Lý thuyết Ôn tập chương 3 (mới 2022 + Bài Tập) – Toán 12

Ôn tập chương 3 A. Lý thuyết

1. Nguyên hàm và tính chất 1.1 Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của ).

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi xK.

Ví dụ.

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng



^{ ;}



vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với ^{   x}



^;



^.

- Hàm số x 2 F(x) x 3

 

 là một nguyên hàm của hàm số

2

f (x) 5

(x 3)

 

 trên khoảng (; 3)(3;)

Vì x 2 5 ₂

F'(x) f (x)

x 3 (x 3)

  

 

      ^{với x  ( ; 3)(3;).}

- Định lí 1.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F(x) C; C  là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu:



f (x)dx  F(x) C ^.

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x)

= F’(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ.

a) Với ^{x  }



^;



^{ta có: x dx3 x4 C}

 4 



^;

b) Với ^{x  }



^;



^{ta có:}



^{e dxx ex  C;}

c) Với ^x



^0;



^{ta có: 1} dx x C

2 x  



^.

1.2 Tính chất của nguyên hàm - Tính chất 1.

f '(x)dx  f (x) C



Ví dụ.

x x x

(4 )'dx  4 .ln 4.dx4 C

 

- Tính chất 2.

kf (x)dx k. f (x)dx

 

(k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.



^{f (x)g(x) dx}



^{ f (x) dx  g(x) dx}

  

^.

Ví dụ. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 3x²  2sin x trên khoảng



^{ ;}



^.

Lời giải:

Với ^{x  }



^;



^{ta có:}

2 2

3 3

(3x 2sin x)dx 3x dx 2 sin xdx x 2.( cosx) + C = x 2cosx + C

  

   

  

1.3 Sự tồn tại nguyên hàm Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ví dụ.

a) Hàm số y x có nguyên hàm trên khoảng



^0;



^.

1 3

2 2 2 2

xdx x dx x C x x C

3 3

    

 

b) Hàm số y = 1

x có nguyên hàm trên khoảng



^{; 0}

 

^{ 0; }



1dx ln x C

x  



1.4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 0dxC



a dx^{x ax} C (a 0;a 1)

 ln a   



dx  x C

 

cosx dx = sin x + C

α 1 α 1

x dx x C (α 1)

α 1

    







^{sin xdxcosx + C}

1dx ln x C

x  

 

_{cos x}^{12 dx tan x C}

x x

e dx  e  C



¹₂ dx cot x C

sin x   



Ví dụ. Tính:

a)

 3x4  3 x dx

b)



(5e^x 4^{x 2} )dx Lời giải:

a)



^{4 3}



^{4 3}

1

4 3

3x x dx 3x dx xdx

3 x dx x dx

  

 

  

 

5 4 5 3

x 3 3 3x 3x x

3. .x C C

5 4 5 4

     

b)



(5e^x 4^{x 2} )dx ^



^{(5ex 16.4 )dxx}

x x

x x

5 e dx 16. 4 dx

5.e 16. 4 C

ln 4

 

  

 

- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

2. Phương pháp tính nguyên hàm.

2.1 Phương pháp đổi biến số - Định lí 1.

Nếu



f (u)duF(u) C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

f (u(x)).u '(x)dxF(u(x)) C



^.

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

f (ax b)dx 1F(ax b) C

  a  



^.

Ví dụ. Tính



(3x2) dx^{3 .} Lời giải:

Ta có:

4

3 u

u du C

 4 



nên theo hệ quả ta có:

4

3 (3x 2)

(3x 2) dx C

4

   



^.

Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

Ví dụ. Tính



sin x.cos xdx^{2 .}

Lời giải:

Đặt u = cosx. Suy ra: du = – sinx. dx Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành:

3

2 2 u

u .( du) u du C

     3 

 

Thay u = cosx vào kết quả ta được:

3

2 cos x

sin x.cos xdx C

3

  



^.

2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

u(x).v'(x).dx u(x).v(x) u '(x).v(x)dx

 

^.

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

udvuv vdu

 

^.

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Ví dụ. Tính a)



x ln xdx^; b)



x sin xdx^; c)



(5x).e dx^x Lời giải:

a)



x ln xdx

Đặt 2

du 1dx

u ln x x

dv xdx x

v 2

  

  

 

  

  

 

 Ta có:

2 2

x x 1

x ln xdx .ln x . dx

2 2 x

 

 

2 2 2

x 1 x 1 x

.ln x xdx .ln x . C

2 2 2 2 2

 



  

2 2

x x

.ln x C

2 4

   .

b)



x sin xdx^;

Đặt ^{u x du dx}

dv sin xdx v cosx

 

 

   

 

Khi đó:

x sin xdx x.cosx + cos x dx x.cosx + sin x + C



 

 

c)



(5 x).e dx ^x

Đặt u 5 x_x du _xdx

dv e dx v e

     

   

 Khi đó:

x x x

(5 x).e dx  (5 x).e  e dx

 

x x

(5 x).e e dx

  



x x

(5 x).e e C

    . 3. Khái niệm tích phân

3.1 Diện tích hình thang cong

- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được gọi là hình thang cong.

- Ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì:

Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a; x = b (a < b); trục hoành và đường cong y = f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a;

b].

Với mỗi ^x

 

^a;b , kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và b.

Ta chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x) = F(x) + C.

Vì S(a) = 0 nên F(a) + C = 0 hay C = – F(a).

Vậy S(x) = F(x) – F(a).

Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là:

S(b) = F(b) – F(a).

3.2 Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu

b

a

f (x)dx



^.

Ta còn dùng kí hiệu ^b

F(x)a để chỉ hiệu số F(b) – F(a).

Vậy

b

b a a

f (x)dx F(x) F(b) F(a)



^.

Ta gọi

b

a



là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

- Chú ý.

Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:

a b a

a a b

f (x)dx0; f (x)dx  f (x)dx

  

^.

Ví dụ.

a)

2 2 2

0 0

(x 2)dx x 2x 6 0 6

2

 

      

 



^;

b)

 

π

2 π

2 0 0

(2 cos x)dx  2xsin x     (π 1) 0 π 1



^.

- Nhận xét.

a) Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu là

b

a

f (x)dx



^{hay b}

a

f (t)dt



^{. Tích}

phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t.

b) Ý nghĩa hình học của tích phân.

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân

b

a

f (x)dx



^là

diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. Vậy

b

a

S



f (x)dx^. 4. Tính chất của tích phân.

- Tính chất 1:

b b

a a

k.f (x)dx  k. f (x)dx

 

(k là hằng số).

- Tính chất 2:

 

b b b

a a a

f (x)g(x) dx f (x)dx  g(x)dx

  

^.

Ví dụ. Tính:

π

0

(3x 4sin x)dx



^.

Lời giải:

Ta có:

π π π

0 0 0

2 π 2 2

π 0 0

(3x 4sin x)dx 3 xdx 4 sin xdx

x 3π 3π

3. 4cos x ( 4 4) 8

2 2 2

  

       

  

- Tính chất 3.

b c b

a a c

f (x)dx f (x)dx  f (x)dx

  

(a < c < b).

Ví dụ. Tính

2

2

x dx





^.

Lời giải:

Ta có: x ^{x khi 2 x 0} x khi 0 x 2

   

   

Do đó;

2 0 2

2 2 0

x dx x dx x dx

 

 

  

0 2

2 0

0 2

2 2

2 0

xdx xdx

x x

(0 2) (2 0) 4

2 2





  

       

 

5. Phương pháp tính tích phân 5.1 Phương pháp đổi biến số - Định lí:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số xφ(t)có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

^{α; β} sao cho φ(α)a; φ(β) b và ^{a φ(t) b t   }

 

^{α; β .}

Khi đó: ^{b β}

 

a α

f (x)dx  f φ(t) .φ '(t)dt

 

^.

Ví dụ. Tính

1

2 0

1 x dx



^.

Lời giải:

Đặt x = sint; suy ra: dx = costdt.

Đổi cận:

x 0 t 0

x 1 t π 2

  

   Ta có:

π

1 2

2 2

0 0

π π

2 2

2

0 0

1 x dx 1 sin t.cost dt

cos t.cost. dt cos t.cost. dt

  

 

 

 

π π

2 2

2

0 0

cos tdt 1(1 cos2t)dt









2 

π 2 0

1 sin 2t π π

. t 0 .

2 2 4 4

 

      

 

- Chú ý:

Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tính

b

a

f (x)dx



, đôi khi ta chọn hàm số u = u(x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn [a; b], u(x) có đạo hàm liên tục và

 

u(x) α; β .

Giả sử có thể viết: f(x) = g(u(x)). u’(x) với ^x

 

^{a; b} với g(u) liên tục trên đoạn

 

^{α; β .}

Khi đó, ta có:

u (b) b

a u (a )

f (x)dx  g(u)du

 

^.

Ví dụ. Tính

π

2 0

x.sin x dx



^.

Lời giải:

Đặt t = x². Suy ra: dt = 2xdx dt

xdx 2

 

Đổi cận:

x 0 _π

t 0 π

Ta có:

π π

2

0 0

x.sin x dx sin t.dt

 2

 

π π

0 0

1 1 1 1

sin t.dt ( cost) 1.

2 2 2 2

 





    

5.2 Phương pháp tính tích phân từng phần - Định lí.

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:

 

b b

b a

a a

u(x).v'(x)dx  u(x).v(x)  v(x).u '(x)dx

 

Hay

b b

b a

a a

udvuv  vdu

 

^.

Ví dụ. Tính

2

0

I x sin xdx.







Lời giải:

Đặt ^{u x}

dv sin xdx

 

 

 ta có ^{du dx}

v cos x

 

  



Do đó ²

 

0^{2 2} 0²

0 0

I x sin xdx x cos x | cos xdx 0 sin x | 1.

 

 





  



  

Ví dụ. Tính

e 1

0

I x ln(x 1)dx







 ^.

Lời giải:

Đặt ^{u ln(x 1)} dv xdx

 

 

 ta có

2

du 1 dx

x 1

x 1

v 2

 

 



  



e 1 2 e 1 e 1

0 0 0

2 2

e 1 0

x 1 1

I x ln(x 1)dx ln(x 1) (x 1)dx

2 2

e 2e 1 x

2 2 2 x

  



  

      

 

     

 

 

2 2 2

e 2e 1 e 4e 3 e 3

. .

2 2 2 4

   

  

6. Tính diện tích hình phẳng

6.1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định:

b

a

S



f (x) dx^.

Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = 5x⁴ + 3x², trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 1.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

 

 

1 1

4 2 4 2

0 0

5 3 1 0

S 5x 3x dx 5x 3x dx

x x 2

   

  

 

6.2 Hình phẳng được giới hạn bởi 2 đường cong

a c₁ c₂

 ( ) y f x y

O c₃ b x

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định:

b

a

S



f (x)g(x) dx ^(*).

- Chú ý.

Khi áp dụng công thức (*), cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Muốn vậy ta giải phương trình: f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b].

Giả sử phương trình có hai nghiệm c; d (c < d). Khi đó, f(x) – g(x) không đổi dấu trên các đoạn [a; c]; [c; d]; [d; b]. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên [a; c] ta có:

 

c c

a a

f (x)g(x) dx  f (x)g(x) dx

 

^.

Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng x = 0; x = 2 và các đồ thị của hai hàm số y = x – 1 và y = x² – 1.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong:

x – 1 = x² – 1

2 x

 

0

x x 0

x 1 0;2

 

      

Diện tích hình phẳng đã cho là:

2 2

2 2

0 0

1 2

2 2

0 1

S x 1 (x 1) dx x x dx

x x dx x x dx

     

   

 

 

1 2

2 2

0 1

1 2

2 3 2 3

0 1

(x x )dx (x x )dx

x x x x

2 3 2 3

   

   

       

   

 

1 2 1 6 3 6 1

     . 7. Tính thể tích

7.1 Thể tích của vật thể

Cắt một vật thể (H) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a; x = b (a < b) . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x (a x b)cắt (H) theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Khi đó, thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được xác định bởi công thức:

b

a

V 



S(x)dx^.

7.2 Thể tích khối chóp và khối chóp cụt.

a) Cho khối chóp có diện tích đáy là B, chiều cao h.

Khi đó, thể tích của khối chóp là 1

V B.h

 3 .

b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B; B’

và chiều cao là h.

Thể tích của khối chóp cụt là:

 

V h B B.B' B'

 3  

8. Thể tích khối tròn xoay

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b quanh trục Ox:

b 2 a

V π f (x)dx



^.

Ví dụ. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong yx², trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này quanh trục Ox.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

2 5 2

4

0 0

x 32π

V π x dx π

5 5





  ^.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong các cặp hàm số sau, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại.

a) x³ và x4

4 10; b) e^–2x + 2 và – 2e^–2x. Lời giải:

a) Ta có:

4 4

x x 3

10 10 x

4 4

 

      

   

   

Do đó, F(x) = x4

4 10 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³.

b) Ta có: (e^–2x + 2)’ = – 2e^–2x nên F(x) = e^–2x + 2 là một nguyên hàm của hàm số

f(x) = – 2e^–2x.

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f (x) 2x e  ^{x 2} ; b) f(x) = sinx + cosx.

Lời giải:

a)



^{x 2}



^{2 x}

2 2 x

2x e dx 2xdx e e dx x e .e C

   

  

  

b) f(x) = sinx + cosx

(sin x cosx ) dx sin xdx cosx dx cos x sin x C

  

  

  

Bài 3. Sử dụng phương pháp đổi biến, tính:

a)



(2x3).(x² 3x) dx^{7 ;}

b)



(3x² 2x)sin(x³ x²1)dx^; c)



4 .e^{x 2x 1} dx^.

Lời giải:

a)



(2x3).(x² 3x) dx^{7 ;}

Đặt t = x² + 3x. Suy ra: dt = (2x + 3)dx Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành:

8

7 t

t dt C

 8 



Thay t = x² + 3x vào kết quả ta được:

2 8

2 7 (x 3x)

(2x 3).(x 3x) dx C

8

    



^.

b)



(3x² 2x)sin(x³ x² 1)dx

Đặt t = x³ – x² + 1. Suy ra: dt = (3x² – 2x)dx

Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành: sin tdt



cost C^.

Thay t = x³ – x² + 1 vào kết quả ta được:

2 3 2 3 2

(3x 2x)sin(x x 1)dx cos(x x  1) C



^.

c)



4 .e^{x 2x 1}dx 



2 .e.e dx e (2e) dx^{2x 2x} 



^{2x (*)}

Đặt t = 2x thì dt = 2dx.

Nguyên hàm trên trở thành:

t t dt e (2e)

e (2e) . . C

2  2 ln(2e) 



Thay t = 2x vào kết quả ta được:

2x x 2x 1 e (2e)

4 .e dx . C

2 ln(2e)

  



^.

Bài 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, tính:

a)



(x 2).sin xdx ^; b)



(x 1).ln xdx ^. Lời giải:

a) (x 2).sin xdx





Đặt ^{u x 2 du dx}

dv sin xdx v cos x

  

 

    

 

Khi đó:

(x 2).sin xdx (x 2).cos x  cos xdx

 

(x 2).cosx + sin x + C

  .

b) (x 1).ln xdx





Đặt ₂

du 1dx

u ln x x

dv (x 1)dx x

v x

2

 

 

 

   

   



2 2

x x 1

(x 1).ln xdx x ln x x . dx

2 2 x

   

        

   

 

x2 x

x ln x 1 dx

2 2

   

   



  

2 2

x x

x ln x x C

2 4

 

     

  .

Bài 5. Tính các tích phân sau:

a)

2 2

1

x 4x x dx



 ^;

b)

3

2

sin x dx







^.

Lời giải:

a) ^{2 2 2}

 

²

1 1

x 4x x 2

dx x 4 dx 4x

1

x 2

 

     

 

 

=



^{2 8}



^{1 4 11}

2 2

 

    .

b)

3 0 3

0

2 2

0

sin x dx sin xdx sin xdx cos x cos x 3 2 0

 

 

 



    

  

= 1 3

1 1

2 2

   .

Bài 6. Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:

a)

2 x

x 1

C e dx

e 1





 ^; b) D =

2

2 0

4x .xdx



^;

c)

2

2 0

sin2x

F dx

1 sin x







 ^. Lời giải:

a)

2 x x 1

C e dx

e 1







Đặt te^x   1 dt e dx^x Đổi cận: Khi x = 1 thì t = e – 1.

Khi x = 2 thì t = e² – 1 Khi đó:

   

e2 1 2

2 e 1

e 1

C dt ln t ln e 1 ln e 1

t e 1





      





 

e2 1

ln ln e 1

e 1

   

 ^.

b) D =

2

2 0

4x .xdx



Đặt ² dt

t 4 x dt 2xdx xdx

        2 Đổi cận:

Khi x = 0 thì t = 4 ; x = 2 thì t = 0 Khi đó:

   

0 4 1 3

2 2

4 0

1 1 1 2 4

D tdt t dt t

0

2 2 2 3

1 4 1 8

t t 4.2 0

3 0 3 3

 

     

 

   

 

c)

2

2 0

sin2x

F dx

1 sin x









Đặt t sin x²  dt 2sin x cos xdx sin2xdx Đổi cận: Khi x 0 sin 0²   0 t 0;

x t 1

2

   Khi đó:

1

0

dt 1

F ln 1 t ln 2 ln1 ln 2 0

 1 t     



 ^.

Bài 7. Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính:

a) A =

4 2 0

xdx cos x





^;

b) B =

2 2 0

x cos xdx





^;

c)

1 2x 0

C



xe dx^. Lời giải:

a) Đặt

2

u x

du dx

dx v tan x

dv cos x

   

 

   



A =

4 2 0

xdx cos x





⁼

 

^{4 4 4}

0 0 0

sin x

x tan x tan xdx dx

4 cos x

 

 



 



= ⁴

0

2 2

(ln cos x ) ln ln1 ln

4 4 2 4 2

  

      

 

b) B =

2 2 0

x cos xdx





Đặt

2 du 2xdx

u x

v sin x dv cos xdx

   

   



B =

2 2 0

x cos xdx





^{= 2} ₀^{2 2 2 2}

0 0

x sin x 2 x sin xdx 2 x sin xdx 4

 

 



  



* Tính : I =

2

0

xsinxdx





Đặt u x du dx

dv sin xdx v cos x

 

 

    

 

I =

2

0

xsinxdx





^{2 2 2 2}

0 0 0 0

x cos x cos xdx x.cos x sin x 1



  

  



   

Thế I = 1 vào B ta được :

2 2 0

x cos xdx





^{= }₄^{2 2}

c) Đặt _{2x 2x}

du dx u x

v 1e dv e dx

2

 

  

   

 

C =

1

2x 0

x.e dx



^{= 2x 10 1 2x 2x 10 2x 10}

0

1 1 1 1

x.e e dx x.e e

2 2



 2 4

2

2 2

1 1 1 1 e

e e

2 4 4 4

     .

Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = x³ – 3x² , trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 4;

b) y = 2 – x²; y = –x.

Lời giải:

a) Ta có x³ 3x² 0 ^{x 0}

x 3 [1;4]

 

      Khi đó diện tích hình phẳng là

4 3 4

3 2 3 2 3 2

1 1 3

3 4

4 4

3 3

1 3

S x 3x dx (x 3x )dx (x 3x )dx

x x 27 51

x x 6

4 4 4 4

     

   

          

   

  

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : 2 – x² = –x ^{x 1}

x 2

  

  

và 2x²     x, x [ 1;2]

Nên diện tích hình phẳng cần tính là:

2 2 3 2

2

1 1

x x 9

S (2 x x )dx 2x

2 3 2

 

 

       

 



^.

Bài 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x² + 3, tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục tung?

Lời giải:

Ta có: y’ = 2x .

Suy ra: y’(2) = 4 và y(2) = 7.

Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 là y = 4(x – 2) + 7 = 4x – 1 .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và tiếp tuyến:

x² + 3 = 4x – 1x² – 4x + 4 = 0

x 2

  .

Diện tích hình phẳng cần tính là:

2 2

2 2

0 0

S



x  3 (4x 1)dx 



x 4x 4 dx

 

²

2 3

2 2

0 0

x 8

x 4x 4 dx 2x 4x

3 3

 

       

 



^.

Bài 10. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox.

a) y = x³ + 1; y = 0; x = 0; x = 1;

b) y = –x² + 2x ; y = 0.

Lời giải:

a) Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

 

1 1

3 2 6 3

0 0

7 4 1

0

V π (x 1) dx π x 2x 1 dx

x x 23π

π x .

7 2 14

    

 

     

 

 

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

– x² + 2x = 0 ^{x 0} x 2

 

  

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

2

2 2

0 2

4 2 3

0

V π ( x 2x) dx.

π (x 4x 4x )dx

  

  





5 3 2 4

0

x 4x 16π

π x

5 3 15

 

     

  ^.