Trắc nghiệm nâng cao hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đặng Việt Đông

HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A – LÝ THUYẾT CHUNG

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN



2 2

2 2

2 2

sin 1 cos

sin cos 1

cos 1 sin

x x

x x

x x

  

   

  



 1₂ ^{2 2} 1₂

1 tan tan 1

cos x x cos

x     x

 1₂ ^{2 2} 1₂

1 cot cot 1

sin x x sin

x    x

 1

tan .cot 1 cot

x x x tan

   x



4 4 2 2

6 6 2 2

sin cos 1 2sin cos sin cos 1 3sin cos

x x x x

x x x x

   



  





  

  

3 3

3 3

sin cos sin cos 1 sin cos

sin cos sin cos 1 sin cos

x x x x x x

x x x x x x

    



   



II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Góc I Góc II Góc III Góc IV

sinx + + _{ }

cosx +   +

tanx +  + 

cotx +  + 

III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT

Hai cung đối nhau

 

cos x cosx ^sin



^x



^{ sinx}

 

tan x  tanx ^cot



^x



^{ cotx}

Hai cung bù nhau

 

sin x sinx ^cos



^{ x}



^{ cosx}

 

tan x  tanx ^cot



^x



^{ cotx}

Hai cung phụ nhau

sin cos

2 x x

 

 

 

  cos sin

2 x x

 

 

 

 

tan cot

2 x x

 

 

 

  cot tan

2 x x

 

 

 

 

Hai cung hơn nhau 

 

sin x  sinx ^cos



^{ x}



^{ cosx}

 

tan x tanx ^cot



^{ x}



^cotx

Hai cung hơn nhau 2



sin cos

2 x x

 

 

 

  cos sin

2 x x

 

  

 

 

tan cot

2 x x

 

  

 

  cot cot

2 x x

 

  

 

 

Với k là số nguyên thì ta có:

 

sin x k 2 sinx ^cos



^{x k 2}



^cosx

 

tan x k  tanx ^cot



^{x k }



^cotx

IV. CÔNG THỨC CỘNG

 

 

 

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

tan tan

tan 1 tan tan

x y x y x y

x y x y x y

x y

x y

x y

  

  

  



 

 

 

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

tan tan

tan 1 tan tan

x y x y x y

x y x y x y

x y

x y

x y

  

  

  

 Đặc biệt:

TH1: Công thức góc nhân đôi: ^{2 2 2 2}

2

sin 2 2sin cos

cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2sin 2 tan

tan 2

1 tan

x x x

x x x x x

x x

x



 

      





 





Hệ quả: Công thức hạ bậc 2: ² 1 cos 2 ² 1 cos 2

sin ; cos

2 2

x x

x  x 

 

TH2: Công thức góc nhân ba:

3 3

sin 3 3sin 4sin cos 3 4 cos 3cos

x x x

x x x

  



 



V. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG cos cos 2 cos cos

2 2

cos cos 2 sin cos

2 2

sin sin 2 sin cos

2 2

sin sin 2 cos sin

2 2

x y x y

x y

x y x y

x y

x y x y

x y

x y x y

x y

 

 

 

  

 

 

 

 

   

   

   

   

cos cos 1 cos cos

2

sin sin 1 cos cos

2

sin cos 1 sin sin

2

cos sin 1 sin sin

2

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

     

      

     

      Chú ý:

 sin cos 2 sin 2 cos

4 4

x x x   x  

       

   

 sin cos 2 sin 2 cos

4 4

x x x   x  

        

   

 2

sin sin

2 u v k

u v

u v k



 

  

  

  



 2

cos cos

2 u v k

u v

u v k





  

     

 tan tan

2 u v k

u v

u k



 

  

  

 



 cot cot u v k

u v

u k





  

  

  Đặc biệt:

sinx0xk cos 0

x x 2 k



   

sin 1 2

x x 2 k



    cosx 1 xk2

sin 1 2

x x 2 k



      cosx  1 x k2 Chú ý:

Điều kiện có nghiệm của phương trình sinxm và cosxm là:  1 m1

Sử dụng thành thạo câu thần chú “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa các phương trình dạng sau về phương trình cơ bản:

sin cos sin sin

u v u 2 v

     

  cos sin cos cos

u v u 2 v

     

 

 

sinu sinvsinusin v ^{cosu cosvcosucos}



^{ v}



 Đối với phương trình

2 2

cos 1 cos 1

sin 1

sin 1

x x

x x

    

    



không nên giải trực tiếp vì khi đó phải giải 4 phương trình cơ bản thành phần, khi đó việc kết hợp nghiệm sẽ rất khó khăn. Ta nên dựa vào công thức sin²xcos²x1 để biến đổi như sau:

2 2

cos 1 sin 0

sin 2 0 cos 0

sin 1

x x

x x x

   

  

 

  



Tương tự đối với phương trình

2

2 2 2

cos 1

2 cos 1 0

2 cos 2 0

1 1 2sin 0

sin 2

x x

x x x

 

   

  

 

 

  



HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Hàm số sin

Hàm số ysinx xác định trên  nhận giá trị trên



^1;1



^và:

 Là hàm số lẻ vì ^sin



^x



^{ sinx ,  x}

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số ysinx nhận các giá trị đặc biệt

 sinx0 khi xk, k

 sinx1 khi 2 x 2 k

   , k

 sinx 1 khi 2 x 2 k

    , k

Đồ thị hàm số ysinx:

2. Hàm số côsin

Hàm số ycosx xác định trên , nhận giá trị trên



^1;1



^và:

 Là hàm số chẵn vì ^cos



^x



^{cosx,  x}

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số ycosx nhận các giá trị đặc biệt:

 cosx0 khi

x 2 k



  , k

 cosx1 khi xk2 , k

 cosx 1 khi x   k2 ,k

Đồ thị hàm số ycosx :

3. Hàm số tang

Hàm số sin

tan cos y x x

  x xác định trên / ,

2 k k

 

 

 

 

 

  , nhận giá trị trên  và:

 Là hàm số lẻ vì ^tan



^x



^{ tanx, / ,}

x 2 k k

  

     

 

 

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì  Hàm số ytanx nhận giá trị đặc biệt

 tanx0 khi xk, k

 tanx1khi

x 4 k

   , k

 tanx 1 khi

x 4 k

    ,k

Đồ thị hàm số ytanx:

4. Hàm số cô tang Hàm số _cot ^cos

sin y x x

  x xác định trên ^\



^k,k



, nhận giá trị trên  và:

 Là hàm số lẻ vì: ^cot



^x



^{ cotx,  x \}



^k,k



 Là hàm số tuần hoàn với chu kì  Hàm số ycotx nhận các giá trị đặc biệt

 cotx0 khi , x 2 k k



  

 cotx1 khi , x 4 k k



  

 cotx 1 khi , x 4 k k

     Đồ thị hàm số ycotx :

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX

1. Phương trình sinxa

 

¹

 a 1: Phương trình vô nghiệm

 a 1 : Gọi  là một cung sao cho sina. Khi đó

 

^{1 sinxsin và}

 

1 có các nghiệm 2

xk  , k và x    k2 , k

Chú ý:

 Khi

2 2

 



   và sina thì ta viết  arcsina

 Phương trình sinxsin^ có các nghiệm:

360

x^k ^ , k và x180^^360^ , k

 Trong một công thức nghiệm của phương trình lượng giác, hông dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

2. Phương trình cosxa

 

¹

 a 1: Phương trình

 

2 vô nghiệm

 a 1: Gọi  là một cung sao cho cos a . Khi đó

 

^{2 cosxcos vì}

 

^{2 có các}

nghiệm : x   k2 , k

Chú ý:

 Khi0  và cos a thì ta viết  arccosa

 Phương trình cosxcos^ có các nghiệm x ^k360^, k

3. Phương trìnhtanxa

 

³

 Phương trình

 

3 xác định khi

x 2 k



  , k

  a , tồn tại cung  sao cho tan a . Khi đó

 

^{3 tanxtan và}

 

3 có nghiệm xk , k.

Chú ý:

 Khi

2 2

 



   và tan a thì ta viết  arctana

 Phương trình tanxtan^ có các nghiệm x^k180^, k

4. Phương trình cotx

 

⁴

 Phương trình

 

4 xác định khi xk , k

  a , tồn tại cung  sao cho cot a . Khi đó

 

^{4 cotxcot và}

 

4 có nghiệm xk. k

Chú ý:

 Khi 0  và cot a thì ta viết  arc cota

 Phương trình cotxcot^ có các nghiệm x^k180^, k

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX

Dạng phương trình: asinx b cosxc

Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a²b²

2a 2 sin 2b 2 cos 2c 2

x x

a b a b a b

  

  

C1: Đặt

2a 2 cos , 2b 2 sin

a b a b

 

 

 

. Khi đó ^{PT sin}



^x



₂^c ₂ ^{x ?}

a b



    

 C2: Đặt

2a 2 sin , 2b 2 cos

a b a b

 

 

 

. Khi đó ^{PT cos}



^x



₂^c ₂ ^{x ?}

a b

    



Điều kiện có nghiệm của phương trình: a²b² c²

Chú ý: Khi phương trình có a  c hoặc b  c thì dùng công thức góc nhân đôi và sử dụng phép nhóm nhân tử chung.

DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX

Dạng phương trình: asin² x b sin cosx x c .cos²xd 0

Cách giải:

Cách 1: + Xét cosx0 có là nghiệm phương trình không?

+ Xét cosx0, chia hai vế phương trình cho cos²x ta được:

 

2 2

tan tan 1 tan 0 tan

a xb x c d  x   xx

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với sin 2x và cos 2x (dạng 1) DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX

Dạng phương trình:

3 3 2 2

sin cos sin cos cos sin sin cos 0

a x b x c x x d x x e x f x

Cách giải:

+ Xét cosx0 có là nghiệm phương trình không?

+ Xét cosx0, chia hai vế phương trình cho cos³x với chú ý: 1₂ ² 1 tan

cos x

x   DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX

Dạng phương trình:



^sin cos , sin cos



0

f x x x x 

Cách giải:

+ Đặt

2 1

sin cos sin cos

2

t x x x x t 

   

+ Đặt

1 2

sin cos sin cos

2

t x x x x t

    . Đưa về phương trình ẩn t.

Chú ý: Nếu sin cos 2 sin

t x x x 4

     

  thì  2 t 2 DẠNG 6. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THUẬN NGHỊCH

Dạng phương trình:

     

 

2 2

2k k 0

A f x B f x C

f x f x

   

    

   

   

   

, với ^{f x}

 

^{sin , cosx x (1)}

hoặc ^{A a}



^{2tan2 x b 2cot2x}



^{B a}



^tanxbcotx



^{C0 (2).}

Cách giải: Đối với phương trình (1): Đặt

 

 

t f x k

  f x

Đối với phương trình (2): Đặt tatanx b cotx

B – BÀI TẬP

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số sin cos

2sin cos 3

x x

y x x

 

  lần lượt là:

A. 1

1; .

m  M  2 B. m 1; M 2. C. 1

; 1.

m 2 M  D. m1; M 2.

Câu 2: Hàm số 1 1

tan cot

sin cos

y x x

x x

    không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. 2 ; 2

k 2 k

 

 

  

 

. B. 2 ;³ 2

k 2 k

  

 

 

 

 

.

C. 2 ; 2

2 k k

   

 

 

 

 . D.



^{k2 ; 2  k2}



^.

Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số 5 2 cot² sin cot

y x x 2 x

      

 .

A. \ ,

2

D k k 

   

 

  . B. \ ,

2

D  k k 

   

 

  .

C. D. D. ^D\



^k,k



^.

Câu 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

A. 1₂ y sin

 x. B. sin

y x 4

   

 . C. 2 cos

y x 4

   

 .D. y sin 2x. Câu 5: Số giờ có ánh sáng của một thành phốA trong ngày thứ ^t của năm ²⁰¹⁷được cho bởi một

hàm số ^{4 sin}



⁶⁰



¹⁰

y 178 t

   , với ^tZ và ^{0 t 365}. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?.

A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5. Câu 6: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(mét) của mực nước

trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức

3 cos 12

7 8 4

h  t  

   

   . Mực nước của kênh cao nhất khi:

A. t13(giờ). B. t14(giờ). C. t15(giờ). D. t16(giờ).

Câu 7: Hàm số 2 3 1 tan



²



4 cot 2

tan

y x x

x

   đạt giá trị nhỏ nhất là

A. 0. B. 3 2 3 . C. 2 2 2 . D. 1.

Câu 8: Hàm số 2 cos sin

y x x 4

    

 

đạt giá trị lớn nhất là

A. 5 2 2 . B. 5 2 2 . C. 5 2 2 . D. 5 2 2 . Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin⁴xcos⁴xsin cosx x là

A. 9

8. B. 5

4. C. 1. D. 4

3. Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ysinx cosxcosx sinx là

A. 0. B. 2 . C. ⁴2 . D. 6 .

Câu 11: Hàm số 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 3

x x

y x x

 

  có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 12: Cho hàm số ^{h x}

 

^{ sin4xcos4x2 sin .cosm x x}.Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi số thực x(trên toàn trục số) là

A. 1 1

2 m 2

   . B. 1

0m 2. C. 1 2 m 0

   . D. 1 m2. Câu 13: Tìm m để hàm số

2

3

2 sin sin 1

y x

x m x



 

xác định trên . A. m [ 2 2; 2 2 ]. B. ^{m }



^{2 2; 2 2}



^.

C. ^{m  }



^{; 2 2}

 

^{ 2 2;}



^{. D. m }



^{2 2; 2 2}



^.

Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 1 ² 1 ²

1 os 5 2 sin

2 2

y  c x  x

A. 1 ⁵

 2 . B. ²²

2 . C. ¹¹

2 . D. 1 5.

Câu 15: Cho hàm số 1 1

2 cos 1 cos

y x x

  với 0;

x  2

  

 . Kết luận nào sau đây là đúng?

A.

0;2

min 4 y 3



 

 

 

 khi ,

x 3 k k



  T B.

0;2

min 2 y 3



 

 

 

 khi x 3



C.

0;2

min 2 y 3



 

 

 

 khi 2 ,

x 3 k k



   D.

0;2

min 4 y 3



 

 

 

 khi x 3

 .

Câu 16: Cho x y z, , 0 và

x y z 2

   . Tìm giá trị lớn nhất của 1 tan . tan 1 tan .tan 1 tan .tan

y  x y  y z  z x

A. y_max  1 2 2. B. y_max 3 3. C. y_max  4. D. y_max 2 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Câu 17: Hỏi trên đoạn



^{2017; 2017}



, phương trình



^{sinx1 sin}

 

^{x 2}



^0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642.

Câu 18: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3 sin 3

4 2

x 

 

 

 

 

bằng:

A. 9

 . B.

6

 . C.

6

 . D.

9

 . Câu 19: Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình là:

A. , B. . C. . D. .

Câu 20: Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos²xsin 2x 2sin²x trên khoảng



^{0; 2}



^.

6 6 7

sin cos x x16 5

6



2

 7

6



6



A. 7 8 .

T 

 B. 21

8 .

T 

 C. 11

4 .

T 

 D. 3

4 .

T 

 Câu 21: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x₀ của 3sin 3x 3 cos 9x 1 4 sin 3 .³ x

A. ₀ . x 2

 B. ₀ .

x 18

 C. ₀ .

x 24

 D. ₀ .

x 54

 Câu 22: Số nghiệm của phương trình sin 5x 3 cos 5x2 sin 7x trên khoảng 0;

2

  

 

  là?

A. 2. B.1. C. 3. D. 4.

Câu 23: Giải phương trình 3 cos sin 2 sin 2 .

2 2

x  x  x

   

   

   

   

A.

5 2

6 , .

2

18 3

x k

k

x k

 

 

  



 

  



 B.

7 2

6 , .

2

18 3

x k

k

x k

 

 

  



 

   





C.

5 2

6 , .

7 2

6

x k

k

x k

 

 

  



 

  



 D.

2

18 3

, . 2

18 3

x k

k

x k

 

 

  



 

   





Câu 24: Gọi x₀ là nghiệm âm lớn nhất của sin 9x 3 cos 7xsin 7x 3 cos 9x. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ₀ ; 0 . x  12 

  

  B. ₀ ; .

6 12 x    

    C. ₀ ; .

3 6

x    

    D. ₀ ; .

2 3

x    

    Câu 25: Gọi x₀ là nghiệm dương nhỏ nhất của cos 2x 3 sin 2x 3 sinxcosx2. Mệnh đề nào

sau đây là đúng?

A. ₀ 0; . x  12 

  

 

B. ₀ ; .

x 12 6 

  

 

C. ₀ ; .

x  6 3

  

 

D. ₀ ; .

x  3 2

  

 

Câu 26: Gọi lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình , ta có:

A. . B. . C. . D. .

Câu 27: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình ở cung phần tư thứ I và thứ III của đường tròn lượng giác là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 28: Số nghiệm của phương trình _sin¹² _x^



^{3 1 cot}



^x



^{3 1}



^{0 trên}



^0;



^là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 29: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2cos 2x2 cosx 20 trên đoạn



^0;3



^.

A. 17 4 .

T 

 B. T 2 . C. T 4 . D. T 6 . ,

a b

2

cos sin 2 2 cos s inx 1 3

x x

x

 

 

0 ab

11 2

ab 6



11 2

ab 6

 

2

ab 36

 

3 1

8sinx cos sin

x x

 

2 4 6 8

Câu 30: Số nghiệm của phương trình cos 2 4 cos ⁵

3 6 2

x   x

   

   

   

   

thuộc



^{0; 2}



^là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 31: Tổng các nghiệm thuộc khoảng của phương trình là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 32: Phương trình có số nghiệm trên là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 33: Phương trình không phải là phương trình hệ quả của phương trình nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 34: Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc

?

A. . B. . C. . D. .

Câu 35: Phương trình có số nghiệm trên là:

A. B. C. D.

Câu 36: Phương trình nhận các giá trị

làm nghiệm thì giá trị là:

A. . B. . C. D. .

Câu 37: Phương trình sin 5 5sin 1 x

x  có số nghiệm là:

A. 0 B.1 C.2 D.vô số

Câu 38: Phương trình 3 cot² x2 2 sin²x(23 2 ) cosx có các nghiệm dạng

2 ; 2 , , 0 ,

x k x k k Z 2

     

       thì  . bằng:

A.

2

12

 B.-

2

12

 C. 7

12

 D.

2

122

 Câu 39: Phương trình 1 1 1

cosxsin 2xsin 4x có tổng các nghiệm trên(0; ) là:

A. 6

 B.

6

 C. 2

3

 D. 

Câu 40: Phương trình sin 2 2 cos sin 1 0

tan 3

x x x

x

  

  có bao nhiêu nghiệm trên(0;3 ) ?

A. 1 B.2 C.3 D.4

Câu 41: Phương trình

(1 sin cos 2 ) sin( )

4 1 cos

1 tan 2

x x x

x x

  

  có các nghiệm dạng

2 ; 2 , ; , ,

xk  xk    kZ      thì

2 2

  là:



^{0; 2018}



^{sin4 cos4 1 2 sin}

2 2

x x

x

  

207046 206403 205761 204603

3sin 3x 3 cos 9x2 cosx4 sin 33 x 0;

2

  

 

 

2 3 4 5

2 2 2 2

sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x

sinx0 cosx0 sin 9x0 cos 2x0

5 7

sin 2 3cos 1 2sin

2 2

x  x  x

   

    

   

   

2;3

 

 

 

 

4 5 6 7

sinx4 cosx2 sin 2 x



^{0; 2}



0. 1. 2. 4.



^{2 sinx1 4 cos 4}



^x2sinx



^{4 cos3x3 arccos}

x m k2

 

(k) m

1

m 4 1

4 1

m16 1

m 16

A.

2

36

 B.

35 2

36

 C.

13 2

18

 D.

15 2

18



Câu 42: Phương trình

 

4 4

sin 2 cos 2 4

cos 1

tan tan

4 4

x x

x

x x

 

 

   

 

   

   

có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là:

A. 2 B.4 C.6 D. 8

Câu 43: Phương trình

2

sin cos 3 cos 2

2 2

x x

  x

  

 

 

có nghiệm dương nhỏ nhất là a và nghiệm âm lớn nhất là b thì a b là:

A. . B.

2

 . C.

3

 . D.

3

 . Câu 44: Phương trình cos⁴ sin⁴ cos sin 3 ³ 0

4 4 2

x x x    x  

        

   

có tổng 2 nghiệm âm lớn nhất liên tiếp là:

A. 3 2

  . B. . C.

2

 . D. 5 2

  . Câu 45: Phương trình

2 3

2

2

cos cos 1

cos 2 tan

cos

x x

x x

x

 

  có bao nhiêu nghiệm trên



^{1; 70 ?}



A. 32. B. 33. C. 34. D. 35.

Câu 46: Phương trình cosxcos 3x2 cos 5x0 có các nghiệm là

x 2 k



  và 1arc cos

x 2 m k . Giá trị của m là:

A. ^{1 17}

m 8

 . B. ^{1 17}

m 16

 . C. ^{1 17}

m  8

 . D. ^{1 17}

m  16

 .

Câu 47: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin 3xsinxsin 2x0 trên đường tròn lượng giác là:

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Câu 48: Phương trình sin⁴ cos^{4 1}

4 4

x x  

   

  có bao nghiêu nghiệm trên



^{2 ;3 }



^?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 49: Tổng nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 50: Phương trình có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 51: Từ phương trình ^{3 3} 3

1 sin cos sin 2

x x 2 x

   , ta tìm được cos

x 4

 

  

  có giá trị bằng:

A. 1. B. ².

 2 C. ².

2 D. ².

 2

Câu 52: Các nghiệm của phương trình là:

2 4sin³xsinxcosx0

5 2

 5

2

  5

4

  

1 3 tan x2 sin 2x

1 2 3 4

tanxcotx2 sin 2xcos 2x

A. . B. .

C. . D. .

Câu 53: Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 54: Phương trình ²

3 3

tanx tanx ^ tanx ^  3 3

      

    tương đương với phương trình.

A. cotx 3. B. cot 3x 3. C. tanx 3. D. tan 3x 3. Câu 55: Phương trình 2 cot 2x3cot 3xtan 2x có nghiệm là:

A. x k3

 . B. xk . C. xk2. D.Vô nghiệm.

Câu 56: Giải phương trình 4 ²

cos cos

3

x  x.

A.

3 4 3

5 3

4 x k

x k

x k



 

 



 



   





   



. B.

4 5 4 x k

x k

x k



 

 



 



   





   



. C.

3 4 3 x k

x k



 

 



   



. D.

3

5 3

4 x k

x k



 

 



   



.

Câu 57: Phương trình cos 2 cos sin

1 sin 2 x x x

  x

 có nghiệm là:

A.

4 2

8 2

x k

x k

x k

 

 



   





  





 

. B.

4 2

2

x k

x k

x k

 

 



  





  



 





. C.

3 4

2 2 2

x k

x k

x k

 

 



  





   



 





. D.

5 4 3

8 4

x k

x k

x k

 

 



  





  





 

.

Câu 58: Phương trình 1 1

2sin 3 2 cos 3

sin cos

x x

x x

   có nghiệm là:

A. x 4 k



  . B.

x 12 k



  . C. 3

x 4 k



  . D. 3

x 4 k



   . Câu 59: Phương trình 2 sin 3 1 8 sin 2 .cos 2²

x 4 x x

 

  

 

  có nghiệm là:.

A. ⁶

5 6

x k

x k

 

 

  





  



. B. ¹²

5 12

x k

x k

 

 

  





  



. C.

12 2

7 2

12

x k

x k

 

 

  





   



. D. ²⁴

5 24

x k

x k

 

 

  





  



.

 

4 2

1 1

2 cot2 2

x k

k

x arc k

 



  



 

  



 ²

 

1 1

2 cot2

x k

k

x arc k

 



  



 

  





 

4 2

1 1

arctan

2 2 2

x k

k

x k

 



  



 

  



 ^{4 2}

 

arctan1

4 2

x k

k

x k

 



  



 

  





1 sin xcosxsin 2x0 0;

2



 

 

 

1 2 3 4

Câu 60: Phương trình: 4 sin .sin .sin ² cos 3 1

3 3

x x   x  x

   

   

   

có các nghiệm là:

A.

2

6 3

2 3

x k

x k

 



  





 

. B. ⁴

3

x k

x k

 



  





 

. C. ^x ₃ ^k2

x k

 



  



 



. D.

2 2

4

x k

x k

 



  





 

.

Câu 61: Giải phương trình

10 10 6 6

2 2

sin cos sin cos

4 4 cos 2 sin 2

x x x x

x x

 

  .

A. xk2,

2 2

x^ k . B.

2

x k^ . C.

2

x^ k . D. xk ,

2 2

x^ k . Câu 62: Cho phương trình: sin ^{sin 3 cos 3 3 cos 2}

1 2 sin 2 5

x x x

x x

 

 

 

 

  

. Các nghiệm của phương trình thuộc khoảng



^{0; 2}



^là:

A. 5

12 12,

 

. B. 5

6, 6

 

. C. 5

4, 4

 

. D. 5

3, 3

  . Câu 63: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Phương trình có số điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 64: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

Cho phương trình số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 65: Sử dụng công thức nhân ba

Cho phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 66: Sử dụng công thức các cung có liên quan đặc biệt

Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc

?

A. . B. . C. . D. .

Câu 67: Sử dụng công thức hạ bậc cao Cho các phương trình sau:

Phương trình không tương đương với một trong các phương trình còn lại là:

1 cos xcos 2xcos 3x0

2 3 4 5

cos cos 5x xcos 2 cos 4x x

3 4 6 8

cos 3x4 cos 2x3cosx 4 0



^0;14



3 4 5 6

5 7

sin 2 3cos 1 2sin

2 2

x  x  x

   

    

   

   

2;3

 

 

 

 

4 5 6 7

 

 

 

 

8 8 2

8 8

8 8

8 8

1 sin 17 2

16 2 sin 17

32 3 sin 97

128

4 sin 2 2 1

8 x cos x cos x

x cos x x cos x

x cos x

 

 

 

 

A. . B. . C. . D. . Câu 68: Biểu diễn tổng của các đại lượng không âm

Phương trình có phương trình tương đương là:

A. . B. .

C. . D. .

Câu 69: Đặt ẩn phụ - công thức nhân ba

Phương trình có tổng các nghiệm trên là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 70: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Phương trình có các nghiệm là:

A. . B. . C. D. .

Câu 71: Phương pháp đánh giá

Với phương trình thì:

A. trên đoạn phương trình có 1 nghiệm.

B. trên đoạn phương trình có 2 nghiệm C. trên đoạn phương trình có 3 nghiệm.

D. trên đoạn phương trình có 4nghiệm.

Câu 72: Phương pháp hàm số

Phương trình có tổng các nghiệm trong

khoảng là:

A. . B. . C. D. .

Câu 73: Phương trình có các nghiệm dạng

. Với thì

là:

A. 0. B. . C. D. .

Câu 74: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có nghiệm

A. 0. B. . C. D. .

Câu 75: Phương trình sin 2x2 cosxcos 2xsinx là phương trình hệ quả của phương trình:

A. 1

sin( )

4 2

x 

  B. sin 2x0 C. 1

sin cos

x x2 D.

sin cos 1

2 x x

 

¹

 

²

 

³

 

⁴



³



cos 2xcos 6x4 3sinx4sin x1 0

cosx0 sin 3x 1 0

cos (sin 3x x1)0 sinx 1 0

3 1 3

sin sin

10 2 2 10 2

x x

 

   

  

   

   



^{0; 2}



9 5

 9

15

 10

3

 10

6



 

4 2

sin sin sin 3 sin 2 0

2 2

x x

x x

     

  

2 ; .

xk  k xk;k. ^x



^2k1



^{;k. ; .}

x k2 k

 

 

²

3cos 4x cos 2xsinx 7 (*)



^{0; 2}





^{0; 2}





^{0; 2}





^{0; 2}



2 2

sin 1 2 sin cos 1 (*)

x 4 x x

     

 

0;2



 

 

 

0 2



4



3

 1 cos xsinxcos 2xsin 2x0

1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2

x ak  x  b k  x  c k  x dk  0a b c d, , , 2 a b c d  

7 2

 5

4

 9

2

 a cos 2³ xcos 2² x a sin² x0 0; ?

x  6

  

 

1 2 3

Câu 76: Giả sử k là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức 1₂ 1_{2 2} sin 1

k

x  x   đúng với (0; ) x 2

  . Khi đó giá trị của k là

A. 5 B.2 C.4 D. 6

Câu 77: Có bao nhiêu giá trị của  trong



^{0; 2}



để ba phần tử của S 



sin ,sin 2 ,sin 3  



trùng với ba phần tử của T 



cos , cos 2 , cos 3  



.

A. 1 B.2 C.3 D. 4

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SÓ

Câu 78: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tanxmcotx8 có nghiệm.

A. m16. B. m16. C. m16. D. m16.

Câu 79: Biến đổi phương trình ^{cos 3xsinx 3 cos}



^{xsin 3x}



^{về dạng sin}



^{ax b}



^sin



^{cx d}



với ^b, ^d thuộc khoảng ; 2 2

   

 

 . Tính ^bd.

A. .

b d 12

  B. .

b d 4

  C. .

b d 3

   D. .

b d 2

  Câu 80: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^10;10



để phương trình

sin 3 cos 2

3 3

x  x  m

   

   

   

   

vô nghiệm.

A. 21. B. 20. C. 18. D. 9.

Câu 81: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ^{cosxsinx 2}



^m21



^vô

nghiệm.

A. ^{m   }



^{; 1}

 

^1;



^{. B. m }



^{1;1 .}



^{C. m  }



^;



D. ^{m }



^;0

 

^{ 0;}



^.

Câu 82: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^10;10



để phương trình



^{m1 sin}



^{x m cosx 1 m} có nghiệm.

A. 21. B. 20. C. 18. D. 11.

Câu 83: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^{2018; 2018}



để phương trình



^{m1 sin}



^{2 xsin 2xcos 2x0} có nghiệm.

A. 4037. B. 4036. C. 2019. D. 2020.

Câu 84: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có nghiệm

A. 0. B. . C. D. .

Câu 85: Giá trị của m để phương trình ^cos2x



^{2m1 cos}



^{x m  1 0} có nghiệm trên ;³ 2 2

 

 

 

 

là



^;



m a b thì a b là:

A. 0. B. 1. C. 1. D. 2.

Câu 86: Phương trình sin⁶xcos⁶x3sin cosx x m  2 0 có nghiệm khi ^m



^{a b;}



^{thì tích a b.}

bằng:

A. 9

4. B. 9

2. C. 75

16. D. 15

4 . a cos 2³ xcos 2² x a sin² x0 0; ?

x  6

  

 

1 2 3

Câu 87: phương trình sin ( 1) cos

cos

m x m x m

   x. Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 10 để phương trình có nghiệm là:

A. 9. B. 8. C. 10. D. 7

Câu 88: Phương trình ^{sin 4xtanx} có nghiệm dạng ^x^k và ^{x marc cosn k }



^k



^thì

mn bằng:

A. ³

mn 2 . B. ³

mn  2 . C. ^{1 3} m n  2

  . D. ^{1 3}

m n  2

  .

Câu 89: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ^{cos 2x}



^{2m1 cos}



^{x m  1 0}

có nghiệm trên khoảng ;³ 2 2

 

 

 

 .

A.  1 m0. B.  1 m0. C.  1 m0. D. 1

1 m 2

   . Câu 90: Biết rằng khi mm₀ thì phương trình ^{2sin2 x}



^{5m1 sin}



^{x2m22m0 có đúng 5}

nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;3 2

 

 

 

 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. m 3. B. 1

m2. C. ₀ ^{3 7}; . m 5 10

   D. ₀ ³; ² .

5 5

m  

   

 

Câu 91: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

 

2cos 32 x 3 2 m cos 3x m  2 0 có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng ; . 6 3

   

 

 

A.  1 m1. B.1m2. C. 1m2. D. 1m2.

Câu 92: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin cosx xsinxcosxm0 có nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 93: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình: có nghiệm.

A. . B. . C. . D. .

Câu 94: Phương trình có tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 95: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^10;10



để phương trình

 

2 2