Hướng dẫn giải một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử – Lê Hồng Quốc - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 1 Câu 1. (Đề khảo sát của Bộ dành cho 50 trường) Xét số phức z thỏa z i  13. Tìm giá trị nhỏ nhất

T của z 9 5i.

A. T2 13. B. T3 13. C. T 13. D. T4 13.

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Đặt zxyi (với x y, ). Khi đó z i  13 ^x2



^y1



^213.

Cách 1. Đại số.

Chọn 13 sin 13 cos 1

x t

y t

 

  



.

Ta có ^{P z 9 5i2}



^x9



^2



^y5



^2



^{13 sint9}

 

^{2 13 cost6}



²



^{2 2}

  

13 sin t cos t 18 13 sint 12 13 cost 117 130 6 13 3sint 2 cost

       

 

130 78sin t  52 P 208

      , với

sin 3

13 cos 2

13





 





 



.

Vậy T2 13. Cách 2. Hình học.

Đặt w z  9 5i w  z 9 5i ^{ w2}



^x9

 

^{2 y5}



² suy ra tập hợp các số phức w nằm trên đường tròn

 

C có tâm là 1 ^A



^{9; 5}



, bán kính R₁.

Mà z i  13 ^x2



^y1



^213 suy ra tập hợp các số phức w nằm trên đường tròn

 

C có tâm 2

là ^B



^{0; 1}



, bán kính R₂ 13.

Gọi C là điểm thuộc đường tròn

 

C , suy AC1  w , mà C thuộc

 

C , suy ra 2

2 2

AB R ACAB R , ta có ^{AB  }



^{9; 6}



^{AB 1173 13} suy ra 2 13AC4 13. Vậy 2 13

T .

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình ^4z24



^m1



^{z m 23m0} có hai nghiệm phức thỏa z₁  z₂ 2.

A. 0. B. 1 . C. 2 . D. 4 .

Hướng dẫn giải.

Chọn C.

Cách 1:

' 4m 4

   .

Trường hợp 1: ' 0  m 1. Khi đó phương trình 4z²4



m1



z m ²3m0 có hai nghiệm là z1 a bi, z₂ a bi với ,a b.

Ta có z₁  z₂ 2 a²b² 1

 

^{1 .}

Theo định lí Vi-ét ta có

2 1 2

3 4

m m

z z 



 

^{2 , từ}

 

^{1 và}

 

^{2 suy ra 1}

4 m m

  

 



.

Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 2 Suy ra m 

 

^{3 .}

Trường hợp 2: ' 0  m 1 phương trình đã cho có hai nghiệm z₁z₂1, suy ra z₁  z₂ 2. Suy ra m 1 thỏa

 

4 .

Trường hợp 3:  ' 0 m 1. Khi đó phương trình có hai nghiệm thực z z thảo hệ thức Vi-ét ₁, ₂

1 2

2 1 2

1 3 4

z z m

m m

z z

   

 

 



.

Theo đề ta có z₁  z₂ 2  z₁² z₂²2z z_{1 2} 4 



z1z2



²2z z1 2 2z z1 2 4



¹



^{2 2 3 2 3 4}

2 2

m m m m

m  

    

 

^{2 2}

2

1 4 3 0

3

3 3 0

m khi m m

m

m khi m m

    

  

   



 

^{5 .}

Vậy từ

 

^{3 ,}

 

^{4 ,}

 

^{5 suy ra m3, m 1 thỏa.}

Cách 2:

Phương trình ^4z24



^m1



^{z m 23m0} luôn có hai nghiệm phức z z₁, ₂, theo định lí Vi-ét ta có

1 2

2 1 2

1 3 4

z z m

m m

z z

   

 

 



. Theo yêu cầu bài toán ta có z₁  z₂ 2  z₁² z₂²2z z_{1 2} 4

2 2

1 2 1 2

2 1 2 4 2

z z z z

   z z

    z1z2²



z1z2



²4z z1 2 4z z1 2 8



^{m 1}



²



^{m 1}



^{2 m2 3m m2 3m 8}

         ^



^m1



^{2 m1 m23m 8}

     

      

     

2 2

2 2

2 2

1 1 3 8 1

1 1 3 8 1; 0 3;

1 1 3 8 0 3

m m m m khi m

m m m m khi m

m m m m khi m

        



   

          

        





2 2

2 6 8 0 1

2 4 6 0 1; 0 3;

2 6 0 0 3

m m khi m

m m khi m

m khi m

     

   

       

    



1 3

m m

     . Vậy m3, m 1 thỏa.

Câu 3. (THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho z thỏa mãn



^{2 i z}



^{10 1 2i}

  z   . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức ^w



^{3 4 i z}



^{ 1 2i} là đường tròn tâm I , bán kính R . Khi đó

A.



^{1; 2}



5 I

R

  



 



. B.



^{1; 2}



5 I R



 



. C.



^{1; 2}



5 I

R

 



 



. D.



^{1; 2}



5 I R

 



 



. Hướng dẫn giải

Chọn

Nhận xét. Ở đây đề cho lỗi, vì chỉ có 1 số phức z thỏa



^{2 i z}



^{10 1 2i}

  z   , nên tập hợp điểm

Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 3

 

* Lời giải sai.

Ta có

   

2

10 10

2 i z 1 2i 2z 1 z 2 i z

z z

         .

Lấy môđun hai vế ta được

  

²



² 2

2 2 1 10

z z

z

    (Do z  z ).

  

²



² 2

2 2 1 10

z z

z

    ²

2

5z 5 10 z 1 w 1 2i (3 4 ) .i z 5 z

           .

Do đó tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn



^{1; 2}



5 I

R

 



 



.

 

* * Lời giải đúng.

Ta có

   

2

10 10

2 i z 1 2i 2z 1 z 2 i z

z z

         .

Lấy môđun hai vế ta được



^{z 2}

 

^{2 2z 1}



^{2 10}₂

z

    (Do z  z ).



^{z 2}

 

^{2 2z 1}



^{2 10}₂

z

    ²

2

5z 5 10 z 1

z

     . Thay z 1 vào



^{2 i z}



^{10 1 2i}

  z   ta được



²



^{10 1 2 10 10 3 10}

1 3 10 10

i i z i

z i

       

 suy ra   

 10 9 10 20 13 10

10 10

w i , suy ra điểm

biểu diễn của số phức w là 1 điểm.

Câu 4. (THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – L1) Cho số phức z thỏa mãn

  

2 2 5 1 2 1 3

z  z  z  i z  i . Tìm giá trị nhỏ nhất của w , biết rằng w  z 2 2i. A. min

3

w 2. B.

min 2

w  . C.

min 1

w  . D.

min

1 w 2. Hướng dẫn giải.

Chọn C.

Cách 1: Đại số.

  

2 2 5 1 2 1 3

z  z  z  i z  i ^



^z1



^{24i2 }



^{z 1 2i z}



^{ 1 3i}





^{z 1 2i z}



^{1 2i}

 

^{z 1 2i z}



^{1 3i}



         

 

 

1 2 0 1

1 2 1 3 2

z i

z i z i

   

       . +)

 

1   z 1 2iw  1 w 1

 

3 .

+) Đặt z a bi, với a b, . Khi đó ta có

 

^{2 }



^a1

 

^{ b2}



^{i }



^a1

 

^{ b3}



ⁱ



^{a 1}

 

^{2 b 2}



²



^{a 1}

 

^{2 b 3}



²

         4b4 6 b9 1 b 2

   , suy ra 3

2 2 w a   i



²



^{2 9 3}

4 2

w a

    

 

4 . Từ

 

3 ,

 

4 ta suy ra w_min1. Cách 2: Hình học.

Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 4

  

2 2 5 1 2 1 3

z  z  z  i z  i ^



^z1



^{24i2 }



^{z 1 2i z}



^{ 1 3i}





^{z 1 2i z}



^{1 2i}

 

^{z 1 2i z}



^{1 3i}



         

 

 

1 2 0 1

1 2 1 3 2

z i

z i z i

   

       . +)

 

^{1   z 1 2iw 1 w 1}

 

^{3 .}

+) Đặt z a bi, với a b, . Khi đó ta có

 

^{2 }



^a1

 

^{ b2}



^{i }



^a1

 

^{ b3}



ⁱ



^{a 1}

 

^{2 b 2}



²



^{a 1}

 

^{2 b 3}



²

        1

4 4 6 9

b b b 2

        , suy ra 3

2 2

w  a i, suy ra tập hợp các số phức w nằm trên đường thẳng ³

 

y2  , suy ra _{ ; } 3

O 2

w d _  .

Câu 5. (Chuyên ĐH Vinh – L3) Cho hai số phức z , w khác 0 và thỏa z w 2z  w . Phần thực u z

w là

A. 1

8. B. 1

4. C. 1 . D. 1

8. Hướng dẫn giải.

Chọn D.

Ta có z w 2z  w

1 2

1 z

w z w

w

 



 

 

 



1 2

1 z

w z w

w

 



   



1 2 1 1 u u

 

 

  



, đặt u a bi  , với a b, , khi đó

ta được hệ phương trình

 

2 2

2 2

1 4

1 1

a b

a b

  



   



3 1

2 1

4 8

a a

      .

Câu 6. Biết rằng khi m a , với a và m là các số thực, thì phương trình



^{1i x}



^2



^{m i x}



^{ 1 0 không}

có nghiệm thựC. Chọn mệnh đề đúng.

A. ^{a }



^1;1



^{. B. a}



^{1; 5}



^{. C. a}



^3;6



^{. D. a }



^3;1



^.

Hướng dẫn giải.

Chọn D.

Giả sử phương trình có nghiệm thực là x b , khi đó ta có



^{1i b}



^2



^{m i b}



^{ 1 0}

 

2 2

1 0

b mb b b i

     

2 2

1 0 0 b mb b b

   

 

  



1 2 b m

  

   

, suy ra m 2 thì phương trình



^{1i x}



^2



^{m i x}



^{ 1 0} không có nghiệm thực.

Câu 7. (THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho hai số phức z₁, z₂ khác thỏa 0, z₁z₂0 và

1 2 1 2

1 1 2

z z z z

 . Tính giá trị biểu thức ¹

2

z z . A. 2

2 . B. 3

2 . C. 2 3 . D. 2

3. Hướng dẫn giải.

Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 5 Chọn A.

Theo đề, ta có

1 2 1 2

1 1 2

z z z z

 z z1 2



z1z2



2z1z2



2z₁²2z z_{1 2} z²₂0 ¹

2

1 1 2 2

z i

z   

1 2

2 2 z

 z  .

Câu 8. (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp – L2) Gọi M là điểm biểu diễn số phức

2

1 w z z

z

 

 , trong đó z là số phức thỏa mãn



1i z



2i



  2 i 3z. Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho



^{Ox ON ,}



^2, trong đó ^{ }



^{Ox OM ,}



là góc tạo thành khi quay tia Ox tứi vị trí của tia OM . Điểm N nằm ở góc phầ tư nào?

A. Góc phần tư thứ nhất. B. Góc phần tư thứ tư.

C. góc phần tư thứ ba. D. Góc phần tư thứ hai.

Hướng dẫn giải.

Chọn B.

Theo đề, ta có



^{1i z}



^2i



^{  2 i 3z 3 6}

5 5

z i

   11 56

15 45

w i

   , suy ra 56

tan  33, ta có

2

2

2

56 1089 3696 sin 2 2 sin .cos 2 tan .cos 2. .

33 4225 4225

2 1089 2047

cos 2 2 cos 1 .2. 1

4225 4225

tan 1

    

 



      





      

 



.

Câu 9. (THPT Thanh Chương 1 – Nghệ An – L2) Cho số phức z₁ thỏa z2² z i ²1 và số phức z2 thỏa z  4 i 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của z₁z₂ ?

A. 2 5

5 . B. 5 . C. 2 5 . D. 3 5

5 . Hướng dẫn giải.

Chọn D.

Đặt z₁ a bi, z₂  c di (a b c d, , , ).

Ta có số phức z₁ thỏa z2² z i ²1 suy ra



^a2



^2b2_^a2



^b1



^2_^{12a b 1}, suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z₁ nằm trên đường thẳng 2xy1

 

^{ .}

Lại có số phức z₂ thỏa z  4 i 5 suy ra



^c4

 

^{2 b1}



^25, suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z₂ nằm trên đường tròn

 

^{C có tâm}



^4;1



I , bán kính r 5.

Biểu diễn

 

^{C và}

 

^ lên mặt phẳng tọa độ, ta suy ra _{1 2 ; }

min

3 5

I 5

z z d _  r .

Câu 10. (THPT chuyên Biên Hòa – Hà Nam) Cho ba số phức z₁, z₂, z₃ thảo mãn điều kiện

1 2 3 1

z  z  z  và z₁z₂z₃0. Tính Az₁²z₂²z₃².

A. 1 . B. 0 . C. 1 . D. 1 i .

Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 6 Hướng dẫn giải.

Chọn B.

 

²

   

2 2 2

1 2 3 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 3 1

Az z z  z z z  z z z z z z   z z z z z z

 

2 2 2

1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 1 1

2 2 z z z 2

z z z z z z z z z z z z

z z z z z z

 

   

            

 

   

Mà z₁z₂z₃ 0 z₁z₂z₃0. Vậy A0.

Câu 11. (THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP.HCM) Cho z z₁, ₂ là hai số phức khác 0 thỏa

2 2

1 2 1 2 2 2 0

z  z z  z  . Biết z z₁, ₂ có điểm biểu diễn lần lượt là M,N. Tính góc OMN 

A.30^o. B. 45^o. C. 60^o. D. 90^o.

Hướng dẫn giải.

Chọn B.

 

 

1 2

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2 0 1

1

z i z

z z z z

z i z

  

    

 

 . Vì hai trường hợp này là như nhau nên tối chỉ trình bày một trường hợp như sau.

Với z1



1i z



2, đặt z₁ a bi, z₂ c di (với a b c d, , , ) và z₁, z₂ lần lượt có điểm biểu diễn là



^;



M a b , ^N



^{c;d .}



^{Khi đó} 1

 

2 ¹ 2 2 2 2

2

1 z 1 ac bd bc ad 1

z i z i i i

z c d c d

 

        

 

2

2 2 1 2

ac bd

ac bd z c d

     

 , mà ¹ _{1 2}

2

1 2

z i z z

z     . Ta có ^{OM}



^{a b;}



^{, NM}



^{a c b d ; }



^.



   

 

2 2

2 2 2 2 2 2

cos cos ,

. 2

a b ac bd

OMN OM NM

a b a b c d ac bd

  

 

     

  ^{2 2 2}

1 2 2

2 2

2 2

1 1 2

1

2 2

z z z

z z z z z

   

 , suy ra OMN45^o.

Câu 12. (Đề minh họa – L3) Xét các số phức z thỏa mãn z  2 i z 4 7i 6 2. Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z 1 i. Tính P m M  .

A. P 13 73. B. 5 2 2 73

P 2

 . C. P5 2 73. D. 5 2 73

P 2

 .

Hướng dẫn giải.

Chọn B.

Cách 1. Đại số.

Đặt z a bi, với a b, . Khi đó ta có z  2 i z 4 7i 6 2



^{a 2}

 

^{2 b 1}



²



^{a 4}

 

^{2 b 7}



^{2 6 2}

         , xét các điểm ^{N a b ,}



^;



^A



^2;1



^{, B}



^4;7



, khi đó ta được NA NB 6 2AB, suy ra N, A , B thẳng hàng (N nằm giữa A và B ). Phương trình đường thẳng AB x y:  3 0 , suy ra ^{N a a}



^{; 3}



^{(  2 a 4).}

Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 7 Theo đề ^{z  1 i}



^a1

 

^{2 b1}



^{2 }



^a1

 

^{2 a4}



^{2  2a26a17  f a}

 

^.

 

/

2

2 3

6 17 f a a

a a

 

 

; ^/

 

^{0 3}

f a  a 2 . Ta có bảng biến thiên như hình bên.

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra 5 2

m 2 , M 73. Vậy 5 2 2 73

P 2

 .

Cách 2. Bất đẳng thức.

Đặt z a bi, với a b, . Khi đó ta có z  2 i z 4 7i 6 2



^{a 2}

 

^{2 b 1}



²



^{a 4}

 

^{2 b 7}



^{2 6 2}

        

 

1 , áp dụng bất đẳng thức Mincopxki ta có

 

¹



^{2 4}

 

^{2 1 7}



^{2 6 2}

VT  a  a  b  b  , dấu " " xảy ra



^{2 7}

  

⁴



¹



³

2; 4 , 1;7 2; 4 , 1;7

a b a b b a

a b

a b

        

 

 

   

  

   

       

     



.

Theo đề ^{z  1 i}



^a1

 

^{2 b1}



^{2 }



^a1

 

^{2 a4}



^{2  2a26a17  f a}

 

^.

 

/

2

2 3

6 17 f a a

a a

 

 

; ^/

 

^{0 3}

f a  a 2 . Ta có bảng biến thiên như hình bên.

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra 5 2

m 2 , M 73. Vậy 5 2 2 73

P 2

 .

Cách 3. Hình học.

Đặt z a bi, với a b, . Khi đó ta có z  2 i z 4 7i 6 2



^{a 2}

 

^{2 b 1}



²



^{a 4}

 

^{2 b 7}



^{2 6 2}

         , xét các điểm ^{N a b ,}



^;



^A



^2;1



^{, B}



^4;7



, khi đó ta được NA NB 6 2AB, suy ra N , A , B thẳng hàng ( N nằm giữa A và B ). Phương trình đường thẳng AB x: y30.

Theo đề ^{z  1 i}



^a1

 

^{2 b1}



² , xét điểm I



1; 1



suy ra



¹

 

^{2 1}



²

IN a  b , khi đó

 



^;

 

^; 



min IA IB; ;d_{I AB} INMax IA IB; ;d_{I AB}

 

min ;

max

d 5 2 2 73 m IN I AB

M IN IB

   

 

   



.

Vậy 5 2 2 73

P m M 2

   .

Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 8 Câu 13. (THPT Thị xã Quảng Trị) Cho số phức z a bi (a b, ) thỏa mãn z không là số thực và

2 2

1 1 z z z z

 

  là số thựC. Tính

4 4

6 6

1 1

a b

M a b

 

   . A. 1

2. B. 2

3. C. 4

3. D. 1

3. Hướng dẫn giải.

Chọn B.

z a bi, với a b, . Vì z không là số thực nên b0.

Ta có

   

   

2 2

2

2 2 2

1 2

1

1 1 2

a b a ab b i

z z

w z z a b a ab b i

    

   

       , suy ra phần ảo của số phức w là

   

2 3

2 2

2 2

2 2 2

1 2

b a b b

a b a ab b

 

    

, mà

2 2

1 1 z z z z

 

  là số thực suy ra

4 4

2 2 2 2 1

1 2

a b

a b a b  

    , ta có

    

4 4 4 4 4 4

6 6 2 2 4 4 2 2

4 4

1 1 1 2

3 3

1 1 1

2

a b a b a b

M a b a b a b a b a b

     

   

       

.

Câu 14. (Thầy Trần Trọng Trị - THPT Gia Định – TP.HCM) Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn điều kiện

1 1 1

2z  i z z 2i và z₂10 i 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của z₁z₂ ?

A. 3 5 1 . B. 101 1 . C. 101 1 . D. 10 1 .

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Cách 1.

Ta có 2 z₁ i z₁z₁2i suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trên parabol ₁

 

2

: 4

P yx . Và z₂10 i 1 suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z₂ nằm trên đường tròn

  

^{C : x10}



^2



^y1



^21. Xét đường tròn

  

^{ : x10}

 

^{2 y1}



^{2 k với k}



^{0; }



tiếp xúc với

 

P . Giải điều kiện tiếp xúc

 

^{ và}

 

^P

Ta có



^x10

 

^{2 y1}



^2k

 

 

 

 

 

 

2 2

2

2

' 10

1 10 10

1 10 ' 10

10 y x

y k x k x

y k x y x

k x

 

  

       

 

       

  



.

 

^{ và}

 

P tiếp xúc nhau khi hệ phương trình sau có nghiệm

TH1:

 

 

 

 

2 2

2 2

1 10

4 10

0 4 45

10 2

2 4 1

10 k x x

x x

x k

x x x

k x

    

 

       

 

 

 

  



.

Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 9

TH2:

 

 

 

 

2 2

2 2

1 10

4 10

0 4 45

10 2

2 1 4

10 k x x

x x

x k

x x x

k x

    

 

       

 



 

  



.

Ta suy ra k45. Vậy

1 2

Min_zz 3 5 1 . Cách 2.

Ta có 2z₁ i z₁z₁2i suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z₁ nằm trên parabol

 

^{: 2}

4 P yx . Và z₂10 i 1 suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z₂ nằm trên đường tròn

  

^{C : x10}



^2



^y1



^{2 1}. Đường tròn

 

C có tâm là ^I



^{10; 1}



^{bán kính R1.}

Xét điểm

 

2

; 4 A a a  P

 

 

, khi đó ²

 

^{4 2 20 101}

16 2

a a

IA  f a    a ; ^/

 

^{3 20}

4

f a a  a ;

 

/ 0 4

f a   a , lập BBT suy ra ^{Minf a}

 

^45 suy ra MinIA3 5. Vậy Min_z1_z2 3 5 1 .

Câu 15. Cho số phức z thỏa z2  z2 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z3³ z

A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 4 .

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Đặt zxyi, với a b, . Khi đó ta có z2  z2  6



x2



²y²  x²



y2



² 6. Xét điểm F₁



2; 0



, F₂



2; 0



và M x y , suy ra ta có biểu thức



;



1 2 6 2.3

MF MF   , suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường elip có phương trình

2 2

9 5 1 y

x   (với

3, 5, 2

a b c ). Tọa độ các đỉnh trên trục lớn là

 

1 3; 0

A  , A2



3; 0



, các đỉnh nằm trên trục bé là

 

1 0; 5

B  , ^B2



^{0; 5}



^.

Ta có z3 



x3



²y² MA1, z MO ( O là gốc tọa độ). Suy ra PMA₁³MO.

Lại có ^{1 1}

1 2

Min Max

MA M A

MO M A hay M A

  



  



1

1 2

Min 0

Max 3

MA

MO OA OA

 

 

  



. Vậy P_min 3.

Câu 16. (THPT chuyên Hưng Yên –L3) Cho số phức z thoả mãn z 3 4i  5. Gọi M và m lần lượt là gia trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z2² z i ². Tính modun của số phức wMmi

A. w 2 314. B. w 2 309. C. w  1258. D. w 3 137. Hướng dẫn giải

Chọn C.

Đặt zxyi . Ta có ^P



^x2



^2y2_^x2



^y1



^2_^{4x2y3}

Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 10 Mặt khác ^{z 3 4i  5}



^x3

 

^{2 y4}



^{25, đặt x 3 5 sin ;t y 4 5 cost.}

Suy ra P4 5 sint2 5 cost23 , ta có 10 4 5 sin  t2 5 cost10. Do đó 13P33 w  1258.

Câu 17. (THPT chuyên Hưng Yên –L3) Cho số phức w, biết rằng z₁w2i và z₂ 2w4là hai nghiệm của phương trìnhz²az b 0với a,b là các số thựC. TínhT z₁  z₂ .

A. 8 10

T 3 . B. 2 3

T 3 . C. T5. D. 2 37

T 3 . Hướng dẫn giải

Chọn A.

Đặt wxyi. Theo Viet ta có: z1z2  a 3w2i 4



3x4

 

 3y2



i là số thực nên 2 y3. Lại

có _{1 2} 2 4

2 2 4

3 3

z z b x i i x i 

       

   là số thực.

Suy ra ^{4 2 4 4}



^{2 4}



⁴



⁴



¹⁶

3 3 3 9

x i x i x x i x

  

       

  

   là số thực suy ra x4

Do đó ₁ 2 4

4 2 4

3 3

z   i i  i, ₂ 4 8 10

4 3 3

z   iT .

Câu 18. (THPT Thái Nguyên – L2) Tập hợp các số phức ^w



^{1i z}



^{1 với} z là số phức thỏa mãn 1 1

z  là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó.

A. 4 . B. 2 . C. 3 . D.  .

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt wxyi, với x y,  thì



1



1



1



1



2 2



1

 

1



w i z w i z   i w i   z i z

      

²



²

 

²

2 1 1 2 1 2 1 2

w i z i z x y z

              , suy ra tập hợp số phức cần tìm nằm trên hình tròn bán kính R 2 có tính biên.

2 2

S R 

   .

Câu 19. (THPT Thái Nguyên – L2) Cho số phức z có môđun là 3, biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức ^{w 3 2i}



^{2i z}



là một đường tròn thì có bán kính là?

A. 3 2 . B. 3 5 . C. 3 3 . D. 3 7 .

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt wxyi, với x y,  thì ^{3 2}



²



^{3 2}

2

x yi i

x yi i i z z

i

  

      





^{2 1}



^{2 8}

2 2 6 4 3 2

5 5

i x y x y

x yi i xi y i

z        z     

   

 

²

 

^{2 2 2}

3 2 1 2 8 25.9 5 5 30 20 65 29.5

z   x y  x y    x  y  x y 

 

²

 

²

2 2

6 4 13 45 3 2 45 3 5

x y x y x y R

             .

Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 11 Câu 20. (THPT Thái Nguyên – L2) Cho số phức z a bi, với a b,  thỏa mãn



^{1 1}

  

1

z iz

i z z

 





. Tính

2 2

a b ?

A. 3 2 2 . B. 2 2 2 . C. 3 2 2 . D. 4.

Hướng dẫn giải Chọn A

Điều kiện 0 1 z z

 



  



.

Khi đó



^{1 1}

  

1

z iz

i z z

 







¹

 

¹



z iz z i

    ^



^{z i z 2}



^



^{z 1}



^{i z}



^{z  1 z2}



ⁱ

2

2

1 1

z z z

z z z

   



    



2

2

1 0

2 1 0

z

z z

  



   



1 2

z

    z²3 2 2 .

Câu 21. (THPT chuyên KHTN – Hà Nội – L5) Cho z z₁, ₂ là 2 số phức bất kỳ, giá trị biểu thức:

2 2

1 2

2 2

1 2 1 2

z z

a

z z z z

 

  

bằng?

A. a2. B. 1

a2. C. a1. D. 3

a2. Hướng dẫn giải

Chọn B Cách 1.

Đặt z₁ a bi, z₂ c di, với a b c d, , , . Khi đó

   

       

2 2 2 2 2 2

1 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

1 2

a b c d

z z

a

z z z z a c b d a c b d

  

   

         

Cách 2.

Ngoài ra ta có thể chọn

 

2 2

1 2

1 2 2 2 2

2 2

1 2 1 2

1 1 1

1 2

2 0

z z

z z

z z z z

 

    

   

.

Câu 22. Cho số phức z thỏa z 2 2i  17. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P1999z  2 i 2017 z 6 3i . Tính M m .

A. M m 8302 17. B. M m 4034 17.

C. ^{M m  17}



^{1999220172 1999}



^{. D. M m 2 17}



^{19992201721999}



^.

Hướng dẫn giải Chọn D

Cách 1.

2 2 17

z  i  suy ra tập hợp số phức z nằm trên đường tròn tâm I



2; 2



bán kính 17 .

Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 12 Xét các điểm ^A



^2;1



^{, B}



^{6; 3}



^, C x y . Khi đó



^;



P1999CA2017CB. Ta có AB là đường kính của đường tròn tâm I nên P1999 68CB² 2017CB.

Xét hàm số ^{f x}

 

^{1999 68x2 2017x với x}_^{0; 2 17}_ ^{suy ra} Pmin1999.2 17,

2 2

max 2 17 1999 2017

P   . Vậy ^{M m 2 17}



^{1999220172 1999}



^.

Cách 2.

2 2

2 2 17 4 4 9

z  i  a b  a b

2 2 2 2

1999 2 2017 6 3 1999 4 2 5 2017 12 6 45

P z  i z  i  a b  a b  a b  a b

2 2

1999 8 2 14 2017 8 2 54 2 17 1999 2017

P a b a b

         

Suy ra P_max2 17 1999²2017² . P_min1999.2 17(sử dụng xét hàm) Vậy ^{M m 2 17}



^{1999220172 1999}



^.

Chú ý: ở cách hai ta có có thể xét hàm số ^{f t}

 

^{1999 14 t 2017  t 54 (với t8a2b và}

14 t 54

   ).

Câu 23. (THPT Chu Văn An – Hà Nội – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z1 2. Tìm giá trị

lớn nhất của T z i z 2 i

A. maxT8 2. B. maxT4. C. maxT4 2. D. maxT8. Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt zxyi. Ta có: ^{z1 2 x yi 1 2}



^x1



^2y22

Khi đó: ^{T z1 z  2 i x yi i   x yi   2 i x2}



^y1



^2



^x2

 

^{2 y1}



²



^{12 1 .2}



^x2



^{y 1}

 

^{2 x 2}



²



^{y 1}



^2

         



^{2 2}

    

^{2 2}

   

2 2x 4x 4 2y 2 2 2. x 1 y 4 2. 4 4 4

           

Vậy maxT4.

Câu 24. (THPT Quốc Học – Huế - L2) Cho số phức z0 sao cho z không phải là số thực và ₂ 1 w z

 z

 là số thựC. Tính ₂.

1 z

z

 A. 1

5. B. 1

2. C. 2. D. 1

3. Hướng dẫn giải

Chọn B Cách 1.

Theo giả thiết ta có ₂ 1 w z

 z

 là số thực nên ta có thể chọn w là số thực bất kỳ sao cho z không phải là số thực.

Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 13

Chọn ₂ ² 1 3 ₂ 1

1 1 1 .

2 2

1 1

z i z

w z z z z

z z

           

 

Cách 2.

Ta có ₂

1 w z

 z

 là số thực suy ra

1 z2 1 1

w z z z

    là số thực suy ra 1

z là số phức liên hợp của z

suy ra ² 1 ₂ 1 1

. . 1 1 .

1 1 2 1

z z z z z z

z z

       

 

Câu 25. (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – L3) Cho số phức z thay đổi, luôn có z 2. Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức ^w



^{1 2 i z}



^{3i là:}

A. Đường tròn ^x2



^y3



^{22 5.} B. Đường tròn ^x2



^y3



^220.

C. Đường tròn ^x2



^y3



^220. D. Đường tròn



^x3



^{2y22 5.}

Hướng dẫn giải Chọn B

Giả sử ^{w a bi a b }



^{, }



^{ a bi}



^{1 2 i z}



^3i



³

 

³

 

^{1 2}



²



³

 

^{2 3}



1 2 5 5

a b i i

a b i a b a b i

z i

    

        

   



 

²

 

²

  

²



²

1 2 3 2 3 2 2 6 2 3 100

z z 5 a b  a b a b a b

                 



^{a 2b}

 

^{2 2a b}



^{2 12}



^{a 2b}



^{6 2}



^{a b}



⁵⁵

        

 

²

2 2 2 2 2

5a 5b 30b 55 a b 6b 11 a b 3 20

            .

Câu 26. (THPT chuyên Vị Thanh – Hậu Giang) Biết số phức z thỏa mãn phương trình 1 1.

zz  Tính

2016 2016

1 . P z

 z

A. 0. B.1. C. 2. D. 3.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có 1

1 zz

3

3 3

1 1 1

1 3 1

z z z

z z z

   

         

   

3 3

1 2 0

z z

    ^



^z3