41 bài toán Phương trình và Hệ phương trình hay có lời giải chi tiết

Tuyển tập những bài

PHƯƠNG TRÌNH,

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

MỘT THỜI ĐỂ NHỚ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN NGỌC HIỂN – CÀ MAU

Bài 1: Giâi hệ phương trình

2 2

2 2

12 12

x y x y

y x y

    



 



Cách 1:

Thế _x²_y² ₁₂ _{x y} từ phương trình thứ nhçt xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta được



¹²



¹²

y   x y hay 12 ² 12 12

12 y y

x y

y y

  

     (1) Thế vào phương trình thứ hai cûa hệ, ta được

2 2

12 12 2

y y 12

y y

y

     

 

  (nhận thçy y0 không là nghiệm cûa phương trình)

2 2

2 2

144 y 12y 12

y y y

   

   

  ^{ }



^{y212y12}



^{2y4 144 y y}



^4



^{y 3}



⁰

5 3 5 4 x y x y

 

 

  

 

 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là

     

^{x y;  5;3 ; 5;4}

 Cách 2:

Trường hợp 1: x y 0

Đặt x y a và x y b thì ta có hệ

 

2

2 2

12 24 b ab

b a ab

  

  



Nhận thçy phương trình thứ hai có bậc 4 và phương trình thứ nhçt có bậc 2 nên ta bình phương hai vế phương trình thứ nhçt để thế vào phương trình thứ hai

Hệ suy ra



^b2ab



^{26ab b}



^2a2



^{0 b b}



^{3a b}



^{2a b a}



^



^0

Từ đó dễ dàng suy ra nghiệm

 

^{x y;}

Trường hợp 2: yx

Đặt y x a và   x y b thì ta có hệ

 

2

2 2

12 12 ab b

ab a b

  



 



Thực hiện tương tự trường hợp 1 đã xét.

4

 Cách 3:

Phương trình thứ nhçt cûa hệ suy ra x²y² 12 x y ^{x2y2 }



^{12 x y}



^{2 2 12 72}

12

y y

x y

  

  

(2) (sau khi xét y12 khôn thôa mãn hệ phương trình trên) Từ (2) có thể kết hợp với (1) để tìm y .

 Bài 2: Giâi phương trình:

 

3

2 3 3

3 1 2 1

x   x  2 x Cách 1:

Điều kiện để phương trình có nghiệm: ³



¹



^{3 2 3 1 3 3 2}

2 x  x   2



^{3 3 3}



3 2 2 0

2x x

    

   

2 2 2

3 3 3 3

3 3

3 0

2 2 2. 2 2

x x

x x

 

 

   

   

 

 

0

 x

Phương trình tương đương

 

2 3 3 3

3 1 2 1

x   x  2 x



^{4 23 x3 x 5}

 

^{4 3x2 1 7x 1}



⁰

        

   

        

2

2 2 2

3 3 3 3

1 63 78 3 1 15

0 4 3 1 7 1

16 2 4 5 2 5

x x x x x

x x

x x x x

    

  

  

     

 

     

2

2 2 2

3 3 3 3

63 78 3 15

1 0

4 3 1 7 1

16 2 4 5 2 5

x x x

x

x x

x x x x

 

    

    

  

     

 

 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...

 Cách 2:

Xét x2 thì ^{3 2 1 3}



¹



^{3 2 3 2 3}

2 2

x   x  x  x ² 5

6 0

x x 4

    (vô lý)

Xét x2, ta có các đánh giá

2

3

3 3

3 5

3 1

4 2 4

3 x x

x x

   



   



Suy ra ³



¹



^{3 2 1 3 2 3 3 2 5 4 3}

2 4 3

x x

x x x  

       _{ x 1}

Do x1 nên suy ra ^{3 2 1 3}



¹



^{3 3 2 3 1}

2 2

x x x x

      ^3



^x1



^{20 x 1}

 Bài 3: Giâi phương trình:

   

2 2

2 8

1 2 2

2 3

x x

x x

x x

     

  Điều kiện xác định: x 2

Khi đó phương trình tương đương



^x_x^2_²



_2x^x_^₃⁴

  

^{ x 1}



^{x 2 2}



 

2

      

2 2 2 2 4

1 2 2

2 3

x x x

x x

x x

    

    

 

     

2

2 2 4

2 2 1 0

2 3

x x

x x

x x

    

 

     

   

 



^{x 2 2}

 

^{ x 2 2}

 

^{x 4}

 

^{x 1}

 

^{x2 2x 3}



^{ 0}

           



^{x 2 2}



^



^{x 4}

 

^{x 2 x 1}

 

^{x 1}

 

^{x2 x 1}



^{ 0}

            



^{x 2 2}



^



^{x 4}

 

^{x 2 x 1}

 

^{x 1}

 

^{x 2 x 1}



^{x 2 x 1}



^{ 0}

                



^{x 2 2}



^{x 2 x 1}



^{x 1 x 2 x2 x 3 0}

            

Chú ý:



^x1



^{x 2 x2  x 3}



^x2



^{3 x 2 }_^x1₂^_^211₄ ^{   0 x 2}

Vậy phương trình tương đương 2 2 0

2 1 0

x

x x

   



   



Đến đåy bän đọc tự giâi ...

6



Bài 4: Giâi phương trình:

^5x16 ^{x 1 x2  x 20 5}



^{ 5x9}



Điều kiện xác định: x5

Chú ý: 5 16

5 9 5

5 9 5 x x

x

   

  (sau khi đã xét ¹⁶

x 5 không là nghiệm cûa phương trình) Phương trình trên suy ra

 

²

1 5 9 5 20

x x   x  x

^{x 1 5} ^{x 9} ^{5 x 1 x2 x 20}

       



^{x 1 5}



^{x 9}

 

^{5 x 1 x2 x 20}



²

       

   

2 2

2x 5x 2 5 x 1 x x 20

      



²

     

²



2 x 4x 5 3 x 4 5 x 4 x 4x 5

        



^{x2 4x 5 x 4}



^{2 x2 4x 5 3 x 4}



⁰

         

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 5: Giâi phương trình:

 

²

 

²

2 x2 5x  x1 x  5 7x5 Điều kiện xác định:

 5   x 5

Phương trình tương đương

  

²

   

²



2 x2 5x   2 x 1 x   5 3 0

       

2 2

2 2 1 1 1 2 2

0

5 2 5 3

x x x x x x

x x

     

  

   

    

2 2

2 1 2

2 1 0

5 2 5 3

x x

x x

x x

   

     

   

 

 

²

 

²

 

2 1

2 5 2 1 5 2 5

x x

x x x x x

 

  

       



Xét



^x2



^{5x2 2}



^x1



^{x2 5 2}



^x5



kết hợp với phương trình ban đæu ta có hệ

     

   

2 2

2 2

2 5 2 1 5 2 5

2 2 5 1 5 7 5

x x x x x

x x x x x

       



      



Xem 5x² và x²5 là hai èn cûa hệ phương trình bậc nhçt hai èn Đến đåy bän đọc tự giâi ...

 Bài 6: Giâi phương trình:

3 2 3 2 2

1 2 1 6 2

x   x x   x x 

Để ý thçy x²  x 1 0 và 2x²  x 1 0 với mọi x nên ta áp dụng bçt đẳng thức AMGM như sau



²

 

²



3 3

2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2

6 2 1 2 1 2

3 3

x x x x

x x x x x         x

          

Từ đó suy ra 6x² 2 x²2 hay x0

 Bài 7: Giâi phương trình:



²



²



²



²

 

4x x   x 1 x 5x 1 x  x 1 2 x4 4

Điều kiện xác định:

 

   

2 2

2 2

4 1 5 1 0

1 2 4 0

x x x x x

x x x

      



    



Chú ý: ^{4x x}



^{2  x 1}



^{x25x 1 0 suy ra 1}

x 2 Ta bình phương hai vế cûa phương trình để được

 

4 3 2 2

2 2 9 8 8 4 1 5 1

x  x    x x x x     x x x

   

 

2

3 2

2 2

8 4 5

2 2 7 0

4 1 5 1 2 1

x x x

x x x x

x x x x x x

       

      

8

 

 

2

3 2

2 2

8 4 5

2 2 7 0

4 1 5 1 2 1

x x

x x x x

x x x x x x

   

 

             

Chú ý: x³2x²2x 7 0 ; 4x²  x 5 0 và ^{4x x}



²     ^{x 1}



^{x2 5x 1 2x} ^{1 0} với mọi ¹ x 2 Vậy phương trình có 1 nghiệm là x0

 Bài 8: Giâi hệ phương trình:

 

2 2

2 4 0

2 2 3

xy x x x x

xy x x xy

      



    



Điều kiện xác định:

2 0 2 0 0 xy x xy x

  

  

 



Nhận thçy x0 không là nghiệm cûa hệ nên hệ tương đương

2 1 1 4

2 2

3

y x

x

y x x y

x x

     



  

      

  

 Đặt _y ² _a

 x và xb hệ tương đương s 1 1 4 3

a b

a b ab

    



  



  

2 1 1 14

3

a b a b

a b ab

     

 

  



(*)

Thế

a b   ab  3

lên phương trình thứ nhçt cûa (*) suy ra 2 ab ab  4 11 ab Đến đåy bän đọc tự giâi ...

 Câu 9: Giâi hệ phương trình:

       

2 4

2 4 2

4 12 16 9

1 1 1 1 0

x y y

x y y x x y

   



      



Điều kiện xác định: x0

Đặt:

x  a

và

y

²

 b

thì hệ tương đương

      

2

2 2

4 12 16 9

1 1 1 1 0

a b b

a b b a a b

   

       



Từ phương trình thứ nhçt cûa hệ ta được

16 2 12 9 4

b b

a  

 thế xuống phương trình thứ hai để được

5 4 3 2

256b 192b 32b 148b 139b290 (*)

Chú ý: (*) tương đương ₂₅₆ ^{3 3 2} ₄ ³ ₁₄₈ ² _{139 29 0 0} b b8  b  b  b   b Vậy hệ phương trình vô nghiệm

 Bài 10: Giâi phương trình:

2 2

2x 4x 4 2x   x 1 3 Phương trình tương đương

 

²

2 2 2

2 1 3

x  x  x x   x

Chú ý: ^{x2 }



^{x 2}



^{2  x2}       ^{x2 x 1 x 2 1 x}



^x  ²

 

^{1 x}



³ Vậy x0 là nghiệm cûa phương trình

 Bài 11: Giâi phương trình:

 

3 3 2 2

5 14 9 2 2 1 1

x  x  x  x x  x 

Điều kiện:

3 2

2

5 14 9 0 2 1 0

x x x

x x

    



  



 

3 3 2 2

5 14 9 2 2 1 1

x  x  x  x x  x 



^{x 2 3 x3 5x2 14x 9}



^{2 x2 2x 1}

        

     

2

2

2 3 3 2 3 3 2 2

2 1

2 2 1 0

2 2 5 14 9 5 14 9

x x

x x

x x x x x x x x

 

    

         

10

     

2 2

2 3 3 2 3 3 2 2

2 1

2 1 2 0

2 2 5 14 9 5 14 9

x x

x x

x x x x x x x x

 

   

     

         

 

 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...

 Bài 12: Giâi hệ phương trình:

2 2

2 2

78 20

78 15

x y

x y y x

x y

  

 



  

 



Hệ tương đương:

 

 

3 2 2 2

3 2 2 2

78 20 78 15

x xy y x y

y x y x x y

    



   



Xét x0 hoặc _y0 đều không thôa mãn hệ

Nhån phương trình đæu với

x

và phương trình hai với y để có hệ

 

 

4 2 2 2 2

4 2 2 2 2

78 20 78 15

x x y xy x x y

y x y xy y x y

    



   



Trừ vế theo vế:

      

4 4 2 2 2 2 2 2

20 15 20 15 0

x y   y x y  x y  x y x y 

  x

³

xy

²

 20 x

²

 15 xy  0

Ta có hệ:

 

3 2 2

3 2 2 2

20 15 0

78 20

x xy x xy

x xy y x y

    



   



Lçy phương trình thứ hai trừ vế theo vế với phương trình thứ nhçt, ta được

2 2

2 xy  15 xy  78 y  20 y

Hay

2xy15x7820y

Vậy cuối cùng ta có hệ:

2 2

2 15 78 20 0 20 15 0

xy x y

x y x y

   

    

 Đến đåy bän đọc tự giâi ...

 Bài 13: Giâi phương trình:



^{1 x1}

 

^{2x22x   1 x 1}



^{x x}

Phương trình tương đương



^{1 x1}

 

^{2x22x   1 x 1}



^{x x}



^{2 2 2 1 1}

 

^{1 1}



x x x x x x x

       

 

2x2 2x 1 x 1 x 1 1

       

   

2x2 2x 1 x x 1 x 1 x 0

 

        

 

2 2

2

3 1 3 1

1 0

2 2 1 1

x x x x

x x

x x x x

   

  

      Đến đåy bän đọc tự giâi ...

 Bài 14: Giâi phương trình:

3

2 3 2

4x  6 2 x  x 7x 12x6 Điều kiện: ^{3 7 2 12 6 0}

4 6 0

x x x

x

    

  



Phương trình tương đương

3

2 3 2

4x  6 2 x  x 7x 12x6



^{x2 2}

 

^{3 x3 7x2 12x 6 4x 6}



⁰

        

   

 

3 2 3

2

3 3 2 2 3 3 2

7 12 6 4 6

2 0

7 12 6 7 12 6 4 6 4 6

x x x x

x

x x x x x x x x

      

 

   

         

 

 

    

   

2 4 3 2

2

2 3

3 3 2 3 3 2 3 2

2 14 75 144 90

2 0

7 12 6 7 12 6 4 6 4 6 7 12 6 4 6

x x x x x

x

x x x x x x x x x x x x

    

   

                  

   

 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...

 Bài 15: Giâi phương trình:

12

2 3 2

4 5 5 1 0

x  x  x    x x Điều kiện: x³x²  x 1 0 hay x 1

Phương trình tương đương

2 3 2

4 5 5 1 0

x  x  x    x x



^{x2 x}



⁵



^{x 1 x3 x2 x 1}



⁰

        



₂

 

²



2

5 1

0

1 1

x x x

x x

x x

 

   

  



²



^{1 5 1}₂ ⁰

1 1

x x x

x x

  

    

  

 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...

 Bài 16: Giâi phương trình:

3 3

4 x4x  6 4 x x  3 24 x2

Điều kiện:

3 3

4 6 0

3 0 2 0

x x

x x x

   

   

  



Đặt ⁴ x4x³  6 a 0 và ⁴ x x   ³ 3 b 0 Phương trình tương đương

4 4

4 4

2 3

b a

a b 

  ^3



^ab



^{416 4}



^b4a4





^{a b}

 

^{19a3 31a b2 49ab2 61}



⁰

     

Vậy ab

Đến đåy bän đọc tự giâi ...

 Bài 17: Giâi phương trình:

 

²

3 2x 1 2x1 4 4x  1 8x

Điều kiện: ¹ x 2

Đặt

2 x   1 2 x    1 a 2

suy ra 2a²4 4x² 1 8x Phương trình tương đương 3a2a²

Đến đåy bän đọc tự giâi ...

 Bài 18: Giâi hệ phương trình:

2 6 2

2 3 2

y x x y

y

x x y x y

    



     

 Điều kiện: 2 0

2 0

x y

x x y

 



  



Xét _y0 không là nghiệm cûa hệ Trường hợp 1: _y0

Phương trình thứ nhçt cûa hệ trương đương ² 6 x₂ x₂ ²

y  y  y  y ₂ 2 ₂ 2

6 0

x x

y y y y

 

     

 

Trường hợp 2: _y0

Phương trình thứ nhçt cûa hệ trương đương ² ₆ ^x₂ ^x₂ ²

y  y  y  y ₂ 2 ₂ 2

6 0

x x

y y y y

 

     

 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...

 Bài 19: Giâi phương trình:

 

   

2

2 2

2

8 1 2 2 3

2 2 1 1

x x x x

x x

 

  

  Phương trình tương đương

 

   

2

2 2

2

8 1 2 2 3

2 2 1 1

x x x x

x x

 

  

 



^{2 2}

 

^{x4 8 6 2}



^{x3 4x2}



^{6 2 8}



^{x 2 2 0}

         



^{x 1 2}

 

^{x3 3 2}

 

^{x2 5 4 2}



^{x 2 1 0}

           Đến đåy bän đọc tự giâi ...

14

 Bài 20: Giâi phương trình:

 

³

1 1 2 1 2 2 2

x 1 x x x

  x     

 Điều kiện: x1

Cách 1:

Phương trình tương đương

 

³

1 1 2 1 2 2 2

x 1 x x x

  x     



 

¹

 

³

1 1 1 1 2 2 2 0

1

x x x x x

x

 

           



²



^{1 1 32 2 0}

1 1 1

x x x

x x

  

      

  

 



^{x 2}



^ _x^x_{1 1}^1 _x¹ ₁ ^1



^{32x 2 1}



^{ 0}

           

 

  

³



^{2 3}

2 3 2 3

2 0

1 1 1 2 2 2 2 1

x x

x

x x x x

 

 

 

           

  



¹

 

³



^{2 13}

2 2 3 0

1 1 1 2 2 2 2 1

x x

x x x x

 

 

            

2 3 2 x x

 



 

 Cách 2:

Phương trình 1 1 ³

2 2 0

1 1 1

x x

x x

    

   sau khi liên hợp læn thứ nhçt ở cách 1 còn có hướng xử lý sau

Phương trình tương đương 1 1 3

2 2 0

1 1 1

x x

x x

    

  

 

³

1 1

2 2 0

1 1 1

x x

x x x

     

   

 



²



^{1 1 1}

 

^{1 1}



^{32 2 1}



⁰

2 1 2 1 2 1 2 1 1

x x

x x x x x

 

         

        

   

  

³



^{2 3}

2 3 1

2 3 2 3

0

2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1

x x

x x

x x x x x x x

 

 

   

 

            

Đến đåy bän đọc tự giâi ...

 Bài 21: Giâi phương trình:

 

2 ³

 

^{2 2}

2

2 3 3 21 2

3 3

x x

x x

  

 

 Phương trình tương đương

 

2 ³

 

^{2 2}

2

2 3 3 21 2

3 3

x x

x x

  

 





^{x 3}



²



^{x2 3}



^{2x2 21 2 33}



^{x 3}



²

      



^{x 3}

 

^{x3 3x2 3x 1 2x 2}



^{2 33}



^{x 3}



^{2 3}

         

Nhận thçy x 3 không là nghiệm nên phương trình tương đương



¹



^{3 2}



¹



^{3 23 3}

3 3

x x

x x

    

  ³

1 3 x 3

   x

 ^x_



^x2



^{3 2}_ ⁰

Đến đåy bän đọc tự giâi ...

 Bài 22: Giâi phương trình:

2 2

1 2 x  9x 18 x x 14x53 Điều kiện: 6

3 x x

 

 

Phương trình tương đương

2 2

1 2 x  9x 18 x x 14x53 (1)



^{x 1}

 

^{x2 14x 53 2 x2 9x 18}



⁰

        

16



^{1 1}



₂ ^{19 3} ₂ ⁰

14 53 2 9 18

x x

x x x x

  

    

    

 

Xét 2 2

1 19 3 0

14 53 2 9 18 x

x x x x

  

    

2 2

14 53 2 9 18 19 3 0

x x x x x

         (2) Kết hợp (1) và (2) để giâi ...

 Bài 23: Giâi phương trình:

1 2 2 3 3 1 2 1

x x  x x  x x  x  Điều kiện: x 1

Chú ý: ^{x1 x 2 x2 x 3 x3 x 1 x2 x 3 x2 1 5}^x1^{ x21} Vậy, x 1

 Bài 24: Giâi phương trình:

3 2 2 2 2

2x  x 4x 1 x 3x 2x 15x 2x Điều kiện có nghiệm: 2x³x²4x 1 0 1

x 4

 

Phương trình tương đương

3 2 2 2 2

2x  x 4x 1 x 3x 2x 15x 2x

   

2 2 2

3 2 1 15 2 4 1 0

x x x x x x x

        



^{2 6 1}



₂ ² ₂ ^{1 0}

3 2 1 15 2 4 1

x x x

x x x x x x

 

     

     

 

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Bài 25: Giâi hệ phương trình:

   

 

²

3 3 3 3

1

3 1 2 1 1 2 1 2 2

x y y x x y

y x

xy xy

y x x y x x

   

 

  



         



Phương trình thứ nhçt cûa hệ tương đương



^{3 3}

    

1

xy x y x y x y

xy xy xy

   

  

  

3 3 1

x y

xy xy x y xy xy

 



     

Xét ^{3xy3 xy }



^{x y}



^{xy xy1}



tương đương



^{xy xy 1 2}



^{ x y}



^{ 1 xy}



^xy2



Chú ý ^1xy



^xy2

 

^{ xy xy1 2}



^{ x y}

 

^{ xy xy1 2}



^{24 xy}



Suy ra



^1t4



^t22

 

^{ t4 t2 1 2 2}

 

^{ t}



^{với t 4 xy}

Hay ^{t t}



^1



²



^{2t2 t 2}



^{0(vô lý)  t 1}

Điều kiện rút ra từ phương trình thứ hai:

2

1

1 2 0

x

x y

 

   



1

0 1

x y

 

    , nếu _xy1 thì _{x y 1} (không thôa mãn)

Vậy x y thế xuống ta được



^3x1



^{2x 1 1 x}



^1x



^{2x 1}



^2x2

 

2x 1 3x 1 x 2x 1 2x 1 1 1 x 0

           

  

2x 1 1 x 2x 1 2x 1 1 1 x 2x 1 1 1 x 0

              



^{2x 1 1 1 x}



^{2x 2}



^{1 x}



^{2x 1}



^{ 0}

           Đến đåy bän đọc tự giâi ...

 Bài 26: Giâi phương trình:

2

2 5 4 2 4 1

x  x    x   x

Điều kiện: ⁵ ₂ 2 x

   . Điều kiện có nghiệm thì ¹ ₂ 4 x Chú ý: ^{2x 5 42x }



^2x5

 

^{ 42x}



^3

Suy ra 4x 1 x²3 hay



^x2



^{2 0  x 2}

18

Bài 27: Giâi phương trình:



^3x1



^{2x 2}



^5x7



^{3x 2 2}



^x4



^{4x 3 0}

Điều kiện: ³ x 4

Đặt ^{f x}

  

^{ 3x1}



^{2x 2}



^5x7



^{3x 2 2}



^x4



^4x3

Xét x4 thì ^{f x}

 

^0

Xét 2 x 4 thì ^{f x}

  

^{ 3x1}



^{2x  2 6 2 4}



^x



^{4x 3 7 6 6 160}

Xét ³ 2

4 x . Ta có các bçt đẳng thức sau

3 2 5 2 2

3 4 3 2 1 4 3

3 x x

x x

    



    



Suy ra

  

^{3 1}



^{3 2 5}



^{5 7}



^{3 2 2}



⁴



^{4 3 2 1 0}

3 3

x x

f x x     x x x    

          ^{ x 1}

 Bài 28: Giâi phương trình:

2

6 2 3.

3

5

x    x x  x 

Điều kiện: ³ x 2

Phương trình tương đương

2

6 2 3.

3

5

x    x x  x 

   

2 3

6 1 2 3 2 3 5 1

x x x x x x x

          

             

2

2 2

3 3

3 2 2 3

1 2 3 3 5 1 2 3 0

2 5 1 5 1

x x x

x x x x

x x x x

  

 

         

     

   

           

2

2 2

3 3

3 5 1 2 3 3 2 2 3

0