94 bài tập trắc nghiệm tích vô hướng của hai vectơ có đáp án và lời giải - TOANMATH.com

(1)

Chủ đề:

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa góc giữa hai vectơ

A

O

B

Cho hai vectơ u_vàv khác vectơ 0. Từ một điểm O tuỳ ý, vẽ các vec tơ OAu_vàOBv_{. Khi đó} số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ u v, , kí hiệu là

 

^{u v}^, ^.

Chú ý

Quy ước rằng góc giữa hai vectơ u và 0có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ 0 đến 180 . Nếu

 

^{u v}^, ^{ }⁹⁰ thì ta nói rằng u_vàv vuông góc với nhau, kí hiệu là uv_hoặcvu. Đặc biệt: Vectơ 0 vuông góc với mọi vectơ.

2. Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không u_vàv là một số, kí hiệu là u v. được xác định bởi công thức sau: ^{u v}^.  u v cos u v^. ^.

 

^, ^.

Chú ý

 u v u v. 0

 Tíchu u. còn được viết là u² và được gọi là bình phương vô hướng của u.

 Ta có u²  u u. .cos 0  u².

3. Biểu thức toạ độ và tính chất của tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vectơ u x y( ; )và v x y( ; ) được tính theo công thức:

.  .  .  u v x x u u Nhận xét

Hai vectơ u và vvuông góc với nhau khi và chỉ khi x x. y y. 0.

Bình phương vô hướng của vectơ u x y( ; )là u² x²y². Nếu u 0_vàv0_thì

 

2 2 2 2

cos , .

. .

 

 

 

 

u v xx yy u v u v x y x y

Tính chất

Với ba vectơ u v w, , bất kì và mọi số thực k ta có:

.  .

u v v u ( tính chất giao hoán);

 

^ ^ ^

. . .

u v w u v u w ( Tính chất phân phối đối với phép cộng);

     

^{ku v k u v}^. ^ ^. ^^{u kv}^. ^.

u

v

(2)

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Dạng 1: GÓC GIỮA HAI VECTO

Câu 1. Cho tam giác ABC như hình vẽ.

Xác định góc



^{AB AC}^,



^.

A. 45_. _B.120_. _C.15_. _D.165_.

Câu 2. Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ AB và AC bằng

A. ^{60 .}^ B. ^120. C. ^150. D. ^30.

Câu 3. Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ AB và BC bằng

A. 60 . B. ^120. C. ^150. D. ^30.

Câu 4. Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ AB và CB bằng

A. ^{60 .}^ B. ^120. C. ^150. D. ^30.

Câu 5. Cho hình bình hành ABCD. Góc giữa 2 vectơ AB_vàBC là

A. BAC. B. ADC. C. BAD. D. ABC.

Câu 6. Cho tam giác ABC_{cân tại}A, góc BAC100. Số đo góc giữa hai véctơ AB và BC là

A. 140. B. 80. C. 40. D. 100.

Câu 7. Cho hai vectơ a;b khác vectơ 0 thỏa mãn . ¹ .

a b 2 a b. Khi đó góc giữa hai vectơ a;b bằn

A. 60 . B. 120. C. 150. D. 30.

Câu 8. Cho hai vec tơ a và b biết a 6 , b 12_và a b 10_{. Khi đó,}cosin của góc giữa hai vectơ a và ab bằng

A. 1

18. B. 2

3. C. 1

15. D. 1

15.

Câu 9. Cho hai vecto a, b sao cho a  2, b 2 và hai vectơ x a b, y2a b vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai véc tơ a và b.

A. ^120. B. ^60. C. ^90. D. ^30.

Dạng 2: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG

Câu 10. Trong các công thức sau, công thức nào xác định tích vô hướng của hai vectơ a b, cùng khác 0?

A. ^{a b}^. a b cos a b^{. .}

 

^, . B. ^{a b}^.  a b cos a b^. ^.

 

^, . C. ^{a b}^. ^ ^{a b}^. ^.sin

 

^{a b}^, ^. ^D.^{a b}^. ^ ^{a b}^. ^.

Câu 11. Cho hai vectơ a và b. Đẳng thức nào sau đây sai?

(3)

A. ^{a b}^. ^ ^{a b}^. ^.cos

 

^{a b}^, ^. ^B. ^a²^.^b² ^ ^{a b}^. ²^.

C. ^{a b}^. ^¹₂



^{a b}^ ²^ ^a²^^b²



^. ^D.^a² ^ ^a²^.

Câu 12. Cho hai véctơ a b, khác véctơ-không thỏa mãn a b.  a b. . Khi đó, góc giữa hai vectơ a b, bằng

A. 45 . B. 0 . C. 180 . D. 90 .

Câu 13. Cho hai vectơ ^a và ^b. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. ^{a b}^. ^ ¹₂



^a^^.^b²^ ^a²^^b²



^. ^B.^{a b}^. ^¹₂



^a²^ ^b²^{ }^a ^.^b²



^.

C. ^{a b}^. ^¹₂



^a^^.^b²^{ }^{a b}²



^. ^D.^{a b}^. ^¹₄



^a^^.^b²^{ }^{a b}²



^.

Câu 14. Cho a 3, b 5,

 

^{a b}^, ^⁴⁵^o. Tích vô hướng của a và b bằng A. 15

2 ^. ^B.

15 3

2 . C. 15

 2 . D. 15 2

 _.

Câu 15. Cho hai vectơ a và b. Biết a 2, b  3 và

 

^{a b}^, ^{ }³⁰ ^{. Tính}^{a b}^ ^.

A. 11. B. 13 . C. 12 . D. 14 .

Câu 16. Cho a b, có a 4; b 5. và a b. 10. Tính ^cos

 

^{a b}^; ^.

A. ^cos

 

^{a b}^; ^ ₂³^. ^B.^cos

 

^{a b}^; ^ ₂²^. ^C.^cos

 

^{a b}^; ^{ }¹₂^. ^D.^cos

 

^{a b}^; ^¹₂^.

Câu 17. Cho hai véctơ a b, thỏa mãn: a 4;b 3;a b 4. Gọi  là góc giữa hai véctơ a b, . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.  60⁰. B.  30⁰. C. cos ¹

 3. D. cos ³

 8. Câu 18. Cho tam giác ABC có ABC 30 , AB5,BC8_{. Tính}BA BC. _.

A. 20. _B.20 3. C. 20 2. _D.40 3.

Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a_{. Khi đó}AB AC. bằng

A. 4a². B. a² 2. C. 2 ²

2 a . D. a². Câu 20. Cho tam giác vuông cân ABC_cóAB ACa_{. Tính}AB AC. .

A. a²_. _B.

2

a

. C. 0_. _D.

2 3

2 a . Câu 21. Cho tam giác ABC vuông tại ^A, ABa BC, 2a. Tích vô hướng BA BC. bằng

A. a²_. _B.¹ ²

2a . C. a² 3. D. a²_. Câu 22. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có ABa. Tích vô hướng BA BC. bằng

A. a². B.

2

2 .

a C.

2

2 .

a D. a².

(4)

Câu 23. Cho tam giác ABC có A^ˆ 90⁰, B^ˆ 60⁰ và ABa. Khi đó, AC CB. bằng

A. 2a². B. 2a². C. 3a². D. 3a².

Câu 24. Cho ABC vuông cân tại A, cạnhAB5. Tích vô hướng BC BA. bằng

A. 5 2. B. 25. C. 20. D. 20_.

Câu 25. Góc tạo bởi m và n là ^90 và m 2021_,n 2022_{. Khi đó,}m n. bằng A. ^4086462. B. 0. C. 4086462. D. 1.

Câu 26. Cho hai véc tơ a_,b_{thỏa mãn}a 3,b 4 và ( , )a b 60. Tích vô hướng a b. _bằng

A. 6. B. 6 3_. _C.12. D. 4 3_.

Câu 27. Cho hình bình hành ^ABCD, với AB2, ^BC^¹, BAD 60 . Tích vô hướng AB AD. bằng

A. ^¹. B. ¹. C. 1

2. D. 1 2.

Câu 28. Cho tam giácABC vuông tại A_có ABa AC; a 3_và AM là trung tuyến. Tính tích vô hướng BA AM. .

A.

2

2 .

a B. a². C. a². _D. ².

2

a

Câu 29. Cho hình bình hành ^ABCD, với AB2_,AD 1_,BAD 60 . Tích vô hướng AB AD. bằng

A. 1. B. 1. C. 1

2. D. 1 2.

Câu 30. Cho hình bình hành ^ABCD, với AB2_,AD 1_,BAD 60 . Tích vô hướng BA BC. bằng

A. 1. B. 1

2 C. 1. D. 1

2.

Câu 31. Cho hình bình hành ^ABCD, với AB2_,AD 1_,BAD 60 . Độ dài đường chéo ^ACbằng

A. 5. B. 7. C. 5_. _D.⁷

2.

Câu 32. Cho hình bình hành ^ABCD, với AB2_,AD 1_,BAD 60 . Độ dài đường chéo BD_bằng

A. 3. B. 5. C. 5_. _D.3_.

Câu 33. Cho hình vuôngABCD cạnh bằng 3, gọi ^Elà điểm đối xứng của ^D quaC. Giá trị AE CD. bằng

A. 18. B. 9 3_. _C.9 5_. _D.18.

Câu 34. Cho hình bình hành ABCD_có AB2 ,a AD3 ,a BAD 60 _{. Điểm}K thuộc AD thỏa mãn 2

AK   DK. Tính tích vô hướng BK AC.

A. ^3a². B. ^6a². C. 0_. _D.a².

Câu 35. Cho hình vuông ABCD_cạnh5_{. Khi đó,}AB AC. bằng

A. 25. _B.25 2. C. 25 2

2 . D. 25

2 . Câu 36. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính AB AC. .

A.

3 2

. .

 2a

AB AC _B.

2

. .

a2

AB AC _C.AB AC. a². D. AB AC. 2a².

(5)

Câu 37. Cho hình vuông ABCD_cạnh2a_,M là trung điểm của cạnh CD. Chọn khẳng định đúng.

A.

2

. 2

AM DC a _. _B.AM DC. 0_. _C.AM DC. a²_. _D.AM DC. 2a²_. Câu 38. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 10. Tính giá trị AB CD. _.

A. 100_. _B.10_. _C.0_. _D.100_.

Câu 39. Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4 và điểm ^M thỏa mãn 1

BM  2BC. Tính .

BM BA_.

A. BM BA. 4_. _B.BM BA.  4_. _C.BM BA. 4 3. D. BM BA.  4 3. Câu 40. Cho hình vuông ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Tính AC BD. _.

A. AC BD. 2a²_. _B.AC BD. 0. C. AC BD. 0_. _D.AC BD.  2a²_. Câu 41. Cho tam giác đều ABC có trọng tâm Gvà độ dài cạnh bằng a. Tính AB AG. .

A.

2 3

6

a . B.

3 2

4

a . C.

2 3

4

a . D.

2

2 a .

Câu 42. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính ^{AC AC}



^^AB



^.

A.

2 2

2

a _. _B. ² 3 2

a . C.

2

a . D.

2

a .

Câu 43. Cho hình thoi ÂBCD tâm Ô có cạnh bằng a 2 và ABD 60 . Gọi Î là điểm thỏa mãn 2IC ID 0. Tính tích vô hướng AO BI. .

A.

2 2

2

a . B.

2 3

2

a . C.

2

a . D. ^u^



^{2; 3}^



Câu 44. Cho tam giác ABC vuông tại ^A có AB3;AC4. Trên đoạn thẳng BC lấy điểm ^M sao cho MB2MC. Tính tích vô hướng AM BC. _.

A. ²³

3 . B. 41

3 . C. 8. D. 23_.

Câu 45. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 5. Tính



^AB^^AC

 

^. ^BC^^BD^^BA



^.

A. 10 2. B. 50. C. 0. D. 75.

Câu 46. Cho hai vectơ a và b có a 4, b 5_và

 

^{a b}^, ^¹²⁰⁰^{. Tính}^{a b}^ ^.

A. ²¹. B. 21. C. 41. D. ⁴¹.

Dạng 3: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG BẰNG BIỂU THỨC TỌA ĐỘ Câu 47. Cho hai vectơ ^u ^



^{2; 1}^



, ^v^{ }



^{3; 4}



. Tích u v. _bằng

A. 11. _B.10. _C.5. _D.2.

Câu 48. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho a(1; 4), b ( 1;3). Khi đó giá trị tích vô hướng của hai véctơ a_vàb_là

A. ¹². B. 11. C. 0. D. 11.

Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ ^Oxy, cho hai vectơ u i 3j và v2j2i . Tính u v. . A. u v.  4. B. u v. 4. C. u v. 2. D. u v.  2. Câu 50. Cho ^A

 

^{0; 3} ^;^B

 

^{4; 0} ^;^C



^{ }^{2; 5}



^{. Tính}^{AB BC}^. ^.

(6)

A. 16. B. 9. C. 10. D. 9.

Câu 51. Cho ^u^



^{2; 3}^



. Với giá trị nào của m thì ^v^{ }



^3;^m



vuông góc với u?

A. ^m^{ }¹. B. ^m^². C. ^m^¹. D. ^m^{ }².

Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các vectơ ^a



^{1; 3}^



, ^b

 

^2;5 . Tính tích vô hướng của a b. _.

A. 7_. _B.13_. _C.17_. _D.13_.

Câu 53. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ^a^



^{2; 5}^



và ^b^



^{m m}^; ^²



. Tìm m biết a và b vuông góc.

A. 10

m  3 . B. 10

m  3 . C. 10

m  7 . D. 10 m 7 .

Câu 54. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho a(1; 4); b(4; 0). Khi đó, cosin góc giữa hai vecto a_và blà

A. 17 17

 . B. 17

17 . C. 0. D. 2.

Câu 55. Trên mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ a

 

2;1 và b



2; 4 .



Khi đó góc giữa hai vectơ a_vàb bằng

A. 30_. _B.45_. _C.90_. _D.60_.

Câu 56. Cho hai vectơ ^a^

 

^3;1 ^,^b^



^3;^ ³



. Góc giữa hai vectơ a và b bằng

A. 15_. _B.30_. _C.45_. _D.60_.

Câu 57. Trong mặt phẳng Oxy, cho ^A

     

^{1; 2 ,}^B ^{4;1 ,}^C ^{5; 4} . Tính góc BAC.

A. 45 . _B.90_. _C.30_. _D.60_.

Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC_biếtA(1; 2), B(4;1), C(5; 4). Tính góc A_của tam giác ABC_.

A. 60 _. _B.45 _. _C.90 _. _D.120 _.

Câu 59. Tam giác ABC_có^A

 

^{1; 2} , ^B

 

^{0; 4} , ^C

 

^3;1 . Góc BAC của tam giác ABC gần với giá trị nào dưới đây?

A. 90_. _B.36 52 _. _C.143 7 _. _D.53 7 _.

Câu 60. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm ^A



^{ }^{1; 1 ;}



^B

 

^{3;1 ;} ^C

 

^{6; 0} . Khẳng định nào sau đây đúng:

A. ^AB^{  }



^{4; 2 ;}



^BC ^{ }



^3;1



. B. B135^o.

C. AB 20. D. BC 3.

Câu 61. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm ^A



^^{1; 2 ;}

  

^B ^5;8 . Điểm MOx sao cho tam giác MAB vuông tại A. Diện tích tam giác MAB bằng

A. 10. B. 18. C. 24_. _D.12.

Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm ^A



^{2; 3}^



. Tìm tọa độ điểm B thuộc trục tung, biết khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 2 5 và điểm B có tung độ dương.

A. B

 

0;1 . B. ^B

 

^{0; 7} . C. ^B

 

^{2; 0} . D. ^B

 

^{7; 0} .

(7)

Câu 63. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm ^A



^{3 ; 4}



và ^B



^^{2; 5}



. Tọa độ điểm M thuộc trục Ox cách đều hai điểm A B; _là

A. ²; 0 5

 

 

 . B. ²; 0 5

 

 

 . C. ^{1 9}; 2 2

 

 

 . D. ¹; 0 2

 

 

 .

Câu 64. Trong hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1; 1) _vàB( 2; 2)  _{. Điểm}Cthuộc trục Ox sao cho tam giác ABC cân tại ^A là

A. C( 2; 0) _. _B.C(0; 2) _. _C.C(4; 0)_. _D.C(2; 0)_.

Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm ^A

 

^{1; 2} ;^B



^^1;1



. Điểm M thuộc trục Oy thỏa mãn tam giác MAB_{cân tại}M . Khi đó, độ dài đoạn OM bằng

A. 5

2. B. 3

2. C. 1

2. D. 7

2 .

Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC_có ^A



^{1; 1}^



, ^B

 

^4;1 , ^C



^{5; 7}^



. Tính diện tích S của tam giác ABC_.

A. S 26_. _B.S 13_. _C.S3 13 65_. _D. 3 13 S 2 _.

Câu 67. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm ^A

 

^{3; 2 ,} ^B



^^4;3



. Điểm M thuộc tia Ox_. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. ^M ^

 

^{7; 0} . B. ^M ^

 

^{5; 0} . C. ^M ^

 

^{9; 0} . D. ^M ^

 

^{2; 0} .

Câu 68. Cho hai điểm ^A

  

^{1;3 ,}^B ^{8; 2}



. Gọi Clà điểm thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C và OC6. Giá trị của biểu thức x_C² y_C² 5 là

A. 9. B. 14. C. 21. D. 30.

Câu 69. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm ^A

  

^{1; 2 ,}^B ^^{3;1 .}



Tìm tọa độ điểm C trên trục Oy sao cho tam giác ^ABC vuông tại ^A.

A. ^C

 

^{6; 0} . B. ^C

 

^{0; 6} . C. ^C



^^{6; 0}



. D. ^C



^{0; 6}^



.

Câu 70. Cho tam giác ABC có A



^{1; 2 ,}

   

B 0; 3 ,C 5; 2 .



Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC.

A.

 

^{0; 3} . B.



^{0; 3}^



. C.

 

^{3; 0} . D.



^^{3; 0}



.

Câu 71. Trong mặt phẳng



^Oxy



, cho tam giác ABC biết^A



^^1;1



, ^B

 

^3;1 và ^C

 

^{2; 4} . Tìm tọa độ trực tâm ^H của tam giácABC

A. ^H

 

^1;1 . B. ^H

 

^2;1 . C. ^H

 

^{1; 2} . D. ^H

 

^{2; 2} .

Câu 72. Cho tam giác ABC có A

  

1;3 ,B 3; 4



_và^C

 

^{6; 2} . Trực tâm của tam giác ABC là H a b

 

; . Tính giá trị biểu thức T  a 2b.

A. 10. B. 6. C. 8. D. 7.

Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giácABC. Biết ^A



^{3; 1 ,}^

 

^B ^^{1; 2}



^và^I



^{1; 1}^



là trọng tâm tam giác ^ABC^. Trực tâm ^H của tam giác ^ABC có tọa độ

 

^{a b}^; ^. Tính ^a^^{3 .}^b

A. 3 ².

a b3 B. 3 ⁴.

a b 3 C. a3b1. D. a3b 2.

(8)

Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD với các đáy là AB và CD. Biết

 

^{1; 2}

A _,^B



^{2; 3}^



, điểm C nằm trên trục tung, điểm D nằm trên trục hoành. Tính OCOD. A. 4

3. B. 2. C. 6. D. 26

3 .

Câu 75. Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm ^A



^^{2;3 ,}

     

^B ^{2; 4 ,}^C ^{3; 0 ,}^D ^{ }^{1; 1 .}



Có bao nhiêu điểm M thuộc đường thẳng d y: 2x1 sao cho



^{MA MB}^ ^^{MC MD}



^. ^{ }^3?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm ^A



^{ }^{3; 1}



và ^B

 

^{5; 0} . Biết có hai điểm C nằm trên parabol

 

^P ^:^y^^x²^²^x sao cho tam giác ABC vuông tại C là C x y1



1; 1

 

,C2 x y2; 2



. Tính giá trị biểu thức T x y1 2x y2 1.

A. 4. B. 5. C. 6. D. 5.

Câu 77. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC_với^A

    

^{2; 4 ,}^B ^{1;1 ,}^C ^{7; 1}^



. Biết ^{M a b}

  

^; ^a^⁰



là điểm nằm trong mặt phẳng Oxy thoả mãn tam giác ^ABM vuông cân tại ^B. Tính giá trị

3 4

T  a b_.

A. ^T ^². B. ^T ^{ }². C. T 12_. _D.T  12_. Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy_{, cho}^A

 

^{4; 6} ; ^B

 

^5;1 ; ^{C n}



^{; 3}^



. Tìm m, n để 1

2;

I m là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC_.

A. 5

m 2; n 1 _B. ⁵

m 2; n 1_. _C. ⁵

m 2; 1 2 n n

 

  

 ^. ^D.

5

m 2; 1 2 n n

 

  

 ^. Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, biết ^{H a b}

 

^; là toạ độ chân đường cao đỉnh

A của tam giác ABC, biết toạ độ ^B

  

^{3;1 ,}^C ^{4; 4}^



và trọng tâm Gcủa tam giác ABC có toạ độ ^G

 

^{4; 0} . Tính ab.

A. 2

13. B. 33

13. C. 35

13. D. 68

13. Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN KHÁC

Câu 80. Cho a, b có



^a^²^b



vuông góc với vectơ



⁵^a^⁴^b



^và ^a ^ ^b . Tính góc giữa vectơ a và b.

A. 30_. _B.45_. _C.90_. _D.60_.

Câu 81. Cho biết

 

^{a b}^; ^¹²⁰^^;^a ^^3;^b ^³. Độ dài của véctơ a b _bằng

A. 3 3. B. 3 2. C. 3

2. D. 3 3

2 .

Câu 82. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm ^M

    

^{3; 4 ,}^N ^{2;1 ,}^P ^{ }^{2; 3}



. Tìm điểm I trên đường thẳng NP sao cho góc MIN 135.

A. ^I

 

^{3; 2} . B. ^I

 

^2;3 . C. ^I

 

^{5; 4} . D. ^I

 

^4;5 .

Câu 83. Cho tam giác đều ABC cạnh 3a,



^a^⁰



. Lấy các điểm M, N, P lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB sao cho ^BM^â, ^CN^²â, ÂP^^x



⁰^{ }^x ³^a



. Tìm x để ^AM^^PN.

(9)

A. ³ 5

x a. B. ² 5

x a. C. ⁴ 5

x a. D.

5 xa .

Câu 84. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên các cạnh BC CA AB, , lần lượt lấy các điểmM N P, , sao cho MC 2MB_, ¹

NA 2NC và APx_{. Tìm}x để ^AM vuông góc với ^PN. A. 4

15

a. B.

3

a. C. 2 6 3

39 a

 . D. 1 3 3

39 a

 .

Câu 85. Cho hình chữ nhật ABCD_thỏa AB2a_, ADa_{. Gọi} M N, là hai điểm thỏa mãn 2

DM  MC, AN x AB, x _{. Tìm}x để AM và DN vuông góc.

A. 3

x 7. B. 3

x8_. _C. 1

x2. D. 2 x5.

Câu 86. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và BAD60. Quỹ tích các điểm ^M thỏa mãn . 2

MA MC a là đường tròn có bán kính bằng

A. 2a_. _B. 7

2

a. C. 3 2

a . D. a.

Câu 87. Cho ba điểm không thẳng hàngA B C, , .Điều kiện cần và đủ để ba điểm A B C, , thỏa mãn điều kiện (CA CB AB ). 0 là:

A. ABC đều. B. ABC cân tại C.

C. ABC vuông tại C. D. ABC vuông cân tại C.

Câu 88. Cho hình thang vuông ABCD với đường cao AB2 ,a các cạnh đáy ADa_vàBC3 .a _Gọi M là điểm trên đoạn AC_{sao cho}AM k AC. . Tìm k_đểBM và ^CD vuông góc.

A. 4

9. B. 3

7. C. 1

3. D. 2

5.

Câu 89. Cho hai điểm B C, phân biệt. Tập hợp những điểm M _{thỏa mãn}CM CB. CM² là A. đường tròn đường kính^BC. B. đường tròn



^{B BC}^;



.

C. đường tròn



^{C CB}^;



. D. đường tròn



^C^{; 2}^CB



.

Câu 90. Cho ba điểm A B C, , phân biệt. Tập hợp những điểm M _màCM CB. CA CB. là A. đường tròn đường kínhAB_.

B. đường thẳng đi qua A và vuông góc với^BC. C. đường thẳng đi qua B và vuông góc với^AC. D. đường thẳng đi qua ^C và vuông góc vớiAB_.

Câu 91. Cho tam giác ABC, điểm J thỏa mãn AK3KJ, I là trung điểm của cạnh AB,điểm K thỏa mãn KA KB 2KC0. Một điểm M thay đổi thỏa mãn



³^MK^^AK

 

^. ^{MA MB}^ ^²^MC



^⁰^.

Tập hợp điểm Mlà

A. đường tròn đường kính IJ. B. đường tròn đường kính IK. C. đường tròn đường kính JK. D. đường trung trực đoạn JK.

Câu 92. Cho tam giác ABC_có G là trọng tâm. Tập hợp các điểm ^M trong mặt phẳng thoả mãn

2 2 2 2 2 2

4

MA MB MC  GA GB GC là

A. Đường tròn tâm Gbán kính bằng GB_. B. Đường tròn tâm Gbán kính bằng GA_. C. Đường tròn tâm Gbán kính bằng GC_. D. Đường tròn tâm Gbán kính bằng 4GA_.

(10)

Câu 93. Cho ABC đều, cạnh bằng a0. Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn 7 2

. . .

4 MA MBMB MCMC MA a _.

A. Quỹ tích điểm M là đường trung trực của AB.

B. Quỹ tích điểm M là đường thẳng đi qua trọng tâm của ABC và song song với BC. C. Quỹ tích điểm M là đường tròn có bán kính bằng 6

2 a.

D. Quỹ tích điểm M là đường tròn có bán kính bằng 3 2

a.

Câu 94. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Điểm M là một điểm thỏa mãn đẳng thức

2

. . .

6

MA MBMB MCMC MA a . Biết tập hợp điểm M là một đường tròn. Bán kính đường tròn đó là

A. R2. B.

3

Ra_. _C.

4

Ra_. _D.

2 Ra_.

_____________________HẾT_____________________

Huế, 10h00’ Ngày 02 tháng 12 năm 2022

(11)

III. LỜI GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Dạng 1: GÓC GIỮA HAI VECTO

Câu 1. Cho tam giác ABC như hình vẽ.

Xác định góc



^{AB AC}^,



^.

A. 45_. _B.120_. _C.15_. _D.165_.

Lời giải:

Ta có:



^{AB AC}^,



^^BAC^¹⁸⁰^{ }



¹²⁰^{    }⁴⁵



^{15 .}

Câu 2. Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ AB và AC bằng

A. ^60. B. ^120. C. ^150. D. ^30.

Lời giải:

B C

A

Ta có



^{AB AC}^;



^^BAC^{ }^{60 .}

Câu 3. Cho tam giác ^ABC đều. Góc giữa hai vectơ ^AB và BC bằng

A. ^60. B. ^120. C. ^150. D. ^30.

Lời giải:

C'

C B

A

Ta có



^{AB BC}^;



^¹⁸⁰^^BAC^^{120 .}^

Câu 4. Cho tam giác ^ABC đều. Góc giữa hai vectơ ^AB và CB bằng

A. ^60. B. ^120. C. ^150. D. ^30.

Lời giải:

(12)

C'

C B

A

Ta có



^{AB AC}^;



^^BAC^{ }^{60 .}

Câu 5. Cho hình bình hành ABCD. Góc giữa 2 vectơ AB và BC là

A. BAC. B. ADC. C. BAD. D. ABC.

Lời giải:

Theo tính chất hình bình hành ta có BCAD_. Vậy



^{AB BC}^,

 

^ ^{AB AD}^,



^^BAD^.

Câu 6. Cho tam giác ABC_{cân tại}A, góc BAC100. Số đo góc giữa hai véctơ AB và BC_là

A. 140. B. 80. C. 40. D. 100.

Lời giải:

Xét tam giác ABC_{cân tại}A_{, góc}BAC100⁰_{suy ra}ABC ACB40⁰_. Dựng BM AB, khi đó,



^{AB BC}^,

 

^ ^{BM BC}^,



^^MBC^¹⁸⁰⁰^^ABC^¹⁴⁰⁰^.

Câu 7. Cho hai vectơ a;b khác vectơ 0 thỏa mãn . ¹ .

a b 2 a b. Khi đó góc giữa hai vectơ a;b bằn

A. ^60. B. ^120. C. ^150. D. ^30.

Lời giải:

Ta có a  a.

(13)

Vậy ^{a b}^. ^ ^{a b}^{. cos ,}

 

^{a b} ^{ }¹₂ ^{a b}^. ^^{cos ,}

 

^{a b} ^¹₂ ^

 

^{a b}^, ^{ }⁶⁰ ^.

Câu 8. Cho hai vec tơ a và b biết a 6 , b 12_và a b 10_{. Khi đó,}cosin của góc giữa hai vectơ a và ab bằng

A. 1

18. B. 2

3. C. 1

15. D. 1

15. Lời giải:

Dựng ABa BC, b_{. Khi đó}a b AC.

Ta được tam giác ^ABC có AB6,BC12,AC10_và



^{a a b}^, ^

 

^ ^{AB AC}^,



^.

 

² ² ² ² ² ² ²

2 10 6 12

. 4

2 2

AC AB BC

BCACABBC  ACAB AC AB        _. Vậy ^cos



^{AB AC}^,



^ ^{AB AC}_{AB AC}^._. ^_6.10^⁴ ^{ }₁₅¹ ^.

Câu 9. Cho hai vecto a, b sao cho a  2, b 2 và hai vectơ x a b, y2a b vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai véc tơ a và b.

A. ^120. B. ^60. C. ^90. D. ^30.

Lời giải:

Vì hai véc tơ x a b, y2a b vuông góc với nhau nên

  

^{a b}^ ^{. 2}^{a b}^



^⁰ ^²^a²^^b²^^{a b}^. ^⁰ ^^2.^a²^^b²^ ^{a b}^{. .cos ,}

 

^{a b} ^⁰

 

² ²

 

2. 2 2 2.2.cos ,a b 0

    ^^{cos ,}

 

^{a b} ^{ }⁰

 

^{a b}^, ^{ }⁹⁰ ^.

Dạng 2: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG

Câu 10. Trong các công thức sau, công thức nào xác định tích vô hướng của hai vectơ a b, cùng khác 0?

A. ^{a b}^. a b cos a b^{. .}

 

^, . B. ^{a b}^.  a b cos a b^. ^.

 

^, . C. ^{a b}^. ^ ^{a b}^. ^.sin

 

^{a b}^, ^. ^D.^{a b}^. ^ ^{a b}^. ^.

Câu 11. Cho hai vectơ a và b. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. ^{a b}^. ^ ^{a b}^. ^.cos

 

^{a b}^, ^. ^B. ^a²^.^b² ^ ^{a b}^. ²^.

(14)

C. ^{a b}^. ^¹₂



^{a b}^ ²^ ^a²^^b²



^. ^D.^a² ^ ^a²^.

Lời giải:

Câu A, C, D: Đúng.

Câu B sai vì ^{a b}^. ² ^ ^a²^.^b²^.cos²

 

^{a b}^, ^.

Câu 12. Cho hai véctơ a b, khác véctơ-không thỏa mãn a b.  a b. . Khi đó, góc giữa hai vectơ a b, bằng

A. 45 . B. 0 . C. 180 . D. 90 .

Lời giải:

Ta có:

 

. .

. . cos ,

  



  

a b a b

a b a b a b ^^cos

 

^{a b}^; ^{  }¹

 

^{a b}^; ^¹⁸⁰⁰^.

Câu 13. Cho hai vectơ ^a và ^b. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. ^{a b}^. ^ ¹₂



^a^^.^b²^ ^a²^^b²



^. ^B.^{a b}^. ^¹₂



^a²^ ^b²^{ }^a ^.^b²



^.

C. ^{a b}^. ^¹₂



^a^^.^b²^{ }^{a b}²



^. ^D.^{a b}^. ^¹₄



^a^^.^b²^{ }^{a b}²



^.

Lời giải:

Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số ¹

2 và ¹

4 nên đáp án sai sẽ rơi vào C hoặcD.

D đúng, Ta có : ^a^^.^b²^{ }^{a b}² ^

   

^a^^.^b ²^{ }^a ^.^b ² ^^{4 ..}^{a b}^^{a b}^.. ^¹₄



^a^^.^b²^{ }^{a b}²



A đúng, vì a b² ^{a b} ² ^{a b a b}^. a a a b b a b b^. ^. ^. ^. a² b² ^{2 .}ab



² ² ²



.. 1 .

a b 2 a b a b

    

B đúng, vì a b² ^{a b} ² ^{a b a b}^. a a a b b a b b^. ^. ^. ^. a² b² ^{2 .}ab



² ² ²



.. 1

a b 2 a b a b

     .

Câu 14. Cho a 3, b 5,

 

^{a b}^, ^⁴⁵^o. Tích vô hướng của a và b bằng A. 15

2 ^. ^B.

15 3

2 . C. 15

 2 . D. 15

 2 . Lời giải:

Ta có ^. ^. ^.cos

 

^, ^{3.5.cos 45}^o ¹⁵

a b a b a b   2_.

Câu 15. Cho hai vectơ a và b. Biết a 2, b  3 và

 

^{a b}^, ^{ }³⁰ ^{. Tính}^{a b}^ ^.

A. 11. B. 13 . C. 12 . D. 14 .

Lời giải:

(15)

Ta có:



^{a b}^



² ^â²^^b²^²âb^â² ^^b² ^²^{a b}^{. .cos}

 

^{a b}^, ^,

 

a b ² 4 3 2.2. 3.cos30⁰ 13

        a b 13. Câu 16. Cho a b, có a 4; b 5. và a b. 10. Tính ^cos

 

^{a b}^; ^.

A. ^cos

 

^{a b}^; ^ ₂³^. ^B.^cos

 

^{a b}^; ^ ₂²^. ^C.^cos

 

^{a b}^; ^{ }¹₂^. ^D.^cos

 

^{a b}^; ^¹₂^.

Lời giải:

Ta có ^cos

 

^; ^. ¹₂

.

 a b  a b

a b .

Câu 17. Cho hai véctơ a b, thỏa mãn: a 4;b 3;a b 4. Gọi  là góc giữa hai véctơ a b, . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.  ⁶⁰⁰. B.  ³⁰⁰. C. cos ¹

 3. D. cos ³

 8. Lời giải:

Ta có: ^{a b}^{  }⁴

 

^{a b}^ ² ^¹⁶^^a²^^{2 .}^{a b b}^ ²^¹⁶

2 2 3

4 2.4.3.cos 3 16 cos .

  8

     

Câu 18. Cho tam giác ABC có ABC 30 , AB5,BC8_{. Tính}BA BC. .

A. 20. _B.20 3. C. 20 2. _D.40 3.

Lời giải:

Ta có BA BC. BA BC. .cosABC5.8.cos 30 20 3.

Vậy BA BC. 20 3.

Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a_{. Khi đó}AB AC. _bằng

A. 4a². B. a² 2. C. 2 ²

2 a . D. a². Lời giải:

Ta có ^{AB AC}^. ^ ^{AB AC}^.cos



^{AB AC}^,



^^{2 .2}^{a a} ^{2.cos 45}^{ }⁴^a²^.

Câu 20. Cho tam giác vuông cân ABC_cóAB ACa_{. Tính}AB AC. .

A. a²_. _B.

2

a

. C. 0_. _D.

2 3

2 a .

(16)

Lời giải:

Tam giác ABC vuông cân tại ^A.

Câu 21. Cho tam giác ABC vuông tại ^A, ABa BC, 2a. Tích vô hướng BA BC. bằng

A. a²_. _B.¹ ²

2a . C. a² 3. D. a²_. Lời giải:

. . .cos .2 . 2

2 BA BC BA BC B a a a a

  a  .

Câu 22. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có ABa. Tích vô hướng BA BC. bằng

A. a². B.

2

2 .

a C.

2

2 .

a D. a². Lời giải:

Tam giác ABC vuông cân tại ^A^, có AB a BCa 2.



^{BA BC}^,



^{  }⁴⁵ ^{BA BC}^. ^ ^{BA BC}^. ^.cos



^{BA BC}^,



^^{a a}^. ^{2.cos 45}^{ }^a²^.

Câu 23. Cho tam giác ABC có A^ˆ 90⁰, B^ˆ 60⁰ và ABa. Khi đó, AC CB. bằng

A. 2a². B. 2a². C. 3a². D. 3a².

Lời giải:

(17)

Gọi D là điểm đối xứng với A qua C.

Khi đó: AC CB. CD CB CD CB.  . .cos150 3 ²

3.2 . 3

a a 2  a

   

  .

Câu 24. Cho ABC vuông cân tại A, cạnhAB5. Tích vô hướng BC BA. bằng

A. 5 2. B. 25_. _C.20_. _D.20_.

Lời giải:

Xét ABC vuông cân tại A, cạnhAB5 suy ra BC 5 2 và ^ABC^⁴⁵^. Ta có BC BA^.  BC BA^. ^.cos



BC BA^;



BC BA^. ^.cosABC 5.5 2.cos 45 25_. Câu 25. Góc tạo bởi m và n là ^90 và m 2021, n 2022. Khi đó, m n. bằng

A. ^4086462. B. 0. C. 4086462. D. 1. Lời giải:

Ta có m n^.  m n^. ^.cos

 

m n^; 2021.2022.cos90 0_. Vậy m n. 0_.

Câu 26. Cho hai véc tơ a, b thỏa mãna 3,b 4 và ( , )a b 60. Tích vô hướng a b. bằng

A. 6. B. 6 3. C. ¹². D. 4 3.

Lời giải:

Ta có a b.  a b. .cos( , )a b 3.4.cos 60 6.

Câu 27. Cho hình bình hành ^ABCD, với AB2, ^BC^¹, BAD 60 . Tích vô hướng AB AD. bằng

A. ^¹. B. ¹. C. 1

2. D. 1 2. Lời giải:

B

A C

(18)

 

. . .cos ; . .cos 2.1.cos 60 1

AB AD AB AD AB AD  AB AD BAD   .

Câu 28. Cho tam giácABC vuông tại A_có ABa AC; a 3 và AM là trung tuyến. Tính tích vô hướng BA AM. .

A.

2

2 .

a B. a². C. a². _D. ².

2

a

Lời giải:

B C

A

M

Ta có tam giácABC vuông tại A_{và có}AM là trung tuyến nên 2

AM  BC .

2 2 2 2

3

2 2 2

BC AB AC a a

AM   a

    .

Tam giác AMB có AB BM  AM a nên là tam giác đều. Suy ra góc MAB 60 _. Ta có

2

. . . .cos ( , ) . .cos 60

2 BA AM  AB AM   AB AM AB AM  a a   a .

Câu 29. Cho hình bình hành ^ABCD, với AB2_,AD 1_,BAD 60 . Tích vô hướng AB AD. bằng

A. 1. B. 1. C. 1

2. D. 1 2. Lời giải:

B

D C

A

 

. . .cos ; . .cos 2.1.cos 60 1

AB AD AB AD AB AD  AB AD BAD   .

Câu 30. Cho hình bình hành ^ABCD, với AB2_,AD 1_,BAD 60 . Tích vô hướng BA BC. bằng

A. 1. B. 1

2 C. 1. D. 1

2. Lời giải:

(19)

B

D C

A

Theo giả thiết: BAD  60 ABC120.

 

. . .cos ; . .cos 2.1.cos120 1

BA BC BA BC BA BC AB BC ABC    .

Câu 31. Cho hình bình hành ^ABCD, với AB2_,AD 1_,BAD 60 . Độ dài đường chéo ^ACbằng

A. 5. B. 7. C. 5_. _D.⁷

2. Lời giải:

B

D C

A

Ta có:

2 2 2 2 2 2

2 . 2 1 2.1 7

AC ABADAC AB AD  AB AD AC    AC  _.

Câu 32. Cho hình bình hành ^ABCD, với AB2_,AD 1_,BAD 60 . Độ dài đường chéo BD_bằng

A. 3. B. 5. C. 5_. _D.3_.

Lời giải:

B

D C

A

 

2 2 2 2 2 2

2 . 2 1 2. 1

BDBA BC BD BA BC  BA BC BD     3

BD .

Câu 33. Cho hình vuôngABCD cạnh bằng 3, gọi ^Elà điểm đối xứng của ^D quaC. Giá trị AE CD. bằng

A. 18. B. 9 3_. _C.9 5_. _D.18.

Lời giải:

(20)

Ta có Clà trung điểm của ^DEnên DE2.36. Khi đó: ^{AE CD}^. ^



^AD^^{DE CD}



^. ^^{AD CD}^. ^^{DE CD}^.

 

0 DE CD. .cos1800 6.3. 1 18

      .

Câu 34. Cho hình bình hành ABCD_có AB2 ,a AD3 ,a BAD 60 _{. Điểm}K thuộc AD thỏa mãn 2

AK   DK. Tính tích vô hướng BK AC.

A. ^3a². B. ^6a². C. 0_. _D.a².

Lời giải:

O

B C

A K D

Ta có 2

BK  AB3AD; AC ABAD

Khi đó: 2 ² 2 ² 1

. ( )( )

3 3 3

BK AC AB AD ABAD  AB  AD  AB AD

2 2 2 1 2

. 4 .9 2 .3 . 60

3 3

BK AC  a  a  a a cos  a

Câu 35. Cho hình vuông ABCD_cạnh5_{. Khi đó,}AB AC. _bằng

A. 25. _B.25 2. C. 25 2

2 . D. 25

2 . Lời giải:

Ta có ABCD là hình vuông nên AC5 2; góc BAC 45<