HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A – LÝ THUYẾT CHUNG
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
2 2
2 2
2 2
sin 1 cos
sin cos 1
cos 1 sin
x x
x x
x x
12 2 2 12
1 tan tan 1
cos x x cos
x x
12 2 2 12
1 cot cot 1
sin x x sin
x x
1
tan .cot 1 cot
x x x tan
x
4 4 2 2
6 6 2 2
sin cos 1 2sin cos sin cos 1 3sin cos
x x x x
x x x x
3 3
3 3
sin cos sin cos 1 sin cos
sin cos sin cos 1 sin cos
x x x x x x
x x x x x x
II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Góc I Góc II Góc III Góc IV
sinx + +
cosx + +
tanx + +
cotx + +
III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT
Hai cung đối nhau
cos x cosx sin
x
sinx
tan x tanx cot
x
cotxHai cung bù nhau
sin x sinx cos
x
cosx
tan x tanx cot
x
cotxHai cung phụ nhau
sin cos
2 x x
cos sin
2 x x
tan cot
2 x x
cot tan
2 x x
Hai cung hơn nhau
sin x sinx cos
x
cosx
tan x tanx cot
x
cotxHai cung hơn nhau 2
sin cos
2 x x
cos sin
2 x x
tan cot
2 x x
cot cot
2 x x
Với k là số nguyên thì ta có:
sin x k 2 sinx cos
x k 2
cosx
tan x k tanx cot
x k
cotxIV. CÔNG THỨC CỘNG
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan tan
tan 1 tan tan
x y x y x y
x y x y x y
x y
x y
x y
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan tan
tan 1 tan tan
x y x y x y
x y x y x y
x y
x y
x y
Đặc biệt:
TH1: Công thức góc nhân đôi: 2 2 2 2
2
sin 2 2sin cos
cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2sin 2 tan
tan 2
1 tan
x x x
x x x x x
x x
x
Hệ quả: Công thức hạ bậc 2: 2 1 cos 2 2 1 cos 2
sin ; cos
2 2
x x
x x
TH2: Công thức góc nhân ba:
3 3
sin 3 3sin 4sin cos 3 4 cos 3cos
x x x
x x x
V. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG cos cos 2 cos cos
2 2
cos cos 2 sin cos
2 2
sin sin 2 sin cos
2 2
sin sin 2 cos sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
cos cos 1 cos cos
2
sin sin 1 cos cos
2
sin cos 1 sin sin
2
cos sin 1 sin sin
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
Chú ý:
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
2
sin sin
2 u v k
u v
u v k
2
cos cos
2 u v k
u v
u v k
tan tan
2 u v k
u v
u k
cot cot u v k
u v
u k
Đặc biệt:
sinx0xk cos 0
x x 2 k
sin 1 2
x x 2 k
cosx 1 xk2
sin 1 2
x x 2 k
cosx 1 x k2 Chú ý:
Điều kiện có nghiệm của phương trình sinxm và cosxm là: 1 m1
Sử dụng thành thạo câu thần chú “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa các phương trình dạng sau về phương trình cơ bản:
sin cos sin sin
u v u 2 v
cos sin cos cos
u v u 2 v
sinu sinvsinusin v cosu cosvcosucos
v
Đối với phương trình
2 2
cos 1 cos 1
sin 1
sin 1
x x
x x
không nên giải trực tiếp vì khi đó phải giải 4 phương trình cơ bản thành phần, khi đó việc kết hợp nghiệm sẽ rất khó khăn. Ta nên dựa vào công thức sin2xcos2x1 để biến đổi như sau:
2 2
cos 1 sin 0
sin 2 0 cos 0
sin 1
x x
x x x
Tương tự đối với phương trình
2
2 2 2
cos 1
2 cos 1 0
2 cos 2 0
1 1 2sin 0
sin 2
x x
x x x
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Hàm số sin
Hàm số ysinx xác định trên nhận giá trị trên
1;1
và: Là hàm số lẻ vì sin
x
sinx , x Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số ysinx nhận các giá trị đặc biệt
sinx0 khi xk, k
sinx1 khi 2 x 2 k
, k
sinx 1 khi 2 x 2 k
, k
Đồ thị hàm số ysinx:
2. Hàm số côsin
Hàm số ycosx xác định trên , nhận giá trị trên
1;1
và: Là hàm số chẵn vì cos
x
cosx, x Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số ycosx nhận các giá trị đặc biệt:
cosx0 khi
x 2 k
, k
cosx1 khi xk2 , k
cosx 1 khi x k2 ,k
Đồ thị hàm số ycosx :
3. Hàm số tang
Hàm số sin
tan cos y x x
x xác định trên / ,
2 k k
, nhận giá trị trên và:
Là hàm số lẻ vì tan
x
tanx, / ,x 2 k k
Là hàm số tuần hoàn với chu kì Hàm số ytanx nhận giá trị đặc biệt
tanx0 khi xk, k
tanx1khi
x 4 k
, k
tanx 1 khi
x 4 k
,k
Đồ thị hàm số ytanx:
4. Hàm số cô tang Hàm số cot cos
sin y x x
x xác định trên \
k,k
, nhận giá trị trên và: Là hàm số lẻ vì: cot
x
cotx, x \
k,k
Là hàm số tuần hoàn với chu kì Hàm số ycotx nhận các giá trị đặc biệt
cotx0 khi , x 2 k k
cotx1 khi , x 4 k k
cotx 1 khi , x 4 k k
Đồ thị hàm số ycotx :
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
1. Phương trình sinxa
1 a 1: Phương trình vô nghiệm
a 1 : Gọi là một cung sao cho sina. Khi đó
1 sinxsin và
1 có các nghiệm 2xk , k và x k2 , k
Chú ý:
Khi
2 2
và sina thì ta viết arcsina
Phương trình sinxsin có các nghiệm:
360
xk , k và x180360 , k
Trong một công thức nghiệm của phương trình lượng giác, hông dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
2. Phương trình cosxa
1 a 1: Phương trình
2 vô nghiệm a 1: Gọi là một cung sao cho cos a . Khi đó
2 cosxcos vì
2 có cácnghiệm : x k2 , k
Chú ý:
Khi0 và cos a thì ta viết arccosa
Phương trình cosxcos có các nghiệm x k360, k
3. Phương trìnhtanxa
3 Phương trình
3 xác định khix 2 k
, k
a , tồn tại cung sao cho tan a . Khi đó
3 tanxtan và
3 có nghiệm xk , k.Chú ý:
Khi
2 2
và tan a thì ta viết arctana
Phương trình tanxtan có các nghiệm xk180, k
4. Phương trình cotx
4 Phương trình
4 xác định khi xk , k a , tồn tại cung sao cho cot a . Khi đó
4 cotxcot và
4 có nghiệm xk. kChú ý:
Khi 0 và cot a thì ta viết arc cota
Phương trình cotxcot có các nghiệm xk180, k
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
Dạng phương trình: asinx b cosxc
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a2b2
2a 2 sin 2b 2 cos 2c 2
x x
a b a b a b
C1: Đặt
2a 2 cos , 2b 2 sin
a b a b
. Khi đó PT sin
x
2c 2 x ?a b
C2: Đặt
2a 2 sin , 2b 2 cos
a b a b
. Khi đó PT cos
x
2c 2 x ?a b
Điều kiện có nghiệm của phương trình: a2b2 c2
Chú ý: Khi phương trình có a c hoặc b c thì dùng công thức góc nhân đôi và sử dụng phép nhóm nhân tử chung.
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX
Dạng phương trình: asin2 x b sin cosx x c .cos2xd 0
Cách giải:
Cách 1: + Xét cosx0 có là nghiệm phương trình không?
+ Xét cosx0, chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:
2 2
tan tan 1 tan 0 tan
a xb x c d x xx
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với sin 2x và cos 2x (dạng 1) DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX
Dạng phương trình:
3 3 2 2
sin cos sin cos cos sin sin cos 0
a x b x c x x d x x e x f x
Cách giải:
+ Xét cosx0 có là nghiệm phương trình không?
+ Xét cosx0, chia hai vế phương trình cho cos3x với chú ý: 12 2 1 tan
cos x
x DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX
Dạng phương trình:
sin cos , sin cos
0f x x x x
Cách giải:
+ Đặt
2 1
sin cos sin cos
2
t x x x x t
+ Đặt
1 2
sin cos sin cos
2
t x x x x t
. Đưa về phương trình ẩn t.
Chú ý: Nếu sin cos 2 sin
t x x x 4
thì 2 t 2 DẠNG 6. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THUẬN NGHỊCH
Dạng phương trình:
2 2
2k k 0
A f x B f x C
f x f x
, với f x
sin , cosx x (1)hoặc A a
2tan2 x b 2cot2x
B a
tanxbcotx
C0 (2).Cách giải: Đối với phương trình (1): Đặt
t f x k
f x
Đối với phương trình (2): Đặt tatanx b cotx
B – BÀI TẬP
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số sin cos
2sin cos 3
x x
y x x
lần lượt là:
A. 1
1; .
m M 2 B. m 1; M 2. C. 1
; 1.
m 2 M D. m1; M 2.
Câu 2: Hàm số 1 1
tan cot
sin cos
y x x
x x
không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. 2 ; 2
k 2 k
. B. 2 ;3 2
k 2 k
.
C. 2 ; 2
2 k k
. D.
k2 ; 2 k2
.Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số 5 2 cot2 sin cot
y x x 2 x
.
A. \ ,
2
D k k
. B. \ ,
2
D k k
.
C. D. D. D\
k,k
.Câu 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
A. 12 y sin
x. B. sin
y x 4
. C. 2 cos
y x 4
.D. y sin 2x. Câu 5: Số giờ có ánh sáng của một thành phốA trong ngày thứ t của năm 2017được cho bởi một
hàm số 4 sin
60
10y 178 t
, với tZ và 0 t 365. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?.
A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5. Câu 6: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(mét) của mực nước
trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức
3 cos 12
7 8 4
h t
. Mực nước của kênh cao nhất khi:
A. t13(giờ). B. t14(giờ). C. t15(giờ). D. t16(giờ).
Câu 7: Hàm số 2 3 1 tan
2
4 cot 2
tan
y x x
x
đạt giá trị nhỏ nhất là
A. 0. B. 3 2 3 . C. 2 2 2 . D. 1.
Câu 8: Hàm số 2 cos sin
y x x 4
đạt giá trị lớn nhất là
A. 5 2 2 . B. 5 2 2 . C. 5 2 2 . D. 5 2 2 . Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin4xcos4xsin cosx x là
A. 9
8. B. 5
4. C. 1. D. 4
3. Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ysinx cosxcosx sinx là
A. 0. B. 2 . C. 42 . D. 6 .
Câu 11: Hàm số 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 3
x x
y x x
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 12: Cho hàm số h x
sin4xcos4x2 sin .cosm x x.Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi số thực x(trên toàn trục số) làA. 1 1
2 m 2
. B. 1
0m 2. C. 1 2 m 0
. D. 1 m2. Câu 13: Tìm m để hàm số
2
3
2 sin sin 1
y x
x m x
xác định trên . A. m [ 2 2; 2 2 ]. B. m
2 2; 2 2
.C. m
; 2 2
2 2;
. D. m
2 2; 2 2
.Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 1 2 1 2
1 os 5 2 sin
2 2
y c x x
A. 1 5
2 . B. 22
2 . C. 11
2 . D. 1 5.
Câu 15: Cho hàm số 1 1
2 cos 1 cos
y x x
với 0;
x 2
. Kết luận nào sau đây là đúng?
A.
0;2
min 4 y 3
khi ,
x 3 k k
T B.
0;2
min 2 y 3
khi x 3
C.
0;2
min 2 y 3
khi 2 ,
x 3 k k
D.
0;2
min 4 y 3
khi x 3
.
Câu 16: Cho x y z, , 0 và
x y z 2
. Tìm giá trị lớn nhất của 1 tan . tan 1 tan .tan 1 tan .tan
y x y y z z x
A. ymax 1 2 2. B. ymax 3 3. C. ymax 4. D. ymax 2 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 17: Hỏi trên đoạn
2017; 2017
, phương trình
sinx1 sin
x 2
0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642.
Câu 18: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3 sin 3
4 2
x
bằng:
A. 9
. B.
6
. C.
6
. D.
9
. Câu 19: Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình là:
A. , B. . C. . D. .
Câu 20: Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos2xsin 2x 2sin2x trên khoảng
0; 2
.6 6 7
sin cos x x16 5
6
2
7
6
6
A. 7 8 .
T
B. 21
8 .
T
C. 11
4 .
T
D. 3
4 .
T
Câu 21: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x0 của 3sin 3x 3 cos 9x 1 4 sin 3 .3 x
A. 0 . x 2
B. 0 .
x 18
C. 0 .
x 24
D. 0 .
x 54
Câu 22: Số nghiệm của phương trình sin 5x 3 cos 5x2 sin 7x trên khoảng 0;
2
là?
A. 2. B.1. C. 3. D. 4.
Câu 23: Giải phương trình 3 cos sin 2 sin 2 .
2 2
x x x
A.
5 2
6 , .
2
18 3
x k
k
x k
B.
7 2
6 , .
2
18 3
x k
k
x k
C.
5 2
6 , .
7 2
6
x k
k
x k
D.
2
18 3
, . 2
18 3
x k
k
x k
Câu 24: Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của sin 9x 3 cos 7xsin 7x 3 cos 9x. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 0 ; 0 . x 12
B. 0 ; .
6 12 x
C. 0 ; .
3 6
x
D. 0 ; .
2 3
x
Câu 25: Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của cos 2x 3 sin 2x 3 sinxcosx2. Mệnh đề nào
sau đây là đúng?
A. 0 0; . x 12
B. 0 ; .
x 12 6
C. 0 ; .
x 6 3
D. 0 ; .
x 3 2
Câu 26: Gọi lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình , ta có:
A. . B. . C. . D. .
Câu 27: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình ở cung phần tư thứ I và thứ III của đường tròn lượng giác là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 28: Số nghiệm của phương trình sin12 x
3 1 cot
x
3 1
0 trên
0;
là?A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 29: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2cos 2x2 cosx 20 trên đoạn
0;3
.A. 17 4 .
T
B. T 2 . C. T 4 . D. T 6 . ,
a b
2
cos sin 2 2 cos s inx 1 3
x x
x
0 ab
11 2
ab 6
11 2
ab 6
2
ab 36
3 1
8sinx cos sin
x x
2 4 6 8
Câu 30: Số nghiệm của phương trình cos 2 4 cos 5
3 6 2
x x
thuộc
0; 2
là?A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 31: Tổng các nghiệm thuộc khoảng của phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 32: Phương trình có số nghiệm trên là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 33: Phương trình không phải là phương trình hệ quả của phương trình nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 34: Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc
?
A. . B. . C. . D. .
Câu 35: Phương trình có số nghiệm trên là:
A. B. C. D.
Câu 36: Phương trình nhận các giá trị
làm nghiệm thì giá trị là:
A. . B. . C. D. .
Câu 37: Phương trình sin 5 5sin 1 x
x có số nghiệm là:
A. 0 B.1 C.2 D.vô số
Câu 38: Phương trình 3 cot2 x2 2 sin2x(23 2 ) cosx có các nghiệm dạng
2 ; 2 , , 0 ,
x k x k k Z 2
thì . bằng:
A.
2
12
B.-
2
12
C. 7
12
D.
2
122
Câu 39: Phương trình 1 1 1
cosxsin 2xsin 4x có tổng các nghiệm trên(0; ) là:
A. 6
B.
6
C. 2
3
D.
Câu 40: Phương trình sin 2 2 cos sin 1 0
tan 3
x x x
x
có bao nhiêu nghiệm trên(0;3 ) ?
A. 1 B.2 C.3 D.4
Câu 41: Phương trình
(1 sin cos 2 ) sin( )
4 1 cos
1 tan 2
x x x
x x
có các nghiệm dạng
2 ; 2 , ; , ,
xk xk kZ thì
2 2
là:
0; 2018
sin4 cos4 1 2 sin2 2
x x
x
207046 206403 205761 204603
3sin 3x 3 cos 9x2 cosx4 sin 33 x 0;
2
2 3 4 5
2 2 2 2
sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x
sinx0 cosx0 sin 9x0 cos 2x0
5 7
sin 2 3cos 1 2sin
2 2
x x x
2;3
4 5 6 7
sinx4 cosx2 sin 2 x
0; 2
0. 1. 2. 4.
2 sinx1 4 cos 4
x2sinx
4 cos3x3 arccosx m k2
(k) m
1
m 4 1
4 1
m16 1
m 16
A.
2
36
B.
35 2
36
C.
13 2
18
D.
15 2
18
Câu 42: Phương trình
4 4
sin 2 cos 2 4
cos 1
tan tan
4 4
x x
x
x x
có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là:
A. 2 B.4 C.6 D. 8
Câu 43: Phương trình
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
có nghiệm dương nhỏ nhất là a và nghiệm âm lớn nhất là b thì a b là:
A. . B.
2
. C.
3
. D.
3
. Câu 44: Phương trình cos4 sin4 cos sin 3 3 0
4 4 2
x x x x
có tổng 2 nghiệm âm lớn nhất liên tiếp là:
A. 3 2
. B. . C.
2
. D. 5 2
. Câu 45: Phương trình
2 3
2
2
cos cos 1
cos 2 tan
cos
x x
x x
x
có bao nhiêu nghiệm trên
1; 70 ?
A. 32. B. 33. C. 34. D. 35.
Câu 46: Phương trình cosxcos 3x2 cos 5x0 có các nghiệm là
x 2 k
và 1arc cos
x 2 m k . Giá trị của m là:
A. 1 17
m 8
. B. 1 17
m 16
. C. 1 17
m 8
. D. 1 17
m 16
.
Câu 47: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin 3xsinxsin 2x0 trên đường tròn lượng giác là:
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 48: Phương trình sin4 cos4 1
4 4
x x
có bao nghiêu nghiệm trên
2 ;3
?A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 49: Tổng nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 50: Phương trình có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 51: Từ phương trình 3 3 3
1 sin cos sin 2
x x 2 x
, ta tìm được cos
x 4
có giá trị bằng:
A. 1. B. 2.
2 C. 2.
2 D. 2.
2
Câu 52: Các nghiệm của phương trình là:
2 4sin3xsinxcosx0
5 2
5
2
5
4
1 3 tan x2 sin 2x
1 2 3 4
tanxcotx2 sin 2xcos 2x
A. . B. .
C. . D. .
Câu 53: Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 54: Phương trình 2
3 3
tanx tanx tanx 3 3
tương đương với phương trình.
A. cotx 3. B. cot 3x 3. C. tanx 3. D. tan 3x 3. Câu 55: Phương trình 2 cot 2x3cot 3xtan 2x có nghiệm là:
A. x k3
. B. xk . C. xk2. D.Vô nghiệm.
Câu 56: Giải phương trình 4 2
cos cos
3
x x.
A.
3 4 3
5 3
4 x k
x k
x k
. B.
4 5 4 x k
x k
x k
. C.
3 4 3 x k
x k
. D.
3
5 3
4 x k
x k
.
Câu 57: Phương trình cos 2 cos sin
1 sin 2 x x x
x
có nghiệm là:
A.
4 2
8 2
x k
x k
x k
. B.
4 2
2
x k
x k
x k
. C.
3 4
2 2 2
x k
x k
x k
. D.
5 4 3
8 4
x k
x k
x k
.
Câu 58: Phương trình 1 1
2sin 3 2 cos 3
sin cos
x x
x x
có nghiệm là:
A. x 4 k
. B.
x 12 k
. C. 3
x 4 k
. D. 3
x 4 k
. Câu 59: Phương trình 2 sin 3 1 8 sin 2 .cos 22
x 4 x x
có nghiệm là:.
A. 6
5 6
x k
x k
. B. 12
5 12
x k
x k
. C.
12 2
7 2
12
x k
x k
. D. 24
5 24
x k
x k
.
4 2
1 1
2 cot2 2
x k
k
x arc k
2
1 1
2 cot2
x k
k
x arc k
4 2
1 1
arctan
2 2 2
x k
k
x k
4 2
arctan1
4 2
x k
k
x k
1 sin xcosxsin 2x0 0;
2
1 2 3 4
Câu 60: Phương trình: 4 sin .sin .sin 2 cos 3 1
3 3
x x x x
có các nghiệm là:
A.
2
6 3
2 3
x k
x k
. B. 4
3
x k
x k
. C. x 3 k2
x k
. D.
2 2
4
x k
x k
.
Câu 61: Giải phương trình
10 10 6 6
2 2
sin cos sin cos
4 4 cos 2 sin 2
x x x x
x x
.
A. xk2,
2 2
x k . B.
2
x k . C.
2
x k . D. xk ,
2 2
x k . Câu 62: Cho phương trình: sin sin 3 cos 3 3 cos 2
1 2 sin 2 5
x x x
x x
. Các nghiệm của phương trình thuộc khoảng
0; 2
là:A. 5
12 12,
. B. 5
6, 6
. C. 5
4, 4
. D. 5
3, 3
. Câu 63: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích
Phương trình có số điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 64: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Cho phương trình số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 65: Sử dụng công thức nhân ba
Cho phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 66: Sử dụng công thức các cung có liên quan đặc biệt
Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc
?
A. . B. . C. . D. .
Câu 67: Sử dụng công thức hạ bậc cao Cho các phương trình sau:
Phương trình không tương đương với một trong các phương trình còn lại là:
1 cos xcos 2xcos 3x0
2 3 4 5
cos cos 5x xcos 2 cos 4x x
3 4 6 8
cos 3x4 cos 2x3cosx 4 0
0;14
3 4 5 6
5 7
sin 2 3cos 1 2sin
2 2
x x x
2;3
4 5 6 7
8 8 2
8 8
8 8
8 8
1 sin 17 2
16 2 sin 17
32 3 sin 97
128
4 sin 2 2 1
8 x cos x cos x
x cos x x cos x
x cos x
A. . B. . C. . D. . Câu 68: Biểu diễn tổng của các đại lượng không âm
Phương trình có phương trình tương đương là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 69: Đặt ẩn phụ - công thức nhân ba
Phương trình có tổng các nghiệm trên là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 70: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Phương trình có các nghiệm là:
A. . B. . C. D. .
Câu 71: Phương pháp đánh giá
Với phương trình thì:
A. trên đoạn phương trình có 1 nghiệm.
B. trên đoạn phương trình có 2 nghiệm C. trên đoạn phương trình có 3 nghiệm.
D. trên đoạn phương trình có 4nghiệm.
Câu 72: Phương pháp hàm số
Phương trình có tổng các nghiệm trong
khoảng là:
A. . B. . C. D. .
Câu 73: Phương trình có các nghiệm dạng
. Với thì
là:
A. 0. B. . C. D. .
Câu 74: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có nghiệm
A. 0. B. . C. D. .
Câu 75: Phương trình sin 2x2 cosxcos 2xsinx là phương trình hệ quả của phương trình:
A. 1
sin( )
4 2
x
B. sin 2x0 C. 1
sin cos
x x2 D.
sin cos 1
2 x x
1
2
3
4
3
cos 2xcos 6x4 3sinx4sin x1 0
cosx0 sin 3x 1 0
cos (sin 3x x1)0 sinx 1 0
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
0; 2
9 5
9
15
10
3
10
6
4 2
sin sin sin 3 sin 2 0
2 2
x x
x x
2 ; .
xk k xk;k. x
2k1
;k. ; .x k2 k
23cos 4x cos 2xsinx 7 (*)
0; 2
0; 2
0; 2
0; 2
2 2
sin 1 2 sin cos 1 (*)
x 4 x x
0;2
0 2
4
3
1 cos xsinxcos 2xsin 2x0
1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2
x ak x b k x c k x dk 0a b c d, , , 2 a b c d
7 2
5
4
9
2
a cos 23 xcos 22 x a sin2 x0 0; ?
x 6
1 2 3
Câu 76: Giả sử k là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức 12 12 2 sin 1
k
x x đúng với (0; ) x 2
. Khi đó giá trị của k là
A. 5 B.2 C.4 D. 6
Câu 77: Có bao nhiêu giá trị của trong
0; 2
để ba phần tử của S
sin ,sin 2 ,sin 3
trùng với ba phần tử của T
cos , cos 2 , cos 3
.A. 1 B.2 C.3 D. 4
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SÓ
Câu 78: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tanxmcotx8 có nghiệm.
A. m16. B. m16. C. m16. D. m16.
Câu 79: Biến đổi phương trình cos 3xsinx 3 cos
xsin 3x
về dạng sin
ax b
sin
cx d
với b, d thuộc khoảng ; 2 2
. Tính bd.
A. .
b d 12
B. .
b d 4
C. .
b d 3
D. .
b d 2
Câu 80: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
10;10
để phương trìnhsin 3 cos 2
3 3
x x m
vô nghiệm.
A. 21. B. 20. C. 18. D. 9.
Câu 81: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cosxsinx 2
m21
vônghiệm.
A. m
; 1
1;
. B. m
1;1 .
C. m
;
D. m
;0
0;
.Câu 82: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
10;10
để phương trình
m1 sin
x m cosx 1 m có nghiệm.A. 21. B. 20. C. 18. D. 11.
Câu 83: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
2018; 2018
để phương trình
m1 sin
2 xsin 2xcos 2x0 có nghiệm.A. 4037. B. 4036. C. 2019. D. 2020.
Câu 84: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có nghiệm
A. 0. B. . C. D. .
Câu 85: Giá trị của m để phương trình cos2x
2m1 cos
x m 1 0 có nghiệm trên ;3 2 2
là
;
m a b thì a b là:
A. 0. B. 1. C. 1. D. 2.
Câu 86: Phương trình sin6xcos6x3sin cosx x m 2 0 có nghiệm khi m
a b;
thì tích a b.bằng:
A. 9
4. B. 9
2. C. 75
16. D. 15
4 . a cos 23 xcos 22 x a sin2 x0 0; ?
x 6
1 2 3
Câu 87: phương trình sin ( 1) cos
cos
m x m x m
x. Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 10 để phương trình có nghiệm là:
A. 9. B. 8. C. 10. D. 7
Câu 88: Phương trình sin 4xtanx có nghiệm dạng xk và x marc cosn k
k
thìmn bằng:
A. 3
mn 2 . B. 3
mn 2 . C. 1 3 m n 2
. D. 1 3
m n 2
.
Câu 89: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x
2m1 cos
x m 1 0có nghiệm trên khoảng ;3 2 2
.
A. 1 m0. B. 1 m0. C. 1 m0. D. 1
1 m 2
. Câu 90: Biết rằng khi mm0 thì phương trình 2sin2 x
5m1 sin
x2m22m0 có đúng 5nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;3 2
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. m 3. B. 1
m2. C. 0 3 7; . m 5 10
D. 0 3; 2 .
5 5
m
Câu 91: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
2cos 32 x 3 2 m cos 3x m 2 0 có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng ; . 6 3
A. 1 m1. B.1m2. C. 1m2. D. 1m2.
Câu 92: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin cosx xsinxcosxm0 có nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 93: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình: có nghiệm.
A. . B. . C. . D. .
Câu 94: Phương trình có tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 95: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
10;10
để phương trình
2 2