BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA – QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

1

CHƯƠNG 5 ĐẠO HÀM

BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA – QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM _____________________________________________ 2 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ______________________________________________________________ 1 B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ___________________________________________________________ 2

_ DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA _________________________________________ 2

_ DẠNG 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM VÀ BẢNG ĐẠO HÀM _____________________________ 3

_ DẠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH _____________ 16

_ DẠNG 4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ______________________________________ 20

_ DẠNG 5. CHÚNG MINH ĐẲNG THỨC, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ĐẠO HÀM _______________ 26 C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN _____________________________________________________________ 27 D. LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN ______________________________________________________ 32 BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN _____________________________________________________ 41 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT _____________________________________________________________ 41 B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP __________________________________________________________ 41

_ DẠNG 1. VIẾT PTTT KHI BIẾT TIẾP ĐIỂM (TẠI ĐIỂM ) HOẶC BIẾT HOÀNH ĐỘ, TUNG ĐỘ _____ 41

_ DẠNG 2. VIẾT PTTT KHI BIẾT HỆ SỐ GÓC HOẶC SONG SONG, VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG. ____________________________________________________________________________ 48

_DẠNG 3. BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH HỆ SỐ GÓC NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA TIẾP TUYẾN ________ 54

_ DẠNG 4. VIẾT PTTT KHI BIẾT ĐIỂM MÀ TIẾP TUYẾN ĐI QUA _____________________________ 57

_ DẠNG 5. TÌM THAM SỐ ĐỂ TỪ 1 ĐIỂM TA KẺ ĐƯỢC ĐÚNG MỘT TIẾP TUYẾN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ ____________________________________________________________________________ 62

TỔNG HỢP KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ TIẾP TUYẾN ________________________________________ 64 C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN _____________________________________________________________ 65 D. LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN ______________________________________________________ 71 BÀI 3. ĐẠO HÀM CẤP CAO VÀ VI PHÂN __________________________________________________ 92 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT _____________________________________________________________ 92 B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP __________________________________________________________ 92

_ DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA MỘT HÀM SỐ _________________________________ 92

_ DẠNG 2. TÌM VI PHÂN CỦA MỘT HÀM SỐ ___________________________________________ 94 BÀI 4. ÔN TẬP CHƯƠNG V _____________________________________________________________ 96

M

m

Page

2

BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA – QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số ^{y= f x}

( )

các định trên khoảng

( )

^{a b; và} x0

( )

a b; . Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ số

( ) ( )

0

0

f x f x x x

−

− khi x→x₀ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x0, kí hiệu f '

( )

x0 hay y x'

( )

0 . Như vậy, ta có:

( ) ( ) ( )

0

0 0

0

' lim

x x

f x f x f x

x x

→

= −

−

2. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí 1. Nếu hàm số ^{y= f x}

( )

có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.

3. Ý nghĩa của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ^{y= f x}

( )

^{tại điểm} M x

(

0;f x

( )

0

)

có dạng: y=k x

(

−x0

)

+ f x

( )

0 với k = f '

( )

x0 là hệ số góc của tiếp tuyến.

b) Ý nghĩa vật lý:

– Vận tóc tức thời: ^{v t}

( )

^{=s t'}

( )

^.

– Gia tốc tức thời: ^{a t}

( )

^{=v t'}

( )

^.

– Cường độ dòng điện tức thời: ^{I t}

( )

^{=Q t'}

( )

^.

4. Đạo hàm trên khoảng: Hàm số ^{y= f x}

( )

được gọi là có đạo hàm trên khoảng

( )

^{a b;} nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

_ DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG PHÁP:

 Cần nhớ công thức:

( ) ( ) ( )

0

0 0

' lim

x x

f x f x f x

x x

→

= −

−  Phương pháp tính giới hạn của hàm số _VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hàm số ^{f x}

( )

^{=2x2+ +x 1. Tính f ' 2}

( )

^?

Lời giải

Ta có

( ) ( ) ( )

²

2 2

2 2 1 11

' 2 lim lim

2 2

x x

f x f x x

f ^→ x ^→ x

− + + −

= =

− −

( )( ) ( )

2 2

2 2 5

lim lim 2 5 9

2

x x

x x

x x

→ →

− +

= = + =

− .

Ví dụ 2. Cho hàm số y=x³−2x+1. Tính ^{y' 2}

( )

^?

Lời giải

Ta có

( ) ( ) ( )

³

1 1

1 2 1 0

' 2 lim lim

1 1

x x

y x y x x

y ^→ x ^→ x

− − + −

= =

− −

( ) (

²

) (

²

)

1 1

1 1

lim lim 1 1

1

x x

x x x

x x

→ x →

− + −

= = + − =

− .

Ví dụ 3. Cho hàm số ^{f x}

( )

^{= 2x+1. Tính f ' 1}

( )

^?

Lời giải

3

Ta có

( ) ( ) ( )

1 1

1 2 1 3

' 1 lim lim

1 1

x x

f x f x

f ^→ x ^→ x

− + −

= =

− −

( ) ( )

1 1

2 2 2 3

lim lim

2 1 3 3

1 2 1 3

x x

x

x x x

→ →

= − = =

− + + + + .

Ví dụ 4. Cho hàm số 2 1 3 y x

x

= −

+ . Tính ^{y' 3}

( )

^?

Lời giải

Ta có

( ) ( ) ( )

3 3

2 1 5

3 3 6

' 3 lim lim

3 3

x x

x

y x y x

y ^→ x ^→ x

− −

− +

= =

− − ^=limx→36

(

^x7+x3−

)(

^21x−3

)

^=limx→36

(

^x7+3

)

^{=367 .}

_BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra:

1. Cho ^{f x}

( )

^{=x3+ −x 2. Tính f '}

( )

^{−2 ? ĐS: f '}

( )

^{− =2 13}

2. Cho y= 3 2− x. Tính ^y'

( )

^{−3 ? ĐS: '}

( )

^{3 1}

y − = −3 3. Cho

( )

^{2 1}

1 f x x

x

= +

− . Tính ^{f ' 2}

( )

^{? ĐS: f ' 2}

( )

^{= −3}

_LỜI GIẢI

1. Ta có

( ) ( ) ( )

³

( )

2 2

2 2 12

' 2 lim lim

2 2

x x

f x f x x

f ^→− x ^→− x

− − + − − −

− = =

+ +

( ) (

²

) (

²

)

2 2

2 2 5

lim lim 2 5 13

2

x x

x x x

x x

→− x →−

+ − +

= = − + =

+ .

2. Ta có

( ) ( ) ( )

3 3

1 3 2 3

' 3 lim lim

3 3

x x

y x y x

y ^→− x ^→− x

− − −

− = =

+ +

( ) ( )

3 3

6 2 2 1

lim lim

3 2 3 3

3 3 2 3

x x

x

x x x

→− →−

− − −

= = = −

− +

+ − + .

3. Ta có

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

2 2 2 2

2 1

3 1 5 3 6 3

' 2 lim lim lim lim 3

2 2 1 2 2 1

x x x x

x

f x f x x

f ^→ x ^→ x ^→ x x ^→ x

+ −

− − − + −

= = = = = −

− − − − − .

_ DẠNG 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM VÀ BẢNG ĐẠO HÀM

 Quy tắc tính đạo hàm



(

^{u+ −v w}

)

^{'= + −u' v' w'}



( )

^{u v. '=u v v u' + '}

 ^{u u v v u'} ₂ ^'

v v

 −

  =

  



( )

^{k u. '=k u. ' (k )}

 Bảng đạo hàm

Hàm sơ cấp Hàm hợp



( )

^{C '=0 (C )}



( )

^{xn  =n x. n−1 (n *) }

( )

^{un n u. n−1. ' (u n *)}

Page

4



( )

^{1 ( 0)}

2

x x

x

 = 

 ^{1 1}₂ (x 0)

x x

  = − 

  



( )

^{' ( 0)}

2

u u u

u

 = 

 ¹ u₂^' ( 0) u u u

  = − 

   o Công thức nhanh



( )

²

ax b ad bc

cx d cx d

+  −

  =

 + 

  +



( )

( )

2 2

2

2

adx aex be cd ax bx c

dx e dx e

 + + −

 + +  =

 +  +

 



( )

1 1 2 1 1 1 1

2

2 2 2 2 2 2

1 1 1

2

2 2

2 2 2 2 2 2

a b 2a c b c

x x

a b a c b c

a x b x c

a x b x c a x b x c

+ +

 + +  =

 + + 

  + + (Tích huyền trừ tích sắc)

Loại 1. Làm quen nhóm công thức

( )

^{xn  =n x. n−1 và}

( )

^{u v.  =u v v u' + '}

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của hàm số y=x⁴−2x² +1.

Lời giải

3 3

' 4 2.2 4 4

y = x − x= x − x

Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của hàm số ^y=5x2

(

^3x−1

)

^.

Lời giải

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

' 5 3 1 5 . 3 1 ' 5 . 3 1 ' 10 . 3 1 5 .3 45 10

y = x x− = x  x− + x x− = x x− + x = x − x 2. Bài tập áp dụng

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. y= −2x⁴+4x²−3x+1. ĐS: −8x³+8x−3. 2. y=x³−3x²+ −x 1. ĐS: 3x²−6x+1.

3. 1 ^{5 4 3} 3 ²

4 5

2 2

y= x +x − −x x + x− . ĐS: 5 ^{4 3 2}

4 3 3 4

2x + x − x − x+ .

4. 1 1 ² 1 ⁴

4 3 2

y= − x+x − x . ĐS: 1 ³

2 2

3 x x

− + − . Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. 1 ^{5 4} 1 ^{3 2}

2 1

5 3

y= mx − x + x +m − . ĐS: mx⁴−8x³+x². 2.

4 3

1 2

4 3 3 1 x x

y= − + x + −m . ĐS: x³−x²+x.

3. ^y=3x3+2

(

^m−1

)

^{x2+ +x m2−1. ĐS: 9x2+4}

(

^m−1

)

^x+1.

Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. ^y=

(

^x2+x

)(

^3−x2

)

^{. ĐS: −4x3−3x2+6x+3.}

2. ^y=

(

^2x−1

) (

^{2 2x+1}

)

^{2. ĐS: 16x2+4.}

3. ^y=x

(

^{2x−1 3}

)(

^x+2

)

^{. ĐS: 18x2+2x−2.}

5

3. Lời giải

Bài 1. 1. y'= −2.4x³+4.2x− = −3 8x³+8x−3. 2. y'=3x²−3.2x+ =1 3x²−6x+1.

3. 1 ^{4 3 2} 3 5 ^{4 3 2}

' .5 4 3 .2 4 4 3 3 4

2 2 2

y = x + x − x − x+ = x + x − x − x+ .

4. 1 1 ³ 1 ³

' 2 .4 2 2

3 2 3

y = − + x− x = − + x− x .

Bài 2. 1. 1 ^{4 3} 1 ^{2 4 3 2}

' .5 2.4 .3 8

5 3

y = mx − x + x =mx − x +x .

2. 1 ³ 1 ² 1 ^{3 2}

' .4 .3 .2

4 3 2

y = x − x + x=x − +x x.

3. ^y'=3.3x2+2.2

(

^m−1

)

^{x+ =1 9x2+4}

(

^m−1

)

^x+1.

Bài 3. 1. ^y'=_

(

^x2+x

)(

^3−x2

) (

^_^{ = x2+x}

) (

^{ 3−x2}

) (

^{+ x2+x}

) (

^{. 3−x2}

)

^

(

^{2x 1 3}

) (

^x2

) (

^{x2 x}

) (

^2x

)

^{4x3 3x2 6x 3}

= + − + + − = − − + +

2. ^y'=_

(

^2x−1

) (

^{2 2x+1}

)

^2_^=_

(

^2x−1

) (

^_^{ 2x+1}

) (

^{2+ 2x−1 . 2}

) (

^{2 }_ ^x+1

)

^2_^

( ) (

²

)

^{2 2}

2. 2x 1 2x 1 .2 16x 4

= + + − = + .

3. ^y'=_^x

(

^{2x−1 3}

)(

^x+2

)

^_^{=x'. 2}_

(

^{x−1 3}

)(

^x+2

)

^_^{+x. 2}_

(

^{x−1 3}

)(

^x+2

)

^_^

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1. 2 x 1 3x 2  x. 2 x 1 '. 3x 2 2x 1 . 3x 2 '

=  − + +  − + + − + 

( ) ( )

1. 6 x2 x 2 x. 2. 3 x 2 2x 1 .3

=  + − +  + + − 

 

2 2 2 2

6x x 2 x 12x 1 6x x 2 12x 18x 2x 2

= + − + + = + − + = + − .

Loại 2. Làm quen nhóm công thức

( )

^{un =n u. n−1.u}

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của hàm số ^y=

(

^{x7 +x}

)

^2.

Lời giải

(

⁷

) (

⁶

) (

^{13 7}

)

^{13 7}

2 . 7 1 2 7 8 14 16 2 .

y = x +x x + = x + x +x = x + x + x Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của hàm số ^y=

(

^{x2−2x+3 2}

) (

^x+1

)

³

Lời giải

(

^{2 2 3 2}

) (

¹

)

³

(

^{2 2 3 . 2}

) (

¹

)

³

(

^{2 2 3 . 2}

) (

¹

)

³

y = x − x+ x+ = x − x+  x+ + x − x+  x+ 

(

^{2x 2 . 2}

) (

^{x 1}

)

³

(

^{x2 2x 3 . 3 2}

)

^

(

^{x 1 .2}

)

^{2 }

(

^{2x 2 . 2}

) (

^{x 1}

)

^{3 6}

(

^{x2 2x 3 2}

) (

^{x 1 .}

)

²

= − + + − +  +  = − + + − + +

2. Bài tập áp dụng

Bài 1. Tìm đạo hàm của hàm số sau

1. ^y=

(

^{2x3−3x2−6x+1}

)

^{2 . ĐS: 25x5−60x4−60x3+120x2+60x−12}

2. ^y=

(

^{x7+3x4 +2}

)

^{10. ĐS: 10}

(

^{x7+3x4+2 . 7}

) (

^{9 x6+12x3}

)

3. ^y=

(

^{x4−2x2+ −x 1}

)

^{2. ĐS: 8x7−24x5+10x4+8x3−12x2+10x−2}

Page

6

4. ^y=

(

^3x−5x2+4x3

)

¹⁰

(

^x+3

)

^5.

ĐS: ^{10 12}

(

^{x2 −10x+3}

) (

^x+5

)

⁵

(

^3x−5x2+4x3

)

⁹⁺⁵

(

^x+3

)

⁴

(

^3x−5x2+4x3

)

¹⁰

3. Lời giải

Bài 1. 1. ^{y =2 2}

(

^{x3−3x2−6x+1 . 6}

) (

^{x2−6x−6 = 2 12}

) (

^{x5−30x4−30x3+60x2+30x−6}

)

5 4 3 2

= 24x −60x −60x +120x +60x−12. 2. ^{y =10}

(

^{x7+3x4+2 . 7}

) (

^{9 x6+12x3}

)

^.

3. ^{y =2}

(

^{x4−2x2+ −x 1 . 4}

) (

^{x3−4x+1 = 2 4}

) (

^{x7−12x5+5x4+4x3−6x2+5x−1}

)

7 5 4 3 2

= 8x −24x +10x +8x −12x +10x−2. 4.

(

^{3 5 2 4 3}

)

^10.

(

³

)

^{5 =}

(

^{3 5 2 4 3}

)

^{10 .}

(

³

)

⁵

(

^{3 5 2 4 3}

)

^10.

(

³

)

⁵

y = x− x + x x+   x− x + x  x+ + x− x + x  x+ 

(

^{2 3}

) (

^{9 2}

) ( )

⁵

(

^{2 3}

)

¹⁰

( )

⁴

= 10 3 x−5x +4x . 3 10− x+12x . x+3 + 3x−5x +4x . 5 x+3 .1

(

²

) ( )

⁵

(

^{2 3}

)

⁹

( )

⁴

(

^{2 3}

)

¹⁰

= 10 12x −10x+3 x+3 3x−5x +4x +5 x+3 3x−5x +4x . Loại 3. Làm quen nhóm công thức ^{u u v v u}₂

v v

  − 

  =

   và

( )

²

ax b ad bc

cx d cx d

+  −

  =

 + 

  +

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số 2 1 1 y x

x

= +

+ .

Lời giải - Cách 1. Sử dụng công thức ^{u u v v u}₂

v v

  − 

  =

   ta được

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1

.

1 1 1

x x x x x x

y

x x x

 

+ + − + + + − +

 = = =

+ + +

- Cách 2. Sử dụng công thức nhanh

( )

²

ax b ad bc

cx d cx d

+  −

  =

 + 

  + (rèn luyên cho lớp 12 trong trắc nghiệm)

( )

²

( )

²

2.1 1.1 1 .

1 1

y

x x

 = − =

+ +

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số 2mx 1

y x m

= +

+ .

Lời giải - Cách 1. Sử dụng công thức ^{u u v v u}₂

v v

  − 

  =

   ta được

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2 2

2 1 2 1 2 1. 2 1 2 1

mx x m x m mx m x m mx m .

y

x m x m x m

 

+ + − + + + − + −

 = = =

+ + +

7

- Cách 2. Sử dụng công thức nhanh

( )

²

ax b ad bc

cx d cx d

+  −

  =

 + 

  + (rèn luyên cho lớp 12 trong trắc nghiệm)

( ) ( )

2

2 2

2 . 1.1 2 1

m m m .

y

x m x m

− −

 = =

+ +

2. Bài tập áp dụng

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. 2 1

4 3

y x x

= −

− . ĐS:

( )

²

2 4x 3

−

− .

2. 3

2 1

y= x

+ . ĐS:

( )

²

6 2x 1

− + .

3. 2 1

1 3 y x

x

= +

− . ĐS:

( )

²

5 1 3x− . 4. 1 2

5 y x

x

= −

+ . ĐS:

( )

²

11 5 x

− + . Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. mx 4 y x m

= +

+ . ĐS:

( )

2 2

4 m x m

− + .

2.

( ) ( )

2

2 1 2 1

1

m x m

y mx m

+ − +

= + − . ĐS:

( )

3 2

2 2

2 3 1

1

m m

mx m

+ −

+ − . 3. Lời giải

Bài 1. 1. - Cách 1. Sử dụng công thức ^{u u v v u}₂

v v

  − 

  =

   ta được

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 1 4 3 4 3 2 1 2 4 3 4. 2 1 2

.

4 3 4 3 4 3

x x x x x x

y

x x x

 

− − − − − − − − −

 = = =

− − −

- Cách 2. Sử dụng công thức nhanh

( )

²

ax b ad bc

cx d cx d

+  −

  =

 + 

  + (rèn luyên cho lớp 12 trong trắc nghiệm)

( ) ( )

( )

²

( )

²

2. 3 4. 1 2

.

4 3 4 3

y

x x

− − − −

 = =

− −

2. - Cách 1. Sử dụng công thức ^{u u v v u}₂

v v

  − 

  =

   ta được

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

2 2 2

3 . 2 1 2 1 .3 0. 2 1 2.3 6

.

2 1 2 1 2 1

x x x

y

x x x

 + − +  + − −

 = = =

+ + +

- Cách 2. Sử dụng công thức nhanh

( )

²

ax b ad bc

cx d cx d

+  −

  =

 + 

  + (rèn luyên cho lớp 12 trong trắc nghiệm)

Page

8

( ) (

²

)

²

0.1 2.3 6

.

2 1 2 1

y

x x

− −

 = =

+ +

3. - Cách 1. Sử dụng công thức ^{u u v v u}₂

v v

  − 

  =

   ta được

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 1 . 1 3 1 3 . 2 1 2. 1 3 3. 2 1 5

.

1 3 1 3 1 3

x x x x x x

y

x x x

 

+ − − − + − + +

 = = =

− − −

- Cách 2. Sử dụng công thức nhanh

( )

²

ax b ad bc

cx d cx d

+  −

  =

 + 

  + (rèn luyên cho lớp 12 trong trắc nghiệm)

( ) (

²

)

²

2.1 3.1 5

.

1 3 1 3

y

x x

 = + =

− −

4. - Cách 1. Sử dụng công thức ^{u u v v u}₂

v v

  − 

  =

   ta được

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

1 2 . 5 5 . 1 2 2. 5 1. 1 2 11

.

5 5 5

x x x x x x

y

x x x

 

− + − + − − + − − −

 = = =

+ + +

- Cách 2. Sử dụng công thức nhanh

( )

²

ax b ad bc

cx d cx d

+  −

  =

 + 

  + (rèn luyên cho lớp 12 trong trắc nghiệm)

( )

²

( )

²

2.5 1.1 11 .

1 3 5

y

x x

− − −

 = =

− +

Bài 2. 1. - Cách 1. Sử dụng công thức ^{u u v v u}₂

v v

  − 

  =

   ta được

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2 2

4 . . 4 . 1. 4 4

mx x m x m mx m x m mx m .

y

x m x m x m

 

+ + − + + + − + −

 = = =

+ + +

- Cách 2. Sử dụng công thức nhanh

( )

²

ax b ad bc

cx d cx d

+  −

  =

 + 

  + (rèn luyên cho lớp 12 trong trắc nghiệm)

( ) ( )

2

2 2

. 4.1 4

m m m .

y

x m x m

− −

 = =

+ +

2. - Cách 1. Sử dụng công thức ^{u u v v u}₂

v v

  − 

  =

   ta được

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2

2 1 2 1 . 1 1 . 2 1 2 1

1

m x m mx m mx m m x m

y

mx m

 

 + − +  + − − + −  + − + 

   

 = + −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 3 2

2 2

2 2

2 1 . 1 . 2 1 2 1 2 3 1

.

1 1

m mx m m m x m m m

mx m mx m

 

+ + − −  + − +  + −

= =

+ − + −

9

- Cách 2: Sử dụng công thức nhanh:

( )

²

ax b ad bc

cx d cx d

+  −

  =

 + 

  + (Rèn luyện cho lớp 12 trong trắc nghiệm)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 3 2

2 2

2 2

2 1 1 2 1 2 3 1

1 1

m m m m m m

y

mx m mx m

+ − + + + −

 = =

+ − + − .

Loại 4. Làm quen với nhóm công thức ^{u u v uv}₂

v v

  − 

  =

   và

( )

1 1 2 1 1 1 1

2

2 2 2 2 2 2

1 1 1

2

2 2

2 2 2 2 2 2

a b 2a c b c

x x

a b a c b c

a x b x c

a x b x c a x b x c

+ +

 + + =

 + + 

  + +

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số ²₂ 1

2 4.

x x

y x x

= + +

− +

Lời giải - Cách 1: Sử dụng công thức: ^{u u v uv}₂

v v

  − 

  =

   ta được

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

2 2

1 ' 2 4 2 4 1

2 4

x x x x x x x x

y

x x

+ + − + − − +  + +

 = − +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2

2 2

2 1 2 4 4 1 1 3 4 5

.

2 4 2 4

x x x x x x x x

x x x x

+ − + − − + + − + +

= =

− + − +

- Cách 2. Sử dụng công thức nhanh (Rèn luyện cho lớp 12 trong trắc nghiệm):

(

^{12 11 41}

) (

^{1.1 2.1}

)

^x2

(

₂^{2 1.4 2.12}

(

₄

)

²

) (

^{x 1.4 1.1}

) (

₂^{3x22 4x}₄

)

⁵²

y

x x x x

− − + − + + − + +

 = − = − + = − + .

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số ^{2 2}

(

¹

)

³

1 .

x m x m

y x

− − + +

= −

Lời giải - Cách 1: Sử dụng công thức: ^{u u v uv}₂

v v

  − 

  =

   ta được

( )

( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( )

2 2

2

2 1 3 1 1 2 1 3

1

x m x m x x x m x m

y

x

 

− − + + − − − − − + +

 = −

( )

( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 1 1 2 1 3 2 5

.

1 1

x m x x m x m x x m

x x

− − − − − − + + − + −

= =

− −

- Cách 2. Sử dụng công thức nhanh (Rèn luyện cho lớp 12 trong trắc nghiệm):

( )

( )

2

2

2 5

1 2 1 3 .

0 1 1 1

x x m

m m

y

x

− + −

 − − + 

 = − = −

2. Bài tập áp dụng

Page

10

1.

2 2

1 .

1 x x

y x x

= + −

− + ĐS:

(

^{2x− +24− +xx 24}

)

^{2 .}

2.

2 3 7

2 x 5 .

x x

y − +

= − ĐS:

( )

2 2

2 10 1

2 5

x x

x

− +

− . 3. ₂2 5

2. y x

x x

= −

+ + ĐS:

( )

2 2 2

2 10 9

. 2

x x

x x

− + +

+ + Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số ^{2 2}

(

²

)

^{3 1}

1 .

x m x m

y x

+ + − +

= − ĐS:

( )

2

2

2 4 2 3

. 1

x x m

x

− + −

− 3. Lời giải

Bài 1. 1. - Cách 1: Sử dụng công thức: ^{u u v uv}₂

v v

  − 

  =

   ta được

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

2 2

1 1 1 1

1

x x x x x x x x

y

x x

 

+ − − + − − + + −

 = − +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

1 2 1 1 2 1 4 2

.

1 1

x x x x x x x

x x x x

− − + − − + + − − +

= =

− + − +

- Cách 2. Sử dụng công thức nhanh (Rèn luyện cho lớp 12 trong trắc nghiệm)

(

^{11 11 11}

) (

^1.

( )

^{1 1.1}

) (

^x₂^{2 22 1.1 1.1}

(

₄

)

²

) (

^{x 1.1 1.1}

)

^.

y

x x

− − − − − + +

 = − − = − +

2. - Cách 1: Sử dụng công thức: ^{u u v uv}₂

v v

  − 

  =

   ta được

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

2

3 7 2 5 2 5 3 7

2 5

x x x x x x

y

x

 

− + − − − − +

 = −

( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 3 2 5 2 3 7 2 10 1

.

2 5 2 5

x x x x x x

x x

− − − − + − +

= =

− −

- Cách 2. Sử dụng công thức nhanh (Rèn luyện cho lớp 12 trong trắc nghiệm)

(

^{10 13 75}

)

^2x

(

²₂ ¹⁰₅^x

)

^{2 1}

y

x

− +

 = −− − = − .

3. - Cách 1: Sử dụng công thức: ^{u u v uv}₂

v v

  − 

  =

   ta được

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2

2 2

2 5 2 2 2 5 2 10 9

.

2 2

x x x x x x x x

y

x x x x

 

− + + − + + − − + +

 = =

+ + + +

- Cách 2. Sử dụng công thức nhanh (Rèn luyện cho lớp 12 trong trắc nghiệm)

( ) (

2²

)

²

2 10 9

0 2 5

1 1 2 .

2

x x

y

x x

− + +

 = − =

+ +

11

Bài 2. - Cách 1: Sử dụng công thức: ^{u u v uv}₂

v v

  − 

  =

   ta được

( )

( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( )

2 2

2

2 2 3 1 1 1 2 2 3 1

1

x m x m x x x m x m

y

x

 

+ + − + − − − + + − +

 = −

( )( ) ( ( ) )

( ) ( )

2 2

2 2

4 2 1 2 2 3 1 2 4 2 3.

1 1

x m x x m x m x x m

x x

+ + − − + + − + − + −

= =

− −

- Cách 2. Sử dụng công thức nhanh (Rèn luyện cho lớp 12 trong trắc nghiệm)

(

^{20 m12 m 11}

)

^2x2

(

^4x₁

)

^{22m 3.}

y

x

− + −

+ − +

 = − = −

Loại 5. Làm quen nhóm công thức

' 2

1 1

x x

  = −

   và

' 2

1 u'

u u

  = −

   1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1. 1

1 1 y= x +

− . 2. 9 ₄ 2 ₃

6 1

y x

x x x

= − +

+ − . 3. ₂1

3 2

y= x x + . Lời giải

1.

( )

( )

²

( )

²

1 1

0

1 1

y x

x x

− 

 = − + = −

− − .

2.

( )

( ) ( )

( )

4 3 3 2

2 2

2 4 3 2 4 3

6 1 4 18

9 9

1 2. 1 2.

6 1 6 1

x x x x

y x x x x x x

+ −  +

 = + + = + +

+ − + − .

3.

( )

( ) ( )

2

2 2

2 2

3 2 6 2

3 2 3 2

x x x

y

x x x x

+  +

 = − = −

+ + .

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1.

( )

²

1

2 5

y x

= − . 2.

(

²

)

²

4

2 5

y

x x

= − + . 3.

(

²

)

⁵

1 2

3

y x x x

= − − . Lời giải

1.

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 ' '

4 4 3

2 5 2 2 5 . 2 5 4

'

2 5 2 5 2 5

x x x

y

x x x

 −  − −

 

= − = − = −

− − − .

2.

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 ' '

2 2 2

4 4

2 2

2 5 2 2 5 . 2 5

' 4. 4.

2 5 2 5

x x x x x x

y

x x x x

 − +  − + − +

 

 

= − = −

− + − +

( )

(

²

)

³

(

²

( ) )

³

16 1 16 1

2 5 2 5

x x

x x x x

− −

= − =

− + − +

3.

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) )

5 ' 4 '

2 2 2

10 10 6

2 2 2 2 2 2

3 5 3 . 3 10 3 2

1 1 1

' 2. 2

3 3 3

x x x x x x x

y x x x x x x x x x

 −  − − −

 

 

= − = − + = −

− − −

Page

12

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số:

( )

⁶

3 5

1 2 2 1

y x x

= +

− − .

Lời giải

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

6 '

' 5 '

2 12 2 12 2 7

2 2 1

1 1 2.6 2 1 . 2 1 3 30

' 3. 5. 3. 5.

1 4 2 1 1 4 2 1 1 2 1

x x x x

y

x x x x x x

 − 

−   − −

= − − = − − = − −

− − − − − −

2. Bài tập áp dụng

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1. 1

1 2

y x

= x −

+ . ĐS:

( )

²

1 2

1 x

− −

+ .

2. ₂ 1

2 1

y= x x

− + . ĐS:

( )

³

2 1 x

− − .

3. ₂ 1

3 1

y= x x

− + . ĐS:

(

²

)

²

3 2

3 1

x

x x

−

− + . Bài 2. Tính đạo hàm củ các hàm số sau

1. ^y=

(

^{x2− +1x 1}

)

^{5 . ĐS:}

(

^{x5(5 2 )2− +−x x1}

)

^{6 .}

2. ^y=

(

^2x23−8x

)

^{4 −2x2. ĐS:}

(

^{x3(22−−4xx)}

)

^{5 −4x.}

3.

(

²

)

¹⁰

3 3 y x

x x

= − − . ĐS:

( )

(

²

)

¹¹

30 2 3 1

3 x

x x

− −

− .

4. ²

( )

⁵

1 1 1

2 5

x x x

− +

+ . ĐS:

( )

⁶

2 2

1 2 10

2 1

x x x

− + −

− . 3. Lời giải

Bài 1. 1.

( )

( )

²

( )

²

1 1

' 2 2

1 1

y x

x x

+ 

= − − = − −

+ + .

2.

( )

( )

( ) ( )

2

2 4 4 3

1 1 2( 1).( 1) 2

' 1 1 ( 1) 1

x x x

y x x x x

  − 

    − − 

=  = − = − = −

− − − −

 

 

.

3.

( )

( ) ( ) ( )

2

2 2 2

2 2 2

3 1 2 3 3 2

'

3 1 3 1 3 1

x x x x

y

x x x x x x

− +  − −

= − = − =

− + − + − +

Bài 2. 1.

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

5 4

2 2 2

10 10 6 6

2 2 2 2

1 5 1 . 1 5(2 1) 5(1 2 )

'

1 1 1 1

x x x x x x x x

y

x x x x x x x x

 − +  − + − +  − −

 

 

= = − = − =

− + − + − + − + .

2.

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 ' 3

2 2 2

8 8 5

2 2 2

2 8 4 2 8 . 2 8 3(2 )

' 3 4 3. 4

2 8 2 8 4

x x x x x x x

y x x

x x x x x x

 −  − −  −

 

 

= − − = − = −

− − −

13

3.

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

10 9

2 2 2

20 20 11

2 2 2

3 10 3 . 3 30(2 3)

' 1 3 1 3. 1

3 3 3

x x x x x x x

y

x x x x x x

 −  − −  −

 

 

= − = − = −

− − − .

4.

( ) ( )

( ) ( )

2 5

10 6

2 4 2 3

2 1

1 1 2 10

'

2 1 2 1

x x

y x x x x x x

  − 

= − + − = − + −

− −

Loại 6. Làm quen nhóm công thức

( )

^{x 1}

 = x x ,

( )

^'

2 u u

 = u và kết hợp một số công thức khác 1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1. ⁴ 1 ³

2 2 5

y= x −3x + x− . 2. ² 2

3 4 1

y x x

= − + −x . 3. y= x²+6x+7. Lời giải

1. ^{3 2} 1

' 8

y x x

x

= − + .

2. 1 1₂ 2 2₂

' 6 4. 2. 6

2

y x x

x x

x x

= − − = − − .

3.

(

²

)

^'

2 2 2

6 7 2 6 3

'

2 6 7 2 6 7 6 7

x x x x

y

x x x x x x

+ + + +

= = =

+ + + + + + .

2. Bài tập áp dụng

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1. y=x⁵−4x³+2x−3 x . ĐS: ^{4 2} 3

5x 12x 2

− + − x .

2. y= x²−2x−8. ĐS:

2

1

2 8

x

x x

−

− − .

3.y= 4x−x² . ĐS:

2

2 4

x x x

−

− Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1. y= x+ −4 4−x. ĐS: 1 1

'

2 4 2 4

y

x x

= +

+ −

2. y= −x 2 x²+3x+3. ĐS:

2 2

3 3 2 3

'

3 3

x x x

y

x x

+ + − −

= + +

3. y=2x− x²−3. ĐS:

2 2

2 3

'

3

x x

y

x

= − −

− .

4. y= +x 2x²+1. ĐS:

2 2

2 1 2

'

2 1

x x

y

x

= + +

+

5. 1 1 ²

2 2 12 3

y= x− − x . ĐS:

2 2

12 3 3

'

2 12 3

x x

y

x

− +

= − .

Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1. ^y=

(

^3x2−x

)

^2x+1.