Tuyển chọn 50 bài toán Hình học luyện thi vào lớp 10 môn Toán có lời giải chi tiết

(1)



TUYỂN CHỌN 50 BÀI HÌNH HỌC LUY ỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Tài liệu soạn thảo

thuvientoan.net

(2)

TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH 9

1. Hệ thức cơ bản trong tam giác vuông

Một tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (hình 1) Ta có:

• AB² =BH BC. vàAC² =CH BC.

• AH² =HB HC.

• AH BC. = AB AC.

• 1 ₂ 1₂ 1 ₂ AH = AB + AC

• sin AC; cos AB; tan AC; cot AB

B B B B

BC BC AB AC

= = = =

• α là góc nhọn thì sin²α +cos²α =1

• α β, là hai góc nhọn vàα β+ =90^othìsinα =cos ; tanβ α =cotβ. 2. Đường tròn

• Đường kính và dây cung: (hình 2)

- Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính

- Trong một đường tròn đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

• Tiếp tuyến của đường tròn (hình 3) - AB, AC là tiếp tuyến của đường tròn

(O) tại B và C

50 BÀI TOÁN HÌNH H ỌC ÔN THI VÀO 10 CÓ ĐÁP ÁN GV: CÔ MAI QU ỲNH

H B C

A

Hình 1

O

M B

A

Hình 2

C B

O A

Hình 3

(3)



 AB AC

AO là phân giác BAC OA là phân giác BOC

 =





• Vị trí tương đối của hai đường tròn (hình 4) - Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) với R≥r

Cắt nhau⇔ − <R r OO'< +R r Tiếp xúc ngoài⇔OO'= +R r Tiếp xúc trong⇔OO'= −R r

3. Các loại góc liên quan đến đường tròn

Tên góc Định nghĩa Hình vẽ Công thức

tính số đo

Góc ở tâm

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm

  sđ AOB sđ AmB=

Góc nội tiếp

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai chứa hai dây cung của đường tròn đó

 1  BAC 2 BC sđ = sđ

m B A

O

B C A

O

Tiếp xúc trong Tiếp xúc ngoài

Cắt nhau

O O' O O'

O' O

Hình 4

(4)

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

 1  BAx 2 AB sđ = sđ

Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

   2

sđ BnC sđ Am sđ BEC +

=

Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

   2 sđ BC sđ AD sđ BEC= −

4. Công thức tính trong đường tròn

Hình vẽ Công thức tính

Độ dài đường tròn C=2πR hay C=πd

Độ dài cung tròn

180 l₌πRn

A

O x

B

E D

C n

m

B

A

O

E

O C

B D A

R d O

n^o l

B A

O

(5)

Diện tích hình tròn S=πR²

Diện tích hình quạt ²

quat 360 S πR n

= hay

quat 2 S =lR

5. Chứng minh một tứ giác nội tiếp

• Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

• Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180^othì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.

• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α thì nội tiếp đường tròn.

• Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) thì nội tiếp đường tròn. Điểm đó gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

• Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

O R

(6)

50 BÀI TẬP CHỌN LỌC.

Câu 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.

1. Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp.

2. Tính tíchAH AK. theo R.

3. Xác định vị trị của điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó?

Câu 2. Cho đường tròn( ; )O R tiếp xúc với đường thẳng dtạiA.Trêndlấy điểmHkhông trùng với điểmAvàAH <R. QuaHkẻ đường thẳng vuông góc vớid,đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểmEvàB (Enằm giữaBvàH).

1. Chứng minh ABE=EAH và ∆ABH# ∆EAH.

2. Lấy điểmCtrêndsao choHlà trung điểm của đoạn thẳngAC,đường thẳngCEcắt ABtại K.Chứng minhAHEKlà tứ giác nội tiếp.

3. Xác định vị trí điểmHđểAB=R 3.

Câu 3. Cho đường tròn( )O có đường kínhAB=2Rvà E là điểm bất kì trên đường tròn đó (EkhácAvàB). Đường phân giác gócAEBcắt đoạn thẳngABtạiFvà cắt đường tròn

( )O tại điểm thứ hai làK. 1. Chứng minh∆KAF# ∆KEA.

2. GọiIlà giao điểm của đường trung trực đoạnEFvớiOE, chứng minh đường tròn ( )I bán kínhIEtiếp xúc với đường tròn( )O tạiEvà tiếp xúc với đường thẳngABtại

. F

3. Chứng minhMN/ /AB,trong đóMvàN lần lượt là giao điểm thứ hai củaAE BE, với đường tròn( ).I

4. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giácKPQtheoRkhiEchuyển động trên đường tròn ( ),O vớiPlà giao điểm củaNFvàAK Q; là giao điểm củaMFvàBK.

Câu 4. Cho( ; )O R và điểmAnằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyếnAB AC, với đường tròn( , CB là các tiếp điểm).

1. Chứng minhABOClà tứ giác nội tiếp.

2. Gọi E là giao điểm củaBCvàOA. Chứng minhBEvuông góc vớiOAvà OE OA. =R².

(7)

3. Trên cung nhỏ BC của (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của

(

^{O R}^;

)

cắt AB, AC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.

4. Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh PM +QN≥MN.

Câu 5. Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt BE tại điểm F.

1. Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh DA DE. =DB DC. .

3. Chứng minhCFD =OCB. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE. C hứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

4. Cho biết DF = R, chứng minhtanAFB=2.

Câu 6. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi d₁vàd₂là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B). Đường thẳng dđi qua E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d₁và d₂lần lượt tại M, N.

1. Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minhENI =EBIvàMIN=90^o. 3. Chứng minhAM BN. =AI BI. .

4. Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng.

Câu 7. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.

1. Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh ACM = ACK

3. Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C.

4. Gọi dlà tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và .

AP MB . MA =R Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.

(8)

Câu 8. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O). Một đường thẳng dđi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC, dkhông đi qua tâm O)

1. Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.

2. Chứng minhAN²= AB AC. .Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4cm, AN = 6cm.

3. Gọi I là trung điểm BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T.

Chứng minh: MT // AC.

4. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại K. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi dthay đổi và thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Câu 9. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R). (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt các đường thẳng AM, AN lần lượt tại các điểm Q, P.

1. Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

2. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

3. Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F.

Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF

4. Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.

Câu 10. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O). Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K.

Gọi M là điểm bất kì nằm trên cung KB (M khác K, M khác B). Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là N.

1. Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minhCA CB. =CH CD. .

3. Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của đường tròn đi qua trung điểm của DH.

4. Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 11. Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I khác C, I khác O). Đường thẳng IA cắt (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa A và E). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE.

1. Chứng minh bốn điểm A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

(9)

2. Chứng minh AB BD AE = BE.

3. Đường thẳng dđi qua điểm E song song với AO,dcắt BC tại điểm K. Chứng minh:

/ / . HK DC

4. Tia CD cắt AO tại điểm P, tia EO cắt BP tại điểm F. Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật

Câu 12. Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I.

Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.

1. Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc cùng một đường tròn..

2. Chứng minhNB²=NK. NM.

3. Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

4. Gọi P và Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O).

Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Câu 13. Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB.

1. Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.

2. Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo CSD.

3. Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC.

4. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định.

Câu 14. Cho đường tròn

( )

^O ^,đường kínhAB.Vẽ các tiếp tuyếnAx By, của đường tròn.

M là một điểm trên đường tròn(M khácA B, ).Tiếp tuyến tạiM của đường tròn cắt ,

Ax Bylần lượt tạiP Q, .

1. Chứng minh rằng: Tứ giácAPMO nội tiếp.

2. Chứng minh rằng:AP+BQ=PQ. 3. Chứng minh rằng:AP BQ. =AO².

(10)

4. Khi điểmM di động trên đường tròn

( )

^O ^,tìm các vị trí của điểmM sao cho diện tích tứ giácAPQBnhỏ nhất.

( )

^O và điểmAnằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến ,

AM AN với các đường tròn

( )

^O

(

^{M N}^, ^∈

( )

^O

)

^{. Qua}^Avẽ một đường thẳng cắt đường tròn

( )

^O tại hai điểmB C, phân biệt (Bnằm giữaA C, ). Gọi Hlà trung điểm của đoạn thẳng .

BC

1. Chứng minh tứ giácANHM nội tiếp được trong đường tròn.

2. Chứng minhAN²= AB AC. .

3. Đường thẳng quaBsong song vớiANcắt đoạn thẳngMNtạiE. Chứng minh / / .

EH NC

Câu 16. Cho đường tròn tâmObán kínhRvà một điểmAsao choOA=3 .R QuaAkẻ 2 tiếp tuyếnAPvàAQvới đường tròn( ; )O R ( ,P Q là 2 tiếp điểm). LấyMthuộc đường tròn

( ; )O R sao choPM song song vớiAQ. GọiNlà giao điểm thứ hai của đường thẳngAM với đường tròn

(

^{O R}^;

)

^.TiaPNcắt đường thẳngAQtạiK.

1. Chứng minh tứ giácAPOQlà tứ giác nội tiếp vàKA² =KN KP.

2. Kẻ đường kínhQScủa đường tròn

(

^{O R}^;

)

^.Chứng minhNSlà tia phân giác củaPNM. 3. GọiGlà giao điểm của 2 đường thẳngAOvàPK.Tính đội dài đoạn thẳngAGtheo

bán kínhR.

Câu 17. Cho tam giácABCnhọn

(

^AB^< ^AC

)

nội tiếp đường tròn( ),O hai đường cao ,

BE CF cắt nhau tạiH. Tia AOcắt đường tròn

( )

^O tạiD. 1. Chứng minh tứ giácBCEFnội tiếp đường tròn;

2. Chứng minh tứ giácBHCDlà hình bình hành;

3. Gọi M là trung điểm củaBC, tiaAMcắtHOtạiG. Chứng minhGlà trọng tâm của tam giácBAC.

(

^{O R}^;

)

có đường kínhABcố định. Trên tia đối của tiaABlấy điểm Csao choAC=R. QuaCkẻ đường thẳngdvuông góc vớiCA.Lấy điểmMbất kì trên

( )

^O không trùng vớiA B, .TiaBM cắt đường thẳngdtạiP.TiaCM cắt đường tròn

( )

^O

tại điểm thứ hai làN,tiaPAcắt đường tròn

( )

^O tại điểm thứ hai làQ. 1. Chứng minh tứ giácACPMlà tứ giác nội tiếp;

2. TínhBM BP. theoR.

3. Chứng minh hai đường thẳngPCvàNQsong song;

(11)

4. Chứng minh trọng tâmGcủa tam giácCMBluôn nằm trên một đường tròn cố định khiMthay đổi trên

( )

^O ^.

Câu 19. Cho∆ABCcó ba góc nội tiếp đường tròn( ),O bán kínhR. Hạ đường caoAH BK, của tam giác. Các tiaAH BK, lần lượt cắt

( )

^O tại các điểm thứ hai làD E, .

1. Chứng minh tứ giácABHKnội tiếp đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.

2. Chứng minh.HK/ /DE.

3. Cho

( )

^O và dâyABcố định, điểmCdi chuyển trên

( )

^O sao cho∆ABCcó ba góc nhọn.

Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp∆CHKkhông đổi.

Câu 20. Cho xAy=90 ,^o vẽ đường tròn tâmAbán kínhR. Đường tròn này cắtAx Ay, thứ tự tạiBvàD. Các tiếp tuyến với đường tròn

( )

^A kẻ từBvàDcắt nhau tạiC.

1. Tứ giácABCDlà hình gì? Chứng minh?

2. TrênBClấy điểmM tùy ý (M khácBvàC) kẻ tiếp tuyếnMHvới đường tròn

( )

^A ,(H là tiếp điểm).MHcắt CDtạiN. Chứng minh rằngMAN=45 .⁰

3. P Q; thứ tự là giao điểm củaAM AN; vớiBD. Chứng minh rằngMQ NP; là các đường cao của∆AMN.

Câu 21. Cho ^∆^{ABC AB}

(

^<^AC

)

có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn

(

^{O R}^;

)

^.Vẽ đường cao AHcủa ∆ABC, đường kínhADcủa đường tròn. GọiE F, lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ Cvà Bxuống đường thẳngAD M. là trung điểm củaBC.

1. Chứng minh các tứ giácABHFvàBMFOnội tiếp.

2. Chứng minh HE/ /BD.

3. Chứng minh . .

ABC 4

AB AC BC

S = R (S_ABClà diện tích ∆ABC).

Câu 22. Cho∆ABCnhọn

(

^AB^<^AC

)

ba đường caoAP BM CN, , của∆ABCcắt nhau tạiH. 1. Chứng minh tứ giácBCMNnội tiếp.

2. Chứng minh ∆ANM ∽∆ACB.

3. Kẻ tiếp tuyếnBDvới đường tròn đường kínhAH(Dlà tiếp điểm) kẻ tiếp tuyếnBE với đường tròn đường kính CH(E là tiếp điểm). Chứng minhBD=BE.

4. Giả sử AB = 4cm; AC = 5cm; BC = 6cm. TínhMN.

Câu 23. Cho nửa đường tròn O đường kínhAB=2R. Điểm Mdi chuyển trên nửa đường tròn (M khácAvàB). Clà trung điểm của dây cungAM. Đường thẳng dlà tiếp tuyến với nửa đường tròn tại B. TiaAMcắt dtại điểmN . Đường thẳngOCcắtdtạiE. 1. Chứng minh: tứ giácOCNBnội tiếp.

(12)

2. Chứng minh:AC AN. = AO AB. . 3. Chứng minh:NOvuông góc vớiAE.

4. Tìm vị trí điểmM sao cho

(

^2.AM ⁺^AN

)

nhỏ nhất.

Câu 24. Cho đường tròn tâmObán kínhRvà đường thẳng

( )

^d không đi qua O, cắt đường tròn

( )

^O tại 2 điểmA B, . Lấy điểm M bất kỳ trên tia đốiBA, qua M kẻ hai tiếp tuyến MC MD, với đường tròn (C D, là các tiếp điểm).

1. Chứng minh tứ giácMCODnội tiếp đường tròn.

2. GọiHlà trung điểm của đoạn thẳngAB. Chứng minh HMlà phân giác của CHD. 3. Đường thẳng đi quaOvà vuông góc vớiMOcắt các tiaMC MD, theo thứ tự tạiP Q, .

Tìm vị trí của điểmMtrên

( )

^d sao cho diện tích∆MPQnhỏ nhất.

Câu 25. Cho∆ABCcó ba góc đều nhọn, hai đường caoBDvàCE cắt nhau tạiH(Dthuộc

;

AC EthuộcAB).

1. Chứng minh tứ giácADHEnội tiếp được trong một đường tròn;

2. Gọi M I, lần lượt là trung điểm củaAHvà BC. Chứng minhMIvuông góc với ED.

Câu 26. Cho∆ABCcó ba góc đều nhọn

(

^AB^< ^AC

)

nội tiếp trong đường tròn tâm O, kẻ đường caoAH. GọiM N, là hình chiếu vuông góc củaHtrênABvàAC.KẻNEvuông góc với AH. Đường vuông góc vớiACtạiCcắt đường tròn tại Ivà cắt tiaAHtạiD. TiaAH cắt đường tròn tạiF.

1. Chứng minh  ABC+ACB=BICvà tứ giácDENCnội tiếp được trong một đường tròn.

2. Chứng minh hệ thứcAM AB. =AN AC. và tứ giác BFIC là hình thang cân.

3. Chứng minh: tứ giácBMEDnội tiếp được trong một đường tròn.

Câu 27. Cho nửa đường tròn

( )

^O đường kínhAB. GọiClà điểm cố định thuộc đoạn thẳng OB (CkhácOvàB). Dựng đường thẳng d vuông góc vớiABtại điểm C, cắt nửa đường tròn

( )

^O tại điểmM.Trên cung nhỏMBlấy điểmN bất kỳ(NkhácM vàB), tiaAN cắt đường thẳng d tại điểm F,tiaBNcắt đường thẳngdtại điểmE.Đường thẳngAEcắt nửa đường tròn

( )

^O tại điểm D(DkhácA).

1. Chứng minh:AD AE. = AC AB. .

2. Chứng minh: Ba điểmB F D, , thẳng hàng vàF là tâm đường tròn nội tiếp∆CDN. 3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AEF.Chứng minh rằng điểm Iluôn nằm trên

một đường thẳng cố định khi điểmN di chuyển trên cung nhỏMB.

(13)

Câu 28. Cho ∆ABCnhọn

(

^AB^< ^AC

)

nội tiếp( ),O vẽ đường kínhAD.Đường thẳng đi qua B vuông góc vớiADtạiEvà cắtACtạiF. GọiHlà hình chiếu củaBtrênACvàM là trung điểm của BC.

1. Chứng minhCDEFlà tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minhMHC +BAD=90 .^o 3. Chứng minhHC 1 BC.

HF + = HE

Câu 29. Cho∆ABCnhọn. Đường tròn tâmOđường kínhBCcắt các cạnhAB AC, lần lượt tại các điểm^{M N M}^,

(

^≠^{B N}^, ^≠^C

)

. GọiHlà giao điểm củaBNvàCM P; là giao điểm của

AH vàBC.

1. Chứng minh tứ giácAMHNnội tiếp được trong một đường tròn.

2. Chứng minhBM BA. =BP BC. .

3. Trong trường hợp đặc biệt khi∆ABCđều cạnh bằng2a. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giácAMHN theo a.

4. Từ điểmAkẻ các tiếp tuyếnAEvàAFcủa đường tròn tâmOđường kínhBC(E F, là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểmE H F, , thẳng hàng.

Câu 30. Cho∆ABCđều có đường caoAH. Trên cạnhBClấy điểmMtùy ý(M không trùng với B C H, , ).GọiP Q, lần lượt là hình chiếu vuông góc củaM lênAB AC, .

1. Chứng minh tứ giácAPMQnội tiếp được đường tròn và xác định tâmOcủa đường tròn này.

2. Chứng minhOH ⊥PQ.

3. Chứng minhMP+MQ=AH.

Câu 31. Cho∆ABCcó ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn

( )

^O có bán kínhR=3cm.

Các tiếp tuyến với

( )

^O tạiBvàCcắt nhau tạiD. 1. Chứng minh tứ giácOBDCnội tiếp đường tròn;

2. GọiMlà giao điểm củaBCvàOD. BiếtOD=5(cm). Tính diện tích∆BCD

3. Kẻ đường thẳngdđi quaDvà song song với đường tiếp tuyến với

( )

^O tại A d, cắt các đường thẳngAB AC, lần lượt tạiP Q, . Chứng minhAB AP. = AQ AC. .

4. Chứng minhPAD =MAC.

Câu 32. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Điểm C cố định trên nửa đường tròn. Điểm M thuộc cung AC(M ≠A; C). HạMH ⊥ ABtại H. Nối MB cắt CA tại E. Hạ

EI ⊥AB tại I. Gọi K là giao điểm của AC và MH. Chứng minh:

(14)

1. BHKC và AMEI là các tứ giác nội tiếp.

2. AK AC. = AM².

3. AE AC. +BE BM. không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

4. Khi M chuyển động trên cung AC thì đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC đi qua hai điểm cố định.

Câu 33. Cho đường tròn(O; R)và điểm A cố định ở ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d ⊥OAtại A. Trên dlấy điểm M. Qua M kẻ 2 tiếp tuyến ME, MF tới đường tròn (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B.

1. Chứng minh ABHM là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minhOA OB. =OH OM. =R².

3. Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d.

4. Tìm vị trí của M để diện tích∆HBOlớn nhất.

Câu 34. Cho (O; R) và điểm A thuộc đường tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Trên Ax lấy điểm H sao cho AH < R. Dựng đường thẳng d ⊥Ax tại H. Đường thẳng dcắt đường tròn tại E và B (E nằm giữa H và B).

1. Chứng minh ∆ABH # ∆EAH.

2. Lấy điểm C thuộcAxsao cho H là trung điểm AC. Nối CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp.

3. Tìm vị trí của H trênAxsao choAB=R 3.

Câu 35. Cho∆ABCvuông ở A. Trên cạnhAClấy 1 điểmM, dựng đường tròn tâm

( )

^O ^có

đường kínhMC.Đường thẳngBMcắt đường tròn tâm

( )

^O tạiD, đường thẳngADcắt đường tròn tâm

( )

^O tạiS

1. Chứng minh tứ giácABCDlà tứ giác nội tiếp vàCAlà tia phân giác của gócBCS. 2. Gọi E là giao điểm củaBCvới đường tròn

( )

^O ^. Chứng minh các đường thẳng

, ,

BA EM CDđồng quy.

3. Chứng minhMlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácADE.

(

^{O R}^;

)

, đường kínhAB.ĐiểmHthuộc đoạn OA. Kẻ dây CD vuông góc vớiABtạiH.Vẽ đường tròn

( )

O1 đường kínhAHvà đường tròn

( )

O2 đường kính BH. Nối AC cắt đường tròn

( )

O1 tại N. NốiBCcắt đường tròn

( )

O2 tại M.Đường thẳngMNcắt đường tròn

(

^{O R}^;

)

tạiEvàF.

1. Chứng minhCMHNlà hình chữ nhật.

(15)

2. Cho AH =4cm,BH =9cm. Tính MN.

3. Chứng minhMNlà tiếp tuyến chung của hai đường tròn

( )

O1 và

( )

O2 . 4. Chứng minhCE=CF =CH.

Câu 37. Cho đường tròn

(

^{O R}^;

)

có hai đường kính vuông gócABvà CD. Gọi I là trung điểm của OB.Tia CI cắt đường tròn (O; R) tại E. Nối AE cắt CD tại H; nối BD cắt AE tại K.

1. Chứng minh tứ giácOIEDnội tiếp.

2. Chứng minhAH AE. =2R². 3. Tính tanBAE.

4. Chứng minh OK vuông góc với BD.

Câu 38. Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AD. Điểm H thuộc đoạn OD.

Kẻ dâyBC⊥ADtại H. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ AC, kẻCK ⊥ AM tại K. Đường thẳng BM cắt CK tại N.

1. Chứng minhAH AD. = AB².

2. Chứng minh tam giác CAN cân tại A.

3. Giả sử H là trung điểm của OD. Tính R theo thể tích hình nón có bán kính đáy là HD, đường cao BH.

4. Tìm vị trí của M để diện tích tam giác ABN lớn nhất.

Câu 39. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn

(

^AC^≤^AB

)

. Dựng về phía ngoài∆ABCmột hình vuông ACED. Tia EA cắt nửa đường tròn tại F. Nối BF cắt ED tại K.

1. Chứng minh rằng 4 điểm B, C, D, K thuộc một đường tròn.

2. Chứng minhAB=EK.

3. Cho ABC=30 ;^o BC=10cm. Tính diện tích hình viên phần giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC.

4. Tìm vị trí điểm A để chu vi tam giác∆ABClớn nhất.

Câu 40. Cho đường tròn (O;R) đường kính AC cố định. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn tại A. Lấy M thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn tại B (B khác A). Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt AB tại D. Nối OM cắt AB tại I, cắt cung nhỏ AB tại E.

1. Chứng minh OIDC là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh tích AB.AD không đổi khi M di chuyển trên Ax.

3. Tìm vị trí điểm M trên Ax để AOBE là hình thoi.

(16)

4. Chứng minhOD⊥MC.

Câu 41. Cho đường tròn

(

^{O R}^;

)

đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn. Gọi M và N là điểm chính giữa các cung nhỏ AC và BC. Nối MN cắt AC tại I. HạND⊥ AC. Gọi E là trung điểm BC. Dựng hình bình hành ADEF.

1. TínhMIC.

2. Chứng minh DN là tiếp tuyến của đường tròn

(

^{O R}^;

)

^.

3. Chứng minh rằng F thuộc đường tròn

(

^{O R}^;

)

^.

4. Cho CAB =30 ;^o R=30cm. Tính thể tích hình tạo thành khi cho∆ABCquay một vòng quanh AB.

Câu 42. Cho đường tròn

(

^{O R}^;

)

với dây AB cố định. Gọi I là điểm chính giữa cung lớn AB. Điểm M thuộc cung nhỏ IB. Hạ AH ⊥IM AH; cắt BM tại C.

1. Chứng minh ∆IABvà∆MAClà tam giác cân.

2. Chứng minh C thuộc một đường tròn cố định khi M chuyển động trên cung nhỏ IB.

3. Tìm vị trí của M để chu vi ∆MAClớn nhất.

Câu 43. Cho đường tròn

(

^{O R}^;

)

đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Trên Ax lấy điểm^{K AK}

(

^≥^R

)

. Qua K kẻ tiếp tuyến KM với đường tròn (O). Đường thẳng

d ⊥ABtại O, d cắt MB tại E.

1. Chứng minh KAOM là tứ giác nội tiếp;

2. OK cắt AM tại I. Chứng minh OI.OK không đổi khi K chuyển động trên Ax;

3. Chứng minh KAOE là hình chữ nhật;

4. Gọi H là trực tâm của∆KMA. Chứng minh rằng khi K chuyển động trên Ax thì H thuộc một đường tròn cố định.

Câu 44. Cho đường tròn (O) đường kínhAB=2 .R Gọi C là trung điểm của OA. Dây MN ⊥AB tại C. Trên cung MB nhỏ lấy điểm K. Nối AK cắt NM tại H.

1. Chứng minh BCHK là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh tíchAH AK. không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ MB.

3. Chứng minh∆BMNlà tam giác đều.

4. Tìm vị trí điểm K để tổng KM +KN+KB lớn nhất.

Câu 45. Cho đường tròn

(

^{O R}^;

)

và điểm A ở ngoài đường tròn. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến ,

AB ACtới đường tròn (B và C là 2 tiếp điểm). I là một điểm thuộc đoạn ^{BC IB}

(

^<^IC

)

^.

Kẻ đường thẳng d ⊥OItại I. Đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt tại E và F.

(17)

1. Chứng minh OIBE và OIFC là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh I là trung điểm EF.

3. K là một điểm trên cung nhỏ BC. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại K cắt AB; AC tại M và N. Tính chu vi∆AMN nếuOA=2R.

4. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AC tại P và Q . Tìm vị trí của A để SAPQ nhỏ nhất.

Câu 46. Cho 2 đường tròn

( )

^O và

( )

^O^' cắt nhau tại hai điểmA B, phân biệt. Đường thẳng OA cắt

( ) ( )

^O ^; ^O^' lần lượt tại điểm thứ haiC D, . Đường thẳng O A' cắt

( ) ( )

^O ^; ^O^' lần lượt tại điểm thứ haiE F, .

1. Chứng minh 3 đường thẳngAB CE, và DFđồng quy tại một điểm I. 2. Chứng minh tứ giácBEIFnội tiếp được trong một đường tròn.

3. ChoPQlà tiếp tuyến chung của

( )

^O và

( )

^O^'

(

^P^∈

( )

^{O Q}^, ^∈

( )

^O^'

)

. Chứng minh đường thẳng ABđi qua trung điểm của đoạn thẳngPQ.

Câu 47. Cho hai đường tròn

(

^{O R}^;

)

và

(

^{O R}^{'; '}

)

với R>R'cắt nhau tạiAvà B. Kẻ tiếp tuyến chungDEcủa hai đường tròn với^D^∈

( )

^O và^E^∈

( )

^O^' sao choBgần tiếp tuyến đó hơn so vớiA.

1. Chứng minh rằngDAB =BDE.

2. TiaABcắtDE tạiM. Chứng minhM là trung điểm củaDE.

3. Đường thẳngEB cắtDAtại P, đường thẳngDBcắtAEtại Q. Chứng minh rằngPQ song song vớiAB.

Câu 48. Cho đường trong

(

^{O R}^;

)

và đường thẳng dkhông quaOcắt đường tròn tại hai điểm , .

A B Lấy một điểmMtrên tia đối của tiaBAkẻ hai tiếp tuyến MC MD, với đường tròn (C D, là các tiếp điểm). GọiHlà trung điểm củaAB;

1. Chứng minh rằng các điểmM D O H, , , cùng nằm trên một đường tròn.

2. Đoạn OM cắt đường tròn tạiI. Chứng minh rằngIlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácMCD.

3. Đường thẳng qua O, vuông góc với OMcắt các tiaMC MD, thứ tự tạiPvà Q. Tìm vị trí của điểm Mtrên dsao cho diện tích tam giácMPQ bé nhất.

Câu 49. Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn

(

^{O R}^;

)

^. Ba đường cao

; ;

AD BE CF cắt nhau tại H. GọiI là trung điểmBC, vẽ đường kínhAK. 1. Chứng minh ba điểmH I K, , thẳng hàng.

(18)

2. Chứng minhDA DH. =DB DC. .

3. Cho BAC=60 ;⁰ S_ABC =20cm².Tính S_ABC.

4. Cho BCcố định;Achuyển động trên cung lớnBCsao cho∆ABCcó ba góc nhọn.

Chứng minh điểmHluôn thuộc một đường tròn cố định.

Câu 50. Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính vuông góc là AB và CD. Lấy K thuộc cung nhỏ AC, kẻ KH ⊥ABtại H. Nối AC cắt HK tại I, tia BC cắt HK tại E; nối AE cắt đường tròn (O;R) tại F.

1. Chứng minh BHFE là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh EC.EB = EF.EA.

3. Cho H là trung điểm OA. Tính theo R diện tích∆CEF.

4. Cho K di chuyển trên cung nhỏ AC. Chứng minh đường thẳng FH luôn đi qua một điểm cố định.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.

4. Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp.

5. Tính tíchAH AK. theo R.

6. Xác định vị trị của điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó?

Giải:

1. Chứng minh tứ giácBHCKnội tiếp.

MN ⊥AC

 90

AKB= °(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 90

⇒HCB= °

Xét tứ giácBCHKcó:

  90 90 180

HCB+AKB= ° + ° = °mà 2 góc ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giácBCHKnội tiếp.

2. TínhAH AK. theo R.

H D

K

N M

C O B

A

(19)

Xét tam giác∆ACH và∆AKBcó:

 



90 ( . )

ACH AKB

ACH AKB g g A chung

= = °⇒ ∆ ∆

 #

AC AH AK AB

⇒ = ⇒AH AK. =AC AB.

Mà 1

AC= 4RvàAB=2R . ² 2 AH AK R

⇒ = ⋅ 3. Xác định vị trí củaKđể(KM +KN+KB) max

* Chứng minh ∆BMNđều:

∆AOM cân tại M (MC vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến) Mà OA=OM =R⇒ ∆AOMđều⇒MOA = °60

∆MBNcân tại B vì MC CN BC MN

 =

 ⊥

 CM CN

⇒ =

Mặt khác: 1 2 30

MBA= MOA= °(góc nội tiếp chắn cung MA)⇒MBN= °60

∆MBNcân tại B lại cóMBN = °60 nên ∆MBN là tam giác đều

* Chứng minh KM +KB=KN

Trên cạnh NK lấy điểm D sao choKD=KB.

⇒ ∆KDBlà tam giác cân mà 1

NKB=2 sđNB =60°

⇒ ∆KDBlà tam giác đều⇒KB=BD.

Ta có:DMB =KMB(góc nội tiếp chắn cungAB)

 120

BDN = °(kề bù với KBD trong ∆KDB đều)

 120

MKB= °(góc nội tiếp chắn cung 240°) MBK DBN

⇒ = (tổng các góc trong tam giác bằng180°)

Xét và có:

(2 cạnh tương ứng)

khi KN là đường kính thẳng hàng

∆BDN ∆BKM

 

( )

( ) ( .g.c)

BK BD cmt

BDN BKM cmt BDN BKN c MB MN

= 

= ⇒ ∆ = ∆

= 

ND MK

⇒ =

2 KM KN KB KN

⇒ + + =

(KM KN KB) max 4 R

⇒ + + = ⇒K O N, ,

(20)

là điểm chính giữa cung BM.

Vậy với K là điểm chính giữa cung BM thì đạt giá trị max bằng 4R.

Câu 2. Cho đường tròn( ; )O R tiếp xúc với đường thẳng dtạiA.Trêndlấy điểmHkhông trùng với điểmAvàAH <R. QuaHkẻ đường thẳng vuông góc vớid,đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểmEvàB (Enằm giữaBvàH).

4. Chứng minh ABE=EAH và ∆ABH# ∆EAH.

5. Lấy điểmCtrêndsao choHlà trung điểm của đoạn thẳngAC,đường thẳngCEcắt ABtại K.Chứng minhAHEKlà tứ giác nội tiếp.

6. Xác định vị trí điểmHđểAB=R 3.

Giải:

1. Chứng minh:

sđ (t/c góc nội tiếp)

sđ (t/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Xét và có:

2. Xét

mà (cmt)

Mặt khác:

vuông tại K

Xét tứ giác có:

mà 2 góc ở vị trí đối nhau Tứ giác nội tiếp.

3. Hạ

⇒K

(KM +KN+KB)

 ABE =EAH

 1

ABE= 2 EA

 1

HAE =2 EA

 ABE HAE

⇒ =

∆ABH ∆EAH



 

90 ( . )

( )

AHB ABH EAH g g

ABE HAE cmt

= °  ⇒ ∆ ∆

=  #

( . . ) HEC HEA c g c

∆ = ∆

 ACE CAE

⇒ = CAE^{ }=ABE

 ACE ABE

⇒ =

  90 ABE+CAK = °

  90 ACE CAK

⇒ + = °

⇒ ∆AHK

AHEK ^{ }EHK= AKE= °90

  180 EHK AKE

⇒ + = °

⇒ AHEK

OI ⊥ AB ³

2 2

AB R AI IB

⇒ = = =

E

O I

H

K

C

B

A

d

(21)

Xét vuông tại có cos

vuông tại có: cos

Vậy cần lấy điểm sao cho độ dài thì

Câu 3. Cho đường tròn( )O có đường kínhAB=2Rvà E là điểm bất kì trên đường tròn đó (EkhácAvàB). Đường phân giác gócAEBcắt đoạn thẳngABtạiFvà cắt đường tròn

( )O tại điểm thứ hai làK. 5. Chứng minh∆KAF# ∆KEA.

6. GọiIlà giao điểm của đường trung trực đoạnEFvớiOE, chứng minh đường tròn ( )I bán kínhIEtiếp xúc với đường tròn( )O tạiEvà tiếp xúc với đường thẳngABtại

. F

7. Chứng minhMN/ /AB,trong đóMvàN lần lượt là giao điểm thứ hai củaAE BE, với đường tròn( ).I

8. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giácKPQtheoRkhiEchuyển động trên đường tròn ( ),O vớiPlà giao điểm củaNFvàAK Q; là giao điểm củaMFvàBK.

Giải:

1. Chứng minh

(góc nội tiếp cùng chắn

Xét và có:

2. * Đường tròn và đường tròn

thẳng hàng

Vậy và tiếp xúc trong tại E.

∆AOI I ^ ³

2 OAI AI

=OA=

 30

⇒OAI = °⇒BAH = °60

∆AHB H BAH = ° ⇒60  1 2 BAH AH

= AB =

1 3

2 2

3

AH R

R AH

⇒ = ⇒ =

H ³

2

AH = R AB=R 3

KAF KEA

∆ # ∆

KAB =KEB KB)

∆KAF ∆KEA

 



( )

( . ) KAB AEK cmt

KAF AEK g g K chung

=  ⇒ ∆ ∆

 #

(

^{I IE}^;

) (

^{O OE}^;

)

, ,

I O E ⇔IE+IO=OE IO OE IE

⇒ = −

(

^{I IE}^;

) (

^{O OE}^;

)

Q P

M I N

K F E

O B

A

(22)

* Chứng minh tiếp xúc với tại

Dễ dàng chứng minh: cân tại trung trực của

cân tại

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //)

Có :

cân tại

Vì

tiếp xúc với tại

3. (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) mà là góc nội tiếp đường tròn là đường kính

cân tại

Lại có: cân tại mà 2 góc này vị trí đồng vị (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //).

4. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi theo khi chuyển động trên (góc nội tiếp cùng chắn cung )

(góc nội tiếp cùng chắn cung )

Mà , hai góc này lại ở vị trí đồng vị

(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //) Chứng minh tương tự:

Tứ giác có:

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Tứ giác là hình chữ nhật

Ta có: (đối đỉnh) ở

cân mà vuông cân tại .

Chu vi

Mà (PFQK là hình chữ nhật) và ( cân tại Q)

(

^{I IE}^;

)

^AB ^F

∆EIF I (I∈ EF)

∆EOK O⇒EFI =EKO(=OEF) / /

IF OK

⇒

   AK =KB AEK( =KEB)⇒ AK=KB

⇒ ∆AKB K OK AB

⇒ ⊥

/ / OK AB

IF AB OK IF

⊥ 

⇒ ⊥



(

^{I IE}^;

)

⇒ AB F.

 90 AEB= °

 90

MEN= ° MEN

(

^{I IE}^;

)

⇒MN

(

^{I IE}^;

)

⇒ ∆EIN I

∆EOB O⇒INE =OBE / /

MN AB

⇒

∆KPQ R E

( )

^O

MFE =MNE

( )

^I ^ME

 AKE=ABE

( )

^O ^AE

 ( )   MNE=ABE cmt ⇒MFE=AKE

/ / MQ AK

⇒

/ / NP BK PFQK MQ/ /AK

/ / NP BK

 90 PKQ= °

⇒ PFQK

MFA =QFB

 (

KAB=KBA ∆AKB )  MFA=KAB⇒ ∆FQB Q KPQ KP PQ KQ

∆ = + +

PK =FQ FQ=QB ∆BFQ

(23)

Mặt khác: cân tại là điểm chính giữa cung (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Dấu xảy ra

là điểm chính giữa cung

Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tính được

Chu vi nhỏ nhất

Câu 4. Cho( ; )O R và điểmAnằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyếnAB AC, với đường tròn( , CB là các tiếp điểm).

5. Chứng minhABOClà tứ giác nội tiếp.

6. Gọi E là giao điểm củaBCvàOA. Chứng minhBEvuông góc vớiOAvà OE OA. =R². 7. Trên cung nhỏ BC của (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của

(

^{O R}^;

)

cắt AB, AC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.

8. Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh PM +QN≥MN.

Giải:

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp.

(tính chất tiếp tuyến) (tính chất tiếp tuyến)

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác nội tiếp.

2. (tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm)

cân tại .

Mà là tia phân giác (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm) PKPQ QB QK FK

⇒ = + + =KB+FK

∆AKB K ⇒K AB

FK ≥FO

KB FK KB FO

⇒ + ≥ +

" "= ⇔KB+FK =KB+FO FK FO

⇔ =

⇒ E AB

FO R

⇒ =

∆FOB BK =R 2

⇒ ∆KPQ = +R R 2=R( 2 1).+

ABOC ABOC

 90^o ABO=

 90^o ACO=

 ABO ACO 90ô 90ô 180ô

⇒ + = + =

ABOC AB= AC

⇒ ∆ABC A

AO BAC

(24)

nên là đường cao của hay

Xét vuông ở B có BE là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông

mà OB = R

3. PK = PB (tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm).

KQ = QC (tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm).

Xét chu vi

Mà (O) cố định, điểm A cố định nên AB không thay đổi.

4.

(Theo bất đẳng thức Cô-si)

Hay (đpcm).

Câu 5. Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt BE tại điểm F.

5. Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp.

6. Chứng minh DA DE. =DB DC. .

7. Chứng minhCFD =OCB. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE. C hứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

8. Cho biết DF = R, chứng minhtanAFB=2. Giải:

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp.

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác có :

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên Tứ giác là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

AO ∆ABC AO⊥BC.

∆ABO

2 . ,

OB OE OA

⇒ = ⇒R² =OE OA. .

APQ AP AQ QP

∆ = + +

AP AQ PK KQ

= + + +

AP PK AQ QC

= + + +

AB AC

= + 2AB

=

2

. .

4

MP OM MN

OMP QNO MP QN ON OM

ON QN

∆ # ∆ ⇒ = ⇒ = =

2 4 .

MN MP QN

⇒ =

2 .

MN = MP QN ≤MP+NQ MP+NQ≥MN

FCDE

  90^o ACE=AEB=

FCDE

  180^o FCD+FDE=

⇒ FCDE

. .

DA DE=DB DC

I

D

E F

C

O B

A

(25)

Xét và có:

(đpcm).

3. * Chứng minh

Vì tứ giác là tứ giác nội tiếp nên (góc nội tiếp cùng chắn cung ) Mà (góc nội tiếp cùng chắn cung )

Lại có cân tại O nên

cân tại I:

Từ (1) và (2)

* Chứng minh là tiếp tuyến

Ta có: (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

là tiếp tuyến của 4. Ta có 2 tam giác vuông

(góc nội tiếp chắn Mà

Câu 6. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi d1vàd2là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B). Đường thẳng dđi qua E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d₁và d₂lần lượt tại M, N.

5. Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.

6. Chứng minhENI =EBIvàMIN=90^o.

∆ACD ∆BED

 

  .

90 ( . )

) (

o

đ đ ACD BED

ACD BED g g ADC BDE

= = ∆ ∆

=  #

. .

AD BD

AD ED CD BD CD ED

⇒ = ⇒ =

CFD =OCB

FCDE ( )I

CFD =CEA ( )I CD

CED =CBA ( )O CA

CFD CBA

⇒ =

∆OCB CBA^{ }=OCB

 

( )

¹

CFD OCB

⇒ =

∆ICF ^CFD^{ }⁼^ICF

( )

²

ICF OCB

⇒ =

IC ( ) :O

  90^o

ICF+ICB= DIC

  90^o OCB BCI

⇒ + =

OC CI

⇒ ⊥ ⇒IC ( ).O

( )

^.

ICO FEA g g

∆ # ∆

 1 

CAE=2COE=COI CE) ⇒CIO^{ }= AFB

tan 2

2 CO R CIO= CI = R =

  tanAFB tanCIO 2.

⇒ = =

(26)

7. Chứng minhAM BN. =AI BI. .

8. Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng.

Giải:

1. Chứng minh nội tiếp.

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

Tứ giác nội tiếp.

2. * Chứng minh Xét tứ giác có:

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

Tứ giác nội tiếp

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung

* Chứng minh

Tứ giác nội tiếp nên (2 góc nội tiếp cùng chắn cung

Lại có:

vuông tại Vậy

3. Chứng minh

Xét và có:

(cùng phụ với góc )

4. Ta có hình vẽ

Khi thẳng hàng sđ

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ) vuông cân tại .

(Định lí Pi-ta-go).

AMEI AMEI

  90 90 180 MAI+MEI = ° + ° = °

⇒ AMEI

 . ENI=EBI ENBI

  90 90 180 IEN+IBN = ° + ° = °

⇒ ENBI

⇒ ENI =EBI EI^)

 90 MIN= °

ENBI EMI =EAI EI)

 90   90 AEB= ° ⇒EAI+EBI = °

  90 EMI ENI

⇒ + = °⇒ ∆MNI I. MIN= °90 .

. .

AM BN =AI BI

∆AMI ∆BNI MAI =NBI = °90

 AIM =BNI BIN ( . )

AMI BIN g g

⇒ ∆ # ∆

. . .

AM BI

AM BN AI BI AI BN

⇒ = ⇒ =

, ,

E I F  1

AEF =2 AF=45°

  45

AMI = AEI = ° AI

⇒ ∆MAI A

2 2

2 2 2

2 4 4 2

R R R R

AM AI MI AM AI

⇒ = = ⇒ = + = + =

N M

E

d₂ d₁

I O B

A

F

N

M E

d₂ d₁

I O B

A

(27)

Chứng minh tương tự:

vuông cân tại

1 1 2 3 2 3 2

2 . 2 2 2 4

MIN

R R R

S = MI NI = ⋅ ⋅ = (đơn vị diện tích).

Câu 7. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C),

BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.

5. Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.

6. Chứng minh ACM = ACK

7. Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C.

8. Gọi dlà tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên dsao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và .

AP MB .

MA =R Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.

Giải:

1. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp:

Xét tứ giác ta có:

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

Tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh

Tứ giác nội tiếp nên: (2 góc nội tiếp cùng chắn cung )

∆BIN B

2 2

3 9 9 3 2

4 16 16 2

R R R R

BI BN IN BI BN

⇒ = = ⇒ = + = + =

CBKH CBKH

 90⁰ BKH =

 90^o HCB=

  180^o BKH HCB

⇒ + =

⇒ CBKH

 ACM = ACK

CBKH HCK =HBK HK

Q

P N d

E

K H M

C

O

B A

(28)

Tứ giác nội tiếp nên: (2 góc nội tiếp cùng chắn cung )

(Đpcm).

3. Chứng minh vuông cân tại . Vì nên là đường trung trực của

Xét và có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

(2 góc tương ứng) và CM = CE (2 cạnh tương ứng)

Mặt khác:

Xét có:

vuông cân tại C (Đpcm).

4. Chứng minh đi qua trung điểm của Theo đề bài:

Mà (t/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) (t/c góc nội tiếp chắn cung )

(Hệ quả)

Vậy cần lấy điểm sao cho (1)

Gọi là giao điểm của và là giao điểm của với Xét vuông tại có: PA=PM cân tại P

cân tại P Từ (1) và (2)

MCBA ( )O MCA =HKB MA

HCK MCA

⇒ =

 ACM ACK

⇒ =

∆ECM C

CD⊥ AB CO AB ⇒CA=CB

∆AMC ∆BEC

MAC =MBC MC

( ) MA=BE gt

(cmt) CA=CB

( . . ) AMC BEC c g c

⇒ ∆ = ∆ ⇒MCA =ECB

   90^o ECB+EAC=BCA=

  90^o MCA ECA

⇒ + =

∆EMC

 90^o

MCE ECM

CM CE

=  ⇒ ∆

= 

PB HK

. AP MB

MA =R AP R BO AM MB BM

⇔ = =

 1  PAM =2sđ AM

 1 

MBA=2sđ AM AM

PAM MBA

⇒ = ⇒ ∆PAM# ∆OMB c g c( . . ) PA OB 1

PA PM PM OM

⇒ = = ⇒ =

P∈d PA=PM

N PB HK Q, BM d

∆QMA M ⇒ ∆PMA ⇒PAM^{ }=PMA

  90^o PMA PMQ+ =

  90^o PAM +PQM =

 PMQ PQM PMQ

⇒ = ⇒ ∆ ^⇒^PM ⁼^PQ

( )

²

. PM PA PQ

⇒ = =

(29)

Vì // (cùng vuông góc nên:

(Định lí Ta-let trong ) (Định lí Ta-let trong )

mà

là trung điểm của .

Vậy với mà thì đi qua trung điểm của .

Câu 8. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đườ