Kiến thức và bài tập trắc nghiệm góc - THI247.com

(1)

CHUYÊN ĐỀ 3 GÓC

§3. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 1. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng :

a) Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng :

Cho đường thẳng D :ax+by+ =c 0và điểm M x y

(

0; 0

)

. Khi đó khoảng cách từ M đến ( )D được tính

bởi công thức: ⁰ ⁰

2 2

( ,( )) ax by c

d M a b

+ +

D = + .

b) Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng.

Cho đường thẳng V:ax+by+ =c 0 và M x y

(

M^; M

)

Ï D^,N x y

(

N^; N

)

Ï D. Khi đó:

- M, N cùng phía với D Û

(

axM +byM +c ax

) (

N +byN +c

)

>⁰ - M, N khác phía với D Û

(

axM +byM +c ax

) (

N +byN +c

)

<⁰ Chú ý: Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng :

1:a x1 by1 c1 0

D + + = và D₂ :a x₂ +by₂ +c₂ =0 là:

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a x by c a x by c

a b a b

+ + + +

+ = ± + .

2. Góc giữa hai đường thẳng:

a) Định nghĩa: Hai đường thẳng ^a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay đơn giản là góc giữa a và b. Khi a song song hoặc trùng với b, ta quy ước góc giữa chúng bằng 0⁰.

b) Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng.

Góc xác định hai đường thẳng D₁ và D₂ có phương trình D₁:a x₁ +by₁ +c₁ =0 và

2:a x by c2 2 2 0

D + + = được xác định bởi công thức

(

1 2

)

2 ^{1 2}2 ^{1 2}2 2

1 1 2 2

cos ; a a bb

a b a b

D D = +

+ + .

Câu 1: Góc giữa hai đường thẳng 1:a x b y c1  1  1 0 và 2:a x b y c2  2  2 0 được xác định theo công thức:

A.



1 2



2 ^{1 2}2 ^{1 2}2 2

1 1 2 2

cos ,

. a a b b a b a b

   

  . B.



1 2



2 ^{1 2}2 ^{1 2}2 2

1 1 2 2

cos ,

. a a b b a b a b

   

  .

C.



1 2



2 ^{1 2}2 ^{1 2}2 2

1 1 1 1

cos , a a b b

a b a b

   

   . D. cos



1, 2



a a^{1 2} 2b b^{1 2}2 c c^{1 2} a b

 

  

 .

Lời giải Chọn C.

  

¹ ²



¹ ²

1 2

1 2 1 2

1 2 2 2 2 2

1 1 1 1

cos , cos , .

.

n n a a b b

n n n n a b a b

 

     

  

   

  .

Câu 2: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng 1: 10x5y 1 0và 2: 2 1

x t

y t

  

  

 .

A. 3

10. B. 10

10 . C.3 10

10 . D. 3

5. Lời giải

3 3

Chương

(2)

Chọn C.

Véctơ pháp tuyến của  1, 2 lần lượt là n1(2;1), n2(1;1).



¹ ²

 

¹ ²



¹ ²

1 2

| . | 3

cos , | os , |

| | | | 10 c n n n n

n n

    

 

 

  .

Câu 3: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng 1: x2y 2 0 và 2: x y 0. A. 10

10 . B. 2. C. 2

3 . D. 3

3 . Lời giải

Chọn A.

Véctơ pháp tuyến của  1, 2 lần lượt là n₁(1; 2), n₂(1; 1).



¹ ²

 

¹ ²



¹ ²

1 2

| . | 1 10

cos , | os , | .

| | | | 10 10 c n n n n

n n

     

 

 

 

Câu 4: Tìm côsin giữa ₂ đường thẳng ₁: 2x3y10 0 và ²: 2x3y 4 0. A. 7

13. B. 6

13. C. 13. D. 5

13. Lời giải

Chọn D.

Véctơ pháp tuyến của  1, 2 lần lượt là n₁(2;3), n₂(2; 3).



¹ ²

 

¹ ²



¹ ²

1 2

| . | 5

cos , | os , | .

| | | | 13 c n n n n

n n

    

 

 

 

Câu 5: Tìm góc giữa 2 đường thẳng 1: 2x2 3y 5 0 và 2: y 6 0 A. 60. B. 125. C. 145. D. 30.

Lời giải Chọn D.

Véctơ pháp tuyến của  1, 2 lần lượt là n₁(1; 3), n₂(0;1).



¹ ²

 

¹ ²



¹ ²

1 2

| . | 3

cos , | os , |

| | | | 2 c n n n n

n n

    

 

 

      



1, 2



30 .

Câu 6: Tìm góc giữa hai đường thẳng 1: x 3y0 và 2: x10 0 . A. 45. B. 125. C. 30. D. 60.

Véctơ pháp tuyến của  1, 2 lần lượt là n₁(1; 3), n₂(1;0).



¹ ²

 

¹ ²



¹ ²

1 2

| . | 1

cos , | os , |

| | | | 2 c n n n n

n n

    

 

 

      



1, 2



60

Câu 7: Tìm góc giữa 2 đường thẳng 1 : 2x y 10 0 và 2: x3y 9 0.

A. 60. B. 0. C. 90. D. 45.

Véctơ pháp tuyến của  1, 2 lần lượt là n₁(2; 1), n₂(1; 3).



¹ ²

 

¹ ²



¹ ²

1 2

| . | 2

cos , | os , |

| | | | 2 c n n n n

n n

    

 

 

     



1, 2



45

Câu 8: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng 1:x2y 7 0 và 2: 2x4y 9 0. A. 3

5. B. 2

5. C. 1

5. D. 3

5. Lời giải

(3)

Chọn A.

Véctơ pháp tuyến của  1, 2 lần lượt là n1(1; 2), n2(2; 4).



¹ ²

 

¹ ²



¹ ²

1 2

| . | 3

cos , | os , | .

| | | | 5 c n n n n

n n

    

 

 

 

Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng 1:x2y 6 0 và 2:x3y 9 0 . Tính góc tạo bởi 1 và 2

A. 30 . B. 135 . C. 45 . D. 60 . Lời giải

Chọn C.

  

¹ ²



¹ ²

1 2

Δ 1 2 Δ

Δ

. 1

,Δ cos ,

. 2 n n n n

n n



   

   

   



1,Δ2



45.

Câu 10: Cho hai đường thẳng d x1: 2y 4 0; d₂: 2x y  6 0. Số đo góc giữa d1

và d2 là

A. 30. B. 60. C. 45. D. 90. Lời giải

Chọn D.

Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là ⁿ^¹^

 

^{1;2 .}

Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d2 là ⁿ^² ^



^{2; 1 .}^



Ta có n n ¹. ²  0 d1d2.

Câu 11: Tìm góc giữa 2 đường thẳng 1: 6x5y15 0 và 2

: 10 6 1 5

x t

y t

 

    .

A. 90. B. 60. C. 0. D. 45.

Lời giải Chọn A.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 1 là n1(6; 5) . Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2 là n2 (5;6)

. Ta có n n 1. 2     0 1 2

.

Câu 12: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng 1: 3x4y 1 0 và 2

15 12

: 1 5

x t

y t

 

    .

A. 56

65. B. 63

13. C. 6

65

. D. 33

65. Lời giải

Chọn D.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 1 là n₁(3; 4) . Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2 là n₂ (5; 12)

. Gọi  là góc gữa  1, 2 ¹ ²

1 2

. 33

cos . 65

n n

 n n

  

 

  .

Câu 13: Cho đoạn thẳng AB với ^A

 

¹^{; 2 ,} ^B⁽^^{3 4}^{; )} và đường thẳng d: 4x7y m 0. Định ^m để d và đoạn thẳng AB có điểm chung.

A. 10 m 40. B. m40 hoặc m10.

C. m40. D. m10.

(4)

Đường thẳngd và đoạn thẳng AB có điểm chung  A B, nằm về hai phía của đường thẳngd

(4 14 m)( 12 28 m) 0

       10 m 40.

Câu 14: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi đường thẳng :x y 0 và trục hoành Ox?

A. (1 2)x y 0 ; x (1 2)y0. B. (1 2)x y 0 ; x (1 2)y0. C. (1 2)x y 0 ; x (1 2)y0. D. x (1 2)y0 ; x (1 2)y0.

Gọi M x y( ; ) là điểm thuộc đường phân giácd M( , ) d M Ox( , ) 2

x y y

    x (1 2)y0. Câu 15: Cho đường thẳng d : 2

1 3

x t

y t

  

  

 và 2 điểm ^A



^{1 ; 2 ,}



^B⁽^^{2 ;}^.^m⁾ Định ^m để A và B nằm cùng phía đối với d .

A. m 13 . B. m13. C. .m13. D. m 13 . Lời giải

Chọn A.

Phương trình tổng quát của đường thẳng d: 3(x 2) 1(y 1) 0 hay : 3x 7 0

d   y .

A,B cùng phía với d(3x_A y_A7)(3x_By_B 7) 0    2( 13 m) 0  m 13 Câu 16: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2

đường thẳng 1:x2y 3 0 và 2: 2x y  3 0.

A. 3x y 0 và x3y0. B. 3x y 0 và x3y 6 0. C. 3x y 0 và  x 3y 6 0. D. 3x y  6 0 và x3y 6 0.

Gọi M x y( ; ) là điểm thuộc đường phân giácd M( , ) 1 d M( ,2)

2 3 2 3

5 5

x y x y 

  ^{ }^x ²^y^{  }³



²^{x y}^{ }³



³ ^{6 0}^.

3 0

x y x y

   

   

Câu 17: Cho hai đường thẳng d1: 2x4y 3 0;d2: 3x y 17 0 . Số đo góc giữa d1

và d2 là A. 4

 . B.

2

 . C. ³

4

  . D.

4

 . Lời giải

Chọn A.



1 2

 

1 2



cos , 1 , .

2 4

d d   d d 

Câu 18: Cho đường thẳng d: 3x4y 5 0 và 2 điểm^A

  

^{1;3 ,} ^B ^2;^m



. Định ^m để A và B nằm cùng phía đối với d.

A. m0. B. 1

m 4. C. m 1. D. 1 m 4. Lời giải

Chọn B.

,

A B nằm về hai phía của đường thẳng d

(5)

(3 12 5)(6 4 5) 0 1.

m m 4

        

Câu 19: Cho ABC với ^A

 

^{1;3 ,} ^B⁽^^{2; 4 ,}⁾ ^C⁽^^1;5⁾ và đường thẳng d: 2x3y 6 0. Đường thẳng d cắt cạnh nào của ABC?

A. Cạnh AC. B. Không cạnh nào.

C. Cạnh AB. D. Cạnh BC.

Lời giải Chọn B.

Thay điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được 1 Thay điểm B vào phương trình đường thẳng d ta được 10 Thay điểm C vào phương trình đường thẳng d ta được 11

Suy ra điểm A và B nằm cùng phía đối với d nên d không cắt cạnh AB. điểm A và C nằm cùng phía đối với d nên d không cắt cạnh AC

điểm C và B nằm cùng phía đối với d nên d không cắt cạnh BC.

Câu 20: Cho hai đường thẳng 1:x y  5 0 và 2:y 10. Góc giữa 1 và Δ2 là A. 30. B. 45. C. 88 57 '52'' . D. 1 13'8'' .

Véctơ pháp tuyến của đường thẳng 1 là ⁿ^¹^

 

^{1;1 .}

Véctơ pháp tuyến của đường thẳng 2 là ⁿ^² ^

 

^{0;1 .}

Ta có



¹ ²

 

¹ ²



¹ ²

1 2

. 1

cos , cos ,

. 2 n n n n

    n n 

   

     



1, 2



45

Câu 21: Cho tam giác ABC có ^A

    

^{0;1 ,}^B ^{2;0 ,}^C ^{ }^{2; 5}



. Tính diện tích S của tam giác ABC

A. ⁵

S 2. B. S5. C. S 7. D. ⁷ S 2. Lời giải

Chọn C.

Ta có AB 5 ; AC 40 2 10. ; BC 41.

5 2 10 41

p  2 

 

     

^7.

S  p p AB p AC p BC   

 

¹^{; 2 ,} ^B⁽^^{3 4}^{; )} và đường thẳng 2

: 1

x m t

d y t

  

  

 . Định

m để d cắt đoạn thẳngAB.

A. m3. B. m3. C. m3. D. Không có ^m nào.

Phương trình tổng quát của đường thẳng d x: 2y m  2 0 Đường thẳngd và đoạn thẳng AB có điểm chung

,

 A B nằm về hai phía của đường thẳngd    (1 4 m 2)( 3 8    m 2) 0. (3 m)(3 m) 0

    vô nghiệm.

Câu 23: Đường thẳng ^{ax by}^ ^{ }^{3 0, ,}^{a b}^ đi qua điểm ^M

 

^1;1 và tạo với đường thẳng ^^{: 3}^{x y}^{  }^{7 0} một góc 45. Khi đó a b bằng

A. 6. B. 4. C. 3. D. 1.

Lời giải

(6)

Chọn D.

Gọi đường thẳng d có véctơ pháp tuyến ⁿ^^ ^



^{a b}^;



^với^{a b}^, ^^. Ta có



^^,^d



^⁴⁵^{ } ^cos



^{n n}^{ }^^, ^d



^^{cos 45}^ ^._. ^d ₂²

d

n n n n



 

 

2 2

3 2

10 2 a b

a b

  



2 2

3a b 5. a b

    2a²3ab2b² 0

2 1 . 2 a b

a b

 



  

 Với a2b chọn B1; A2 d: 2x y  3 0.

Với 1

a 2b chọn B 2; A1 d x: 2y 1 0.

Câu 24: Cho ^d^{: 3}^{x y}^{ }⁰ và ^{d mx y}^{' :} ^{  }^{1 0}. Tìm m để ^cos



^{, '}



¹

d d  10 A. m0. B. ⁴

m3 hoặc m0. C. ³

m 4 hoặc 0

m . D. m  3.

Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d là ^d^^



^{3; 1 .}^



Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d' là ^d^^'^



^m^{;1 .}



Ta có ^cos



^{, '}



¹

d d  10 ^ ^cos



^{n n}^{ }^d^, ^d^'



^ ¹₁₀ ^'

'

. 1

. 10

d d

n n n n

 

 

2

3 1 1

10 1 10 m

m

  



3m 1 m2 1

    8m²6m0

0 3 4 m m

 



 

Câu 25: Cho tam giác ABC có ^A

 

^{0;1 ,} ^B



^^{2;0 ,}



^C

 

^2;5 . Tính diện tích S của tam giác ABC

A. S 3. B. S5. C. ⁵

S 2. D. ³ S 2. Lời giải

Chọn A.

Ta có AB 5 ; AC 20 ; BC 41.

5 20 41

p  2 

 

     

^3.

S  p p AB p AC p BC   

Câu 26: Có hai giá trị m m1, 2 để đường thẳng ^{x my}^ ^{ }^{3 0} hợp với đường thẳng 0

x y  một góc 60 . Tổng m1m2bằng:

A. 1. B. 1. C. 4. D. 4.

Ta có ^cos



^{d d}^{, '}



^{  }⁶⁰ ^cos



^{n n}^{ }^d^, ^d^'



^¹₂ ^'

'

. 1

. 2

d d

n n n n

 

 

2

1 1

2 1 2 m

m

  



2 m 1 2. m2 1

    m²4m 1 0.

(7)

1 2 b 4.

m m

     a

Câu 27: Xác định giá trị của ^a để góc tạo bởi hai đường thẳng 2 1 2 x at

y t

  

  

 và

đường thẳng ³^x^⁴^y^^{12 0}^ một góc bằng 45. A. ²^; ¹⁴

a7 a  . B. ²^; ¹⁴

a7 a . C. â^^1;â^{ }¹⁴. D. â^{ }^2;â^{ }¹⁴. Lời giải

Chọn A.

Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là ⁿ^¹^



^{2; .}^a



Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d2 là ⁿ^² ^

 

^{3; 4 .}

Ta có



^{d d}¹^, ²



^⁴⁵^{ } ^cos



^{n n}^{ }^d¹^, ^d²



^^{cos 45}^ ¹ ²

1 2

. 2

d d

n n n n

 

 

2

4 6 2

5 4 2 a

a

  



2 4a 6 5 2. a2 4

    7a²96a28 0

2 7 .

14 a a

 



  

Câu 28: Phương trình đường thẳng đi qua ^A



^^2;0



và tạo với đường thẳng

: 3 3 0

d x y  một góc ^45 là

A. ²^{x y}^{  }^{4 0;}^x^²^y^{ }^{2 0}. B. ²^{x y}^{  }^{4 0;}^x^²^y^{ }^{2 0}. C. ²^{x y}^{  }^{4 0;}^x^²^y^{ }^{2 0}. D. ²^{x y}^{  }^{4 0;}^x^²^y^{ }^{2 0}.

Gọi đường thẳng  đi qua ^A



^^2;0



có véctơ pháp tuyến



^;



^;



² ² ^{0 .}



n  A B A B 

Ta có



^^,^d



^⁴⁵^{ } ^cos



^{n n}^{ }^^, ^d



^^{cos 45}^ ^._. ^d ₂²

d

n n n n



 

 

2 2

3 2

10 2 A B

A B

  



2 2

3 5.

A B A B

    4A²6AB4B² 0

2 1 2

A B

 



  

 Với A2B chọn B1; A2  : 2x y  4 0.

Với 1

A 2B chọn B 2; A1  :x2y 2 0

Câu 29: Đường thẳng đi qua ^B



^^4;5



và tạo với đường thẳng ^^{: 7}^{x y}^{  }^{8 0} một góc 45có phương trình là

A. x2y 6 0 và 2x11y63 0 . B. x2y 6 0 và 2x11y63 0 . C. x2y 6 0 và 2x11y63 0 . D. x2y 6 0 và 2x11y63 0 .

Gọi đường thẳng d đi qua ^B



^^4;5



có véctơ pháp tuyến



^;



^;



² ² ^{0 .}



n  A B A B 

Ta có



^^,^d



^⁴⁵^{ } ^cos



^{n n}^{ }^^, ^d



^^{cos 45}^ ^._. ^d ₂²

d

n n n n



 

 

(8)

2 2

7 2

50 2 A B

A B

  



2 2

7A B 5. A B

    22A²7AB2B² 0

1 2

2 11

A B

 

   



Với 1

A 2B chọn B2; A1 d x: 2y 6 0.

Với 2

A 11B chọn B 11; A2 d: 2x11y63 0.

Câu 30: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng ^{d x y}^: ^{  }^{3 0}. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm ^A



^{2; 4}^



và tạo với đường thẳng d một góc bằng 45 .

A. y 4 0 và x 2 0. B. y 4 0 và x 2 0. C. y 4 0 và x 2 0. D. y 4 0 và x 2 0.

Gọi đường thẳng  có véctơ pháp tuyến ⁿ^^ ^



^{a b}^;



với a²b² 0.

Ta có



^,



⁴⁵ ^cos



^,



^{cos 45} ^. ₂²

.

d d

d

d n n n n

n n



       

   

 

2 2

2 2 2

a b a b

  



2 2

a b a b

    ab0 0 0. a b

 

   Với a0 chọn b1  :y 4 0.

Với b0 chọn a1  :x 2 0.

Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, hãy lập phương trình đường phân giác của góc tù tạo bởi hai đường thẳng

1: 3x 4y 12 0, 2:12x 3y 7 0

        .

A. ^d^{: 60 9 17}



^

 

^x^ ^{15 12 17}^



^y^^{35 36 17 0}^ ^ ^.

B. d^{: 60 9 17}





 

x ^{15 12 17}



y35 36 17 0.  C. d^{: 60 9 17}





 

x ^{15 12 17}



y35 36 17 0.  D. d^{: 60 9 17}





 

x ^{15 12 17}



y35 36 17 0. 

Véctơ pháp tuyến của đường thẳng 1 là ⁿ^^Δ¹ ^



^{3; 4 .}^



Véctơ pháp tuyến của đường thẳng 2 là nΔ2 



12;3 .



Vì n n Δ1. Δ2 24 0

nên đường phân giác góc tù tạo bởi 2 hai đường thẳng là

3 4 12 12 3 7

5 3 17

x y  x y ^



^{60 9 17}^

 

^x^ ^{15 12 17}^



^y^^{35 36 17 0}^ ^ ^.

Câu 32: Cho hình vuông ABCD có đỉnh ^A



^^4;5



và một đường chéo có phương trình 7x y  8 0. Tọa độ điểm C là

A. ^C



^{5;14 .}



B. ^C



^{5; 14 .}^



C. ^C



^{ }^{5; 14 .}



D. ^C



^^{5;14 .}



Vì ^A



^^4;5



^⁷^{x y}^{  }^{8 0} nên đường chéo BD: 7x y  8 0.

(9)

Phương trình đường chéo AC đi qua ^A



^^4;5



và vuông góc với BD là 7 31 0

x y  .

Gọi tâm hình vuông là ^{I x y}



^;



, tọa độ điểm ^{I x y}



^;



thỏa mãn

7 8 0 1 9

; .

7 31 0 2 2

x y I

x y

  

    

     



I là trung điểm AC suy ra ² ⁵



^{5; 14 .}



2 14

C I A

x x x

y y y C

  

  

    



Câu 33: Cho d: 3x y 0 và ^{d mx y}^{' :} ^{  }^{1 0}. Tìm m để ^cos



^{, '}



¹

d d  2

A. m0. B. m  3.

C. m 3 hoặc m0. D. m  3 hoặc m0. Lời giải

Chọn C.

 

¹ ³ ₂ ¹ ¹

cos , '

2 2 1 2

d d m

m

   



3m 1 m2 1

    m² 3m0 0 3. m m

 

  

Câu 34: Có hai giá trị m m1, 2 để đường thẳng ^{mx y}^{  }^{3 0} hợp với đường thẳng 0

x y  một góc 60. Tổng m1m2 bằng

A. 3. B. 3. C. 4. D. 4.

Ta có



^^,^d



^{  }⁶⁰ ^cos



^{n n}^{ }^^, ^d



^^{cos 60}^ ^._. ^d ¹₂

d

n n n n



 

 

2

1 1

2 1 2

m m

  



2m 1 2 m2 1

    m²4m 1 0 1 2 b 4.

m m

     a

Câu 35: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng 1: 3x4y 1 0 và 2: x2y 4 0.

A. (3 5)x2(2 5)y 1 4 5 0 và (3 5)x2(2 5)y 1 4 5 0 . B. (3 5)x2(2 5)y 1 4 5 0 và (3 5)x2(2 5)y 1 4 5 0 . C. (3 5)x2(2 5)y 1 4 5 0 và (3 5)x2(2 5)y 1 4 5 0 . D. (3 5)x2(2 5)y 1 4 5 0 và (3 5)x2(2 5)y 1 4 5 0 .

Cặp đường thẳng là phân giác của các góc tạo bởi  1, 2 là

| 3 4 1| | 2 4 |

5 5

x y  x y 3 4 1 5( 2 4)

3 4 1 5( 2 4)

x y x y

     

       

3 4 1 5( 2 4)

x y x y

     

       

(3 5) 2(2 5) 1 4 5 0

(3 5) 2(2 5) 1 4 5 0.

x y

      

       

Câu 36: Đường thẳng ^{bx ay}^ ^{ }^{3 0, ,}^{a b}^ đi qua điểm ^M

 

^1;1 và tạo với đường thẳng ^^{: 3}^{x y}^{  }^{7 0} một góc 45 . Khi đó 2a5b bằng

A. 8. B. 8. C. 1. D. 1.

Gọi đường thẳng d có véctơ pháp tuyến ⁿ^^ ^



^{A B}^;



với A²B² 0.

(10)

Ta có



^^,^d



^⁴⁵^{ } ^cos



^{n n}^{ }^^, ^d



^^{cos 45}^ ^._. ^d ₂²

d

n n n n



 

 

2 2

3 2

10 2 A B

A B

  



2 2

3A B 5. A B

    2A²3AB2B² 0

2 1 . 2 A B

A B

 



  

 Với A2B chọn B1; A2 d: 2x y  3 0.

Với 1

A 2B chọn B 2; A1 d x: 2y 1 0.

Câu 37: Viết phương trình đường thẳng qua ^B



^^{1; 2}



tạo với đường thẳng d : 2 3

2

x t

y t

  

  

 một góc 60.

A.



^{645 24}^



^x^³^y^ ^{645 30 0;}^ ^



^{645 24}^



^x^³^y^ ^{645 30 0.}^ ^

B.



^{645 24}^



^x^³^y^ ^{645 30 0;}^ ^



^{645 24}^



^x^³^y^ ^{645 30 0.}^ ^

C.



^{645 24}^



^x^³^y^ ^{645 30 0;}^ ^



^{645 24}^



^x^³^y^ ^{645 30 0.}^ ^

D.



^{645 24}^



^x^³^y^ ^{645 30 0;}^ ^



^{645 24}^



^x^³^y^ ^{645 30 0.}^ ^

Gọi đường thẳng Δ đi qua ^B



^^{1; 2}



có véctơ pháp tuyến ⁿ^^ ^



^{a b}^;



với

2 2 0.

a b 

Ta có



^^,^d



^{  }⁶⁰ ^cos



^{n n}^{ }^^, ^d



^^{cos 60}^ ^._. ^d ¹₂

d

n n n n



 

 

2 2

2 3 1

13 2 a b

a b

  



2 2

2 2a 3b 13. a b

    3a²48ab23b²0 24 645

3 .

24 645 3

a b

  



  

 



Với 24 645 a  3 b

 chọn b3;a  24 645 ^^{Δ :}



^{645 24}^



^x^³^y^ ^{645 30 0.}^ ^

Với 24 645 a  3 b

 chọn b 3;a24 645 ^^{Δ :}



^{645 24}^



^x^³^y^ ^{645 30 0.}^ ^

 

^{1; 2} , ^B



^^3;4



và đường thẳng d : ⁴^x^⁷^{y m}^{ }⁰ . Tìm ^m để d và đường thẳng AB tạo với nhau góc 60.

A. m1. B. ^m^

 

^{1;2 .} C. m. D. không tồn tại m.

Gọi đường thẳng AB có véctơ pháp tuyến ⁿ^^AB ^



^{2; 4}



^^{2 1; 2 .}

 

Ta có



^,



^cos



^AB^, ^d



^AB^._. ^d ^{2 13}₁₃

AB d

AB d n n n n

n n

  

   

 



^{AB d}^,



⁵⁶

  .

(11)

Câu 39: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng 1:x2y 6 0 và

2:x 3y 9 0

    . Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi 1 và

2.

A.



^{2 1}^

 

^x^ ^{2 2 3}^

 

^y^ ^{6 2 9}^



^^0. ^B.



^{2 1}^

 

^x^ ^{2 2 3}^

 

^y^ ^{6 2 9}^



^^0.

C.



^{2 1}^

 

^x^ ^{2 2 3}^

 

^y^ ^{6 2 9}^



^^0. ^D.



^{2 1}^

 

^x^ ^{2 2 3}^

 

^y^ ^{6 2 9}^



^^0.

Véctơ pháp tuyến của đường thẳng 1 là ⁿ^^Δ¹ ^

 

^{1;2 .}

Véctơ pháp tuyến của đường thẳng 2 là nΔ2 



1; 3 .



Vì n n Δ1. Δ2   5 0

nên đường phân giác góc tù tạo bởi 2 hai đường thẳng là

2 6 3 9

5 10

x y  x y ^



^{2 1}^

 

^x^ ^{2 2 3}^

 

^y^ ^{6 2 9}^



^⁰^.

Câu 40: Lập phương trình  đi qua ^A

 

^2;1 và tạo với đường thẳng d: 2x3y 4 0 một góc 45 .

A. 5x y  11 0; x5y 3 0. B. 5x y  11 0; x5y 3 0.

C. 5x y  11 0; x5y 3 0. D. 5x2y12 0; 2 x5y 1 0.

Gọi đường thẳng Δ đi qua ^A

 

^2;1 có véctơ pháp tuyến ⁿ^^ ^



^{a b}^;



^với

2 2 0.

a b 

Ta có



^,



⁴⁵ ^cos



^, ^d



^{cos 45} ^._. ^d ₂²

d

d n n n n

n n



       

   

 

2 2

2 3 2

13 2 a b

a b

  



2 2

2 2a 3b 26. a b

    10a²48ab10b² 0

5 1 . 5 a b

a b

 



  

 Với a5b chọn b1; a5 Δ : 5x y  11 0.

Với 1

a 5b chọn b 5;a1 Δ :x5y 3 0.

Câu 41: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng d1 và d2

lần lượt có phương trình: d x y1:  1, :d x2 3y 3 0. Hãy viết phương trình đường thẳng d đối xứng với d2 qua đường thẳng d1.

A. ^d^{: 3}^{x y}^{  }^{1 0}. B. ^d^{: 3}^{x y}^{  }^{1 0}. C. ^d^{: 3}^{x y}^{  }^{1 0}. D. ^d^{: 3}^{x y}^{  }^{1 0}. Lời giải

Chọn B.

Gọi I x y



;



 d1 d2 . Khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình

1 0

 

0;1 .

3 3 0 1

x y x

x y y I

  

 

 

     

 

Chọn M



3;0



d2. Gọi  đi qua M và vuông góc với d1 . Suy ra  có dạng x y c  0.

Vì ^M



^^3;0



^{   }^c ³ ^{ }^:^{x y}^{  }^{3 0}

Gọi H x y



;



  d1 . Khi đó tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 3 0

1 x y x y

  

  



1 2 x y

  

   ^^H



^^{1;2 .}



(12)

Gọi N là điểm đối xứng của M qua d1. Khi đó H là trung điểm của MN.

2 1

2 4

N H M

x x x

y y y

  

     ^^N

 

^{1;4 .}

Vậy đường thẳng d chính là đường thẳng IN , ta có

0 1

3 1 0

1 3

x y

  x y

     .

Câu 42: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng

1: 2 2 0

d x y   và d2: 2x4y 7 0. Viết phương trình đường thẳng qua điểm

 

^3;1

P cùng với d1, d2 tạo thành tam giác cân có đỉnh là giao điểm của d1 và d2.

A. : 3 10 0

: 3 0

d x y d x y

  

  

 . B. : 3 10 0

: 3 0

d x y d x y

  

  

 .C. : 2 7 0

: 2 1 0

d x y d x y

  

   

 .D. : 3 10 0

: 3 0

d x y d x y

  

  

 .

Gọi phương trình đường thẳng d đi qua điểm P có véctơ pháp tuyến



^;



n A B

, A²B² 0.

Theo giả thiết ta có



d d, 1

 

 d d, 2



cos



d d, 1



cos



d d, 2



2 2 2 2

2 2 4

5. 2 5.

A B A B

A B A B

 

 

 

2. 2A B 2A 4B

   

 

2 2 2 4

A B A B

  

 

   



3 1 3 A B

A B

 



  



. Với A3B chọn B1;A 3 d: 3x y 10 0 .

Với 1

A 3B chọn B 3;A 1 d x: 3y0.

Câu 43: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác cân PRQ, biết phương trình cạnh đáy ^PQ^{: 2}^x^³^y^{ }^{5 0,} cạnh bên ^{PR x y}^: ^{  }^{1 0}. Tìm phương trình cạnh bên RQ biết rằng nó đi qua điểm ^D

 

^1;1

A. ^RQ^:17^x^⁷^y^^{24 0}^ . B. ^RQ^:17^x^⁷^y^^{24 0}^ . C. ^RQ^:17^x^⁷^y^^{24 0}^ . D. ^RQ^:17^x^⁷^y^^{24 0}^ .

Gọi phương trình cạnh bên RQ đi qua điểm D có véctơ pháp tuyến ⁿ^ ^



^{A B}^;



, A²B² 0.

Vì tam giác PRQ cân tại R nên



^{RQ PQ}^,

 

^ ^{PQ PR}^,



^^cos



^{RQ PQ}^,



^^cos



^{PQ PR}^,



2 2

2 3 1

13. 2 13.

A B A B

  



2 2

2. 2A 3B A B

   

2 2

7A 24AB 17B 0

   

17 A 7 B A B

 



  Với 17

A 7 B chọn B7;A17RQ:17x7y24 0 .

Với A B chọn B1;A11RQ x y:   2 0 loại vì RQ// PR . Vậy đường thẳng cần tìm là ^RQ^:17^x^⁷^y^^{24 0}^ .

(13)

Câu 44: Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 đường thẳng d1: 3x4y 6 0;

2: 4 3 1 0

d x y  và d y3: 0. Gọi A d 1 d2 ; B d 2d3; C d 3d1. Viết phương trình đường phân giác trong của góc B.

A. 4x2y 1 0. B. 4x2y 1 0. C. 4x8y 1 0. D. 4x8y 1 0.

1 2

A d d , suy ta tọa độ điểm ^{A x y}



^;



thỏa mãn ³ ⁴ ^{6 0}



^{2;3 .}



4 3 1 0

x y x y A

  

  

   



2 3

B d d , suy ta tọa độ điểm ^{B x y}



^;



thỏa mãn 0 1 4 3 1 0 4;0 .

y B

x y

    

     



3 1

C d d , suy ta tọa độ điểm ^{C x y}



^;



thỏa mãn ³ ⁴ ^{6 0}



^{2;0 .}



0 x y y C

  

 

  Phương trình các đường phân giác góc B là 4 3 1

5 x y

  y

 

 

1 2

4 2 1 0

4 8 1 0

x y x y

   

 

   

 .

Xét đường thẳng

 

1 : 4x2y 1 0, ta có



⁴xA²yA ^{1 4}

 

xC²yC  ¹



^{105 0} Suy ra A và C nằm khác phía đối với

 

1 .

Do đó đường phân giác trong góc B là

 

1 : 4x2y 1 0.

Câu 45: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng d1 và d2

lần lượt có phương trình: d x y1:  1, :d x2 3y 3 0. Hãy viết phương trình đường thẳng d3 đối xứng với d1 qua đường thẳng d2.

A. ⁷^{x y}^{  }^{1 0}. B. ⁷^{x y}^{  }^{1 0}. C. ⁷^{x y}^{  }^{1 0}. D. ⁷^{x y}^{  }^{1 0}. Lời giải

Chọn A.

Gọi I x y



;



 d1 d2 . Khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình

1 0

 

0;1 .

3 3 0 1

x y x

x y y I

  

 

 

     

 

Chọn M

 

1;0 d1. Gọi  đi qua M và vuông góc với d2 . Suy ra  có dạng 3x y c  0.

Vì ^M

 

^1;0 ^{    }^c ³^{ }^{: 3}^{x y}^{  }^{3 0}.

Gọi H x y



;



d2  . Khi đó tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

3 3 0

x y x y

  

   



3 5 6 5 x y

 

  



3 6; . H5 5

  

Gọi N là điểm đối xứng của M qua d2. Khi đó H là trung điểm của MN. 2 1

5 2 12

5

N H M

x x x

y y y

   

 

   



1 12; . N5 5 

  

Vậy đường thẳng d3 chính là đường thẳng IN , ta có

(14)

0 1

7 1 0

1 12

0 1

5 5

x y

  x y

    

  .

Câu 46: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ΔABC có đỉnh ^A

 

^3;0 và

phương trình hai đường cao



^BB^{' : 2}



^x^²^y^{ }^{9 0} và



^CC^{' : 3}



^x^¹²^y^{ }^{1 0}. Viết phương trình cạnh BC.

A. 4x5y20 0. B. 4x5y20 0. C. 4x5y20 0. D. 4x5y20 0. Lời giải

Chọn C.

Gọi ^{H x y}



^;



là trực tâm của tam giác ΔABC. Khi đó tọa độ điểm ^{H x y}



^;



là

nghiệm của hệ phương trình 2 2 9 0

3 12 1 0

x y

  

   



11 3 5 6 x y

 

  



11 5; . H 3 6

   Phương trình cạnh AC đi qua ^A

 

^3;0 và vuông góc với BB

nên



^AC



có dạng 2x2y c 0.

Vì ^A

  

^3;0 ^ ^AC



nên 6    c 0 c 6. Do đó



^AC



^{: 2}^x^²^y     ^{6 0} ^{x y} ^{3 0}. Ta có C ACCC nên tọa độ điểm ^{C x y}



^;



là nghiệm của hệ phương trình

3 12 1 0

3 0

x y

x y

  

   



35 9 8 9 x y

 

  



35 8; . C 9 9

  

Phương trình cạnh BC đi qua điểm 35 8 9 9; C 

 

  nhận ^{2 5}^; ¹

 

^{4;5 .}

3 6 6

AH  

 làm

véctơ pháp tuyến^



^BC



^{: 4}^x^⁵^y^^{20 0.}^

Câu 47: Cho tam giác ABC, đỉnh ^B



^{2; 1}^



, đường cao AA: 3x4y27 0 và đường phân giác trong của góc C là CD x: 2y 5 0. Khi đó phương trình cạnh AB là

A. 4x7y15 0. B. 2x5y 1 0. C.