Đề thi HSG Toán lớp 9 Sở GD&ĐT Quảng Ninh năm 2022 có lời giải chi tiết

(1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC: 2021 – 2022

Môn: TOÁN Ngày thi: 23/02/2022

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. (4,0 điểm)

a) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyyzzx3. Tính giá trị của biểu thức:

2 2 2 .

3 3 3

x y y z z x

A z x y

  

  

  

b) Cho hai hàm số yx² và ^y^²



^m^¹



^x^{ }^m ⁵^với^m là tham số. Hãy tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Câu 2. (5,0 điểm)

a) Giải phương trình x² 6 x²2x 4 5x 3x2.

b) Giải hệ phương trình

 

2 2

2 2 3

2 3 0

3 4 0.

x y

x x y

   

   



Câu 3. (4,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ^{x y}^;  thỏa mãn phương trình: x³y³2y²3y1.

b) Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình x³3mx²mx2 có nghiệm là số hữu tỉ.

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho đường tròn O R;  và dây BC cố định không là đường kính của  O . Lấy điểm A trên cung lớn BC sao cho ABAC và ACB90 ,⁰ gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Từ B hạ BH vuông góc với



H AD



, từ D hạ DK vuông góc với AC K



AC



. Đường thẳng BH cắt đường thẳng DK và AC lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh E



O R;



và HK BC .

b) Hạ DL vuông góc với AB L



AB



. Chứng minh đường thẳng KL đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC. c) Chứng minh đường thẳng AE luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi A di chuyển trên cung BC nhưng vẫn thỏa điều kiện đề bài.

Câu 5. (1,0 điểm)

Trên bảng người ta viết 2022 số nguyên dương liên tiếp 1; 2;...; 2021; 2022 và thực hiện các thao tác sau: Xóa đi hai số bất kỳ (trong 2022 số trên) rồi lại viết lên bảng một số bằng tổng của hai số vừa xóa, cứ tiếp tục như vậy cho đến khi trên bảng chỉ còn một số. Hỏi số còn lại trên bảng là số chẵn hay số lẻ? Vì sao?

---HẾT--- ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(2)

., ., ., ., ., .,

x-y y-z z-x x--y-+y--z-+z--x-

= + + = =0

(y+z)(z+x) (z+x)(x+y) (x+y)(y+z) (x+y)(y+z)(z+x) b) Hoanh d6 giao diem cua d& thi hai ham s6

tren

la nghiem cua phuong trinh

xi -2 (m + l)x -m +s =

o.

E>s d& thi cua hai hams& da cho ciit nhau tai hai diSm philn bi~t thi

' '

~· > O=>(m +1r +m -5 >Oc:>m- +3m -4 >Oc:>m <-4;m > 1

Bai 2. a) Giai pheong trinh xi +6 +..Jxi -2x + 4 = Sx +../3x -2

{

xl+2/-3=0

b)Giai h~plmangtrinh ( , ) ₃

x x-+3 -4y =0

Loi giai. a) E>KXE>: x <!:~. Phuong trinh ruong duong xl -Sx + 6+.Jxl -2x + 4 -../3x -2 = 0 3

, xl -Sx +6 ( , )( 1 )

c:>x--Sx+6+ Oc:> x--sx+6 l+ =0

.Jxi-2x +4 +~ .Jxi -2x +4 +,,/3x -2

1 ,

[x

⁼²

Vil+ ~ >0 nen x--Sx+6=0c:>(x-2)(x-3)=0c:> (TMI)K)

.Jxl-2x+4+ 3x-2 x =3

Viy phuong trinh c6 ~p nghi~m S = { 2: 3}

b) Ti: plnrong trinh xi+ 2/ -3 = 0 ee 3 = xl + 2yl thay vao phuong trinh x ( xi +3 )-4y3 = 0

Ta c6 x(2xl +2/}-4y3 = Oc:> x3 +x/-2y3 = Oc:>(x -y)( xl +xy +/)+/(x

-v)

=0 c:> (x -y)( xl +xy + 2/) = 0

Xet x -y = 0 c:> y = x thay vao phtrong trinh xi+ 2/ -3 = 0 duqc xi= 0 c:> x = ±1

Xet xi +xy+2/ =Oc:> ( x +

~r

⁺⁷

t

=0 c:> x = y =0 khong thoa mru:i xi +2/-3 =0 V6y h~ phuoag trinh c6 nghiem ( x: y) e {(-1:-1):(1:1)}

, ., • + .; , x-y y-z z-x

Tinh gm tn cua bieu thuc A = -,- + -, - + -, - z-+3 x-+3 y-+3

bj Cho hai ham se y=xi va y=2(m+l)x+m-S (mlathams6)

Tim cac gia

tri

cua m de d&

thi

cua hai ham s6 da cho ciit nhau tai hai diem phan bi~t.

x-y y-z z-x

Loigiai. a)Tac6 A= ,

+ , +~,---

z-+xy+yz+zx x-+xy+yz+zx y-+xy+yz+zx Bai 1. a) Cho x. y. z la cac s6 thuc duong thoa man xy + yz + zx = 3

Loi giai: Nguy:n Ngqc Hung - THCS Hoang Xuan Han, Due Tho, Ha Tinh

KY THI CHQN HQC

srsn

GIOI T~ LOP 9 NAi,1 HQC 2021 - 2022

Mon thi: TOA.'(

Tuai 2ian: 1 so phut N2av thi: 23/02!2022 SC1GIAO !)VC VA DAO T~O

QUA~G~~H

D!

CHINHTHUC

(3)

Bai 3. a) Tim

tit

ca cac c~p s6 nguyen ( x: v) thoa man phuong trinh x3 -y3 = 2/ + 3y + 1 b) Tim

tit

ca cac s6 nguyen m dS phuong trinh x J + 3mx ¹= mx - 2 co nghiem la

s6

hiiu ti.

Lui giai. a) Phuong trinh nrong duong x3 = y3 + 2/ + 3y + 1

Ta co (y3 +2y1 +3y +l)-(y3 -3/ + 3y-l) = Sy1 +2 > 0=> y3 + 2/ +3y+l > (y-1)3 (y3 +2y1 +3y +l)-(y3 +3y1 +3y +l) =

-v'

^50=>^y³^{+ 2y}¹^{+3y +l}^{5(y +1)}³

J

J [XJ

⁼^y3

Suyra (y-1) <x3 5(y+l) =>

3 3

x =(y+l)

Xet x3

=i

^=>r3^+2/ ^{+3y +1}

=i ~

^2/ ^{+3y +1}= o~(2y +l)(y +1) =O=>y = -1 Xet x³=(y+l}3 =>y³+2/+3y+l=y3 +3y¹+3y+l~y=O=>x =l

V~y (x;y)e{(-1;-1);(1;0)} thoa man bai toan b) Phuong trinh nrong duong x3 + 3mx1 +mx + 2 = 0.

Nhf an xet: , G.. ra su , da th, uc p ( x ) =x " +a^0_1x e-t +a,_1x o-1 + ... +a1x+a0. trongdo , a,_1;a,_1; ... ;a0

la cac h~ s6 uguyeu. N6u P(x) co nghiem hiiu ti thi moi nghiem huu ti cua P(x) dSu la

s6

nguyen va la m6t trong cac \?CIC s6 cua h~ s6 ao

T

ro

^laibai roan. phuong trinh x ³+ 3m x ¹- mx + 2 = O co nghiem hiiu ti thi nghiem hiiu ti do

se

la X E {-2; -1; l; 2} .

Un

^hrot^thay^vao^phuong^trinh^ta^{co m}^{= -1} ^thoa^man ^bai^loan.

Bai 4. Cho duong tron (0: R) va day BC c6 diuh khong di qua tam 0. Uy diem A tren cung l&n BC sao cho AB "' AC va

ACB

^<^{90°. D}la di~m chinh giua cua cung oho BC. Tu B ke BH ,'Uong g6c ,·&i AD (H dmqc AD). tu D ke DK ,'Uong g6c ,·&i AC (K thuqc AC). Duong thang BH cit duong thang DK va AC lSn luc;,t ~i Eva F.

a) Chung minh 1i11g E thuqc duong tron (0)

,·a

^HKsong song ,·&i BC

b) Ke DL ,'Uong g6c v&i AB (L thuqc AB). Chll'llg minh ~g duong thAng KL di qua trung diem cua do1111 BC.

c) Chung minh ~g duong thang AE luon ti~p ltUC ,·&i mQI duong tron c6 diuh khi A di chuyfu1 tren cung BC nlumg \'~U d1oa mrui di~u ki¢11 dSu bai,

Loi giai. a) Vi D la diem chinh giua cung BC

lletl

BAD

⁼

CAD :

AH .L BF => MBF can ~i A

DHF

⁺

00

^{= 180°}^{nen Ill'}giac DHFK llQi ti~p

=>ADE =AFB=

ABE

^{suy ra}^Ill'^giacABDE llQi ti~p hay di~m E thuqc duong tron (0)

Vi MBF can ~i A nen AD la duong trung tr\?C

cua dol!ll BF. suy ra

00-I

^{= FDH}⁼

BDH

⁼

SCA

=> HK //BC

b) Goi I la giao dien1 cua BC ,·&i KL.

Ta co ALD+AKD = 180° nen n'r giac ALDK OQi ti~

=>OLK= OAK= DBC nen Ill' giac BLDI OQi ti~

=>

om

^{= DLB}= 90° hay DI .L BC ma

DB

⁼

i5c

suy ra I la trung difun cua BC

(4)

suy ra ABE kh6ng ct6i. Do ct6

sctAE

kh6ng ct6i. suy ra AE kh6ng ct6i. Goi M la chfin 0110'tlg vuong goc ke

tu

O ctfui AE. suy ra OM kh6ng ct6i ma O c6 dinh. V~y AE lu6n

tiSp

xuc voi mot d110'tlg tron

( O; OM) c6

ctinh

Bai 5. Tren bang ng11oi ta vi€t 2022 s6 nguyen duong lien

tiSp

I: 2: 3: ... : 2022 ,·a tli11c

hien

^cac^thao

tac sau: X6a cti hai s6 biit ki (trong 2022 s6 tren) r6i Yi€t !en bang mot s6 bfulg t6ng cua hai

s6

vua xoa.

CU'

tiSp

!\JC uhu v~y cho ctfui khi tren bang chi con 11).i m(>t s6. Hoi s6 con 11).i tren bang la

s6 chfut

hay

s6

le. vi sao?

Ldigiai. Tac6t6ngcua2022 s6 tren bang la 1+2+3+ ... +2022= 2022(2023)

=1011.2023 2

la m(>t s6 le. M6i lfui tlnrc

hien

^xoa^{cti hai}^s6a. b biit ki '"" thay Yao ct6

s6

moi bfulg a + b thi tong cac s6 tren bang kh6ng thay ct6i. Do ct6 s6 con 11).i tren bang la s6 le.

- 0 -

· ct KL D ct'

AIIB ADK

KDL ¹⁸⁰ -BAC

v·

BC ' ctinh -

BAC

^kh'

ct~-

true cua oan . o o = = -2- =

2 . ¹ co . nen ong oi,

c) Ta co 6Aill = 6AKD (canh huyfui - g6c nhon)::::) DL = DK: AL= AK. suy ra AD la dm'mg trung