Toán 10 Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 10

(1)

Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất

Hoạt động 1 trang 89 Toán lớp 10 Đại số:

a) Giải bất phương trình –2x + 3 > 0 và biểu diễn trên trục số tập nghiệm của nó.

b) Từ đó hãy chỉ ra các khoảng mà nếu x lấy giá trị trong đó thì nhị thức f(x) = –2x + 3 có giá trị

Trái dấu với hệ số của x;

Cùng dấu với hệ số của x.

Lời giải:

a) Ta có: –2x + 3 > 0 tương đương với –2x > –3 x 3

  2.

Biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

b) Hệ số của x trong nhị thức f(x) là −2 Nhị thức f(x) = −2x + 3 có giá trị:

Trái dấu với hệ số của x khi x < 3 2 Cùng dấu với hệ số của x khi x > 3

2

Hoạt động 2 trang 90 Toán lớp 10 Đại số: Xét dấu các nhị thức f(x) = 3x + 2, g(x) = –2x + 5.

Lời giải:

+ Xét f(x) = 3x + 2, có: 2

3x 2 0 x

+ =  = −3.

(2)

Vậy f(x) cùng dấu với a = 3 khi x ²; 3

 

 − +  Và f(x) trái dấu với a khi x ; ²

3

 

 − − . Ta có bảng xét dấu sau:

x − ²

−3 _+

f(x) = 3x + 2 – 0 +

+ Xét g(x) = –2x + 5, có –2x + 5 = 0 5

x 2

 = Vậy g(x) cùng dấu với a = –2 khi x ⁵;

2

 

 + Và g(x) trái dấu với a khi x ;⁵

2

 

 − . Ta có bảng xét dấu sau:

x − ⁵

2 +

g(x) = –2x + 5 + 0 –

Hoạt động 3 trang 92 Toán lớp 10 Đại số: Xét dấu biểu thức f(x) = (2x – 1)(–x + 3).

Lời giải:

+ Ta có: 2x – 1 = 0 1

x 2

 = và –x + 3 = 0 x = 3

(3)

+ Bảng xét dấu:

x − ¹

2 3 +

2x + 1 – 0 + | +

–x + 3 + | + 0 –

f(x) = (2x – 1)(–x + 3) – 0 + 0 –

Vậy f(x) > 0 khi 1

x 3

2  ; f(x) = 0 khi x = 3 hoặc 1

x= 2; f(x) < 0 khi x > 3 hoặc 1

x2.

Hoạt động 4 trang 92 Toán lớp 10 Đại số: Giải bất phương trình x³ – 4x < 0.

Lời giải:

+ Xét f(x) = x³ – 4x < 0  x(x² – 4) < 0

 x(x – 2)(x + 2) < 0 Suy ra f(x) = 0 khi x = 0 hoặc x− =  =2 0 x 2 hoặc x+ =  = −2 0 x 2. + Ta có bảng xét dấu:

x − ^{– 2} ⁰ ² +

x – | – 0 + | +

(4)

x + 2 – 0 + | + | +

x – 2 – | – | – 0 +

f(x) = x³ – 4x – 0 + 0 – 0 +

Suy ra f(x) < 0 khi x < – 2 hoặc 0 < x < 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ^S^{= − − }

(

^{; 2}

) ( )

^0;2 ^.

Bài tập

Bài 1 trang 87 Toán lớp 10 Đại số: Xét dấu các biểu thức a) f(x) = (2x – 1)(x + 3);

b) f(x) = (–3x – 3)(x + 2)(x + 3);

c) f(x) = 4 3

3x 1 2 x

− −

+ − ; d) f(x) = 4x² – 1.

Lời giải:

a) Ta có: 2x – 1 = 0 1

x 2

 = ; x + 3 = 0  x = – 3.

Ta có bảng xét dấu:

x − – 3 1

2 ^+

x + 3 – 0 + | +

2x – 1 – | – 0 +

(5)

f(x) = (2x – 1)(–x + 3) + 0 – 0 +

Vậy f(x) < 0 khi 1

3 x

−   2; f(x) = 0 khi x = –3 hoặc 1

x=2; f(x) > 0 khi x < –3 hoặc 1

x2. b) Ta có: –3x – 3 = 0 khi x = –1;

x + 2 = 0 khi x = –2;

x + 3 = 0 khi x = –3.

Ta có bảng xét dấu sau:

x − ^–3 ^–2 ^–1 +

x + 2 – | – 0 + | +

x + 3 – 0 + | + | +

–3x – 3 + | + | + 0 –

f(x) = (–3x – 3)(x + 2)(x + 3) + 0 – 0 + 0 –

Vậy f(x) < 0 khi ^x − −  − +

(

^{3; 2}

) (

^1;

)

; f(x) = 0 khi x = –3 hoặc x = –2 hoặc x = –1;

f(x) > 0 khi ^x − −  − −

(

^{; 3}

) (

^{2; 1}

)

. c)

(6)

+ Điều kiện:

3x 1 0 x 1

2 x 0 3

x 2

 −

+  

 

 −  

  

. + Ta có:

4 3 4(2 x) 3(3x 1) 8 4x 9x 3 5x 11

f (x)

3x 1 2 x (3x 1)(2 x) (3x 1)(2 x) (3x 1)(2 x)

− − − − + − + − − − −

= − = = =

+ − + − + − + −

Suy ra f(x) = 0 khi –5x – 11 = 0 hay 11 x= − 5 . + Ta có bảng xét dấu sau:

x − ¹¹

− 5 1

−3 2 +

–5x – 11 + 0 – | – | –

3x + 1 – | – 0 + | +

2 – x + | + | + 0 –

4 3

f (x)

3x 1 2 x

= − −

+ − – 0 + || – || +

Vậy f(x) < 0 khi x ; ¹¹ ¹;2

5 3

   

 − −    − ;

f(x) = 0 khi 11 x= − 5 ;

f(x) > 0 khi x ¹¹; ¹ (2; ) 5 3

 

 − −  + . d) Ta có: f(x) = 4x² – 1 = (2x + 1)(2x – 1) Suy ra f(x) = 0 với 1

x= 2 hoặc 1 x= −2

(7)

Ta lập bảng xét dấu:

x − ¹

−2 1

2 ^+

2x + 1 – 0 + | +

2x – 1 – | – 0 +

f(x) = 4x² – 1 = (2x + 1)(2x – 1) + 0 – 0 +

Vậy f(x) < 0 khi x ^{1 1}; 2 2

 

 − ;

f(x) = 0 với 1

x= 2 hoặc 1 x= −2; f(x) > 0 khi x ; ¹ ¹;

2 2

   

 − −    +.

Bài 2 trang 94 Toán lớp 10 Đại số: Giải các bất phương trình

a) 2 5

x 12x 1

− − ;

b)

( )

²

1 1

x 1 x 1 + − ;

c) 1 2 3

x + x 4  x 3 + + ; d)

2 2

x 3x 1

x 1 1

− +

−  . Lời giải:

a)

(8)

+ Điều kiện:

x 1

x 1 0

2x 1 0 x 1

2

 

 −  

 −   

 

+ Ta có: 2 5

2 5 0

x 1 2x 1 1−2 1

  −

− 

−

− x x

( ) ( )

( )( )

2 2x 1 5 x 1

x 1 2x 1 0

− − −

 

− −

( )( )

4x 2 5x 5 x 1 2x 1 0

 − − + 

− −

(

^{x 1 2x 1}^x

)(

³

)

⁰

 − + 

− −

+ Đặt f(x) =

(

^{x 1 2x 1}⁻^{− +}

)(

^x ³⁻

)

Suy ra f(x) = 0 khi –x + 3 = 0 hay x = 3.

+ Ta lập bảng xét dấu:

x − ¹

2 1 3 +

–x + 3 + | + | + 0 –

x – 1 – | – 0 + | +

2x – 1 – 0 + | + | +

f(x) =

(

^{x 1 2x 1}⁺^{− +}^x

)(

³⁻

)

⁺ ^|| ^– ^|| ⁺ ⁰ ^–

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ^S ¹^;1



^3;

)

2

 

=  + . b)

(9)

+ Điều kiện: x 1 0 x 1

x 1 0 x 1

+   −

 

 −   

  .

+ Ta có: ¹ ¹ ₂ ¹ ¹ ₂ 0

x 1(x 1)  x 1−(x 1) 

+ − + −

2

(x 1) (x 1) (x 1)(x 1) 0

− − +

 

+ −

2

x 2x 1 x 1 (x 1)(x 1) 0

− + − −

 

+ −

2

x 3x (x 1)(x 1) 0

 − 

+ −

2

x(x 3) (x 1)(x 1) 0

 − 

+ −

+ Đặt f (x) ^x(x ³⁾ ₂ (x 1)(x 1)

= −

+ −

Suy ra f(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = 3 + Ta có bảng xét dấu:

(10)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ^S^{= − − }

(

^{; 1}

) ( ) ( )

^0;1 ^ ^1;3

c)

+ Điều kiện:

x 0 x 0

x 4 0 x 4

x 3 0 x 3

 

 

 +     −

 

 +    −

 

.

+ Ta có: 1 2 3 1 2 3

x + x 4 x 3 +x x 4− x 30

+ + + +

(x 4)(x 3) 2x(x 3) 3x(x 4) x(x 4)(x 3) x(x 4)(x 3) x(x 4)(x 3) 0

+ + + +

 + − 

+ + + + + +

(x 4)(x 3) 2x(x 3) 3x(x 4) x(x 3)(x 4) 0

+ + + + − +

 

+ +

2 2 2

x 7x 12 2x 6x 3x 12x x(x 3)(x 4) 0

+ + + + − −

 

+ +

x 12 0

x(x 3)(x 4)

 + 

+ +

+ Đặt f (x) ^{x 12} x(x 3)(x 4)

= +

+ +

Suy ra f(x) = 0 khi x + 12 = 0 hay x = –12.

+ Ta có bảng xét dấu:

x − –12 –4 –3 0 _+

x + 12 – 0 + | + | + | +

x – | – | – | – 0 +

x + 3 – | – | – 0 + | +

x + 4 – | – 0 + | + | +

(11)

f(x) =

(

^{x 1 2x 1}⁺^{− +}^x

)(

³⁻

)

⁺ ^|| ^– ^|| ⁺ ^|| ^– ⁰ ⁺

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ^S^{= −}

(

^{12; 4}^{−  −}

) (

^3;0

)

^.

d)

+ Điều kiện: x² −    1 0 x 1. + Ta có:

2 2

x 3x 1 x 3x 1

1 1 0

x 1 x 1

− + − +

  − 

− −

2 2

2

x 3x 1 x 1

x 1 0

− + − +

 

− 3x 2 (x 1)(x 1) 0

− +

 

− +

+ Đặt f (x) ^3x ² (x 1)(x 1)

− +

= − +

Ta thấy: f(x) = 0 khi -3x + 2 = 0 suy ra 2 x= 3 + Ta lập bảng xét dấu sau:

x − ^–1 ²

3 1 +

–3x + 2 + | + 0 – | –

x +1 – 0 + | + | +

x – 1 – | – | – 0 +

3x 2 f (x)

(x 1)(x 1)

− +

= − + + || – 0 + || –

(12)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ^S ^1;²

(

^1;

)

3

 

= −  + .

Bài 3 trang 94 Toán lớp 10 Đại số: Giải các phương trình a) 5x− 4 6;

b) ⁵ ¹⁰

x 2 x 1

− 

+ − . Lời giải:

a) Ta có: 5x 4 6

| 5x 4 | 6

5x 4 6

 − 

−    −  − x 2

5x 10

5x 2 x 2 5

   

 

  −    −

 



Vậy tập nghiệm của bất phương trình: T ; ² [2; ) 5

 

= − −  + . b)

+ Điều kiện: x 2 0 x 2

x 1 0 x 1

+   −

 

 −   

  .

+ Ta có: ¹ ²

| x 2 | | x 1|

5 10

x 2 x 1

− 

+

+ − 

 − Vì | x 2 | 0

| x 2 || x 1| 0

| x 1| 0

+  + − 

 − 

 

 , kết hợp với điều kiện ta được 0 < |x – 1| < 2|x + 2|

Suy ra |x – 1| < 2|x + 2| (nhân cả hai vế với 0 < |x – 1| < 2|x + 2| )

 x² – 2x + 1 < 4(x² + 4x + 4) (bình phương hai vế)

3x² + 18x + 15 > 0

(13)

3(x + 1)(x + 5) > 0 + Lập bảng xét dấu:

x − -5 -1 +

x + 1 – | – 0 +

x + 5 – 0 + | +

3(x + 1)(x + 5) + 0 – 0 +

Kết hợp điều kiện x  −2, x 1 ta được tập nghiệm của bất phương trình là:

S= − −  −( ; 5) ( 1;1) +(1; )