Toán 11 Ôn tập chương 3 | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 11

(1)

Ôn tập chương 3

Bài tập 1 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?

Lời giải:

Xét cấp số cộng (un) với un+1 = un + d, Ta có: un+1 - un = d

Nếu d > 0 thì un+1 > un,  n *, khi đó (un) là dãy số tăng.

Nếu d < 0 thì un+1 < un,  n *, khi đó (un) là dãy số giảm.

Bài tập 2 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân có u1 < 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:

a) q > 0 b) q < 0 Lời giải:

Ta có: un = u1.q^n-1

a) Vì u1 < 0 nên với q > 0 thì un < 0, n  * b) Vì u1 < 0 nên với q < 0:

Xét n > 1

Nếu n là số chẵn thì n – 1 là số lẻ qn 1⁻ 0

 

n 1

u .q1 ⁻ 0

 (vì u1 < 0) un 0

 

Nếu n là số lẻ thì n – 1 là số chẵn qn 1⁻ 0

 

n 1

u .q1 ⁻ 0

  (vì u1 < 0) un 0

 

Vậy nếu q < 0, u1 < 0 thì các số hạng thứ chẵn dương và các số hạng thứ lẻ âm.

(2)

Bài tập 3 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho hai cấp số cộng có cùng số số hạng.

Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số cộng không? Vì sao?

Cho một ví dụ minh họa.

Lời giải:

Giả sử có hai cấp số cộng (un) với công sai d1 và (vn) với công sai d2.

n 1 n 1

n 1 n 2

u u d

v v d

+ +

− =

  − =

Xét dãy (an) với an = un + vn

Ta có: an + 1 – an = (un + 1 + vn + 1) – (un + vn)

= (un+1 – un ) + (vn+1 - vn)

= d1 + d2 = const

Vậy (an) là cấp số cộng có số hạng đầu là a1 = u1 + v1 và công sai là d1 + d2

Ví dụ:

1, 3, 5, 7,... là cấp số cộng có u1 = 1 và d1 = 2 0, 5, 10, 15,... là cấp số cộng có v1 = 0 và d2 = 5 Suy ra (an): 1, 8, 15, 22,... là cấp số cộng có a1 = 1 + 0 = 1 và d = d1 + d2 = 2 + 5 = 7

Bài tập 4 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho hai cấp số nhân có cùng số các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.

Lời giải:

Gọi (an) là cấp số nhân công bội q1 và (bn) là cấp số nhân công bội q2 tương ứng.

Xét (un) với un = an.bn

Ta có:

un+1 = an+1.bn+1

(3)

n 1 n 1 n 1 n 1 n 1

1 2

n n n n n

u a b a b

u a b a b q q

+ + + + +

 = =  =

Vậy dãy số (un) là một cấp số nhân có công bội: q = q1.q2

Ví dụ:

1, 2, 4,… là cấp số nhân có công bội q1 = 2 3, 9, 27,… là cấp số nhân có công bội q2 = 3

Suy ra: 3, 18, 108... là cấp số nhân có công bội: q = q1.q2 = 2.3 = 6

Bài tập 5 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với mọi  n *, ta có:

a) 13ⁿ - 1 chia hết cho 6;

b) 3n³+ 15nchia hết cho 9.

Lời giải:

a) Với n = 1, ta có: 13 –1 13 –1 12 6¹ = = Giả sử:

(

¹³^k ⁻^{1 6}

)

^{với mọi}^{k 1}^

Ta chứng minh:

(

¹³^{k 1}⁺ ⁻^{1 6}

)

Thật vậy:

13^k+1– 1 = 13^k+1− 13^k + 13^k – 1

= (13^k+1− 13^k) + (13^k − 1)

= 13^k(13 − 1) + (13^k − 1)

= 12.13^k + 13^k − 1

Vì

(

^12.13^k

)

^{6 và}

(

13 –1 6 (theo giả thiết quy nạp) ^k

)

Nên

(

^{13 –1 6}^{k 1}⁺

)

Vậy 13ⁿ − 1 chia hết cho 6 với mọi n *. b) Với n = 1, ta có: 3.1³+15.1 18 9=

(4)

Giả sử:

(

^3k³ +15k 9, k 1

)

  .

Ta chứng minh:

(

^{3 k 1}

(

⁺

)

³⁺^{15 k 1}

(

⁺

) )

⁹

Thật vậy:

3(k + 1)³ + 15(k + 1)

= 3.(k³ + 3k² + 3k + 1) + 15k + 15

= 3k³+ 9k² + 9k + 15k + 18

= (3k³ + 15k) + 9(k²+ k + 2)

Vì

(

^3k³ ⁺^{15k 9}

)

(theo giả thiết quy nạp) và ^{9 k}

(

²^{+ +}^k ^{2 9}

)

Nên

(

^{3 k 1}

(

⁺

)

³⁺^{15 k 1}

(

⁺

) )

⁹

Vậy 3n³ + 15n chia hết cho 9 với mọi n *.

Bài tập 6 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un), biết u1 = 2, un+1 = 2un− 1 (với n 1 ).

a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy.

b) Chứng minh un= 2ⁿ^–1+ 1 bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a) u1 = 2

u2 = 2u1 – 1 = 2.2 – 1 = 3 u3 = 2u2 – 1 = 2.3 – 1 = 5 u4 = 2u3 – 1 = 2.5 – 1 = 9 u5 = 2u4 – 1 = 2.9 – 1 = 17

b) Với n = 1, ta có: u1 = 2¹⁻¹+ 1 = 2 công thức đúng

Giả sử công thức đúng với mọi n k 1=  . Nghĩa là: uk = 2^k−1+ 1

Ta chứng minh công thức cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là ta phải chứng minh:

uk+1 = 2^(k+1)−1 + 1 = 2^k + 1

(5)

Ta có: uk+1 = 2uk – 1 = 2(2^k−1+ 1) – 1 = 2.2^k–1 + 2 – 1 = 2^k + 1 (điều phải chứng minh)

Vậy un = 2ⁿ⁻¹+ 1 với mọi n *.

Bài tập 7 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:

a) _n 1

u n

= +n b) n

( )

^{n 1}

u 1 sin1

n

= − −

c) u_n = n 1+ − n Lời giải:

a) Xét hiệu:

n 1 n

1 1

u u n 1 n

n 1 n

+ − = + + +    − + 

1 1

n 1 n

= + + − − +

1 1

1 n 1 n

= + − + n2 n n n 1

n(n 1) + + − −

= +

n2 n 1

0, n N * n(n 1)

= + −    +

Do n²+ −  + − = n 1 1² 1 1 1 0 và n(n + 1) > 0 với  n * Vậy un là dãy số tăng.

Mặt khác: _n 1 1

u n 2 n 2, n *

n n

= +   =   Vậy un là dãy số bị chặn dưới.

Khi n càng lớn thì un càng lớn nên un là dãy số không bị chặn trên.

Vậy un là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b) Ta có: u1 = (-1)^1-1.sin1 = sin1 > 0

2 1 2

1 1

u ( 1) sin sin 0

2 2

= − −  = − 

(6)

3 1 3

1 1

u ( 1) sin sin 0

3 3

= − −  =  Suy ra u1 > u2 và u2 < u3

Vậy un là dãy số không tăng không giảm.

Ta lại có: _n ^{n 1} 1 1 _n

u ( 1) sin sin 1 1 u 1

n n

= − − =   −  

Vậy un là dãy số bị chặn.

c) Ta có:

n

( n 1 n )( n 1 n ) n 1 n 1

u n 1 n

n 1 n n 1 n n 1 n

+ − + + + −

= + − = = =

+ + + + + +

Xét hiệu:

n 1 n

1 1

u u

(n 1) 1 n 1 n 1 n

+ − = −

+ + + + + +

1 1

n 2 n 1 n 1 n

= −

+ + + + +

Ta có: n 2 n 1

n 1 n

 +  +



 + 

n 2 n 1 n 1 n

 + + +  + +

1 1

n 2 n 1 n 1 n

 

+ + + + +

Suy ra un+1 – un < 0

Vậy un là là dãy số giảm.

Mặt khác: u_n ¹ 0, n *

n 1 n

=   

+ +

Suy ra un là dãy số bị chặn dưới.

Ta lại có: với n 1 thì n 1+ + n  2 1+

(7)

Suy ra u_n ¹ ¹

n 1 n 2 1

= 

+ + +

Suy ra un là là dãy số bị chặn trên Vậy un là là dãy số giảm và bị chặn.

Bài tập 8 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của các cấp số cộng (un), biết:

a) ¹ ⁵

4

5u 10u 0 S 14

+ =

 =



b) ⁷₂ ¹⁵₂

4 12

u u 60

u u 1170

+ =



+ =

 Lời giải:

a) ¹ ⁵

4

5u 10u 0 S 14

+ =

 =



( )

1 1

u 2 u 4d 0

4 u u 3d

2 14

+ + =



   + +  =



1 1

3u 8d 0 4u 6d 14

+ =

  + =

u1 8 d 3

 =

  = −

Vậy số hạng đầu u1 = 8, công sai d = -3.

b) ⁷₂ ¹⁵₂

4 12

u u 60 u u 1170

+ =

 + =



( ) ( )

1 1

2 2

1 1

u 6d u 14d 60

u 3d u 11d 1170

+ + + =

 

+ + + =



1

2 2

1 1

2u 20d 60

u 14u d 65d 585

+ =

  + + =

1

2 2

u 30 10d

(30 10d) 14(30 10d)d 65d 585

= −

 

− + − + =



1 2

u 30 10d

25d 180d 315 0

= −

  − + =

1

u 0

d 3

u 12

d 21 5

 =

 =



 = −

 =



Vậy số hạng đầu và công sai là ^u¹ ⁰ d 3

 =

 = hoặc

u1 12 d 21

5

 = −

 =



(8)

Bài tập 9 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của các cấp số nhân (un), biết:

a) ⁶

7

u 192 u 384

 =

 = b) ⁴ ²

5 3

u u 72 u u 144

− =

 − =



c) ² ⁵ ⁴

3 6 5

u u u 10 u u u 20

+ − =

 + − =

 Lời giải:

a) ⁶

7

u 192 u 384

 =

 =

5 1

6 1

u q 192 (1) u q 384 (2)

 =

  =

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được:

6 1

q 2

u 2. 384

 =

 =

 ¹

q 2 u 6

 =

  =

Vậy u1 = 6 và q = 2.

b) ⁴ ²

5 3

u u 72 u u 144

− =

 − =



3

1 1

4 2

1 1

u q u q 72 u q u q 144

 − =

  − =

( )

2 1

2 2

1

u q q 1 72 (1) u q q 1 144 (2)

 − =

 

 − =

( )

2 2

1

q 2

u 2 2. 1 1 44

 =

 − =

 ¹

q 2 12u 144

 =

  = ¹

q 2 u 12

 =

  =

Vậy u1 = 12 và q = 2.

c) ² ⁵ ⁴

3 6 5

u u u 10 u u u 20

+ − =

 + − =



4 3

1 1 1

2 5 4

1 1 1

u q u q u q 10 u q u q u q 20

 + − =

  + − =

( )

3 2

1

2 3 2

1

u q 1 q q 10 (1) u q 1 q q 20 (2)

 + − =

 

+ − =



(9)

(

³ ²

)

1

q 2

u .2. 1 2 2 10

 =

 + − =

 ¹

q 2 u 1

 =

  = Vậy u1 = 1 và q = 2.

Bài tập 10 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp 5 lần góc A. Tính các góc của tứ giác.

Lời giải:

Theo giả thiết ta có: A, B, C, D là một cấp số cộng và C 5A= Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: d.

Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

B= +A d, C= +A 2d, D= +A 3d

A 2d 5A

 + = 4A−2d=0 4A=2d Mà tổng bốn góc của tứ giác bằng 360^o nên:

A+ + + =B C D 360

( ) ( ) ( )

A A d A 2d A 3d 360

 + + + + + + = 

4A 6d 360

 + = 

Thay 4A=2d vào ta được: 8d = 360^o Suy ra d = 45^o

Suy ra 4A−2.45 =0 A 22,5 22 30'

 =  =  B= +  = A 45 67 30'

' C= +A 2.45=112 30 D= +A 3.45 =157 30'

(10)

Bài tập 11 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Biết rằng ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Lời giải:

Giả sử ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân với công bội q ta có: y = x.q và z = y.q = x.q²

Ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng nên:

x + 3z = 2.2y

x + 3.(xq²) = 4.(xq) x + 3xq² − 4xq = 0 x.(1 + 3q² – 4q) = 0

Suy ra x = 0 hoặc 3q² – 4q + 1 = 0

Nếu x = 0 thì x = y = z = 0, q không xác định (loại) Nếu x 0 thì ²

q 1

3q – 4q 1 0 1

q 3

 = + = 

 = Cách khác:

Gọi công bội của cấp số nhân x, y, z là q.

Suy ra y = x.q, z = x.q²

Lại có: x, 2y, 3z lập thành cấp số cộng Khi đó 2y – x = 3z – 2y

2.xq – x = 3.xq² – 2.xq x(2q – 1) = x.(3q² – 2q) x.(3q² – 4q + 1) = 0

Nếu x = 0 suy ra y = z = 0 Suy ra q không xác định (loại).

(11)

Nếu x 0 thì 3q² – 4q + 1 = 0

q 1 q 1

3

 =



 =

Vậy cấp số nhân có công bội q = 1 hoặc 1 q= 3.

Bài tập 12 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp.

Biết diện tích mặt đế tháp là 12288 m². Tính diện tích mặt trên cùng.

Lời giải:

Gọi diện tích đáy tháp là S0; diện tích mặt trên của tầng 1; tầng 2; tầng 3; …; tầng 11 lần lượt là S1; S2; S3; …; S11.

Ta có:

Diện tích đế tháp: S0 = 12288 m² Diện tích tầng 1: ₁ 1 ₀ 1

S S .12288 6144

2 2

= = = (m²)

Theo giả thiết diện tích của bề mặt trên mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới.

Do đó (Sn) là cấp số nhân có số hạng đầu S1 = 6144 m² công bội 1 q= 2. Diện tích tầng 11 là

10 10

11 1

S S q 6144. 1 6 2

  

= =  =

 (m²)

Bài tập 13 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng nếu a², b², c² lập thành một cấp số cộng (abc0 )thì các số 1

b c+ , 1

c+a, 1

a+b cũng lập thành một cấp số cộng.

Lời giải:

(12)

Ta phải chứng minh: 1 1 1 1 b c−c a = c a −a b

+ + + +

Thật vậy,

1 1 1 1

b c −c a =c a −a b

+ + + +

c a b c a b c a (c a)(b c) (c a)(a b)

+ − − + − −

 =

+ + + +

a b b c

b c a b

− −

 =

+ +

(

^{a – b a b}

)( ) (

^{b c b – c}

)( )

 + = +

2 2 2 2

a b b c

 − = −

Do a², b², c² lập thành cấp số cộng Vậy điều kiện để 1

b+c, 1

c+a , 1

a+b là cấp số cộng là a², b², c² là cấp số cộng.

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập 14 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un) biết un = 3ⁿ. Hãy chọn phương án đúng:

a) Số hạng un+1 bằng:

(A) 3ⁿ + 1 (B) 3ⁿ + 3 (C) 3ⁿ.3 (D) 3(n + 1) b) Số hạng u2n bằng:

(A) 2.3ⁿ (B) 9ⁿ (C) 3ⁿ + 3 (D) 6n

c) Số hạng un-1 bằng:

(A) 3ⁿ – 1 (B) 1 ⁿ

3.3 (C) 3ⁿ – 3 (D) 3n – 1 d) Số hạng u2n-1 bằng:

(A) 3².3ⁿ – 1 (B) 3ⁿ.3^n-1 (C) 3²ⁿ – 1 (D) 3^{2(n – 1)} Lời giải:

(13)

a) Thay n thành n + 1 Ta được un+1 = 3ⁿ⁺¹= 3ⁿ.3 Chọn đáp án C.

b) Thay n thành 2n

Ta được u2n = 3²ⁿ = (3²)ⁿ = 9ⁿ Chọn đáp án B.

c) Thay n thành n – 1

Ta được _{n 1} ^{n 1} ¹ ⁿ 1 ⁿ

u 3 3 .3 .3

3

− −

− = = =

Chọn đáp án B.

d) Thay n thành 2n – 1 Ta được u2n-1 = 3^2n-1= 3ⁿ.3^n-1 Chọn đáp án B.

Bài tập 15 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Hãy cho biết dãy số (un) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát un của nó là:

(A)

( )

¹ ^{n 1}^.sin

n

+ 

−

(B) (−1)²ⁿ(5ⁿ + 1) (C) 1

n 1+ +n (D) ₂n

n +1 Lời giải:

(A) Ta có:

u1 =sin u2 sin

2

= − 

(14)

u3 sin 3

= 

Do vậy (un) không tăng cũng không giảm.

(B) Ta có:

un+1 – un= (−1)²⁽ⁿ⁺¹⁾(5ⁿ⁺¹+ 1) − (−1)²ⁿ(5ⁿ+ 1)

= 5ⁿ⁺¹+ 1 − 5ⁿ– 1

= 5ⁿ⁺¹− 5ⁿ> 0

Vậy (un) là dãy tăng.

(C) Ta có: u_{n 1} ¹ ¹ u_n

n 2 n 1 n 1 n

+ =  =

+ + + + + Nên (un) là dãy giảm.

(D) Ta có:

n 1 n 2 2

n 1 n

u u

(n 1) 1 n 1

+

− = + −

+ + +

( )

2

2 2

n n 1

n 1 (n 1) 0, n *

1

− − +

=   

 

+  + +  Nên (un) là dãy giảm.

Chọn đáp án B

Bài tập 16 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số cộng −2, x, 6, y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

(A) x = −6; y = −2 (B) x = 1; y = 7 (C) x = 2; y = 8 (D) x = 2; y = 10 Lời giải:

Theo giả thiết: -2, x, 6, y là cấp số cộng 2x ( 2) 6

2.6 x y

= − +

  = +

x 2 y 10

 =

  = Chọn đáp án D.

(15)

Bài tập 17 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân −4, x, −9. Hãy chọn đáp án đúng trong các kết quả sau:

(A) x = 36 (B) x = −6,5 (C) x = 6 (D) x = −36 Lời giải:

Ta có:

−4, x, −9 là ba số hạng của một cấp số nhân nên:

x² = (−4).( −9) = 36 ^x ⁶ x 6

 =

 = −

 Chọn đáp án C

Bài tập 18 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số cộng (un). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

(A) u¹⁰ u²⁰ ₅ ₁₀

u u

2

+ = +

(B) u90 + u210 = 2u150

(C) u10.u30 = u20

(D) u .u¹⁰ ³⁰ ₂₀ 2 =u Lời giải:

Giả sử (un) là cấp số cộng có công sai là d. Ta có:

10 20 1 1

u u u 9d u 19d

2 2

+ = + + + u¹ 4d u¹ 9d 15d

2

+ + + +

= u⁵ u¹⁰ 15d ₅ ₁₀

u u

2 2

= + +  +

Suy ra (A) sai.

u90 + u210 = u1 + 89d + u1 + 209d = 2u1 + 298d = 2(u1 + 149d) = 2u150

Suy ra (B) đúng.

(16)

( )( )

10 30 1 1 1

u u = u +9d u +29d u +19d=u₂₀ Suy ra (C) sai.

(

1

)(

1

)

10 30

1

u 9d u 29d u u

2 2 u

+ +

 =  +19d=u₂₀

Suy ra (D) sai.

Chọn đáp án B

Bài tập 19 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Trong các dãy số cho bởi các công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:

(A) ¹ ₂

n 1 n

u 2 u ₊ u

 =

 =

 (B) ¹

n 1 n

u 1

u ₊ 3u

 = −

 =

 (C) ¹

n 1 n

u 3

u ₊ u 1

 = −

 = +

 (D)

n chu so 7

. 7,77,777,,777 ..7 Lời giải:

Ta có:

+ ¹ ₂

n 1 n

u 2 u ₊ u

 =

 =



n 1 n n

u u

u

 + = ^{n 1} ^{n 2}

n n 1

u u

+ +

+

 

Suy ra (un) không phải cấp số nhân.

+ ¹

n 1 n

u 1

u ₊ 3u

 = −

 =



n 1 n

u 3 n

u

 + =   .

(un) là cấp số nhân với công bội q = 3, u1 = -1.

+ ¹

n 1 n

u 3

u ₊ u 1

 = −

 = +



Đây là cấp số cộng với u1 = 3; công sai d = 1.

(17)

+ 7; 77; 777;…; 777…77

2 1

u 11

u = , ³

2

u 777 111

u = 77 = 11 ² ³

1 2

u u

u  u

 Suy ra (un) không là cấp số nhân.

Chọn đán án B.