Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng (mới 2022 + Bài Tập) – Toán 9

Bài 6: Hệ thức Vi – ét và ứng dụng I. Lý thuyết

1. Hệ thức Vi – ét

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều có thể viết được dưới dạng:

1 2

b b

x ; x

2a 2a

− +  − − 

= =

Định lí Vi – ét

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có:

1 2

1 2

x x b a x .x c

a

 + = −



 =



Nhận xét: Nhờ định lý Vi – ét, nếu đã biết một nghiệm của phương trình bậc hai thì có thế suy ra nghiệm kia.

2. Ứng dụng của định lý Vi – ét.

a) Ứng dụng trong giải phương trình (bằng cách nhẩm miệng)

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1 và nghiệm còn lại là x2 = c

a

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1 và nghiệm còn lại là x2 = -c

a b) Tìm hai số khi biết tổng và tích.

+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x² - Sx + P = 0

+ Điều kiện để có hai số đó là S² - 4P ≥ 0 II. Bài tập tự luyện

Bài 1: Phương trình x² + (2m + 1)x + 3m = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là x1 = -3. Tìm nghiệm x2.

Lời giải:

Ta có: a = 1; b = 2m + 1; c = 3m.

( )

2 2

b 4ac 2m 1 4.1.3m 4m 8m 1

 = − = + − = − +

Vì phương trình có một nghiệm x₁ = −3nên thay x = -3 vào phương trình ta có:

( ) (

) ( )

9 6m 3 3m 0

 − − + =

3m 6 0

 − + =

m ( 6) : ( 3) 2

 = − − =

Với m = 2   =4.2²−8.2 1 1+ = > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có:

( ) ( )

1 2

2m 1 2.2 1

x x b 5

a 1 1

− + − +

+ = − = = = −

2 1

( )

x 5 x 5 3 2

 = − − = − − − = −

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là -2.

Bài 2: Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a –b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) x²−4x 5 0− = b) x²+6x 7− =0

Lời giải:

a) x²−4x 5 0− =

Ta có: a = 1; b = -4; c = -5

Ta có a – b + c = 1 – (-4) – 5 = 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

( )

1 2

c 5

x 1; x 5

a 1

− − −

= − = = =

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là S = {-1; 5}.

b) x²+6x 7− =0

Ta có: a = 1; b = 6; c = -7

Ta có: a + b + c = 1 + 6 + (-7) = 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

1 2

c 7

x 1; x 7

a 1

= = = − = −

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-7; 1}.

Bài 3: Tìm hai số u, v biết:

u + v = 32; u.v = 231 Lời giải:

S = 32; P = 231 ⇒ S² – 4P = 32² – 4.231 = 100 > 0

⇒ Tồn tại u và v là hai nghiệm của phương trình: x² – 32x + 231 = 0.

Ta có: Δ = (-32)² – 4.231 = 100 > 0

⇒ PT có hai nghiệm:

1 2

32 100 32 100

x 21; x 11

2.1 2.1

+ −

= = = =

Vậy u = 21 ; v = 11 hoặc u = 11 ; v = 21.

Bài 4: Tìm giá trị của m để phương trình x²−2x+4m=0 có hai nghiệm phân biệt x ; x_{1 2} thỏa mãn 3x₁+5x₂ =5.

Lời giải:

( )

' b '2 ac 1 1.4m 1 4m

 = − = − − = −

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

' 0 1 4m 0 4m 1 m 1

   −      4

Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có:

1 2

b 2

x x 2

a 1

− −

+ = = − = (1)

Theo đề bài lại có: 3x₁+5x₂ =5 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình ^{1 2}

1 2

x x 2

3x 5x 5

+ =

 + =



Giải hệ phương trình ta được: ¹

2

x 5 2 x 1

2

 =

 −

 =

Mà cũng theo định lý Vi – ét _{1 2} c 4m

x .x 4m

a 1

= = =

5 1

. 4m

2 2

− 

  =

5 5 5

4m m : 4

4 4 16

− − −

 =  = =

Vậy 5

m 16

= − thì phương trình có hai nghiệm x ; x_{1 2} thỏa mãn 3x₁+5x₂ =5.