Bài tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông ôn thi vào chuyên Toán năm 2023

(1)

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ÔN THI VÀO CHUYÊN TOÁN

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao. Gọi E F, lần lượt là hình chiếu của H lên AB AC, . Chứng minh các hệ thức sau:

a) BC² 3AH²BE²CF². b)

3

3 .

AB BE AC CF c)

3

AH .

BE CF BH CH BC    

d) ² ¹ ¹ _.

ABH HAC

HE HF  S S



e) ³ BF² ³CE² ³ BC².

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao. Gọi K là hình chiếu của A lên phân giác của góc ABC. BK cắt AH tại E. Chứng minh rằng: ¹ ₂ ¹₂ ¹₂.

AK  AB AE

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M thuộc BC sao cho MA²MB MC . Chứng minh rằng M là trung điểm của BC hoặc M là hình chiếu của A lên BC.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao. Gọi AM AN, lần lượt là đường phân giác trong của góc BAH và CAH. Chứng minh rằng:

a) MNABACBC. b) MN²2MB NC .

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AD là đường phân giác.

a) Chứng minh rằng: ² ¹ ¹ . AD  AB AC

b) Gọi AH là đường cao của tam giác ABC và HM HN, lần lượt là đường phân giác trong của góc AHB AHC, . Chứng minh rằng: ADMN.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra ngoài hình vuông BCPQ. Gọi M N, lần lượt là giao điểm của AP AQ, với BC. Chứng minh rằng: MN² CM CN .

(2)

Bài tập về nhà

Bài 1. Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi năm 2020 Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Tia phân giác của HAC cắt HC tại D. Gọi

K là hình chiếu vuông góc của D trên AC. Tính AB, biết BC25cm và DK6cm. Bài 2. Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Sở GD&ĐT Lâm Đồng năm 2022

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết BCAB2, AC10 và CAH30 .⁰ Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 3. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 – Trung Quốc năm 2022

Cho tam giác ABC vuông tại C có BAC. Biết rằng điểm E nằm trên tia CB sao cho

 2 . EAB 

Cho AC2 và BC1, hãy tính độ dài AE.

Bài 4. Đề thi HSG môn Toán lớp 9 huyện Diên Khánh – Đồng Nai năm 2021

Cho tam giác ABC vuông tại ^{A AB}



^^AC



^, có đường cao AH và AD là đường phân giác của góc BAH.

a) Chứng minh rằng:

2 2

AB AC . BH  CH

b) Chứng minh tam giác ACD cân và DH DC BD HC .

c) Gọi M là trung điểm của AB E, là giao điểm của hai đường thẳng MD và AH. Chứng minh .

CE AD