ta nhận thấy (P) song song với (Q) nên 2R=

d

( (P), (Q)).

(8)

Lấy M(0;2;0) thuộc (P) ta có:

d

( (P), (Q))=

d

( M, (Q)) = 2 5 R 5. Lúc này PT mặt cầu có dạng: (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=5

Vì C đi qua O(0;0;0) nên: a² b² c²   5 I ( ) :S x²y²z² 5 Mặt khác: Mặt phẳng song song và cách đều (P) và (Q) có PT:

(α): ⁽ ² ^{4) (} ² ⁶⁾ 2 1 0 2

x y x y

x y

        

Do ₂ ₂ ₂

2 1 0

( ) ( ) ( ) :

( ) 5

x y

I I S

I S x y z

  ^ ^{ }

 

   

     

  ⁽Cố định )

Bài 11:Trong KG cho mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0)

Và mặt cầu (S’) đi qua 4 điểm: '( ; 0; 0),¹ '(0; ; ),^{1 1} '(1;1; 0), '(0;1;1)

2 2 2

A B C D .

Tìm độ dài bán kính đường tròn giao tuyến của 2 mặt cầu đó.

Giải:

Lần lượt ta lập các PT mặt cầu với dạng tổng quát chung là:

x² y²  z² 2ax2by2cz d 0

 Với (S) ta có:

2 2 2

1 2 0

1 2 0 1

; 0 0(1)

1 2 0 2

3 2 2 2 0

c d a d

a b c d x y z x y z

b d

a b c d

  

   

             

   

     



 Với (S’) ² ² ²

1 0

4

1 7 1 7 1 7

0 ; ; 2 2 0(2)

2 4 4 2 2 2

2 2 2 0

a d

b c d a c b d x y z x y z

a b d b c d

   



                  



   

    



Từ (1) và (2) ta thấy mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến có PT:

( ) : 9 x y 9z 4 0 Vậy PT đường tròn giao tuyến cần tìm là:

₂ ₂ ₂

9 9 4 0

( ) : 1 1 1 3

( ) ( ) ( )

2 2 2 4

x y z

C x y z

   



      



(9)

Bài 12:Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 đường thẳng có PT:

¹ ²

5 2

( ) : à ( ) : 2

0

x t x s

d y t v d y

z z s

  

 

     

 

   

 

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d₁ và I cách d₂ một khoảng bằng 3. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 5.

Giải:

Vì I thuộc d1 nên I( t;-t;0)

2

2 2

( 2; 0;1) .

( ) ó (5 ; 2; 0) ( )

(5; 2; 0)

6 30 45

. ( 2;5 ; 2 4) ( ) 3

5 0 (0; 0; 0)

5 (5; 5; 0)

d u IM

d c u IM t t d I d

Qua M u

t t

u IM t t t d I d

t I

 

  

         

 



 

           

 

  

    

Vậy có 2 PT mặt cầu thõa mãn đk bài toán là:

2 2 2

1

2 2 2

2

( ) : 25

( ) : ( 5) ( 5) 25

S x y z

  

    

Bài 13:Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 điểm: A(0;-1;1) và B( 1;2;1) .

Viết PT mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của đường thẳng AD và

đường thẳng chứ trục Ox.

Giải:

Lập PT đường thẳng đi qua AB ta có:

( ) : 1 3 1 x t

AB y t

z

 

   

 



Gọi M t t( ;3 1;1)(AB)

Và N(s;0s0) thuộc Ox ^MN  ⁽^t ^{s t}^;3 ^1;1). Sử dụng :

Ox

MN AB

MN

 

 

 Ta tìm được ¹

t s 3.

(10)

Ta tìm được : ( ; 0;1) ,¹ ( ; 0; 0)¹ ( ; 0; )¹ ¹

3 3 3 2

M N O là trung điểm của MN.

Và ¹

2 2

R MN  .

Vậy: ² ² 1 ² 1

( 3) ( )

2 4

x y  z 

………. ết………

www.daythem.com.vn