Chinh phục các dạng toán Đại số 9 - Lương Anh Nhật - THCS.TOANMATH.com

GV. LƯƠNG ANH NHẬT

ĐẠI SỐ 9

BÁM SÁT SÁCH GIÁO KHOA

PHONG PHÚ THỰC TIỄN CHUYÊN SÂU

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC BÀI TẬP

NỘI DUNG

CHĂM CHỈ– THÀNH TÀI– MIỆT MÀI– TẤT GIỎI

CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA

BÀI 1: CĂN BẬC HAI I. Các định nghĩa:

1. Căn bậc hai:

_ Căn bậc hai của một số a là số có bình phương bằng a.

Ví dụ:

Căn bậc hai của 49 là 7 và –7 vì

( )

^{−7 2 =72 =49.}

Căn bậc hai của 0 là 0 vì 0² =0.

Số −36 không có căn bậc hai vì không có số nào bình phương bằng −36. Nhận xét:

_ Số dương có hai căn bậc hai là hai số đối nhau.

_ Số 0 có căn bậc hai là chính nó.

_ Số âm không có căn bậc hai.

2. Căn bậc hai số học

_ Căn bậc hai số học của một số a0 là số x0 sao cho x² =a. Ví dụ: Căn bậc hai số học của 49 là 7 vì 7^0 và 7² =49. _ Căn bậc hai số học của số a0 được kí hiệu là a. Như vậy  

=  

 ² = 0 a x x

x a. Chú ý:

_ a có nghĩa khi và chỉ khi a0.

_ Với mọi số thực a0 ta luôn có

( ) ( )

^{a 2 = − a 2 =a.}

Ví dụ:

( ) ( )

^{2 2 = − 2 2 =2.}

3. Căn thức bậc hai

_ Khi A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là một căn thức bậc hai của A, còn A gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

_ A có nghĩa (hay xác định) khi và chỉkhi A0. Ví dụ:

3x−8 có nghĩa khi và chỉ khi −   8 3 8 0

x x 3

1 2− 2

x xác định khi và chỉ khi 1 2⁻   −   

0 1 2 0 2

3

x x x

II. Công thức

• Với A là biểu thức đại số, ta có: A² = A .

• Với A^0,B^0; ta có: AB= A. B.

• Với A^0,B^0; ta có: A = A B B . Ví dụ 1: Tính

a)

(

^{4− 5}

) (

^{2 + 2− 5}

)

^{2 . b) 26 8 10− + 19 6 10− .}

Giải

a)

(

^{4− 5}

) (

^{2 + 2− 5}

)

^{2 = −4 5 + −2 5 = −4 5− −}

(

^{2 5}

)

⁼²

b) ^{26 8 10− + 19 6 10− =}

(

^{4− 10}

) (

^{2 + 3− 10}

)

^{2 = −4 10 + −3 10 =1}

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

a) A=2x− +1 x²−4x+4 . b) B=2x+ x⁴−2x²+1. Giải

a) ^{= − +}

(

⁻

)

^{= − + −  =} ^{= − + −− − −}

( )

^{  =} ^{= +− }

2 2 1 2, 2 3 3, 2

2 1 2 2 1 2

2 1 2 , 2 1, 2

A x x x A x x

A x x x x

A x x x A x x

b) ^B=2x+

(

^x2−1

)

^{2 =2x+ x2−1}

( ) ( )



 = + −  −   = + −  −  



 

= − − −    = − − −  

 

2 2 2 2

2 1; 1 1

2 1; 1 1

2 1 ; 1 1 1 , 1 1

B x x x x

B x x x x

B x x x B x x

Ví dụ 3: Tính

a) ⁻ + ⁻

−

3 2 10 15 5

2 3 1 . b) ^{6 3}

(

^{+ 2}

) (

^{− 3 2 3 2+ − 3}

)

^.

Giải

a) − + − =

(

⁻

) (

+ ⁻

)

= − + =

− −

2 3 5 5 3 1

3 2 10 15 5

3 5 5 3

2 3 1 2 3 1

b) ^{6 3}

(

^{+ 2}

) (

^{− 3 2 3 2+ − 3}

)

^{=3 6+} 12 2 3 3 6 3^{− − +}

= 2 .3 2 3 3 2 3 2 3 3 3² − + = − + = Ví dụ 4: Tính

a) 45 + 20 − 5

4 9 36 . b) 28 + 63 − 1

25 4 7 . c) 4 − 156 + 108

3 13 25 .

Giải

a) 45+ 20 − 5 = 3 .5²₂ + 2 .5²₂ − 5₂ = 3 +2 −1 =

5 5 5 2 5

4 9 36 2 3 6 2 3 6

b) + − = ² + ² − = + − =

2 2 2

28 63 1 2 .7 3 .7 7 2 3 1 123 7

7 7 7

25 4 7 5 2 7 5 2 7 70

c) 4 − 156 + 108 = 4 .3²₂ − + 6 .3²₂ = 4 − +6 =8 3

12 3 2 3 3

3 13 25 3 5 3 5 15

Ví dụ 5: Giải các phương trình

a) x² =9. b) x² =5. c) x² = +4 2 3. d) x² =14 6 5− . Giải

a) x² =  =  = −9 x 3 x 3

=  =  = −

2

CHĂM CHỈ– THÀNH TÀI– MIỆT MÀI– TẤT GIỎI

c) ^{x2 = +4 2 3x2 =}

(

^{3 1+}

)

^{2  =x 3 1+  = −x}

(

^{3 1+}

)

d) ^{x2 =14 6 5− x2 =}

(

^{3− 5}

)

^{2  = −x 3 5 = − +x 3 5}

Ví dụ 6: So sánh

a) 6 5 và 5 6 . b) 2 3 và 3 2 . c) 8 3 và 6. + Giải

a) Giả sử ^{6 5 5 6}

( ) ( )

^{6 5 2  5 6 2 36.5 25.6 180 150 (đúng)}

Vậy 6 5 5 6 . 

b) Giải sử ^{2 3  3 2 }_ ^{2 3}_^{2 }_ ^{3 2}_^{2 2 33 2 }

( ) ( )

^{2 3 2  3 2 12 182  (vô lý)}

Vậy 2 3  3 2 .

c) Giả sử ^{8 3 6+   8  3}

( )

^{8 2 32  8 9(vô lý)}

Vậy 8 3 6 . + 

Bài tập 1.1 Tìm căn bậc hai số học của các số: 9 25 −

16, ,0.36, ,19, 1

49 121 .

1.2 Tính: 108 , 256 , ²⁷,

( )( )

⁻4 ⁻64 , 0.81

16 .

1.3 Tính

a.

(

^{5+ 3}

)(

^{5− 3}

)

^c.

(

^{3+ 7 3}

)(

^{− 7}

)

^e.

(

3 2 5 3 2 5⁺

)(

⁻

)

b.

(

^{7− 2}

)(

^{7+ 2}

)

^d.

(

^{6 1+}

)(

^{6 1−}

)

^f.

(

5 2 3 6 5 2 3 6⁺

)(

⁻

)

1.4

a. Tính cạnh của một hình vuông có độ dài đường chéo bằng 2.

b. Tam giác đều có cạnh bằng 3 thì đường trung tuyến có chiều dài bằng bao nhiêu?

1.5 Giải các phương trình

a. x²⁻10 0⁼ e.

(

^x−3

)

^{2 =11 6 2+ i. x2 +4 3x= −1 4 3}

b. x²− 6 0= f. x²−10x+25=27 10 2− j. 4x²−12 2x+10 2=33 c. x²+2 2x+ =2 1 g. 4x²+4x=27 10 3− k. 2x²+ +9 4 2=12x d. x²−2 3x+ =2 0 h. x²+2 5x=16 4 5− l. 3x²−30x+26 8 3 0+ = 1.6 So sánh

a. 2 5 5 và − 5 3− b. 2 2− và 3 3− c. 3+ 5 và ^{5 1+} 2 1.7 So sánh

a. 17+ 26 và 9 b. 48 và 13− 35 c. 31− 19 và 6⁻ 17 d. 9− 58 và 80− 59 e. 7− 21 4 5 và + 5 1 −

1.8 Với giá trị nào của x thì các căn thức dưới đây có nghĩa:

a. 5 +2 3

x b.

+ 1

1 2x c. −

− + 2

3x 7 d. −5x⁵ e. −

1

3x f. − +

− 2 1 x 3

x g. 7 5+ ² 13

x h. 2x+ − − +5 2x 6 1.9 Với giá trị nào của x các căn thức dưới đây xác định:

a. ²+ + 1

9x 6x 1 b. x^{2 −}8x⁺14 c. 35⁻x^{2 +}4x d. 5x²⁻4x⁻8

e. +

−

3 4

2 x

x f. x− −1 4 g.

− + 1

3 1

x h.

+ +

2

1 1 x x 1.10 Tính

a.

(

^{3 3 2 7−}

)

^{2 b.}

(

^{3− 7}

) (

^{2 − 2 7 6−}

)

²

c.

(

^{2− 3}

) (

^{2 − 2 3 3 2−}

)

²

1.11 Rút gọn các biểu thức sau

a. 9 4 5− − 14 6 5− b. 32 10 7− − 43 12 7− c. 13 4 3− − 16 8 3− d. 3x⁻ 9x²⁺6x⁺1 e. − +

−

2 10 25

5

x x

x f.

(

⁻²

)

^{2 + 2−}₋^{4 +4}

2

x x

x x

g. − +

+ +

2 2 1

2 1

x x

x x h.

( )

( )

− +

−

− −

2

4

2 1

1

1 1

y y

x

y x

i.

(

^{3 −2}

)

^{2 + 9 2−}₋^{12 +4}

3 2

x x

x x

1.12 Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức a. 9x²−12x+ −4 6x−1 với x=1.

b. x y+ + x²−2xy y+ ² với x= −1 3 và y= −1 5.

--- Ôn tập 1

Câu 1. Tìm điều kiện để biểu thức sau có nghĩa: − + − +

+ ²+ +

1 1

2 3 4 5

x x

x x x

. Câu 2. Tính

a. ^{− + − + −}

+ +

2 6 3 9 4 12

2 3 4 b. 2+ 17 4 9 4 5− +

Câu 3.Rút gọn biểu thức :A= x+2 3x− +9 x−2 3x−9 Câu 4. Giải phương trình: x^{2− +}x x^{2 + − =}x 2 0.

---

CHĂM CHỈ– THÀNH TÀI– MIỆT MÀI– TẤT GIỎI

Khai phương một tích – một thương

1.13 Rút gọn

a.

(

^{1− 2+ 3 1}

)(

^{+ 2− 3}

)

^b.

(

^{5 4 2+}

)

^_^{3 2 1+ + 2}_^{3 2 1− + 2}_

c. 4+ 8 . 2+ 2+ 2 . 2− 2+ 2 d. 47+ 5 . 7− 2+ 5 . 7+ 2+ 5

e. ^{3 7 7 3+}

21 f.

(

⁻

)

−

2

2 2 7

56 4 g.

(

^{5 2 2 5+}

)(

^{3 3 2−}

)

30 h. ^{− + −}

+

6 6 2 12 3 2 2 6 1 1.14 Rút gọn

a. 13 6 4+ + 9 4 2− b. 5 2 6+ + 14 4 6− c. 23 6 10+ + 47 6 10+ d. ^{3+ 5 .}

(

^{10+ 2 3}

)(

^{− 5}

)

^{e. }_^{2 4+ 6 2 5− }_

(

^{10− 2}

)

1.15 Thu gọn các biểu thức

+ + −

= − −

+

7 5 7 5

3 2 2 7 2 11

A B= 2 2 2+ − 2 1 1+ +

1.16 Thu gọn các biểu thức + −

= + − −

2 4 2

2 2

2 x y xy A x x x y x y

+ −

= 4 ₂ 4₂ 

3 ; , 0

9

xy xy

B y x y

x y C= x−4 x−4 1.17 Cho ^{=1+ 5} , ^{=1− 5}

2 2

a b . Tính a³+b³.

1.18 Cho biểu thức = ^{+ − + − −}

− + ₂

4 4 4 4

8 16 1

x x x x

A

x x a. Tìm x để A xác định.

b. Rút gọn A.

c. Tìm các giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên.

BÀI 2: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI I. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

  

= = 

−  



2 ; 0, 0

; 0, 0

A B A B

A B A B

A B A B

Ví dụ 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a. 45 b. 2 50 c. 3x^{2 −}6xy⁺3y²

Giải

a) 45⁼ 3 .5^{2 =}3 5 b) 2 50⁼2 2.5^{2 =}2.5. 2 ⁼10 2 c) ^{3x2−6xy+3y2 = 3}

(

^{x2−2xy y+ 2}

)

^{= 3}

(

^{x y−}

)

^{2 =3 x y−}

Ví dụ 2: Tính 75 3 12+ − 300

Giải

+ − = + − =

75 3 12 300 5 3 4 3 10 3 3

II. Đưa thừa số vào trong dấu căn

  

= 

−  



2 2

; 0, 0

; 0, 0 A B A B A B

A B A B Ví dụ 1: Đưa các thừa số vào dấu căn

a. 2 7 b. 7 3 c. ²

(

^x−1

)

Giải

a) 2 7 ⁼ 2 .7^{2 =} 28 b) 7 3 ⁼ 7 .3^{2 =} 147 c)

( ) ( )

( )

 − 

− = 

− − 



2

2

2 1 , 1

2 1

2 1 , 1

x x

x

x x

Ví dụ 2: So sánh 4 3 và 5 2.

Giải Giải sử 4 3^5 2^ 4 .3^{2 } 5 .2^{2 } 48 ^ 50 (vô lý) Vậy 4 3 > 5 2.

III. Khử mẫu số của biểu thức trong dấu căn A = AB

B B với AB0 và B0 Ví dụ 1: Khử mẫu của biểu thức trong dấu căn

a. 3

5 b. 6

7 c. 11

12 Giải a) 3 = 3.5 = 15

5 5 5 b) 6 = 6.7 = 42

7 7 7 c) 11 = 11.12 = 132

12 12 12

Ví dụ 2: Tính 21+ 14 + 7

2 3 6

Giải

+ + = + + =

21 14 7 42 42 42

CHĂM CHỈ– THÀNH TÀI– MIỆT MÀI– TẤT GIỎI

Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta có thể biế đổi biểu thức trong dấu căn sao cho mẫu số của nó được biến đổi thành bình phương của một số rồi khai phương và đưa ra ngoài dấu căn.

Chẳng hạn như: 6 = 2 = 2

75 25 5 hoặc 5 = 10 = 10

8 16 4 …

IV. Trục căn thức ở mẫu số 1. Trường hợp thứ nhất

A = A B

B B với B^0 Ví dụ: 7 =7 5

5 5 , 7 =7 3 2 3 6

2. Trường hợp thứ hai

( )

= −



M A B

M

A B A B với A^0,B^0 và A B

Ví dụ : ₌

(

⁻

)

+

7 5 3

7

5 3 2 , ₌

(

⁺

)

−

4 7 2

4 7 2 5

Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta có thể viết tử số dưới dạng tích có chứa thừa số là mẫu số rồi rút gọn.

Chẳng hạn như: 3 2 3+ = 3

(

3 2⁺

)

= +

3 3 3 2 , − =

(

⁻

)

=

− −

2 5 3

10 6

5 3 5 3 2,…

Bài tập 2.1 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

1. 125a b^{4 3} 2. ^{10x y2}

(

^{3− 2}

)

^{2 3. 3x2 −6xy+3y2}

2.2 Đưa thừa số vào trong dấu căn 1.

a b3

b a ; a b, cùng dấu, ab 2. + −

− +

x y x y

x y x y ; x0 và xy 2.3 Khửmẫu của biểu thức lấy căn

a.

(

^{2− 5}

)

²

8 b. −

2  

4 , 0

7

x x y

x y c.

( )

− − − ²

2 1

1 1

x x

2.4 Trục căn thức ở mẫu

a. ⁻

− 2 3 6

8 2 b. ⁻

− 4 3

5 2 2 5 c. ^{x a x+}

a x d.

2 −3 x

x y

2.5 Tính

a. 20 2 45 3 80 2 98+ − − b. −

− −

−

9 8 2 15

162 2 10 6

c.  

− + + +

 

 

 

1 1 1 4

5 20 2 5 : 2 5 1

5 20 4 5 d.   

− − − −

  

  

  

3 2 3 2

6 2 4 3 12 6

2 3 2 3

2.6 Tính

a. −

− +

1 1

3 2 2 3 2 2 b. −

− +

3 3

3 1 3 1

c.  −   − 

+ −

   

 +   + 

   

5 3 5 3

1 : 1

5 3 5 3 d. ^{− +} + ⁺

+ − +

2 3 5 2 5 2 2 3 5 2 2 3 2 3 5 2 e. ^_ ⁴₋ ⁻ ₋^{12 + 15}₊ ^_

(

^{6 11+}

)

6 2 3 6 6 1 f. − −

− − +

1 1 1

12 140 8 60 10 84

g. − − +

− + − +

1 2 3 2 2

3 2 7 5 7 40 5 21

h. ^ − ^

+ − + +

 

1 1

23 2 3 6 2 3 6

i. ⁺

+ + +

5 2 10 9 3 5 2 14 6 5 2.7 Thu gọn

a. ⁺ + ⁻

+ + − +

2 3 2 3

2 2 3 2 2 3

b.

(

^{2− 3}

)

^{26 15 3+ − +}

(

^{2 3}

)

^{26 15 3−}

c. + + − − + + −

+ − − + − −

45 27 2 45 27 2 3 2 3 2

5 3 2 5 3 2 3 2 3 2

2.8 Thu gọn các biểu thức

1. =1+ ++ 1− −− 

1 1

x x x x

A x x với x0 và x1.

2. =

(

⁺

)

⁻ + +

−

2

4

a b ab a b b a

B a b ab với a b, ^0 và ab.

3. = +  +

− − − +

 

1 1 1

1 : 2 1

C a

a a a a a với a0 và a1. 4. = +  −− − + + + 

1 2 2

1 1 2 1

x x

D x x x x với x0 và x1.

5. =^ + − − ^{ }    + − + + ^

: 2

x x x x y

E x y x y x y x y xy với x y, 0 và x^y.

6.

   + + +

  

= + + +

 

  +  +

 

3 3

3 3

1 1 2 1 1

. : x y x x y y

F x y x y x y x y xy với x y, 0.

7.  +   − 

=a b− a+ − b−   : + b +ab 

G a

ab ab b ab a a b với a b, ^0 và ab. 8. = ++ − + −  − + + 

1 2

a b a b b b

H a ab ab a ab a ab với a b, ^0 và ab.

CHĂM CHỈ– THÀNH TÀI– MIỆT MÀI– TẤT GIỎI

9. =^ + ^

+ + + + −

  ²

1 1 1

1 :

K x x x x x x x x với x0 và x1.

10.  + + 

=  − + + + − − 

2 1 1

1 : 1 1 1

x x

L x x x x x với x0 và x1.

11. = + −− − +−  +− − + −

2 1

1 .

1 2 1 2 1

x x x x x x x x

M x x x x x x với x^0,x^1 và  1

x 4. 12. = + − − − + −      − − 

4 1 2

4 .

2 2 3

x x

N x

x x x x x x với x^0,x^4 và x9. 13. = +− − −+ + − −+     − − 

2 1 3 1 1

1 3 4 3 : 1 1

x x x

P x x x x x với x^0,x^1 và x9.

2.9 Cho biểu thức  −   − − − 

= − −     − + + − + − 

3 3 2 9

1 :

9 2 3 6

x x x x x

Q x x x x x với x^0,x^4,x^9.

a. Thu gọn biểu thức Q.

b. Tìm giá trị của x để Q=1. 2.10

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của A⁼ x^{2 −}6x⁺5. b. Tìm giá trị lớn nhất của B^{= − +}5 1 9⁻ x²⁺6x.

BÀI 3: GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC THƯỜNG GẶP I. Phương trình dạng A = B

  

=   =

0 hay 0

A B

A B

A B Ví dụ 1: Giải phương trình x²− =3 2x−3.

Giải

( )

 

 −     

   

− = −  − = −  − =  − =  = =  =

2

2 2

3 3

2 3 0 2 3

3 2 3 2 2 2

3 2 3 2 0 2 0 2 hay 0

x x x x

x x x

x x x x x x x x

II. Phương trình dạng A = B

 

=  

 = ² 0 A B B

A B Ví dụ 2: Giải phương trình 2x− = −1 x 2.

Giải

( ) ( )( )

 −       

  

− = −  − = −  − + =  − − =  = =  =

2 2

2 0 2 2 2

2 1 2 5 5

5 1 0

6 5 0

2 1 2

0

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

x Nhắc: phương trình chứa dấu trị tuyệt đối

1. =  ^{ =} = − A B A B

A B 2. _{=  }^{ }

= = −

 0

hay A B B

A B A B

Chú thích: dấu “” và “ ” có nghĩa là “hoặc”; dấu “ “ và “



“ có nghĩa là “và”.

Bài tập 3.1 Giải các phương trình

a. x− =1 9−x b. 2x− =7 x−4 c. x²+ − =x 3 x+1 d. x² − + =x 1 3x+1 e. x²−5x= x−9 f. x² +4x− =8 2x+7 g. ²+ + =1 ²+ +

6 9

x x 4 x x h. x²− + =x 3 2x²+3x−3 3.2 Giải các phương trình

a. x²− = −5 x 1 b. 4x+ = − +8 x 1 c. x² −4x+ = −3 x 2 d. 16 8⁻ x x^{+ 2 = −}4 x e. 9x²⁻6x⁺100 ⁼3x⁺5 f. 4x²⁻20x⁺25 ^{= −}x 3 3.3 Giải các phương trình

a. x+4 x− =4 5 b. x− +3 2 x− =4 2 x− −4 3 c. x²−2x+ =2 2 2x−3 d. 5x− −5 2 2x− =5 4 3x−5 e. x^{2− +}2 3 x^{2+ =}2 0 f. + ⁻ =

−

4 1 4 1 2

x x

x x .

CHĂM CHỈ– THÀNH TÀI– MIỆT MÀI– TẤT GIỎI

--- Ôn tập 2

Câu 1. Tính

a. + − ⁻

+ −

1 6 2 4

8 7 175 3 2 b. −

+ −

− +

6 11 6 3

22 2 2 2 1

Câu 2.Giải các phương trình

a. x² − − =x 2 x−2 b. x+ +3 2− =x 5

c.

(

^x−1

)

^{2 + x2+4x+ =4 3 d.}

(

^{3 2− x}

)(

^{2 3+ x}

)

^{=16 6− x}

Câu 3. Cho biểu thức = ⁻ − ⁺ − ⁺

− + − −

2 9 3 2 1

5 6 2 3

x x x

A x x x x

a. Tìm điều kiện để A có nghĩa.

b. Rút gọn A.

c. Tìm giá trị nguyên của x sao cho A có giá trị nguyên.

Câu 4. Chứng minh: 2+ 3 . 2+ 2+ 3 . 2+ 2+ 2+ 3 2− 2+ 2+ 3 =1. ---

BÀI 4: CĂN BẬC BA I. Định nghĩa

Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x³ =a.

Ví dụ: Căn bậc ba của 8 là 2 vì 2³ =8, căn bậc ba của 0 là 0 vì 0³ =0, căn bậc ba của –125 bằng –5 vì

( )

^{−5 3 = −125,…}

Nhận xét

_ Mỗi số thực đều có duy nhất một căn bậc ba.

_ Căn bậc ba của số dương là số dương.

_ Căn bậc ba của 0 là 0.

_ Căn bậc ba của số âm là số âm.

_ Căn bậc ba của một số thực a kí hiệu là ³ a II. Công thức

1. ³ AB = ³ A B³ 2. ³ = ³ 

3 , 0

A A

B B B 3. ³ A B³ =A B³

4. ³ A = ³ AB² , 0

B B B 5. ₌

(

⁺

)

_

 

3 2 3 3 2

3 3 ,

M A AB B

M A B

A B A B

Bài tập 4.1 Tính

a. 4 16 5 54 2 128³ + ³ − ³ b. 5 81 3 24 3 192³ − ³ + ³ c.

(

^{3 2−3 4}

)

³

d.

(

^{34 1+}

) (

^{3− 3 4 1−}

)

^{3 e.}

(

^{+ −}

)

^_ ^{− }_

 

3 3 3 3 3 1

12 2 16 2 2 5 4 3

2

4.2 Chứng minh x= ³54 30 3+ +³ 54 30 3− là nghiệm của phương trình x³−3x² =108. 4.3 Giải các phương trình

a. ³ x³+9x² = +x 3 b. ³5+ +x ³ 5− =x 1 c. ³9− +x ³7+ =x 4

CHĂM CHỈ– THÀNH TÀI– MIỆT MÀI– TẤT GIỎI

HƯỚNG DẪN MỘT SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG I

BÀI 1: CĂN BẬC HAI

1.1 Đáp án theo thứ tự của đề bài: 4, ³

7, 0.6, ⁵

11, 19 , không có.

1.2 Đáp án theo thứ tự của đề bài: 6 3 ,16,^{3 3},16,0.9

4 .

1.3 a. 2, b. 5, c. 2, d. 5, e. –11, f. –4.

1.4 a) Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông, với x > 0, ta có: ^{x2+x2 =}

( )

^{2 2  =x 1.}

b) Gọi ABC là tam giác đều có cạnh bằng 3 với AM là đường trung tuyến ần tìm độ dài.

Ta có: AC^{2 =}AM²⁺MC² (Pythago)

 

 = +  

 

2

2 2

2 AC AM BC

( )

^{ }

 = +   =

2

2 2 3 3

3 AM 2 AM 2

1.5

a. x=  10, b. x=  6, c. x= −1 2 = − −x 1 2, d. x= −1 3 = − −x 1 3

e. x= +6 2 = −x 2, f. x=10− 2 =x 2, g. Công hai vế cho 1, ^{= 4− 3 = − +6 3}

2 2

x x

h. Cộng hai vế cho 5, x= 5 1−  = −x 3 5 1+ , i. Cộng hai vế cho 12, x= −  = −1 x 4 3 1+ j. Cộng hai vế cho 18, =8 2 1⁻  =⁻2 2 1⁺

2 2

x x

k.

( ) ( )

 −

 = +

 −  

+ + =  − + = −  − =   = − −



2

2 2 2

2 2 1

2 2 1 3 2

2 9 4 2 12 2 6 9 9 2.2 2 3

2 2 2 1

3 2

x

x x x x x

x l. 3x²−30x+26 8 3 0+ =

( ) ( )

 = + −

 −  

 − + = −  − =   = − −



2 2 2

4 3 1

4 3 1 5 3

3 10 25 49 2.4 3 5

3 4 3 1

5 3

x

x x x

x M

B C

A

1.6 a. 2 5 5−  5 3 , b. − 2 2−  3 3, c. − + = 5 1⁺ 3 5

2

1.7 a. 17+ 26 9 b.  48 13 − 35 , c. 31− 19 6 − 17 , d. 9− 58 80− 59 e. 7− 21 4 5+ = 5 1 . −

1.8 Lưu ý: Các biểu thức chứa trong dấu căn ở mẫu số đều phải dương mới xác định.

a.  −2

x 5, b.  −1

x 2, c. 7

x 3, d. x0, e. x0, f. x2 và x3, g. x , h. −  5 2 x 3 1.9 Lưu ý:

(

^{x a−}

)

^{2   0 x a.}

a. x3, b. x −4 2 2  +x 4 2 2, c. 2− 39  +x 2 39, d. ^{ 2 2 11−   2 2 11+}

5 5

x x

e.  −  4 3 2

x x , f. x   −5 x 3, g. x , h. x 1.10 a. 2 7 3 3 , b. − ^{− +}3 3 7, c. 3 3 4 2−

1.11 a. 2 5 5 , b. − −1 , c. 1 , d.

−  −



 + 



1, 1

3 6 1, 1

3 x

x x

, e. ^_{− }^



1, 5 1, 5

x

x , f. ^{ −}_{− + }^



1, 2 1, 2 x x

x x , g. ^_ ^{− }

− + 



1, 1 1, 1

x x

x x

h. −

− 1 1 y

x , i.

 − 



− + 



3 1, 2 3 3 1, 2

3 x x

x x 1.12

a.

( )

− − 

= − + − − = − − − = − − −  = 

 − 



2 2

3 3, 2

9 12 4 6 1 3 2 6 1 3 2 6 1 3

1 9 , 2 3

x x

A x x x x x x x A

x x Với x= 1 A= −3.1 3− = −6

b. ^{= + + − + = + +}

(

⁻

)

= + + −  = ^ ^

2 2 2 2 ,

2 2 ,

x x y

B x y x xy y x y x y x y x y B

y x y Với ^{x= −1 3 −1 5 =  =y B 2 1}

(

^{− 3}

)

^{= −2 2 3}

CHĂM CHỈ– THÀNH TÀI– MIỆT MÀI– TẤT GIỎI

--- Ôn tập 1

Câu 1.

( )

 −   

 − 

    −     −  

 + 

 

+ + 

 + +  



2 2

2 0 2

1 0 3 1 3 2

3

2 1 0

4 5 0

x x

x x x x x

x x x x Câu 2.

a.

(

^{+ +}

) (

^{− + +}

) (

₌ ^{+ +}

) (

^{− + +}

)

_{= −}

+ + + +

2 3 4 6 9 12 2 3 4 3 2 3 4

1 3

2 3 4 2 3 4

b. ^{2+ 17 4 9 4 5− + = +2 17 4−}

(

^{2+ 5}

)

^{2 = +2 9 4 5− = +2}

(

^{2− 5}

)

^{2 = 5}

Câu 3.

( ) ( )

= − +3 2 3 −3 + +3 − −3 2 3 −3 +3

A x x x x

( ) ( )

= x− +3 3 ² + x− −3 3 ² = x− +3 3 + x− −3 3  = ^{ − }

  

2 3 , 6 2 3 , 3 6

x x

A

x Câu 4.

Nhớ: Nếu A B+ =0 với A B, ^0 thì A=0 và B=0. Điều kiện xác định:  −    − 

+ − 



2 2

0 2, 1

2 0 x x

x x

x x

 − =

− + + − =   = = = −

+ − =



2

2 2

2

2 0 0 0, 1, 2

2 0 x x

x x x x x x x

x x . Vậy x^{= −}2,x⁼1.

--- 1.13 a. − +4 2 6 , b. −7 , c. 2 2, d. 2 551 , e. 3+ 7 , f. ¹

2, g.

(

^{5+ 2 1}

)(

^{− 6}

)

^{, h. 3− 2}

1.14 a. 3 2 1+ , b. 3 3+ 2 2 , c. − 3 2 4 5+ + 2 , d. 8, e. 8

1.15 a. = + + − − −

+ ₂

1

7 5 7 5

3 2 2

7 2 11 A

A

A

Xét =^ + + − ^ = + =

(

⁺

)

=  =

 +  + +

 

2 2

1 1

2 7 2 11

7 5 7 5 14 44

2 2

7 2 11 7 2 11

7 2 11

A A

Xét ^{A2 = 3 2 2− = 2 2 2 1− + =}

(

^{2 1−}

)

^{2 = 2 1− . Vậy A A= 1−A2 =1}

b. = + − + = + − + + = ^ + − ^ = + −

2

2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1

B 1.16

a.

( )

( ) ( ) ( ) ( )

− −

+ −

= = = = 

+ − − − + − + − +

2 2 2

2 4 2

2 2 2 2 2

2 1

1 1

x y x y

x y xy

A x x x y x y x x y x y x x y x

b. ^{+ −}

(

⁻

)

⁻

= = =

2

2 2

2 2

4 4

3 3

9 3

xy xy

xy xy

B y y

x x y xy

c. ^{C= x−4 x− =4 x− −4 4 x− + =4 2}

(

^{x− −4 2}

)

^{2 = x− −4 2}

1.17 Ta có: ^{a3+b3 =}

(

^{a b+}

)

^{3−3ab a b}

(

⁺

)

^mà a b^{+ =}1,ab= −  + = − −1 a³ b³ 1³ 3 1 .1 4

( )

= 1.18

a.

 −    

     

 − −    −  − +    

    

  

 

 − +   −    − 

  

2 2

2

4 0 4 4

4 4 0 4 4 16 64 0 4 4

8 16 4 4 4

1 0 1 0 1 0

x x x

x x x x x x x x

x

x x x x

b. = + − + − − = ^{− + + − −} =

(

^{− + + − −}

)

  −

− +  − 

 

2 2

4 2 4 2

4 2 4 2

4 4 4 4

8 16 4 4

1 1

x x x

x x

x x x x

A x

x x x

TH¹: − −     = = − +

− −

4 2 0 8 4 4

4 4

x x A x x

x x

TH²: − −      = = +

− −

4 16

4 2 0 4 8 4

4 4

x x A x

x x

c. Xét x8, để A nguyên thì x−4 là ước số của 4 nghĩa là ^{x− 4}



^{4, 2,1}



Ta giải được x⁼8, x⁼20.

Xét 4 x 8, để A nguyên thì

(

^x−4

)

là ước của 16 nghĩa là

(

x^{−  4}

) 

16, 8, 4, 2, 1^{  }



Ta giải được x=5

CHĂM CHỈ– THÀNH TÀI– MIỆT MÀI– TẤT GIỎI

BÀI 2: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 2.1 1. 5a b² 5b, 2.

(

^{3− 2}

)

^{x 10y, 3. 3 x y−}

2.2 1. ab , 2. ⁺

− x y x y 2.3 a. ^{−2 2+ 10}

2 , b. −

−

2 7

7 xy

xy , c. ⁻

− 2 3

1 x x

2.4 a. ³

(

^{2 1−}

)

^{, b.}

(

^{4− 3 5 2 2 5}

)(

⁻

)

30 , c. ^x+a

a , d.

(

⁺

)

−

2 3

4 3

x x y

x y 2.5 a. −4 5 14 2 , b. − 7 2, c. ³¹

20, d. 7 2 2.6 a. 4 2, b.

− 2 3

3 1, c. − 15

3 , d. ⁶²

19, e. −115, f. 0, g. 0, h. 24 2 6+

i.

( )

+ + +

= = =

+ +

+ + + + + + +

5 2 10 5 2 10 5 2 10

7 3 5 2 9 3 5 2 14 6 5 7 3 5 2 2 7 3 5 2

I

Nhân tử và mẫu bởi 2

( )

( )

( )

+ +

 = + = = =

+ + + ² + +

2 5 5 2 5 5

10 20

5 5 2

14 2.3 5 2 3 5 2

I

2.7

a. _{+ −}

(

⁺

)

^_ ^{− + }_⁺

(

⁻

)

^_ ^{+ + }_

= + =

  

+ + − +  + +  − + 

2 3 2 2 3 2 3 2 2 3

2 3 2 3

2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3

A

(

⁺

)

^_ ^{− + }_^{+ −}

( )

^_ ^{+ + }_

 = −

2 3 2 2 3 2 3 2 2 3

A 3

Nhân tử và mẫu bởi 2, ta có:

(

⁺

)

^_ ^{− + }_^{+ −}

( )

^_ ^{+ + }_

= −

2 3 2 4 2 3 2 3 2 4 2 3

A 3

(

⁺

) (

^ ^{− +}

) (

^^{+ −}

) (

^ ^{+ +}

) (

^ ⁺

)(

⁻

) (

^{+ −}

)(

⁺

)

−

= = =

− −

2 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 3 6 2

3. 2 3. 2 3

A

b. ^B=

(

^{2− 3}

)

^{26 15 3+ − +}

(

^{2 3}

)

^{26 15 3−}

Nhân hai vế bởi 2, ta có: ^2B=

(

^{2− 3}

)

^{52 2.5.3 3+ − +}

(

^{2 3}

)

^{52 2.5.3 3−}

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

= 2− 3 3 3+ 5 ² − +2 3 3 3− 5 ² = 2− 3 3 3+ 5 − +2 3 3 3− 5 =2 VP

Vậy B= 2.

c. + + − + + −

= −

+ − − + − −

45 27 2 45 27 2 3 2 3 2

5 3 2 5 3 2 3 2 3 2

C , phân số thứ nhất ta lấy 9 làm thừa số

chung ở bên trong từng căn thức trên tử rồi nhân lượng liên hiệp với mẫu số, ta có:

( )

 + + −   + + − 

    + +

   

= − = − = =

 +  − −   +  − − 

       

       

2 2

2 2 2 2

3 5 3 2 5 3 2 3 2 3 2 3 10 2 7 6 2 7 4

6 2 2 2 2 2 2

5 3 2 5 3 2 3 2 3 2

C

2.8

1. =1+ ++ 1− −− 

1 1

x x x x

A x x với x0 và x1.

( ) ( ) ( )( )

 +  − 

  

= + +  − − = + − = −

  

1 1

1 1 1 1 1

1 1

x x x x

A x x x

x x

2. =

(

⁺

)

⁻ + +

−

2 4

a b ab a b b a

B a b ab với a b, ^0 và ab.

(

⁻

) (

⁺

)

= + = − + + =

−

2

a b ab a b 2

B a b a b a

a b ab

3. = +  +

− − − +

 

1 1 1

1 : 2 1

C a

a a a a a với a0 và a1.

( ) ( ) ( ) ( )

  + + − −

 

= − + −  − = − + =

2

2

1 1 1 1 1 1

: .

1 1

1 1 1

a a a a

C a a a a a a a a

4. = +  −− − + + + 

1 2 2

1 1 2 1

x x

D x x x x với x0 và x1.

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

  − + − + −

 

+ − + + −

=  − + − + = − + = −

 

2 2

2 1 2 1

1 2 2 1 2

. .

1 1 1 1 1 1

x x x x

x x x x

D x x x x x x x x

5. =^ − ^{ }  − ^

 + −   + + + 

   

: 2

x x x x y

E x y x y x y x y xy với x y, 0 và x^ y.

CHĂM CHỈ– THÀNH TÀI– MIỆT MÀI– TẤT GIỎI

( ( ) )( ) ( )

   

   

= −   − 

+ + − + +

   

   

2

: 2

x x y

x x

E x y x y x y x y x y

( )( ) ( ) ( )

( )

+ − +

= − =

+ − −

2

. x y y x y

xy

x y x y x x x x y

6.

   + + +

  

= + + +

 

  +  +

 

3 3

3 3

1 1 2 1 1

. : x y x x y y

F x y x y x y x y xy với x y, 0.

( ) ( )

( )

 + +  + + + + + +

= +  = =

+ + +

 

 

2 2

. : x x y y x y .

x y x y x xy y xy x y

F xy x y xy xy x y xy x y xy

7. =a b+ − a+ − b−   : + b−+ab 

G a

ab ab b ab a a b với a b, ^0 và ab.

( ) ( ) ( )

( )

 +  + + − + +

 

= − + − −  + = − + = −

: a a b b ab . 1

a b a b a ab b ab a b

G ab b a b a a b a b ab a b a b a b

8. = ++ − + −  − + +  1

2

a b a b b b

H a ab ab a ab a ab với a b, ^0 và ab.

(

^{+ −}

)

^{− + + −}

(

^{+ −}

) ( )

= + = + =

+ ²− + +

1 1 1 1

. . 2

a b a b a ab a ab a b

H b

a ab

ab a

a a b a a b a a b

9. =^ + ^

+ + + + −

  ²

1 1 1

1 :

K x x x x x x x x với x0 và x1.

( ) ( ) ( ) ( )( )

 

  +

= + + + + +  − = + + − + + = −

 

1 1 1 1

: . 1 1 1

1 1 1 1

K x x x x x x

x x

x x x x x x x x x

10.  + + 

=  − + + + − − 

2 1 1

1 : 1 1 1

x x

L x x x x x với x^0 và x^1.

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

+ + + − − + + − + + + +

= = =

− + + −

2 1 1 1 1 1 1

1 :

1 1

x x x x x x x x x x

L x x x x x x

11. = + −− − +−  +− − + −

2 1

1 .

1 2 1 2 1

x x x x x x x x

M x x x x x x với x^0,x^1 và  1

x 4.

( )

( )( ) ( )

( )( )

 + − +  −

 

= − + + − − +  + − + −

 

2 1 1 1

.2 1 2 1

1 1 1 1

x x x x x x x

M x x x x x x x x

( )( ) ( )

( )( )

+ − − + + −

= +

+ − −

− + +

1 2 1 1 1

.2 1 2 1

1 1

x x x x x x x x

x x x

x x x

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

+ − − + + − +

= − + =

+ − + − − + +

− + + − + +

1 2 1 1 1 1 1

. .

2 1 2 1 2 1 1

1 1 1 1

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

12.  −   

= + − − + −     − − 

4 1 2

4 .

2 2 3

x x

N x

x x x x x x với x^0,x^4 và x9.

( ) ( ) ( )( ) ( )

 −  − −

 

= + − − + + −  −

. 3

4 1 2

. 3

2 2 2 2

x x x

N x

x x x x x x x

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

− − − + + − −

= + − −

4 2 2 2 2 4

. 3

2 2

x x x x x x

x x x x

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

− + − −

− + −

= = =

− − +

+ − + −

4 2 3 4

5 6 4

. .

3 3 2

2 2 2 2

x x x x x x

x x x

x x x

x x x x x x

13.  + + −   

= − − − + − +    − − 

2 1 3 1 1

1 3 4 3 : 1 1

x x x

P x x x x x với x^0,x^1 và x^9.

( )( )

 

+ + − −

 

= − − − + − −  −

 

2 1 3 1 2

1 3 1 3 : 1

x x x x

P x x x x x

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( )

+ − − + − + − − − −

= = =

− − −

− − − −

2 3 1 1 3 1 1 2 3 1 2

. .

2 2 2

1 3 1 3

x x x x x x x x

x x x

x x x x

2.9

a.

( )

( )( ) ( )( )

 −   − − − 

   

= − − +     − + + − − + 

3 3 2 9

1 :

2 3

3 3 2 3

x x x x x

Q x x x x x x

( )( ) ( )

( )( )

− − + + − + − −

= =

+ − +

3 3 2 2 9

3 2

: 3

3 2 3

x x x x x

x x x

b. = ⁻2=  =  =

1 5 25

3

Q x x x .

2.10

a. ^{A= x2−6x+ =5 x2−6x+ − =9 4}

(

^x−3

)

^{2− 4}

(

^x−3

)

^{2− 4 0}

Để A đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó

(

x⁻3

)

²− =  =  =4 0 x 5 x 1 b. ^{B= − +5 1 9− x2+6x= − +5 2−}

(

^3x−1

)

²

Vì

(

^3x−1

)

^{2   −0}

(

^3x−1

)

^{2   −0 2}

(

^3x−1

)

^{2    − +2 B 5 2}

Vậy B lớn nhất khi dấu “=” xảy ra, như vậy − =  =1 3 1 0

x x 3.

CHĂM CHỈ– THÀNH TÀI– MIỆT MÀI– TẤT GIỎI

BÀI 3: GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC THƯỜNG GẶP 3.1 a. x=5, b. vô nghiệm, c. x=  = −2 x 2, d. x=  =0 x 4, e. vô nghiệm, f. x=3, g. = −7

x 4 h. x= − +2 10 = − −x 2 10

3.2 a. x=3, b. x= −1, c. vô nghiệm, d. vô số nghiệm, e. = 25

x 12, f. vô nghiệm 3.3

a. Điều kiện: x4

 − =

 − + − + =  − − =   − =  =

 − = −



4 7

4 2.2. 4 4 5 4 2 5 4 7 53

4 3

PT x x x x x x

x Vậy x=53.

b.

 − + − + = − −  − + = − − 

 − =

  

 − −   −    =

 −     

 

 

4 1 2 4 3

4 2. 4 2 2 4 3

4 4

2 4 3 0 4 32 25 20

4 0 4 4

x x

x x x

x

PT x x x

x x x

c. Điều kiện:  3 x 2

( )

 ² =2 − +3 2 2 − + 3 1 2 − +3 1 ² = ²  2 − = −  =3 1 2

PT x x x x x x x x

Vậy x=2.

d. Điều kiện: ^ ^{− }−       

2 5 0 5 5 5

3 5 0 2 3 2

x x x x

x

( ) ( ) ( ) ( )

   

 − − − + +  − − − + =  − − + − − =

2 2

2 5 2 2 5 1 3 5 4 3 5 4 0 2 5 1 3 5 2 0

PT x x x x x x

Như vậy ^ ^{− − =}  =

− − =



2 5 1 0 3 5 2 0 3

x x

x (nhận)

e. ^PT

(

^x2+2

)

^{+3 x2+ − =2 4 0 1}

( )

^{đặt t= x2+2 ,t 2}

( )

1  + − =  −t² 3t 4 0

( )( )

t 1 t+ =  =4 0 t 1 (loại) hay t= −4 (loại) Vậy phương trình vô nghiệm.

f. Điều kiện:

   

 − 



0 1

1 0 4

4 x

x x . Đặt = 

− , 0 4 1

t x t

x

( )

^{ = +}

 + =  − + =  =  = −  − + =  − =  

 = −



2 2 2 2 3

1 2 2 1 0 1 4 1 4 1 0 2 3

2 3

PT t t t t x x x x x x

t x

So sánh với điều kiện, ta được: x= +2 3 và x= −2 3.

Ôn tập 2 Câu 1.

a. + − − =

( )(

−

)

+ −

(

⁻

)

=

+ − + − −

2 2 2 3 2

1 6 2 4 8 7

175 5 .7 . 4 7

8 7 3 2 8 7 8 7 3 2

b.

( )

( )(

⁻

) ( )

− + − = − + − = + − − =

− + − + −

3 2 1

6 11 6 3 12 2 11 1 7

3 2 3 2 3 2 1

2 2

22 2 2 2 1 44 2 2 1 2 1

Câu 2. Giải các phương trình

a. ^{− − = −  − } ^{− − = −  }

(

⁻

)

^{=  =}

2

2

2 0 2

2 2 2

2 0

2 2

x x

x x x x

x x x x x

b. x+ +3 2− =x 5, điều kiện −  3 x 2. Bình phương hai vế, ta có:

( )( )

^{ }

+ + − =  − − + =  + + =  +  + =

