Bài 1. Mở đầu về phương trình
A. Lý thuyết
1. Phương trình một ẩn
- Định nghĩa phương trình một ẩn: Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x được gọi là phương trình một ẩn với ẩn số x (hay ẩn x).
Ví dụ 1.
5x + 7 = 3x là phương trình với ẩn x;
8y – 6 = 4(y – 1) + 2 là phương trình với ẩn y;
2u + 8 = 3 + 5(u – 1) là phương trình với ẩn u.
- Nghiệm của phương trình là các giá trị của ẩn số thoả mãn phương trình.
Ví dụ 2. Cho phương trình 6 – x = 2(x + 2) – 7 (1).
Với x = 3, ta có VT(1) = 6 – 3 = 3; VP(1) = 2 . (3 + 2) – 7 = 2 . 5 – 7 = 3.
Nhận thấy x = 3 thỏa mãn phương trình (1) nên x = 3 là nghiệm (hay nghiệm đúng) của phương trình (1).
- Chú ý:
+ Hệ thức x = m (với m là một số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy nhất của nó.
+ Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,….nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3.
Phương trình x2 = 4 có hai nghiệm là x = 2 và x = – 2.
Phương trình x2 = – 4 vô nghiệm.
Phương trình 3x = 3x có vô số nghiệm.
2. Giải phương trình
- Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
- Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó. Tập nghiệm của phương trình thường kí hiệu là S.
Ví dụ 4.
Phương trình x = 5 có tập nghiệm là S = {5}.
Phương trình vô nghiệm có tập nghiệm là S = . 3. Phương trình tương đương.
- Hai phương trình tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm.
- Để chỉ hai phương trình tương đương, ta dùng kí hiệu “” (đọc là tương đương).
Ví dụ 5.
Hai phương trình x – 2 = 0 và x = 2 được gọi là tương đương với nhau vì chúng có cùng tập nghiệm là S = {2}. Khi đó ta viết: x – 2 = 0 x = 2.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Trong các giá trị x = 0, x = 4 và x = 7, giá trị nào là nghiệm của phương trình
(x – 4)2 = x + 2?
Lời giải:
Ta có: (x – 4)2 = x + 2 (1)
+ Với x = 0, ta có: VT(1) = (0 – 4)2 = (– 4)2 = 16; VP(1) = 0 + 2 = 2.
Do VT(1) ≠ VP(1) nên x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
+ Với x = 4, ta có: VT(1) = (4 – 4)2 = 0; VP(1) = 4 + 2 = 6.
Do VT(1) ≠ VP(1) nên x = 4 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
+ Với x = 7, ta có: VT(1) = (7 – 4)2 = 32 = 9; VP(1) = 7 + 2 = 9.
Do VT(1) = VP(1) hay x = 7 thỏa mãn phương trình (1) nên x = 7 là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy x = 7 là nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 2. Hai phương trình x = 3 và x(x – 3) = 0 có tương đương hay không?
Lời giải:
Ta có: x = 3 và x(x – 3) = 0.
Phương trình x = 3 có tập nghiệm là S1 = {3}.
Nhận thấy x(x – 3) = 0 nếu x = 0 hoặc x – 3 = 0 hay x = 0 hoặc x = 3. Do đó x = 0 và x = 3 là các nghiệm của phương trình x(x – 3) = 0.
Vậy tập nghiệm của phương trình x(x – 3) = 0 là S2 = {0; 3}.
Ta thấy S1 ≠ S2 hay hai phương trình đã cho không có cùng tập nghiệm.
Vậy hai phương trình đã cho không tương đương.
Bài 3. Với mỗi phương trình sau, hãy xét xem t = – 3 có phải nghiệm của nó không:
a) 3t – 2 = t + 5;
b) t + 3 = 2t + 6;
c) 3(t – 4) + 7 = 10 – t.
Lời giải:
Thay t = – 3 vào các phương trình đã cho, ta được:
a) 3 . (– 3) – 2 = – 3 + 5 hay – 11 = 2 (vô lý) b) – 3 + 3 = 2 . (– 3) + 6 hay 0 = 0 (đúng)
c) 3 . (– 3 – 4) + 7 = 10 – (– 3) hay –14 = 13 (vô lý) Nhận thấy t = – 3 chỉ thỏa mãn phương trình b).
Vậy t = – 3 là nghiệm của phương trình b) và không phải là nghiệm của các phương trình a) và c).
