Toán lớp 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 12

Bài 1 : Khái niệm về mặt tròn xoay

Hoạt động 1 trang 31 SGK Toán lớp 12 Hình học: Hãy nêu tên một số đồ vật có hình dạng là các mặt tròn xoay.

Lời giải:

Một số đồ vật có hình dạng là các mặt tròn xoay: cái nón, lọ hoa, cái ốc, cuộn dây điện.

Hoạt động 2 trang 35 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cắt mặt xung quanh của một hình nón tròn xoay dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên mặt phẳng ta được một nửa hình tròn bán kính R. Hỏi hình nón đó có bán kính r của đường tròn đáy và góc ở đỉnh của hình nón bằng bao nhiêu ?

Lời giải:

Cắt mặt xung quanh của một hình nón tròn xoay dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên mặt phẳng ta được một nửa hình tròn bán kính R

⇒ Đường sinh có độ dài bằng R và chu vi đường tròn đáy bằng nửa chu vi đường tròn bán kính R

r R

 = 2

Ta có: 1 1

r r 1

sin A A 30

l R 2

= = =  = 

Suy ra, góc ở đỉnh của hình chóp là A=2A1 = 60 .

Hoạt động 3 trang 38 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’.

Lời giải:

Biểu diễn đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD cạnh a như hình vẽ trên.

Khi đó: Tâm đường tròn là giao điểm 2 đường chéo.

Ta có: AC= AB² +BC² =a 2

Bán kính đường tròn = r = IA = ^{AC a 2} 2 = 2 . Diện tích đường tròn là: πr² =

2 2

a πa

π. 2 = 2 .

Suy ra: diện tích xung quanh của hình trụ thỏa mãn đề bài (l = a) là:

Sxq = 2πrl = 2π.^{a 2}.a πa² 2

2 =

Thể tích khối trụ thỏa mãn đề bài (h = a) là:

V = Bh =

2 3

a πa

π. .a

2 = 2

Bài tập

Bài 1 trang 39 SGK Toán lớp 12 Hình học : Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P). Từ những điểm M nằm trên đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại tâm O của đường tròn (T).

Từ điểm M trên đường tròn (T), vẽ đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P).

Khi đó đường thẳng Δ song song với d và luôn cách d một khoảng bằng r.

Đường thẳng Δ thuộc mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng d và bán kính r.

Bài 2 trang 39 SGK Toán lớp 12 Hình học: Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:

a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư.

b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó.

c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.

d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.

Lời giải:

a) Khi quay một hình chữ nhật xung quanh đường thẳng chứa một cạnh thì ta được một hình trụ.

b) Khi quay một tam giác cân xung quanh trục đối xứng của nó ta được một hình nón tròn xoay.

c) Một tam giác vuông kể cả điểm trong của nó khi quay xung quanh một đường thẳng chứa một cạnh góc vuông thì tạo ra một khối nón tròn xoay.

d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của nó khi quay quanh một đường thẳng chứa một cạnh thì tạo ra một khối trụ tròn xoay.

Bài 3 trang 39 SGK Toán lớp 12 Hình học: Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó.

Lời giải:

a) Độ dài đường sinh của hình nón đã cho là:

2 2 2 2

l= h +r = 20 + 25 = 1025

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là:

S πrl= = π.25. 1025 800,39π cm 2.

b) Ta có: thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.

2 2 3

1 1 12500π

V πr h .π25 .20 cm

3 3 3

= = = .

c) Gọi hình nón đã cho có đỉnh là S và H là tâm đường tròn đáy.

Thiết diện đi qua đỉnh S là tam giác SAC (với A và C thuộc đường tròn đáy) Gọi M là trung điểm của AC.

Ta có: AC⊥HM; AC⊥SH Suy ra: AC⊥mp(SHM)

Suy ra: (SAC) ⊥ (SHM) và 2 mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là SM.

Trong mp(SHM) kẻ HI vuông góc SM.

Suy ra: HI ⊥(SAC)

Do đó, d(H; (SAC)) = HI = 12 Trong tam giác vuông SHM ta có:

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

HI SH HM HM HI SH

1 1 1 1

HM 15

HM 12 20 225

= +  = −

 = − =  =

Trong tam giác vuông HAM ta có:

AM² = HA² – HM² = 25² – 15² = 400 nên AM = 20 (cm) Ta có:sin HSM ^{HM HI}

SM SH

= =

Suy ra: SM ^{HM. SH 15.20} 25

HI 12

= = =

Do đó, diện tích thiết diện SAC là:

2 SAC

S 1AC. SM AM.SM 20.25 500cm

= 2 = = = .

Bài 4 trang 39 SGK Toán lớp 12 Hình học): Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20cm. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn đi qua A và cách B một khoảng bằng 10cm. Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định mặt nón đó (trục và góc ở đỉnh).

Lời giải:

Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với d và cắt d tại H.

Ta có BH = 10cm = d(B, d).

Gọi α BAH=

Ta có: sin α ^{BH 10 1} α 30⁰ AB 20 2

= = =  =

Vậy đường thẳng d nằm trên mặt nón có đỉnh là A, trục là đường thẳng AB và góc ở đỉnh là 2α = 60^o.

Bài 5 trang 39 SGK Toán lớp 12 Hình học: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên.

b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.

Lời giải:

a) Do khoảng cách hai đáy là chiều cao của hình trụ (đồng thời là độ dài đường sinh) nên h = l = 7.

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Sxq = 2π.r.l = 2π.5.7 = 70π (cm² ).

Thể tích của khối trụ được tạo nên là:

V = πr².h = π.5².7 = 175π (cm³ )

b) Mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục 3cm, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác AA1B1B.

Gọi H là trung điểm của AB.

Ta có: OH ⊥AB; OH⊥AA₁ OH ⊥(AA B B)_{1 1} Suy ra: OH = d(O; (AA1B1B)), (1)

Lại có: OO1 // mp (AA1B1B) , (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OH = d(O; (AA1B1B)) = d( OO1; (AA1B1B) ) = 3 cm

* Xét tam giác AOH vuông tại H ta có:

AH² = AO² - OH² = 5² - 3² = 16

⇒ AH = 4cm ⇒ AB = 2AH = 8cm Diện tích của thiết diện cần tính là :

AA B B1 1

S = AB. AA1 = 8. 7 = 56 (cm²).

Bài 6 trang 39 SGK Toán lớp 12 Hình học : Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.

Lời giải:

Tam giác đều SAB có cạnh 2a là thiết diện qua trục của hình nón.

Khi đó, hình nón có đường kính là 2a nên có bán kính R = a; đường sinh l = 2a và chiều cao: h = l² −R² = (2a)² −a² =a 3

Diện tích xung quanh của hình nón là:

2

Sxq =πRl π.a.2a 2πa= = Thể tích hình nón là:

3

2 2

1 1 πa 3

V πR h πa .a 3

3 3 3

= = =

Bài 7 trang 39 SGK Toán lớp 12 Hình học: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h =r 3.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30^o.Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.

Lời giải:

a) Diện tích xung quanh của hình trụ là:

2

Sxq =2πrh 2πr.r 3= =2πr 3 Diện tích toàn phần của hình trụ là:

2 2 2

tp xq day

S =S +2S =2πr 3 2.πr+ = 2πr ( 3 1)+ . b) Thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho là:

2 2 3

V = πr h π.r .r 3= = π.r 3 c) Vẽ đường thẳng AA’// OO’

Ta có: (AB; OO’) = (AB; AA’) = BAA' 30= ⁰ Gọi M là trung điểm A’B.

Ta có: OM⊥ A'B; OM⊥ AA'OM ⊥(AA'B) Suy ra: d(O; (AA’B)) = OM.

+ Tính OM

Xét tam giác vuông AA’B có:

A’B = AA’. tan30⁰ = 3

r 3. r

3 =

A 'B r A 'M 2 2

 = =

Xét tam giác OMA’ ta có:

2 2

2 2 2 2 r 3r

OM OA MA ' r

2 4

OM r 3 2

= − = −    =

 =

Vì OO’ // AA’ nên:

d(OO’; AB) = d(OO’; (AA’B)) = OM = ^{r 3} 2 .

Bài 8 trang 40 SGK Toán 12 Hình học: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O'; r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO' = r 3. Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O; r).

a)Gọi S1 là diện tích xung quanh của hình trụ và S2 là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỉ số ¹

2

S S .

b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Lời giải:

a) Hình trụ và hình nón đều có chiều cao h=r 3, bán kính đường tròn đáy là r.

- Hình nón có đường sinh: l= h²+r² = 3r² + r² = 2r

Diện tích xung quanh của hình trụ là: S₁=2πrh =2π.r.r 3 2πr 3= ² Diện tích xung quanh hình nón là: S₂ =πrl 2πr= ²

Suy ra:

2 1

2 2

S 2πr 3 S 2πr = 3

b)Thể tích của khối trụ là:

2 2 3

Vtru =πr h = πr . r 3 = πr 3 Thể tích của khối nón là:

3

2 2

non

1 1 3πr

V πr h . πr .r 3

3 3 3

= = =

Thể tích của khối trụ nằm ngoài khối nón là:

3 3

3

tru non

3πr 2 3πr

V V V πr 3

3 3

= − = − =

Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành 2 phần; tỉ số thể tích hai phần đó là:

3 3

non

V 2 3πr 3πr

: 2

V = 3 3 = .

Bài 9 trang 40 SGK Toán 12 Hình học: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2.

a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.

b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 60^o. Tính diện tích tam giác SBC.

Lời giải:

a) Ta có thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân SAB, cạnh huyền AB a 2= .

Đường cao hình nón là h SO ^{AB a 2}

2 2

= = =

Đường sinh l SA a 2. ² a

= = 2 =

Bán kính: r ^{AB a 2}

2 2

= = .

Diện tích xung quanh của hình nón:

2 xq

a 2 πa 2 S πrl π .a

2 2

= = =

Diện tích toàn phần;

2

2

tp xq day

πa 2

S S S πr

= + = 2 +

Thể tích hình nón:

2 3

1 2 1 a 2 a 2 πa 2

V πr h π .

3 3 2 2 12

 

= =   =

 

b) Gọi M là trung điểm của BC nên OM ⊥ BC tại M (tam giác OBC cân tại O).

Ta có: SO ⊥BC; OM⊥BCBC ⊥mp(SMO)BC⊥SM (1) Vì 2 mp (SMO) và (SBC) cắt nhau theo giao tuyến là SM (2).

Từ (1) và (2) suy ra: góc giữa 2 mp (SMO) và (SBC) là SMO =60⁰ Xét tam giác SMO có:

a 2

SO 2 a 2

SO SM.sinSMO SM

sin 60 3

sinSMO

=  = = =



a 2 a 6

OM SO. cot SMO .cot 60

2 6

= =  =

+ Xét tam giác OBM vuông tại M có:

2 2

2 2 a 2 a 6 a

BM OB OM

2 6 3

   

= − =   −  =

   

Suy ra: BC = 2 BM ^2a

= 3 Diện tích tam giác SBC là :

1 1 a 2 2a a2 2 S SM. BC . .

2 2 3 3 3

= = =

Bài 10 trang 40 SGK Toán 12 Hình học: Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ.

Tính diện tích của hình vuông đó và côsin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.

Lời giải:

Gọi O, O' là tâm đường tròn đáy của hình trụ.

Gọi CC1 và DD1 là hai đường sinh của khối trụ.

Suy ra: D1C1 song song và bằng DC (vì tứ giác CC1D1D là hình bình hành). (1) Vì ABCD là hình vuông nên AB song song và bằng DC (2).

Từ (1) và (2) suy ra: AB song song và bằng D1C1. Suy ra, tứ giác ABC1D1 là hình bình hành.

Mặt khác ABC1D1 nội tiếp đường tròn (O) nên ABC1D1 là hình chữ nhật (vì hình bình hành mà nội tiếp được đường tròn phải là hình chữ nhật).

Suy ra AC1 là đường kính của (O).

Suy ra: AC1 = 2r.

Tam giác ABC1 vuông ở B nên:

2 2 2 2 2

1 1

BC =AC −AB =4r −AB (3) Vì tam giác BCC1 vuông ở C1 nên:

2 2 2 2 2

1 1

BC =BC −CC = AB −r (4)

Từ (3) và (4) suy ra: 4r² – AB² = AB² – r² nên

2

2 5r

AB = 2

Vậy diện tích hình vuông ABCD là S =

2

2 5r

AB = 2

+ Gọi α là góc hợp bởi mp(ABCD) và mp đáy của hình trụ.

Ta có: S = SABCD =

2

2 5r

AB = 2 S’ =

ABC D1 1

S = AB. BC1

Với

2

2 2 2

1 1

5r 3

BC AC AB (2r) r

2 2

= − = − =

r 10 3 r2

S' . r . 15

2 2 2

 = =

Mà ABC1D1 là hình chiếu của ABCD trên mặt đáy của hình trụ nên:

2 2

S' r 15 5r 15

S' S. cosα cosα = :

S 2 2 5

=  = =