Dấu của tam thức bậc hai chi tiết nhất
I. Lí thuyết tổng hợp.
- Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f (x)=ax2 +bx+c, trong đó a, b, c gọi là các hệ số và a0.
- Dấu của tam thức bậc hai: Cho f (x)=ax2+bx+c ( a0), =b2 −4ac (biệt thức của tam thức bậc hai), ta có:
+ Nếu < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi số thực x + Nếu = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a và bằng 0 khi x b
2a
= −
+ Nếu > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi xx1 hoặc x x2, trái dấu với hệ số a khi x1 x x2, trong đó x , x (x1 2 1x )2 là hai nghiệm của phương trình f(x) = 0.
- Chú ý: Có thể thay =b2 −4ac bằng =' b '2−ac với b b '= 2 II. Các công thức.
Cho f (x)=ax2 +bx+c ( a0), =b2 −4ac ( =' b '2−ac với b b '= 2) +) Nếu < 0 thì với x
a 0 f (x)0 a 0 f (x)0 +) Nếu =0 thì
a 0 f (x) 0 x \ b 2a
−
a 0 f (x) 0 x \ b 2a
−
x b f (x) 0 2a
= − =
+) Nếu 0 và 1
2
x x
f (x) 0
x x
=
= = (x1 x )2 thì
( ) ( )
( )
1 2
1 2
f (x) 0 x ; x x ;
a 0
f (x) 0 x x ; x
− +
( ) ( )
( )
1 2
1 2
f (x) 0 x ; x x ;
a 0
f (x) 0 x x ; x
− +
III. Ví dụ minh họa.
Bài 1: Xét dấu tam thức bậc hai: 5x2 −3x 1+ . Lời giải:
Xét f(x) = 5x2 −3x 1+
Ta có: = −( 3)2 −4.5.1= − 11 0
Và hệ số a = 5 > 0 nên ta có: f(x) = 5x2−3x 1+ > 0 x . Bài 2: Xét dấu tam thức bậc hai: x2 −4x−5.
Lời giải:
Xét f(x) = x2 −4x−5
Ta có: = −' ( 2)2− − = 1.( 5) 9 0 Nghiệm của f(x) = 0 là:
1
( 2) 9
x 5
1
− − +
= = , x2 ( 2) 9 1 1
− − −
= = −
Có hệ số a = 1 > 0 nên ta có:
f(x) = x2 −4x−5 > 0 khi x − −
(
; 1) (
5;+)
f(x) = x2 −4x−5 < 0 khi x −
(
1;5)
.Bài 3: Xét dấu tam thức bậc hai: x2 −2x 1+ .
Lời giải:
Xét f(x) = x2 −2x 1+ Ta có: = −( 2)2−4.1.1 0=
Và hệ số a = 1 > 0 nên ta có: Nghiệm x0 b ( 2) 1 2a 2.1
− − −
= = =
f(x) = x2 −2x 1+ > 0 khi x \ 1
f(x) = x2 −2x 1+ = 0 khi x = 1
IV. Bài tập tự luyện.
Bài 1: Xét dấu tam thức bậc hai: −3x2 +4x−6. Bài 2: Xét dấu tam thức bậc hai: −4x2 +5x+8.
