Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2020-2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÀ RỊA – VŨNG TÀU KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9

NĂM HỌC 2020-2021 . MÔN TOÁN 9

Câu 1.

1) Rút gọn biểu thức :

1 2 5 0

: 4

2 2 1 2

x x x x x x

P x x x x x x x

         

              2) Tìm giá trị của biểu thức M x³9x2021với

312 3 13 312 3 13

x   

Câu 2.

1) Giải phương trình : 4x² 5x 1 2 x²   x 1 9x3 2) Giải hệ phương trình :

3 2

2 2

2 12 0

8 12

x xy y

y x

   



 



Câu 3.

1) Tìm tất cả các số chính phương có ba chữ số và chia hết cho 56 2) Tìm tất cả các cặp số nguyên



^{x y;}



thỏa mãn phương trình

2 2 2 2 3 4 0

x  y  xy y  Câu 4.

1) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y₁ x₁³2x₂và y₂ x₂³2x₁, trong đó x x₁, ₂là các nghiệm của phương trình x²  x 5 0

2) Cho các số thực dương a b, thỏa mãn



^a1



^{b 1}



^{4 .ab} Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

1 1

3 1 3 1

P

a b

 

 

Câu 5. Cho tam giác ABCcó BAC60 . Đường tròn tâm Inội tiếp tam giác ,

ABC tiếp xúc với các cạnh BC CA AB, , lần lượt tại các điểm M N P, , .Đường thẳng IM cắt NPtại K, đường thẳng qua Kvà song song với BCcắt AB AC, theo thứ tự tại E F, .Gọi Glà trung điểm của BC

1) Chứng minh AEIFlà một tứ giác nôi tiếp đường tròn 2) Chứng minh ba điểm A K G, , thẳng hàng

3) Gọi S₁là diện tích tứ giác INAPvà S₂là diện tích của tam giác IEF.Chứng minh S₁ 4S₂

Câu 6. Cho đường tròn

 

^O có hai đường kính AB CD, vuông góc với nhau. Lấy điểm Ebất kỳ trên cung nhỏ ^{AD E}



^{ A E, D}



^{. Gọi M} là giao điểm của ECvà

,

OA Nlà giao điểm của EB OD, .Chứng minh rằng OM ON 2

AM  DN  . Đẳng thức xảy ra khi Eở vị trí nào trên cung nhỏ AD?

ĐÁP ÁN Câu 1.

1) Với x0,x4, ta có :

    

      

²

1 2 5

2 2 : 1 2

1 4 5

2 : 1 2

1 2 1

1 . 2 1

x x x x x

P x x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x

x x x x

       

     

    

   

     

   

  

  



2) Áp dụng công thức



^ab



^{3  a3b3 3ab a}



^b



  

³



3 9 2021 312 3 13 312 3 13 9 12 3 133 312 3 13 2021

M  x  x         

 

 

   

3 3

3

3 3

3 3 3 3

12 3 13 12 3 13 3 144 117. 12 3 13 12 3 13 9 12 3 13 12 3 13 2021

24 3.3 12 3 13 12 3 13 9. 12 3 13 12 3 13 2021 2045

        

    

         

 Câu 2.

1) Giải phương trình 4x²5x 1 2 x²  x 1 9x3 ĐK: ⁴₂^{2 5 1 0 14}

 

1 0 1

x x x

I

x x x

      

 

    

   

2 2

2 2

2 2

2 2

4 5 1 4 4 4

4 5 1 2 1 9 3 9 3

4 5 1 2 1

9 3

9 3

4 5 1 2 1

x x x x

x x x x x x

x x x x

x x

x x x x

    

         

    

   

    

 

2 2

 

2 2

1( ) 1 3

9 3 1 0

4 5 1 2 1 1 1 *

4 5 1 2 1

x tm x

x x x x

x x x x

 

 

      

     

  

     



 

 

2

2 2 2 1 3

* 4 5 1 2 1 1 4 5 1 2 1

2 4

* 2 3 3 1 (*)

4

x x x x x x x

VT PT VN

 

               

 

    

Vậy 1 x 3

2) Giải hệ phương trình :

3 2

2 2

2 12 0

8 12

x xy y

y x

   



 



Thay x0,y 0vào hệ phương trình không thỏa mãn, nên x 0,y0không là nghiệm của hệ phương trình

Đặt ^{y tx t, ℝ\ 0}

 

^hệ đã cho có dạng :

 

 

2 2 2

3 3 2 2

2 2 2 2 2

2 2

1 2 12 12

2 12 0 1 2

8 12 8 1 12 12

8 1

x t

x t t

x x t xt t

x t x x t x t

t

  

    

   

   

  

   

    

   

3 2 2

2 2

2

1 8 2 1 0 2 1 4 1 0

1 2 8 1

2 1 0 1( )

4 1 0 2

t t t t t t t

t t

t t tm

t t

PTVN

            

 

  

   

    

2 2

4 1

1 1

2 2

2 1

x

x y

t y x x

y

 



   

 

       

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm



^{x y;}

 

^



^{2; 1 ; 2;1}

 

^

 

Câu 3.

1) Tìm tất cả các số chính phương có ba chữ số và chia hết cho 56 Giả sử số cần tìm là n²với 100 n 999.Ta có :^{n2⋮56 n2⋮}

 

^{2 .73  n⋮4, 7n⋮}

   

28 4;7 1

n do

 ⋮  _{. Đặt} n28 ,k kℕ. Theo giả thiết ta có :

 

^{2 2}

100 28k 999100 784 k 999 k 1 Vậy có duy nhất số cần tìm là 784

2) Tìm tất cả các cặp số nguyên



^{x y;}



thỏa mãn phương trình

2 2 2 2 3 4 0

x  y  xy y 

Từ giả thiết, ta có :



^{x y}



^{2  y2 3y 4 0}

 

^{2 3 2 25 0 4}

  

^{2 2 3}



^{2 25}

2 4

x y y  x y y

           

  ^4



^{x y}



^{2 25}

Mà ⁴



^{x y}



²là số chính phương chẵn

   

   

   

2 2

2 2

2 2

4 0 2 3 25

4 4 2 3 21( )

4 16 2 3 9

x y y

x y y ktm

x y y

     



     

     



 

 

 

 

 

2 2

2 2

2

4 0 1

1: 2 3 5

2 3 25 2 3 5 4

4 16 0 0

2 : 2 3 9 2 2

2 3 1 5

*) 4 3 3

x y

x y x y

Th y

x y

y y

x y y y

Th hoac

x x

y

x y x x

y hoac y x y

 

     

    

       

 

    

      

 

       



  

      

 

        



Vậy có 6 cặp số nguyên



^{x y;}



thỏa mãn yêu cầu là :

  

1;1 ; 4; 4 , 2;0 , 2;0 , 1; 3 , 5; 3 

   



 

 

 

 



Câu 4.

1) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y₁  x₁³ 2x₂và y₂  x³₂ 2x₁ , trong đó x x₁, ₂là các nghiệm của phương trình x²   x 5 0

2 5 0

x   x có ^{1. 5}

 

^{ 0}nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Áp dụng định lý Viet : ^{1 2}

1 2

1 5 x x x x

 



  

         

     

3 3 3

1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2

3 3 3 4 4

1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2

2 2 3 2 14

. 2 . 2 2 2 4 161

y y x x x x x x x x x x x x

y y x x x x x x x x x x

           

        

1; 2

 y y là hai nghiệm của phương trình y² 14y161 0

2) Cho các số thực dương a b, thỏa mãn



^a1



^{b 1}



^{4 .ab} Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

1 1

3 1 3 1

P

a b

 

 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

 

2 2

2

3 1 1 2

3 1. 3 1 3 . 3 1.1 3 1 3 1

2 3 1 3 1

a a a a a

a a

           

  Tương tự :

  

2

1 2 2 2 6 6 4

3 1 3 1 3 1 3 1 3 1

3 1

a b

b P a b a b

b

 

    

    



Từ giả thiết ab   a b 1 3ab  a b 3ab1 Khi đó :

  

6 6 4 18 6 4 18 2

3 1 3 1 9 3 3 1 18 2

a b ab ab

a b ab a b ab

      

        



Do đó : P1. Dấu " " xảy ra   a b 1 Vậy Max P   1 a b 1

Câu 5.

1) Chứng minh AEIFlà một tứ giác nội tiếp đường tròn

Chứng minh được APNđều, ta có EF / /BC KM, BCEF KM Suy ra các tứ giác EKIP KNFI, nội tiếp

Suy ra EPK  EIK 60 ; KIF  KNA60  EIF 60

Tứ giác AEIFcó EAF EIF 60 120 180nên tứ giác AEIFnội tiếp 2) Chứng minh ba điểm A K G, , thẳng hàng

Từ trên suy ra IEFcân tại I (vì IK là đường phân giác đồng thời là đường cao) Suy ra IK đồng thời là đường trung tuyến. Vậy Klà trung điểm của EF

Theo bổ đề hình thang thì A K G, , thẳng hàng.

3) Chứng minh S₁4S₂

Ta có: ^{S1  AN IN.  3IN2;4S2  1}₂^{IK EF. 4.1 1}_{2 2}^_ ^IF_



^3.IF



^{ 3IF2}

Mà IN  IF  S₁ 4S₂

E K F

M

N P

I

B G

A

C

Câu 6.

Gọi bán kính đường tròn là R. Ta có :

   

1 1 1

2 ; 2 2

CMB sd AE sdCB CBN sdCE sd AC sd AE

      

Mà sd AC sd CB CMB  CBN Xét tam giác CMBvà NBCta có :

; ( . )

CMB CBN CBM BCN ABD AMD g g

        ∽

Từ đó suy ra BM CB . ^{2 2 2} 2 ²

BM CN CB OB OC R

CB  CN     

Lại có:

1 1

OM ON OA AM OD DN R AM R DN 2

AM DN AM DN AM DN R AM DN

     

        

 

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có :

N

M B

D C

A O

E

     

    

²



2 2 2

1 1 2 2 2

. 2 2

2 2

. 2

4 . 2 4 2 2

AM DN AM DN AB BM CD CN R BM R CN

BM CN R

R BM CN R BM CN R R R BM CN

   

   

  

     

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có :

 

2 2

2 . 2 2 .2 2 . 2

BM CN  BM CN  R  R BM CN  R Từ đó ta được :

 

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

6 4 2

OM ON R R

AM DN R R R

        

 

Đẳng thức xảy ra khi AM DN  BM CN  2R. Khi đó CBM cân tại B tức là Elà điểm chính giữa cung AD