Phương trình f x kk const

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Định lý: Nếu hàm số ^{y f x}

 

đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên

 

^{a b; thì}

* ^{u v; }

   

^{a b f u; :  f v}

 

^{ u v.}

* Phương trình ^{f x}

 

^k



^{k const}



có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng

 

^{a b; .}

2. Định lý: Nếu hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên

 

^{a b; :}

* ^{y f x}

 

đồng biến trên

 

^{a b; thì : u v; }

   

^{a b f u; :  f v}

 

^{ u v}

* ^{y f x}

 

nghịch biến trên

 

^{a b; thì : u v; }

   

^{a b f u; :  f v}

 

^{ u v.}

3. Định lý: Nếu hàm số ^{y f x}

 

đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên

 

^{a b;} , đồng thời

 

lim . lim ( ) 0

x a_ f x x b_ f x

   thì phương trình ^{f x}

  

^{k k const}



có duy nhất nghiệm trên

 

^{a b; .}

4. Tính chất của logarit:

1.1. So sánh hai logarit cũng cơ số:

Cho số dương a1 và các số dương b c, .

 Khi a1 thì log_ablog_ac b c.

 Khi 0 a 1 thì log_ablog_ac b c.

1.2. Hệ quả:

Cho số dương a1 và các số dương b c, .

 Khi a1 thì log_ab  0 b 1.

 Khi 0 a 1 thì log_ab  0 b 1.

 log_ablog_ac b c. 2. Logarit của một tích:

Cho 3 số dương a b b, ,_{1 2} với a1, ta có

1 2 1 2

log ( . ) log_a b b  _ab log_ab

3. Logarit của một thương:

Cho 3 số dương a b b, ,_{1 2} với a1, ta có

1

1 2

2

log_a b log_ab log_ab

b  

Đặc biệt: với a b, 0,a1 log_a¹ log_ab b   . 4. Logarit của lũy thừa:

Cho a b, 0,a1, với mọi , ta có log_ab^ log_ab.

Đặc biệt: 1

log_aⁿb log_ab

 n (n nguyên dương).

5. Công thức đổi cơ số:

Cho 3 số dương a b c, , với a1,c1, ta có log log

log

c a

c

b b

 a.

Đặc biệt: 1

log^ac log_c

 a và log_a b 1log_ab

 với

 0. BÀI TẬP MẪU Câu 47. ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 - BDG 2020-2021)

Có bao nhiêu số nguyên ^{a a}



^2



sao cho tồn tại số thực x _{thỏa mãn}



^alogx2



^{loga  x 2?}

A. 8. B. 9. C. 1. D. Vô số

Lời giải Chọn A

Điều kiện x0. ^Đặt ya^logx 2 0 ^thì y^loga  x 2 a^logy 2 x. Từ đó ta có hệ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

VÀ LOGARIT

log log

2 2

x y

y a x a

  

  

 .

Do a2 nên hàm số f t( ) a^t 2 là đồng biến trên . ^{Giả sử} xy ^{thì ( )f y}  ^{f x( )} sẽ kéo theo yx, tức là phải có xy. Tương tự nếu xy.

Vì thế , ta đưa về xét phương trình xa^logx2 với x0 ^{hay x}^xloga². Ta phải có x2 ^và xx^loga 1 loga a 10.

Ngược lại, với a10 thì xét hàm số liên tục g x( ) x x^loga 2 x^loga(x^{1 log a} 1) 2 ^có lim ( )

x g x

   và (2)g 0.

nên ( )g x sẽ có nghiệm trên (2;). Do đó, mọi số a{2,3, ,9} đều thỏa mãn Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 3

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tồn tại cặp số



^{x y;}



^{thỏa mãn}

3 5 3 1

e ^{x y}e^{x y}  1 2x2y, đồng thời thỏa mãn log 33²



x2y 1

 

m6 log



3x m ² 9 0

A. 6. B. 5. C. 8. D. 7.

Lời giải Chọn B

Ta có: e^3x5ye^{x 3y 1} 1 2x2y^{e3x5y }



^3x5y



^{ex3y1}



^x3y1



^.

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ et t trên} ^{. Ta có f t}

 

^{  et 1 0} nên hàm số đồng biến trên ^. Do đó phương trình có dạng: ^f



^3x5y



^{ f x}



^3y1



^{3x5y x 3y12y 1 2x.}

Thế vào phương trình còn lại ta được: log²3x



m6 log



3x m ² 9 0. Đặt tlog₃x, phương trình có dạng: ^t2



^m6



^{t m 2 9 0.}

Để phương trình có nghiệm thì   0 3m²12m0  0 m 4. Do đó có 5 số nguyên m thỏa mãn.

Câu 2. Có bao nhiêu cặp số nguyên

 

^{x y; thỏa mãn 0 y 2020 và} 3

2 1

log 1 2 ?

x

y x

y

    

 

 

A. 2019. B. 11. C. 2020. D. 4 .

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết ta có:

0

2 1

0 2 1 0

0

 

      



 

x x

y y x y

Ta có: PT ^{log 23}



^{x 1}



^{2x 1 log3yy (*)}

Xét hàm số f t

 

log3t t trên



^0;



Khi đó

 

^{1 1 0}

f t ln 3

  t   do đó hàm số f t

 

log3t t đồng biến trên



^0;



(*) có dạng ^f



^{2x 1}



^{f y}

 

^{ y 2x1}

Vì 0 y 2020 0 2^x 1 2020 1 2^x2021  0 x log 20212

 

   

0 log 20212

0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10

x x

x

    

 

  . Vậy có 11 cặp



^{x y;}



thỏa mãn.

Câu 3. Có bao nhiêu cặp số nguyên

 

^{x y; thỏa mãn 0 x 2020 và}

 

log 5124 x768 2x 1 2y16^y?

A. 2019 B. 0 C. 2020 D. 1 Lời giải

Chọn B Ta có:

 

log 5124 x768 2x 1 2y16^y

 

²

log 256 24 x 3 2x 1 2y 4 ^y

     

   

²

log 24 x 3 2x 3 2y 4 ^y

      .

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ t 4t trên} ^.

 

' 1 4 ln 4 0,^t

f t     x . Suy ra hàm số đồng biến trên ^. Khi đó: 4

 

16 3

log 2 3 2 2 3 16

2

y

x  y x  y  x  .

Vì: 16 3 _{16 16}

0 2020 0 2020 3 16 4043 log 3 log 4043

2

y

x  y y

           .

Mà ^{y  } ^y

 

^{1; 2} .

Với ^{1 13}

 

y  x 2 l .

Với ^{2 253}

 

y  x 2 l .

Vậy không có cặp số



^{x y;}



thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4. Giả sử ;a b là các số thực sao cho: x³ y³ a 10^3z b 10^2z đúng với mọi các số thực dương

; ;

x y z thỏa mãn: ^log



^{x y}



^{z và log}



^x2y2



^{ z 1}. Giá trị của a b là:

A. 31

2 . B. 29

2 . C. 31

 2 . D. 25

 2 . Lời giải

Chọn B

Đặt t10^z. Khi đó: x³y³a t.³b t. ².

Ta có:

 

 

2

2 2 2 2

log 10 10.

2

log 1 10.10 10

z z

x y z x y t t t

x y z x y t xy

       

   

 

      

 .

Khi đó: 3 3

 

3 3

 

3 3



² 10



1 3 15 2

2 2

t t t

x y x y xy x y t  t t

          .

Suy ra: 1

a 2 và b15.

Vậy 29

a b  2 .

Câu 5. Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn đẳng thức



^{xy1 .2}



^2xy1



^x2y



^{.2x2y. Tìm}

giá trị nhỏ nhất y_min của y.

A. y_min 3. B. y_min 2. C. y_min 1. D. y_min  3.

Lời giải Chọn B

Ta có



^{xy1 2}



^2xy1



^x2y



^{2x2y }



^{2xy 1 1 2}



^2xy1



^x2y



^{2x2 y 1}

 

¹

Xét hàm ^{f t}

   

^{ t 1 .2t} với t1.

Khi đó f t

 

  ^2t

 

t 1 .2 .ln 2 0^t  với  t 1. Từ

 

^{1 2xy 1 x2 y 1 2 2}

2 1 y x

x

  



 

2 2

2 2 4

2 1 0

x x

y x

 

  



2x2 2x 4 0

    2

1 x x

 

    Loại x 1 vì điều kiện của t nên ^f

 

^{2 2.}

Ta có bảng biến thiên:

Vậy GTNN của y bằng 2 khi x2.

Câu 6. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn ^log3



^{x y}



^log4



^x2y2



A. 3^{. B. 2. C. 1. D. Vô số.}

Lời giải Chọn B

Đặt ^log3



^{x y}



^log4



^x2y2



^t. Điều kiện:x y 0. Suy ra

 

²

2 2

3 3

3 4 2 4 9 4

2

t t t

t t

t t

x y x y

x y

x y x y xy xy

  

    

    

  

   

        

  

  

nên S3^t và 9 4 2

t t

P  ^.

Để tồn tại x y, thì ^{S24P }



^{x y}



^{24xy nên 9t4}^{9t }₂^4t^{ 9t 2.4t  } ⁹₄^^t2.

Khi đó ₉

4

log 2 t .

Ta có: ⁴



^{2 2}



^{9 2 2 log 294}

4

log x y  t log 2  x y 4 3, 27^. Mặt khác x là số nguyên nên x 1;x0,x1.

Thử lại:

Với x 1 ta có ₂ 3 1 0 ^{2 2}

2 5

1 4 1

t t

y t

x y y y

    

    

     

 

 . Suy ra loại x 1.

Với x0 ta có ₂ 3 0 4 1

t t

y t

y y

   

 

   

 

 . Suy ra nhận x0.

Với x1 ta có ₂ 3 1 0 4 1 0

t t

y t

y y

    

 

    

 

 . Suy ra nhậnx1.

Vậy có hai giá trị nguyên của x thỏa yêu cầu bài toán là x0 và x1. Câu 7. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn ₅ 4 2 5

log a b 3 4

a b a b

 

    

  

  . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức T a²b². A. 1

2^{. B.} 1. C. 3

2^{. D.}

5 2^. Lời giải

Chọn D

   

5 5 5

4 2 5

log a b 3 4 log 4 2 5 log 3 4

a b a b a b a b

a b

 

            

  

 

       

5 5

log 4a 2b 5 4a 2b 5 log 5 a b 5 a b

           (*).

Xét hàm ^{f x}

 

^log₅^{x x x , 0}.

Đạo hàm

 

^{1 1 0, 0}

.ln 5

f x x

  x     . Suy ra hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên



^0;



. Phương trình (*) viết lại:



^{4 2 5}

 

⁵

  

^{4 2 5 5}

 

^{3 5}

f a b  f a b  a b  a b  a b . Mặt khác: ^{52 }



^a3b



^{2 }



^{123 .2}

 

^a2b2



^{ T a2b25}₂^.

Dấu " " xảy ra

1 3

a b

   1 3

2; 2 a  b .

Câu 8. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn      ln 1 2x 3x y 1

x y . Tìm giá trị nhỏ nhất P_min của

 1 1 P x xy.

A. P_min 8. B. P_min 4. C. P_min 2. D. P_min 16. Lời giải

Chọn A

Điều kiện 0  1 x 2.

Từ giả thiết      ln 1 2x 3x y 1

x y ^{ln 1 2}



^{ x}

 

^{ 1 2x}



^ln



^{x y}

 

^{ x y}

  

¹

Xét hàm số f t

 

^lnt t^ trên



0;^



có ^{f t}

 

^{  1 1 0}_t ^{, t 0 do đó hàm}f t

 

đồng biến trên khoảng



0;^



.

Vậy

 

^{1  1 2x x y  3x y 1}

 

²

Có      

 

1 1 1 2 1 2

P 1 2

x xy x x y x x

Đặt ^{g x}

 

^{ 1}_{x 1 2}² _x^{, ta có}

 

   

     

 

2 2 2 2

1 4 4 1

1 2 . 1 2

g x x

x x x x suy ra ^{g x}

 

^{  0 x} ₄¹

Ta có bảng biến thiên:

.

Do đó _{ }

 

 

  1 

0;2

ming x 8. Vậy P_min 8.

Câu 9. Cho hai số thực ;a b thỏa mãn: ^log_a²_b²



^{a b}



^{1 và a2b2 1}. Giá trị lớn nhất của biểu thức

2 4 3

P a b là :

A. 10 B. 10

2 C. 1

10 D. 2 10 Lời giải

Chọn B

Điều kiện: a b 0

Do a²b²1 nên ^log_a²_b²



^{a b}



^1.

2 2 0

a a b b

     .

2 2

1 1 1

2 2 2

a b

   

       ^.

Ta có: 2 4 3 2 1 4 1

2 2

P a b  a  b .

 

^{2 2}

2 2 2 1 1

2 4 10

2 2

P a  b  

          . Suy ra:  10 P 10.

Câu 10. Có bao nhiêu số nguyên của m để phương trình log 22



x m



2 log2x x ²4x2m1 có hai nghiệm thực phân biệt ?

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4

Lời giải Chọn C

Điều kiện 0

2

 

  



x x m

 

²

2 2

log 2x m 2 log x x 4x2m1

 

²

 

2 2

log 2x m 2log x x 2 2x m 1

      

   

^{2 2}

2 2

log 2x m 2 2x m 1 log x x

      

   

^{2 2}

2 2

log 2 2 2 2 log

 x m  x m  x x (1)

Xét f u

 

log2u u u ,



0



 

¹

' 1 0

 ln 2 

f u u , do đó hàm số đồng biến trên (0;).

Khi đó (1) ^{ f}



^{2 2}



^{x m}

 

^{ f x}

 

^{2 2 2}



^{x m}



^{x2  x24x2m}

Xét hàm số ^{g x}

 

^{x24 ,x x}



^0



Phương trình có 2 nghiệm dương khi 4 2  m   0 2 m0 suy ra có 1 giá trị nguyên.

 Mức độ 4

Câu 1. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực ythỏa mãn 2^2x2y2 3^{x y} ?

A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.

Lời giải Chọn B

Đặt2^2x2y2 3^{x y} t, suy ra

2 2

2 3

2 log

log

x y t

x y t

  

  

 .

Ta có



^{x y}



^{2 } ¹₂^{. 2x1.y}^2¹₂^{1 2}



^x2y2



nên suy ra:

2

3 2 2 3

3 3

log log log 3.log

2 2

t t t log₃ 3log 3 2,37₂

 t 2  . Do đó 2x²y² log₂tlog 3.log_{2 3}t3,7.

Mà x ^{nên x }



^1;0;1



^.

+ Với x0, ta có

2

2 2 3

3

log log 3.log log

y t t

y t

  

 

 , suy ra ² ₂

2

.log 3 0

log 3 y y y

y

 

    .

+ với x1, ta có

2

2 2 3

3

2 log log 3.log

1 log

y t t

y t

   

  

 , suy ra

 

2

2y log 3. 12 y y²log 3.₂ y 2 log 3 0₂  phương trình có nghiệm.

+ Với x 1, ta có

2

2 2 3

3

2 log log 3.log

1 log

y t t

y t

   



  

 , suy ra

 

2

2y log 3. 12  y  y²log 3.₂ y 2 log 3 0₂  phương trình vô nghiệm.

Câu 2. Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn log3



x2y



log2



x²y²



?

A. 3. B. 2. C. 1. D. vô số.

Lời giải Chọn B

Đặt ³

 

²



^{2 2}



2 2

2 3

log 2 log

2

t t

x y

x y x y t

x y

  

     

 

 (*)

Ta có



^x2y

 

^{2  1 4}

 

^x2y2

 

^{5 x2y2}



^nên: 9 2

9 5.2 9 5 log 5

2

t

t  t      t .

Suy ra x²y² 2^t 2^{log 592} 2.1. Vì y ^{nên y }



^1;0;1



^.

+Với y 1, hệ (*) trở thành

 

²

2 2

2 3 3 2

3 2 2 1 9 4.3 5 2 0

1 2 2 1

     

          

 

   

 

 

t t

t t t t t

t t

x x

x x (**)

Nếu t0 thì 2^t   1 9^t 4.3^t  5 2^t 0. Nếu t     0 9^t 2^t 0 9^t 2.3^t  2^t 2 0. Vậy (**) vô nghiệm.

- Với y0 thì hệ (*) trở thành ₂ 3 9

9 2 1 0 1

2 2

t t

t t

t

x t x

x

          

    

 .

- Với y1 thì hệ (*) trở thành 2

 

²

 

2 3 3 2 2 1 ***

1 2

  

    

  



t

t t

t

x

x .

Dễ thấy (***) luôn có ít nhất một nghiệm t  1 x 1. Vậy có 2 giá trị nguyên của y thỏa mãn là y0, y1.

Câu 3. Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y,}



^{thỏa mãn log} _{3 2 2}



³

 

³



^.

2

x y x x y y xy

x y xy

     

  

A. 1. B. 2. C. 4. D. 6.

Lời giải Chọn D

Điều kiện _{2 2} 0 0.

2

x y x y

x y xy

    

  

   

2 2

log 3 3 3

2

x y x x y y xy

x y xy

     

  

  

^{2 2}



^{2 2}

3 3

2 log x y 2log x y xy 2 x y xy 3x 3y

          

  

^{2 2}



^{2 2}

3 3

2 log x y 2 2log x y xy 2 x y xy 2 3x 3y

            

    

^{2 2}



^{2 2}

3 3

2log 3x 3y 3x 3y 2log x y xy 2 x y xy 2

           

Xét hàm đặc trưng f t

 

2log3t t t , 



0;



, ta có

 

^{2 1 0,}



^0;



^.

.ln 3

f t t

 t     

Suy ra hàm ^{f t}

 

đồng biến trên khoảng



^0;



^.

Phương trình ^{ f}



^3x3y



^{ f x}



^{2y2xy2}



^{ x2 y2xy 2 3x3y}

 

2 3 2 3 2 0

 x  y x y  y  .

Điều kiện của y để phương trình có nghiệm là



^y3



^24



^y23y2



^0

2 3 2 3 3 2 3

3 6 1 0

3 3

 

  y  y    y . Do y ^{nên y}



^{0 ;1; 2}



^.

+ Với y0, ta được ² 1

3 2 0

2 x x x

x

 

      . + Với y1, ta được ² 0

2 0

2

 

     x x x

x .

+ Với y2, ta được ² 0

0 1

x x x

x

 

     . Vậy có 6cặp số thỏa mãn đề bài.

Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số mđể tồn tại các số thực ,x y thỏa mãn đồng thời e^{3x 5y 10}e^{x 3y 9}  1 2x2y và log 3²5



x2y4

 

 m6 log



5



x 5



m² 9 0.

A. 3. B. 5. C. 4 . D. 6.

Lời giải Chọn C

Ta có

   

3^x 5^y 10 ^x 3^y 9 1 2 2 3^x 5^y 10 ^x 3^y 9 3 9 3 5 10

e ^{ } e ^{ }   x ye ^{ } e ^{ }  x y  x y

    

3^x 5^y 10 3 5 10 ^x 3^y 9 3 9 1

e ^{ } x y e ^{ } x y

        .

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ et t}liên tục trên , có ^{f t}

 

^{    et 1 0, t}  nên hàm số đồng biến trên . Do đó

 

^{1 3x5y10 x 3y 9 2x2y1}

Khi đó phương trình

     

2 2

5 5

log 3x2y4  m6 log x 5 m  9 0

     

2 2

5 5

log x 5 m 6 log x 5 m 9 0

        .

Đặt tlog5



x5 ,



t, ta được

   

2 6 2 9 0 2

t  m t m   .

 

2 có nghiệm ^{  }



^m6



^24



^m29



^{ 3m212m   0 0 m 4.}

Vậy số giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn là 4 giá trị.

Câu 5. Cho 0 x 2020 và log (2₂ x  2) x 3y8^y.Có bao nhiêu cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?

A. 2019. B. 2018. C. 1. D. 4.

Lời giải Chọn D

Do 0 x 2020 nên log (2₂ x2) luôn có nghĩa.

Ta có log (2₂ x  2) x 3y8^y

3

log (2 1) 1 3 2

 x   x y ^y

log (2 1) 3

log (2 x 1) 2 ^x 3y 2 ^y

     (1)

Xét hàm số f t( ) t 2^t.

Tập xác định D và f t  ( ) 1 2 ln 2^t  ( ) 0f t   t ^.

Suy ra hàm số ( )f t đồng biến trên _. Do đó (1)log (₂ x 1) 3y   x 1 8^y log (8 1)

y x

   .

Ta có 0 x 2020 nên 1  x 1 2021 suy ra 0 log ( ₈ x 1) log 2021₈ . Lại có log 2021 3,66₈  nên nếu y thì ^y



^{0;1; 2;3}



^.

Vậy có 4 cặp số ( ; )x y nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp (0;0) , (7 ;1) , (63;2) , (511;3) . Câu 6. Cho hai số thực ,x y không âm thỏa mãn ² ₂ 2 1

2 1 log

1 x x y y

x

    

 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P e ^{2 1x} 4x²2y1 là

 

^t

f t  e t



^{ ;}



A. 1

2. B. 1. C. 1

2. D. 1.

Lời giải Chọn A

2

2

2 1

2 1 log

1 x x y y

x

    

 ^2



^x1



^{2log 22}

 

^x1



²



^{log 22}



^{y 1}

 

^2y1



^.

Xét hàm số f t

 

 t log2t ,



t0



;

 

^{1 1 0, 0}

.ln 2

f t t

  t    Suy ra ²



^x1



^{2 2y1 2y2}



^x1



^21.

2 1^x 4 2 2 1

P e ^  x  y ^{e2 1x 4x22}



^x1



^{2 1 1 e2 1x 2x24x g x}

 

^.

 

2 ^{2 1x} 4 4

g x  e ^  x là hàm số đồng biến trên nửa khoảng



^0;



^{nên g x}

 

^0 có tối đa 1 nghiệm, nhẩm được nghiệm 1

x2 nên nghiệm đó là duy nhất.

Vậy 1

minP 2 tại 1 x2.

Câu 7. Có tất cả bao giá trị nguyên của tham số a thuộc



^{1999; 2050}



^để

2017

2017 2017

1 1

2 2

2 2

a a

a

     

   

    ^.

A. 29 B. 33. C. 34 D. 32 Lời giải

Chọn B Ta có:

2017

2017 2017

1 1

2 2

2 2

a a

a

     

   

   

  

^{2017 2017}



2017 ln 2^a 2^a aln 2 2^

   

  

^{2017 2017}



ln 2 2 ln 2 2

2017

a a

a

 

 

  ; vì ^a



^{1999; 2050}



^.

Xét hàm số _{f x}

 

^{ln 2}



^{x 2 x}



x

 

 . Tập xác định ^D^{\ 0}

 

.

       

 

2

2 2 ln 2 2 2 ln 2 2

2 2

  



   

 



x x x x x x

x x

f x x

x .

Vì : ^{xln 2 ln 2 x ln 2}



^x2x



^{và 0 2 x2x 2x2x ( Do x}



1999; 2050 )



Suy ra ^{f x'}

 

^{ 0 f x}

 

nghịch biến .

Do đó: ^{ln 2}



²



^{ln 2}



^{2017 2 2017}



2017

a a

a

 

 

 .

2017

 a .

Vậy có: 33 giá trị của a

Câu 8. Cho phương trình 2^x m log2



x m



với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của



^18;18



m  để phương trình đã cho có hai nghiệm ?

A. 20. B. 17. C. 9. D. 21.

Lời giải Chọn B

Điều kiện x m

PT2^x   x x m log2



x m



2^x x 2^{log (5x m )}log (2 x m ) (1)

Xét hàm số ^{f t}

 

^{   2t t t,} ^{; Ta có:} f t

 

2 ln 2 1 0,^t     t  ^{Hàm số f t}

 

^đồng

biến trên ^.

Từ (1) suy ra f x

 

 f



log (2 x m )



 x log (2 x m ) x m2^x  m x 2^x Xét hàm số ^{g x}

 

^{ x 2x trên}



^m;



^{. Ta có: g x'}

 

^{ 1 2 ln 2x ;}

 

2



2



' 0 2 ln 2 1^x log log

g x     x e g



log log2



2e

 

log log2



2e



log2e

 

lim 2 ; lim ( )^m

x m_g x m x g x

     

Bảng biến thiên:

Do đó. Phương trình đã cho có 2 nghiệm

   

2 2 2 2 2 2

2 log log log log log log 0,91

 ^m       

m m e e m e e

Vì



^18;18



 

  



 m

m nên m 



17; 16; 15;....; 1  



Vậy có 17 giá trị của m .

Câu 9. Cho các số dương x y, thỏa mãn ₅ 1

log 3 2 4

2 3

     

  

 

x y x y

x y . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 2 4 9

   

A x y

x y ^bằng A. 31 6

4 . ^B. 11 3. C. 27 2

2 . ^{D. 19.}

Lời giải Chọn D

ĐK:

1 0

2 3 1

, 0

   

    

 

 x y

x y x y

x y

.Ta có:

 

     

       

5

5 5

5 5

log 1 3 2 4

2 3

log 1 1 5 1 log 2 3 2 3

log 5 1 5 1 log 2 3 2 3 *

     

  

 

          

 

          

x y x y

x y

x y x y x y x y

x y x y x y x y

Xét hàm số f t( ) log 5

 

t t trên



^{0; }



^{, vì ( ) 1 1 0,}



^0;



f t ln 5 t

 t       nên hàm số ( )

f t đồng biến trên



^{0; }



^.

 

^{* 5}



^{x y  1}



^{2x3y3x2y5}

Mặt khác, ta có

 

4 9 4 9

6 2 9 4 3 2 2.6 2.6 5 19

A x y x y x y

x y x y

 

 

               .

Dấu “ = ” xảy ra 9 4

2

9 3

4 3

3 2 5 2

x x x

y y x y y

 

 

  

 

  

  

   



(thỏa mãn điều kiện).

Vậy GTNN của A là 19.

Câu 10. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^{m }



^{2019; 2019}



để sao cho phương trình

2 1 2 1

2019 0

1 2

  

  

 

x x mx m

x x có đúng 3 nghiệm thực phân biệt ?

A. 4038 . B. 2019 . C. 2017 . D. 4039 .

Lời giải Chọn C

TXĐ: D^^\



^{1; 2 .}



Ta có

2 1 2 1

2019 0

1 2

2 1 ( 2) 1

2019 0

1 2

2 1 1

2019 . (*)

1 2

  

  

 

  

   

 

     

 

x

x

x

x mx m

x x

x m x

x x

x m

x x

Đặt ( ) 2019 2 1 1 .

1 2

   

 

x x

f x x x ^{Khi đó}

2 2

3 1

'( ) 2019 ln 2019 0 .

( 1) ( 2)

     

 

f x x x D

x x

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có 3 nghiệm thực phân biệt thì

2 2.

  m m 

Mà ^{m }



^{2019; 2019}



^và m^ nên có 2017 giá trị m thỏa mãn.

Câu 11. Cho phương trình ^{3 3x}



^{2x 1}

 

^{3x m 2}



^{3x  m 3 2 3x m 3, với m} là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để phương trình có nghiệm thực?

A. 3. B. 6. C. 4. D. 5.

Lời giải Chọn A



²

  

3 3^{x x}  1 3^x m 2 3^x  m 3 2 3^x m 3



²

  

3 3^{x x} 1 3^x m 2 3^x m 3 2 3^x m 3

         

 

33^x 3^x 3^x m 3 3^x m 3 3^x m 3

         

 

³

33^x 3^x 3^x m 3 3^x m 3

        .

Xét hàm đặc trưng ^{f t}

 

^{ t3 t có f t}

 

^{3t2 1 0,  t} ^.

Vậy ^{33x3x }



^{3x m 3}



^{3 3x   m 3 f}

 

^{3x  f}



^{3x m 3}



3^x 3^x m 3 32^x 3^x 3 m

        . (*)

Đặt u3^x, với điều kiện u0 và đặt ^{g u}

 

^{u2 u 3}

Phương trình (*) ^{g u}

 

^m.

 

^{2 1}

g u  u ,

 

^{0 1}

g u   u 2 ta có bảng biến thiên của ^{g u}

 

^:

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi 13 m  4 . Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên âm của m để phương trình có nghiệm thực là: -3; -2; -1.

Câu 12. Cho phương trình ^{3 3x}



^{2x 1}

 

^{3x m 2}



^{3x  m 3 2 3x m 3, với m} là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để phương trình có nghiệm thực?

A. 3. B. 6. C. 4. D. 5.

Lời giải Chọn A



²

  

3 3^{x x}  1 3^x m 2 3^x  m 3 2 3^x m 3



²

  

3 3^{x x} 1 3^x m 2 3^x m 3 2 3^x m 3

         

 

33^x 3^x 3^x m 3 3^x m 3 3^x m 3

         

 

³

33^x 3^x 3^x m 3 3^x m 3

        .

Xét hàm đặc trưng ^{f t}

 

^{ t3 t có f t}

 

^{3t2 1 0,  t} ^.

Vậy ^{33x3x }



^{3x m 3}



^{3 3x   m 3 f}

 

^{3x  f}



^{3x m 3}



3^x 3^x m 3 32^x 3^x 3 m

        . (*)

Đặt u3^x, với điều kiện u0 và đặt ^{g u}

 

^{u2 u 3}

Phương trình (*) ^{g u}

 

^m.

 

^{2 1}

g u  u ,

 

^{0 1}

g u   u 2 ta có bảng biến thiên của ^{g u}

 

^:

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi 13 m  4 . Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên âm của m để phương trình có nghiệm thực là: -3; -2; -1.

Câu 13. Có bao nhiêu số tự nhiên a sao cho tồn tại số thực x thoả

 

 

^{ }

3log 1

3 3 3log 1

2021^{x a x} x 2020 a ^x 2020

A. 9. B. 8. C. 5. D. 12

Lời giải Chọn A

Xét phương trình: ^{3 3log 1  }

3log 1 3

2021 2020

2020

x x

x a a

x

 

  

 , điều kiện: x 1,

 



 

  

 

^{ }



^{ }

  

3log 1 3log 1

3

2021 2021

3log 1 3log 1

3

2021 20

3

1 3

2

log 2020 log 2020

log 2020 log 2020

x x

x x

x a a x

x x a a

 

 

     

      

Xét hàm số 20



³



3

( ) log 21 2020

f t  t t  , trên



^0;



 

2 2

3

'( ) 3 3 0, 0

2020 ln 2021

f t t t t

  t   

 nên hàm số ( )f t đồng biến trên



^0;



Do đó

 

^ trở thành: x a ^{log x1  x}



^x1



^{loga logxlog .log(a x1)}

 

log log 1, 1

log 1

a x x

  x    

 ^nên a¹⁰ a



1,2,3,4,5,6,7,8,9



Câu 14. Cho các số thực x y z, , thỏa mãn log 23



x^{2 }y²



^ log7



x^3 2y³



^ logz . Có bao giá trị nguyên của zđể có đúng hai cặp

 

^{x y,} thỏa mãn đẳng thức trên.

A. 2 . B. 211. C. 99. D. 4.

Lời giải Chọn B

Ta có

       

 

2 2

2 2 3 3 3 3

3 7

2 3 1

log 2 log 2 log 2 7 2

10 3

t t t

x y

x y x y z t x y

z

  

       

 

.

+ Nếu y0

 

^{2  x 73t thay vào}

 

^{1ta được}

3 2

3 3

49

2.7 3 log 2

t

t t

   do đó



^{3 493}

log 2

10

z

^.

+ Nếu y0

Từ

   

^{1 & 2} suy ra

 

 

 

   

  

   

          

      

    

     

     

      

3 2

3 2

2 2 3 3

3 3

2 2 2 2

3 3

2

2 27 2 49 2 49 , *

27 27

2

2 49

2 1

t t t

t

x

x y x y y

x y

x y x

y

.

Đặt x u u, ³2

y   . Xét

   

       

 

    

       

   

3 2 3

3

3 4

2 2

2 6 2 4 0

0 2

2 1 2 1 4

u u u u u

f u f u u

u u u

.

Ta có bảng biến thiên

Nhận xét với mỗi giá trị u tương ứng với duy nhất 1 cặp

 

^{x y,} thỏa mãn bài toán do đó Yêu cầu bài toán tương đương

49 49

27 27

49 27

log 1 log 4

8 log 4

33

1 49 4

10 10

8 27

49 4

0 27 33 0 10

t

t

z z

  

 

 

 

 

    

     

    

   

      

  



.

Vì z là số nguyên nên có 211giá trị thỏa mãn.

Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của mvới m1 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn:



^mlog5x3



^{log5m x 3 1}

 

^.

A. 4 . B. 3. C. 5. D. 8.

Lời giải Chọn B

Điều kiện:x0

Đặt m^log5x 3 uthay vào phương trình

 

1 ta được: u^log5m    x 3 x u^log5m3. Vì u^log5m m^log5u. Từ đó ta có hệ Phương trình ⁵

5

log log

3 3

x m

u m x u

  

  

 .

Xét hàm đặc trưng ^{f t}

 

^{mt3 trên} .

Do m1. Suy ra hàm số ^{f t}

 

đồng biến trên . Do đó, f



log5x



 f



log5u



 x u.

Vì thế, ta đưa về xét phương trình: x m ^log5x   3 x x^log5m   3 x 3 x^log5m

  

^log5

  

⁵

 

5 5 5 5 5 5

5

log 3

log 3 log log 3 log .log log

log

m x

x x x x m m

x

        

Do x0 nên x 3 xnên 5

 

5

5

log 3

log 1 5

log

m x m

x

     .

Suy