Toán 10 Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 10

(1)

Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai

Hoạt động 1 trang 100 Toán lớp 10 Đại số:

1) Xét tam thức bậc hai f(x) = x² – 5x + 4. Tính f(4), f(2), f(–1), f(0) và nhận xét về dấu của chúng.

2) Quan sát đồ thị hàm số y = x² – 5x + 4 (h. 32a) và chỉ ra các khoảng trên đó đồ thị ở phía trên, phía dưới trục hoành.

3) Quan sát các đồ thị trong hình 32 và rút ra mối liên hệ về dấu của giá trị f(x) = ax² + bx + c ứng với x tùy theo dấu của biệt thức  =b² −4ac.

Lời giải:

1) Ta có:

f(x) = x² – 5x + 4 f(4) = 4² − 5.4 + 4 = 0 f(2) = 2² − 5.2 + 4 = −2 < 0

f(−1) = (−1)² − 5.(−1) + 4 = 10 > 0 f(0) = 0² − 5.0 + 4 = 4 > 0

2) Nhìn vào đồ thị, ta thấy:

Với 1 < x < 4 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

Với x < 1 hoặc x > 4 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.

(2)

3)

+ Hình 32a) có  0 thì f(x) cùng dấu với a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm của phương trình f(x) = 0; f(x) trái dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm của phương trình f(x) = 0.

+ Hình 32b) có  =0 thì f(x) cùng dấu với a, trừ khi b x= −2a . + Hình 32c) có  0 thì f(x) cùng dấu với a.

Hoạt động 2 trang 103 Toán lớp 10 Đại số: Xét dấu các tam thức a) f(x) = 3x² + 2x – 5;

b) f(x) = 9x² – 24x + 16.

Lời giải:

a) Ta có: f(x) = 3x² + 2x – 5 có hai nghiệm phân biệt x = 1; 5

x 3

= − , hệ số a = 3 >

0.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy f(x) > 0 khi ^x ^; ⁵

(

^1;

)

3

 

 − −  +

f(x) < 0 khi 5 3 x 1

−   .

b) Ta có: g(x) = 9x² – 24x + 16 = (3x – 4)² Khi đó g(x) > 0 4

x 3

  ;

g(x) = 0 khi 4 x= 3.

(3)

Hoạt động 3 trang 103 Toán lớp 10 Đại số: Trong các khoảng nào a) f(x) = –2x² + 3x + 5 trái dấu với hệ số của x²?

b) g(x) = –3x² + 7x – 4 cùng dấu với hệ số của x²? Lời giải:

a) Tam thức bậc hai f(x) = –2x² + 3x + 5 có hai nghiệm là –1 và 5

2 ; hệ số a = –2 <

0.

Vậy theo định lí, với 5

1 x 2

−   thì f(x) trái dấu với hệ số của x². b) Tam thức bậc hai g(x) = –3x² + 7x – 4 có hai nghiệm là 1 và 4

3, hệ số a = –3 <

0.

Vậy theo định lí, với x < 1 hoặc x > 4

3 thì g(x) cùng dấu với hệ số của x².

Bài tập

Bài 1 trang 105 Toán lớp 10 Đại số: Xét dấu các tam thức bậc hai a) 5x² – 3x + 1;

b) –2x² + 3x + 5;

c) x² + 12x + 36;

d) (2x – 3)(x + 5).

Lời giải:

a) Xét f(x) = 5x² – 3x + 1 có ^{ = −}

( )

³ ² ⁻^4.5^{= −}¹¹ < 0 nên f(x) luôn cùng dấu với a = 5 > 0.

Vậy 5x² – 3x + 1 > 0  x . b)

(4)

+ Xét f(x) = −2x² + 3x + 5 có hệ số a = −2 < 0.

Ta có: f(x) = 0 khi x = –1 hoặc 5 x= 2 + Ta có bảng xét dấu:

Vậy −2x² + 3x + 5 < 0 với x < −1 hoặc 5 x 2.

−2x² + 3x + 5 > 0 với 5

1 x 2

−   .

−2x² + 3x + 5 = 0 với x = −1 hoặc 5 x=2. c)

+ Ta có:  =' 6² −1.36=0

f(x) = x² + 12x + 36 = 0 khi x = −6.

+ Ta có bảng xét dấu:

Vậy x² + 12x + 36 > 0, x  −6. d)

+ Xét f(x) = (2x − 3)(x + 5) = 2x² + 7x – 15 Suy ra f(x) = 0 khi x = –5 hoặc x = 3

2

(5)

+ Ta có bảng xét dấu:

Vậy (2x − 3)(x + 5) > 0 với x < − 5 hoặc 3 x 2; (2x − 3)(x + 5) < 0 với 3

5 x

−  2; (2x − 3)(x + 5) = 0 khi x = –5 hoặc x = 3

2.

Bài 2 trang 105 Toán lớp 10 Đại số: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau a) f(x) = (3x² – 10x + 3)(4x – 5);

b) f(x) = (3x² – 4x)(2x² – x – 1);

c) f(x) = (4x² – 1)( –8x² + x – 3)(2x + 9);

d)

(

²

)(

²

)

2

3x x 3 x

f (x)

4x x 3

− −

= + − .

Lời giải:

a)

+ Ta có: 4x – 5 = 0 với 5 x=4

+ 3x² – 10x + 3 = 0 với x = 3 hoặc 1 x=3.

Tam thức bậc hai 3x² – 10x + 3 có hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu dương khi x > 3 hoặc 1

x3 và mang dấu âm nếu 1

x 3

3  .

+ Xét dấu nhị thức 4x − 5và 3x² – 10x + 3 ta lập bảng xét dấu:

(6)

Kết luận:

f(x) < 0 với 1 5

x ; ;3

3 4

   

 −   

   

f(x) > 0 với ^x ^{1 5}^;

(

^3;

)

3 4

 

  + . b)

+ Tam thức 3x² – 4x có hai nghiệm x = 0 và 4

x= 3, hệ số a = 3 > 0.

Do đó 3x² – 4x mang dấu dương khi x < 0 hoặc 4

x 3 và mang dấu âm khi 0 x 4

  3.

+ Tam thức 2x² – x – 1 có hai nghiệm 1

x= −2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0 Do đó 2x² – x – 1 mang dấu dương khi 1

x −2 hoặc x > 1 và mang dấu âm khi

1 x 1

−  2 .

Ta có bảng xét dấu:

(7)

Vậy f(x) > 0 khi ^x ^; ¹

( )

^0;1 ⁴^;

2 3

 −   

 −   +;

f(x) < 0 khi 1 4

x ;0 1;

2 3

   

 −    . c)

+ Tam thức 4x² – 1 có hai nghiệm 1

x 2

=− và 1

x= 2, hệ số a = 4 > 0 Do đó 4x² – 1 mang dấu dương nếu 1

x 2

 − hoặc 1

x 2và mang dấu âm nếu

1 1

2 x 2

−   .

+ Tam thức –8x² + x – 3 có = − 95 0, hệ số a = –8 < 0 nên luôn mang dấu âm.

+ Nhị thức 2x + 9 có nghiệm 9 x= −2. Ta có bảng xét dấu:

(8)

Vậy f(x) > 0 khi 9 1 1

x ; ;

2 2 2

   

 − −    − ;

f(x) < 0 khi 9 1 1

x ; ;

2 2 2

   

 − −    +. d)

+ Tam thức 3x² – x có hai nghiệm x = 0 và 1

x =3, hệ số a = 3 > 0.

Do đó 3x² – x mang dấu dương khi x < 0 hoặc 1

x 3và mang dấu âm khi 1

0 x

  3 + Tam thức 3 – x² có hai nghiệm x= 3 và x= − 3, hệ số a = –1 < 0

Do đó 3 – x² mang dấu dương khi − 3 x 3, mang dấu âm khi x − 3 hoặc x 3.

+ Tam thức 4x² + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và 3

x= 4, hệ số a = 4 > 0.

Do đó 4x² + x – 3 mang dấu dương khi x < –1 hoặc 3

x 4 và mang dấu âm khi 1 x 3

−   4.

(9)

Vậy f(x) > 0 khi ^x^{ −}

(

^{3, 1}^{− }

)

^^_^0;¹₃^{ }^{ }_{ }^ ³₄^{; 3}^^_^;

f(x) < 0 khi ^x^{ − −}

(

^; ³

)

^{ −}

⁽

^1;0

⁾

^^^_^{1 3}_{3 4}^; ^^_^

(

^3;^+

)

^.

Bài 3 trang 105 Toán lớp 10 Đại số: Giải các bất phương trình sau a) 4x² – x + 1 < 0;

b) −3x² + + x 4 0;

c) ₂1 ₂ 3

x 4 3x x 4

− + − ; d) x² − − x 6 0.

Lời giải:

a) Tam thức f(x) = 4x² – x + 1 có hệ số a = 4 > 0, biệt thức ^{ = −}

( )

¹ ² ⁻^4.4.1^{= −}¹⁵^⁰^.

Do đó f(x) > 0  x .

Vậy bất phương trình 4x² – x + 1 < 0 vô nghiệm.

b)

+ Ta xét: f(x) = –3x² + x + 4 = 0 khi x = –1 hoặc 4 x= 3 + Ta có bảng xét dấu:

(10)

Do đó: ² 4

3x x 4 0 1 x

− + +   −   3.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là 4

S 1;

3

 

= − . c)

+ Ta có: ₂1 ₂ 3 ₂1 ₂ 3

x 43x x 4  x 4−3x x 4 0

− + − − + −

( )( )

2 2

3x x 4 3x 12 x 4 3x x 4 0

+ − − +

 

− + −

(

^x² ^{4 3x}

)(

^x⁺²⁸ ^x ⁴

)

⁰

 

− + −

Lập bảng xét dấu vế trái:

+ Nhị thức x + 8 có nghiệm x = −8.

+ Tam thức x² – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = −2, hệ số a = 1> 0.

Do đó x² – 4 mang dấu dương khi x < −2 hoặc x > 2 và mang dấu âm khi −2 < x <

2.

+ Tam thức 3x² + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và 4

x 3

= − , hệ số a = 3 > 0.

Do đó 3x² + x – 4 mang dấu dương khi 4

x 3

 − hoặc x > 1, mang dấu âm

khi 4 3 x 1

−   .

Bảng xét dấu:

(11)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ^S

(

^{; 8}

)

^2; ⁴

( )

^1;2

3

 

= − −  − − 

  .

d)

Xét f(x) = x² – x – 6 = 0 khi x = 3 hoặc x = –2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = [−2; 3].

Bài 4 trang 105 Toán lớp 10 Đại số: Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a) (m – 2)x² + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0;

b) (3 – m)x² – 2(m + 3)x + m + 2 = 0.

Lời giải:

a)

+) Với m – 2 = 0 tương đương m = 2 thì phương trình trở thành 2x + 4 = 0 hay x =

−2

Phương trình chỉ có 1 nghiệm, do đó trường hợp này không thỏa mãn.

+) Với m2

Phương trình vô nghiệm khi ' 0 

(12)

Hay (2m – 3)² – (m – 2) (5m – 6) < 0

 4m² – 12m + 9 – (5m² – 16m + 12) < 0

 – m² + 4m – 3 < 0 m 1

m 3

 

  

Kết hợp m2 ta được m < 1 hoặc m > 3.

Vậy phương trình vô nghiệm khi m < 1 hoặc m > 3.

b)

+) Với m = 3, phương trình trở thành: −12x + 5 = 0 5 x 12

 = nên phương trình có nghiệm, không thỏa yêu cầu bài toán.

+) Với m3

Phương trình vô nghiệm khi ' 0 

Tương đương với (m + 3)² – (3 – m) (m + 2) < 0

 m² + 6m + 9 – (– m² + m + 6) < 0

 2m² + 5m + 3 < 0

3 m 1

 −   −2

Kết hợp m3 ta được 3

m 1

−   −2 . Vậy phương trình vô nghiệm khi 3

m 1

−   −2 .