Ôn Thi Vào Lớp 10 Môn Toán Chuyên 23. HÌNH TRỤ

(1)

CHƯƠNG IV: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu Chuyên đề 23. HÌNH TRỤ

A. Kiến thức cần nhớ 1. Hình trụ:

Khi quay hình chữ nhật ABO O' một vòng quanh cạnh OO' cố định ta được một hình trụ.

- Hai đáy là hai hình tròn

 

^O ^và

 

^O^' bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song.

- Đường thẳng OO' gọi là trục của hình trụ.

- AB là một đường sinh. Đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài đường sinh là chiều cao của hình trụ.

2. Cắt hình trụ:

 Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với đáy thì mặt cắt là một hình tròn bằng hình tròn đáy.

 Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục thì mặt cắt là một hình chữ nhật.

3. Diện tích xung quanh của hình trụ:

2 ;

Sxq  Rh

2 2 2

Stp  Rh R hay Stp ²R h



R



(R là bán kính đáy; h là chiều cao).

4. Thể tích hình trụ:

. 2. . V  R h B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Từ một tấm tôn hình chữ nhật, kích thước 50cm x189cm người ta cuộn tròn lại thành mặt xung quanh của một hình trụ cao 50cm. Hãy tính:

a) Diện tích tôn để làm hai đáy;

b) Thể tích của hình trụ được tạo thành.

Giải

(2)

a) Vì chiều cao của hình trụ là 50cm nên chu vi hình tròn đáy là C189cm.

Ta có ² ¹⁸⁹ ³⁰

 

2 2

C R R C cm

 

     .

Vậy bán kính hình tròn đáy là 30cm.

Diện tích tôn để làm hai đáy là: ^S ^²^^R² ^^{2. .30}^ ² ^¹⁸⁰⁰^

 

^cm²

b) Thể tích hình trụ là: ^V ^^^{R h}² ^^^{.30 .50}² ^⁴⁵⁰⁰⁰^

 

^cm³

Nhận xét: Để trả lời hai câu hỏi của bài toán, ta cần biết bán kính của đường tròn đáy.

Muốn vậy, phải xác định cạnh nào của tấm tôn cần giữ nguyên để làm chiều cao của hình trụ, cạnh nào phải cuộn lại. Từ công thức tìm chu vi của hình tròn suy ra cách tìm bán kính.

Ví dụ 2. Một hình trụ có chiều cao là 25cm và diện tích toàn phần là 1200 cm². Tính thể tích của hình trụ đó.

Giải

Gọi bán kính đáy của hình trụ là R, chiều cao hình trụ là h.

Vì diện tích toàn phần của hình trụ là 1200 cm² nên ²^^{R h}



^^R



^¹²⁰⁰^ ^.

Suy ra ^R



²⁵^^R



^⁶⁰⁰^^R²^²⁵^R^⁶⁰⁰^⁰^.

Phương trình có hai nghiệm: R₁ 15(chọn); R₂  40 (loại).

Vậy bán kính đáy hình trụ là 15cm.

Thể tích hình trụ là: ^V ^^^{R h}² ^^^{.15 .25}² ^⁵⁶²⁵^

 

^cm³

Nhận xét: Ta đã biết chiều cao nên muốn tính thể tích hình trụ chỉ cần tìm bán kính đáy. Do đó ta tìm bán kính đáy từ công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ.

Ví dụ 3. Hình 23.3 vẽ một hình trụ với ABCD là một mặt cắt song song với trục. Diện tích mặt cắt là 96cm², AB8cm. Biết tâm O cách AB là 3cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.

(3)

Giải Mặt cắt ABCD là một hình chữ nhật.

Diện tích mặt cắt là 96cm² nên AB AD. 96cm². Suy ra ⁹⁶ ⁹⁶ ¹²

 

AD 8 cm

 AB   . Vậy chiều cao của hình trụ là 12cm.

Trong mặt phẳng đáy, vẽ OH  AB. Ta có ^HA^ ^HB^^{8 : 2}^⁴

 

^cm ^.

Xét △AOH vuông tại H có OA² OH² AH² 3² 4² 25 Suy ra OA5cm. Vậy bán kính đáy là 5cm.

Diện tích xung quanh của hình trụ là: ^S^xq ^²^^Rh^^{2. .5.12}^ ^¹²⁰^

 

^cm² ^.

Thể tích của hình trụ là: ^V ^^^{R h}² ^^^{.5 .12}² ^³⁰⁰^

 

^cm³

Nhận xét: Để xác định đúng chiều cao và bán kính đáy của hình trụ trong ví dụ này, ta dựa vào mặt cắt ABCD. Từ số đo diện tích là 96cm² và AB8cm, ta tìm ra chiều cao. Từ khoảng cách OH 3cm ta tìm được bán kính nhờ định lí Py-ta-go.

Ví dụ 4. Một hình trụ có diện tích toàn phần bằng 432 cm² và chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy.

Chứng minh rằng diện tích xung quanh bằng 10 lần diện tích đáy.

Giải

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h.

Vì chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy và diện tích toàn phần bằng 432 cm² nên ta có hệ phương trình:

 

5. (1)

2 432 (2)

h R R h R

 

 

  



Giải hệ này bằng phương pháp thế:

Thế h5R vào phương trình (2) ta được:

 

²

2R 5RR 432 R 36R 6. Giá trị R 6 bị loại.

Vậy 6

30 R h

 

 



Diện tích xung quanh của hình trụ là: ^S^xq ^²^^Rh^^{2. .6.30}^ ^³⁶⁰^

 

^cm² ^.

Diện tích đáy của hình trụ là: ^S ^^^R² ^^^.6² ^³⁶^

 

^cm² ^.

(4)

Ta thấy: 360 36 10 Sxq

S



   (lần).

Do đó diện tích xung quanh gấp 10 lần diện tích đáy.

Ví dụ 5. Cho hình trụ có bán kính đáy là 10cm và diện tích xung quanh là 420 cm². Vẽ một đường sinh PQ cố định. Lấy điểm M trên đường tròn đáy, có chứa điểm Q. Xác định vị trí của điểm M để PM lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.

Giải

Gọi bán kính hình trụ là R và chiều cao hình trụ là h. Ta có: S_xq 2Rh suy ra ⁴²⁰ ²¹

 

2 2 .10

Sxq

h cm

R



 

   .

Ta có PQ là đường sinh nên PQ21cm và PQ vuông góc với mặt phẳng đáy. Suy ra PQQM .

Xét △PQM vuông tại Q, ta có:

2 2 2 212 2 441 2

PM  PQ QM  QM  QM .

Do đó PM lớn nhất QM lớn nhất QM là đường kính QM 20cm.

Vậy max ^PM ^ ^{441 400}^ ^ ⁸⁴¹^²⁹

 

^cm ^khi^QM là đường kính của đường tròn đáy.

Lưu ý : Trong hình trụ, đường sinh vuông góc với đáy nên vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong đáy, do đó PQ QM .

Ví dụ 6. Một hình trụ có thể tích là ^{V m}

 

³ và diện tích toàn phần là ^{S m}

 

² ^{. Gọi}^R là bán kính đáy hình trụ và h là chiều cao của nó. Biết thương V

S bằng ¹

 

2 m , chứng minh rằng 1 1 h R 1. Giải

Ta có:^V ^^^{R h S}² ^; ^²^^{R h}



^^R



. Theo đề bài ta có: 1 2 V

S  . Suy ra

 

2 1 1 1

1 1

2 2

R h R h

Rh R h

R h R Rh h R



         

 .

C. Bài tập vận dụng

 Tính diện tích:

(5)

23.1. Cho hình trụ có bán kính đáy là 16cm và chiều cao bằng 30cm. Cắt hình trụ này bởi một mặt phẳng chứa trục hoặc song song với trục. Tính diện tích lớn nhất của mặt cắt.

23.2. Mặt cắt chứa trục của một hình trụ là một hình vuông. Hình trụ này có số đo diện tích xung quanh (tính bằng m²), đúng bằng số đo thể tích (tính bằng m³). Tính diện tích xung quanh của hình trụ này.

23.3. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2

5 chiều cao. Cắt hình trụ này bằng một mặt phẳng chứa trục ta được một mặt cắt có diện tích là 80cm². Tính diện tích toàn phần của hình trụ.

23.4. Một hình trụ có chiều cao bằng 3

4 đường kính đáy. Biết thể tích của nó là 768 cm³. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

23.5. Một hộp bánh hình trụ có chiều cao nhỏ hơn bán kính đáy là 1, 5cm. Biết thể tích của hộp là 850 cm3, tính diện tích vỏ hộp.

 Tính thể tích:

23.6. Một hình trụ có diện tích toàn phần gấp hai lần diện tích xung quanh. Biết bán kính đáy hình trụ là 6cm. Tính thể tích hình trụ.

23.7. Một chậu hình trụ cao 20cm. Diện tích đáy bằng nửa diện tích xung quanh. Trong chậu có nước cao đến 15cm. Hỏi phải thêm bao nhiêu nước vào chậu để nước vừa đầy chậu?

23.8. Một hình trụ có thể tích là 200cm³. Giảm bán kính đáy đi hai lần và tăng chiều cao lên hai lần ta được một hình trụ mới. Tính thể tích của hình trụ này.

23.9. Một hình chữ nhật có chu vi và diện tích theo thứ tự là 28cm và 48cm². Quay hình chữ nhật này một vòng quanh một cạnh cố định để được một hình trụ. Tính thể tích lớn nhất của hình trụ này.

23.10. Một viên than tổ ong có dạng hình trụ, đường kính đáy là 114mm, chiều cao là 100mm. Viên than này có 19 lỗ “tổ ong” hình trụ có trục song song với trục của viên than, mỗi lỗ có đường kính 12mm. Tính thể tích nhiên liệu đã được nén của mỗi viên than (làm tròn đến cm³).

23.11. Một cây gỗ hình trụ có đường kính đáy là 4dm và dài 5m. Từ cây gỗ này người ta xẻ thành một cây cột hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông lớn nhất. Tính thể tích phần gỗ bị loại bỏ đi.

23.12. Hai mặt của một cổng vòm thành cổ có dạng hình chữ nhật, phía trên là một nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của cổng. Biết chiều rộng của cổng là 3, 2m, chiều cao của cổng

(6)

(phần hình chữ nhật) bằng 2,8m và chiều sâu của cổng bằng 3, 0m. Tính thể tích phần không gian bên trong cổng (làm tròn đến phần mười m³).

23.13. Một hình lăng trụ đứng có đáy là một tam giác vuông, hai cạnh góc vuông dài 12cm và 5cm. Biết thể tích hình lăng trụ đứng này là 90cm³, tính thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ nói trên.

 Tính độ dài, tính tỉ số:

23.14. Một hình trụ có thể tích bằng 125 cm³. Biết diện tích xung quanh bằng hai lần diện tích đáy. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ này.

23.15. Hình bên vẽ một hình trụ, bán kính đáy 9cm, chiều cao 24cm. Biết AB và CD là hai đường sinh sao cho AOC128⁰. Điểm K trên CD sao cho

4

CK  cm. Một con kiến bò từ B đến K. Tính độ dài ngắn nhất mà kiến phải bò (làm tròn kết quả đến cm).

23.16. Hình bên vẽ một hình trụ nội tiếp trong một hình hộp chữ nhật.

Chứng minh rằng tỉ số giữa thể tích của hình trụ với thể tích hình hộp chữ nhật đúng bằng tỉ số giữa diện tích xung quanh của hình trụ với diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật.

HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 23.1.

Khi cắt hình trụ bởi một mặt phẳng chứa trục hoặc song song với trục thì mặt cắt là một hình chữ nhật.

Diện tích mặt cắt là : ^S ^ ^{AB AD}^. ^^30.^{AB cm}

 

²

S lớn nhất  AB lớn nhất.

 AB là đường kính AB32cm. Khi đó max ^S ^^30.32^⁹⁶⁰

 

^cm² ^.

23.2.

(7)

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h. Ta có: ^S^xq ^²^^{Rh m}

 

² ^;^V ^^^{R h m}²

 

³ ^.

Theo đề bài các số đo của S_xq và V bằng nhau nên

 

2RhR h2 R2 m

Vì mặt cắt chứa trục là hình vuông nên ^h^²^R^⁴

 

^m ^.

Do đó: ^S^xq ^²^^Rh^^{2. .2.4}^ ^¹⁶^

 

^cm²

Lưu ý: Vì mặt cắt chứa trục là hình vuông nên đường sinh bằng đường kính đáy.

23.3. Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h.

Mặt cắt chứa trục là một hình chữ nhật có một cạnh là 2R và cạnh kề là h.

Theo các điều kiện trong đề bài ta có:

2 (1)

5

2 . 80 (2)

R h

R h

 

 



Thế R từ (1) vào (2) ta được: 2

2. . 80

5h h hay 4h² 400  h 10. Giá trị h 10 bị loại. Vậy chiều cao của hình trụ là 10cm.

Bán kính đáy là ^10.² ⁴

 

R 5  cm .

Diện tích toàn phần của hình trụ là: ^S^tp ^²^^{R h}



^^R



^^{2 .4 10}^



^⁴



^¹¹²

 

^cm² ^.

23.4. Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là R và h. Vì chiều cao bằng 3

4 đường kính nên chiều cao bằng 3

2 bán kính đáy.

Vậy 3 h 2R.

Ta có V R h² mà 3

h 2R nên ² 3 3 ³ .2 2 V R R R .

Theo đề bài ta có: ³ ³ ⁷⁶⁸ ³ ⁵¹² ³⁵¹² ⁸

 

2R   R  R  cm

Vậy ^8.³ ¹²

 

h 2  cm .

Do đó diện tích xung quanh của hình trụ là: ^S^xq ^²^^Rh^^{2. .8.12}^ ^¹⁹²^

 

^cm² ^.

23.5. *Tìm hướng giải

Diện tích vỏ hộp chính là diện tích toàn phần của hình trụ. Tìm được bán kính đáy sẽ tìm được chiều cao do đó sẽ tìm được diện tích toàn phần.

(8)

*Trình bày lời giải

Gọi R và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hộp bánh hình trụ.

Ta có: h R 1, 5.

Vì thể tích của hộp là 850 cm³ nên R h² 850.

Suy ra ^R²



^R^^1,5



^⁸⁵⁰^^R³^^{1, 5}^R²^⁸⁵⁰^{ }⁰ ²^R³^³^R²^¹⁷⁰⁰^⁰

     

   

3 2 2

2

2 20 17 170 170 1700 0

2 10 17 10 170 10 0

10 2 17 170 0

10 0 (1)

2 17 170 0 (2)

R R R R R

R R R R R

R R R

R

R R

      

    

  

   



Phương trình (1) có nghiệm R10 (thỏa mãn).

Phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy bán kính đáy hộp là 10cm

Chiều cao của hộp là: ^{10 1,5}^ ^^{8, 5}

 

^cm

Diện tích vỏ hộp là : S ²R h



R



2. .10 8, 5 10







370

 

cm² 23.6. Gọi bán kính đáy hình trụ là R và chiều cao hình trụ đó là h.

Vì diện tích toàn phần bằng hai lần diện tích xung quanh nên 2Rh2R² 4Rh Suy ra 2R² 2RhR h 6cm.

Thể tích của hình trụ là: ^V ^^^{R h}² ^^^{.6 .6}² ^²¹⁶^

 

^cm³

23.7. Gọi R là bán kính đáy chậu và h là chiều cao của chậu.

Vì diện tích đáy bằng nửa diện tích xung quanh nên ² 1 2.2

R Rh

  

20 R h cm

   .

Thể tích của chậu là: ^V ^^^{R h}² ^^^{.20 .20}² ^⁸⁰⁰⁰^

 

^cm³

Thể tích nước trong chậu là: ^V¹ ^^^{R h}² ^^^{.20 .15}² ^⁶⁰⁰⁰^

 

^cm³

Thể tích nước phải thêm vào chậu là: ^V² ^{ }^V ^V¹ ^⁸⁰⁰⁰^ ^⁶⁰⁰⁰^ ^²⁰⁰⁰^

 

^cm³ ^.

23.8. Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là R và h. Thể tích của hình trụ này là: V₁R h²

(9)

Nếu giảm bán kính đáy đi hai lần và tăng chiều cao lên hai lần thì bán kính đáy là 2 R và

chiều cao là 2h.

Thể tích hình trụ về sau là: 2 ²

 

²

 

³

. . 2 200 100

2 2 2

R R h

V  ^{ }  h    cm

  .

23.9. Gọi độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật là x và y



^x^{ }^y ⁰



^.

Theo đề bài ta có : 14 8

48 6

x y x

xy y

  

 

   

 

Quay hình chữ nhật một vòng quanh cạnh 8cm thì được một hình trụ có chiều cao là 8cm và bán kính đáy là 6cm. Thể tích của hình trụ này là : V1R h1² 1.6 .8² 288

 

cm³

Quay hình chữ nhật một vòng quanh cạnh 6cm thì được một hình trụ có chiều cao là 6cm và bán kính đáy là 8cm. Thể tích của hình trụ này là : ^V² ^^^{R h}²² ² ^^^{.8 .6}² ^³⁸⁴^

 

^cm³

Vì 384 288 nên thể tích lớn nhất của hình trụ này là 384 cm³.

Nhận xét : Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh cạnh ngắn thì được một hình trụ có thể tích lớn hơn thể tích hình trụ tạo thành khi quay theo cạnh dài.

23.10. Thể tích viên than (kể cả 19 lỗ) là: ^V¹^^^{R h}¹² ^^^{.57 .100}² ^^1020186



^mm³



^¹⁰²⁰

 

^cm³

Thể tích 19 lỗ “tổ ong” là : V² ¹⁹R h²² 19. .6 .100 ² 214776



mm³



215

 

cm³ .

Thể tích nhiên liệu đã được nén của mỗi viên than là: ^V ^^V¹^^V² ^¹⁰²⁰^²¹⁵^⁸⁰⁵

 

^cm³

23.11. Thể tích cây gỗ hình trụ là:

 

2 2 3

1 3,14.2 .50 628 V R h  dm

Diện tích đáy hình vuông của hình lăng trụ đứng là:

 

2 2

2 4 2

2 2 8

S  AB  AC   dm

Thể tích hình lăng trụ đứng là: ^V² ^^{S h}^. ^^8.50^⁴⁰⁰

 

^dm³ ^.

Thể tích phần gỗ bị loại bỏ đi là:

 

³

1 2 628 400 228

V V V    dm .

23.12. Phần không gian bên trong cổng gồm một hình hộp chữ nhật và một nửa hình trụ.

Thể tích phần hình hộp chữ nhật là: V¹ 3, 2.2,8.3, 026, 9

 

m³

(10)

Thể tích phần nửa hình trụ là: 2 ²

 

²

 

³

1 1

. . . .3,14. 1, 6 .3, 0 12,1

2 2

V   R h  m

Thể tích phần không gian bên trong cổng là:

 

³

1 2 26,9 12,1 39, 0 V V V    m . 23.13.

Xét đáy của hình lăng trụ đứng là tam giác ABC vuông tại A. Ta có ^AB^¹²^{cm AC}^, ^⁵^{cm BC}^, ^ ¹²²^⁵² ^¹³

 

^cm

Nửa chu vi của tam giác là : ¹² ^{5 13} ¹⁵

 

P  2  cm

Diện tích tam giác ABClà : ^S¹ ^ ¹₂^.^{AB AC}^. ^ ¹₂^.12.5^³⁰

 

^cm²

Diện tích tam giác ABC còn được tính theo công thức : S₁  pr (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác).

Suy ra ¹ ³⁰ ²

 

15

r S cm

 p  

Gọi h là chiều cao của hình lăng trụ đứng (cũng là chiều cao của hình trụ).

Ta có thể tích của hình lăng trụ đứng là : V1S h1. 30h cm

 

³

Thể tích của hình trụ là : ^V² ^^^{r h}² ^⁴^{rh cm}

 

³

Vậy ¹ ²

 

³

2 2

30 90 30

4 4 12

V h

V cm

V h V 

 

    

Vậy thể tích hình trụ nội tiếp là ¹²^

 

^cm³ ^.

23.14. Gọi R và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Vì diện tích xung quanh bằng hai lần diện tích đáy nên ta có : 2Rh2R²  h R Theo đề bài, thể tích hình trụ bằng 125 cm³ nên R h² 125.

Suy ra R³ 125 (vì hR). Do đó : R³ 125R5cm Vậy h5cm.

23.15.

Gọi bán kính hình trụ là R. Độ dài của cung nhỏ AC là:

3,14.9.128

 

20, 096 20

180 180

l Rn cm

   

(11)

Cắt mặt xung quanh của hình trụ theo đường sinh AB rồi trải phẳng ra ta được một hình chữ nhật (h.23.12).

BK trên mặt xung quanh của hình trụ có dạng cong nhưng sau khi trải phẳng ra ta được đoạn thẳng BK.

Xét △HBK vuông tại H ta có : BK² BH² HK² 20²20² 800 Do đó : BK 800 28cm

Vậy độ dài ngắn nhất mà kiến phải bò là 28cm. 23.16.

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h. Khi đó hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh 2R và chiều cao là h.

Thể tích hình trụ là: V₁ R h² .

Thể tích hình hộp chữ nhật là: V2 

 

2R ²h4R h² . Diện tích xung quanh của hình trụ là: S₁ 2Rh.

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là: S₂ 8Rh. Ta có :

2 1

2 2 1 2

4 (1) 4

2 (2)

8 4

V R h V R h

S Rh

 

 

Từ (1) và (2) suy ra ¹ ¹

2 2

V S V  S .

Nhận xét : Ta còn có thể chứng minh được tỉ số giữa diện tích toàn phần của hình trụ với diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật cũng bằng

4

 .

Thật vậy :

Diện tích toàn phần của hình trụ là : S3 2R h



R



.

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là: S4 8Rh2 2

 

R ² 8R h



R



Do đó :

 

3 4

2

8 4

R h R S

S R h R

 ^ 

 

 .

(12)