ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Môn: Toán 8

(1)

TRƯỜNG THCS ĐẠI TỰ

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Môn: Toán 8

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ BÀI

Bài 1 (1 điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x

⁴

+1- 2x

²

b) - x

²

- 28x - 27 Bài 2 (2 điểm)

Giải phương trình

a)

^{    }^{2 3}^x ^{4 2 0}

b)

¹ ² ₃² ⁵ ₂ ⁴

1 1 1

x

x x x x

  

   

Bài 3 (1điểm)

Với giá trị nào của x thì

¹ ⁰

1 x x

 



. Bài 4 (2 điểm)

Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng

²

3

ngưới thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc.

Bài 5 (3,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD, M là điểm bất kì trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hình vuông AMHN.Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, cắt DC ở F.

a) Chứng minh rằng: BM = ND.

b) Chứng minh rằng: N; D; C thẳng hàng.

c) EMFN là hình gì?

d) Chứng minh: DF + BM = FM và chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi vị trí trên BC.

Bài 6: (0,5điểm) Cho

^x ¹ ³

 x

. Tính giá trị của biểu thức

^{A x}³ ¹₃

 x

---Hết---

(2)

ĐÁP ÁN

Bài Nội dung Điểm

Bài 1 a/ x⁴ -1 + 2x²= (x²-1)² = [(x-1)(x+1)]²

b/- x²- 28x – 27 = -(x²+ x + 27x + 27) = -[x(x+1) + 27(x+1)]

= -(x+1)(x+27)

0.5đ 0.5đ Bài 2 a/^{    }^{2 3}^x ^{4 2 0}

3x 4 1

     (vô lí)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm b/

2

3 2

1 2 5 4

1 1 1

x

x x x x

  

    (1) ĐKXĐ: x ^1

(1)

2 2

3 3 3

1 2 5 4( 1)

1 1 1

x x x x

x x x

   

  

  

2 2

3 3 3

1 2 5 4( 1)

1 1 1

x x x x

x x x

   

  

  

3x² -3x = 0 ^ 3x(x – 1) = 0 0

1 0 x x

 

   

0 1( ) x

x loai

 

   Vậy S =

 

⁰

1đ

Bài 3

+ 1 1 0 x x

  

 x- 1>0 và x+1>0 ^x>1 và x>-1^ x>1 + 1

1 0 x x

  

 x- 1<0 và x+1<0 x<1 và x<-1 x<-1 Vậy x>1 hoặc x<-1

C2: x - 1 = 0 => x = 1 x + 1 = 0 => x = -1 Ta có bảng xét dấu

x -1 1

x - 1 - - 0 + x + 1 - 0 + +

1 1 x x





+ - + Vậy x >1; x< -1

1đ

Bài 4 Giải

Gọi x (ngày) thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc (x>0).

Một ngày người thứ nhất làm được ¹

x(công việc) Một ngày người thứ hai làm được ²

3x (công việc) Một ngày hai người làm chung được ¹

x + ²

3x (công việc) Theo bài toán ta có phương trình ¹

x + ²

3x = ¹

12 ^ x = 20 Vậy người thứ nhất làm xong trong 20 ngày

Vậy người thứ nhất làm xong trong 30 ngày

2đ

Bài 5

(3)

a) ABCD là hình vuông ( gt) A1 + MAD = 90⁰ ( gt) (1) Vì AMHN là hình vuông ( gt) ^ A2 + MAD = 90⁰ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: A1 = A2

Ta có: AND AMB ( c.g.c) ^ B = D1 = 90⁰ và BM= ND

b) ABCD là hình vuông =>D2 = 90⁰ ^ D1 + D2 = NDC^ 90⁰ + 90⁰ = NDC

 NDC = 180⁰ ^ N; D; C thẳng hàng

c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AH và MN của hình vuông AMHN

 O là tâm đối xứng của hình vuông AMHN

 AH là đường trung trực của đoạn MN, mà E;F



AH

 EN = EM và FM = FN (3)

Tam giác vuông EOM = tam giác vuông FON ( OM= ON; N1=M3)  O1 = O2

EM = NF (4)

Từ (3) và (4)  EM=NE=NF=FM MENF là hinh thoi (5) d) Từ (5) suy ra: FM = FN = FD +DN

Mà DN = MB ( cmt) ^ MF=DF+BM

Gọi chu vi tam giác MCF là p và cạnh hình vuông ABCD là a P = MC + CF + MF = MC +CF +BM + DF (Vì MF = DF+MB)

= (MC + MB) + ( CF + FD) = BC + CD = a + a = 2a

Hình vuông ABCD cho trước ^ a không đổi ^ p không đổi

0.25đ

1đ

0,75đ

0,5đ

Bài 6 ³

3 3

3

1 1 1

3. 3 3.3 18

A x x x

x x x

   

           ^0,5đ

N D F C

M A

d

H O

E

B

1

3

2 2

1 2 1