Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 22 có đáp án chi tiết | Bài tập Toán 8

(1)

PHIẾU HỌC TẬP TOÁN 8 TUẦN 22

Đại số 8 : Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Hình học 8: Tính chất đường phân giác của tam giác Bài 1: Giải các phương trình sau

a) ⁴ ⁵ 3

1 2

x − x = −

− − b) 3 ¹ ¹

2 2 x x

x x

− = −

− −

c) ₂ ⁴ ₂ ¹ ₂² ⁵

3 2 4 3 4 3

x x x

x x x x x x

+ + + = +

− + − + − + d)

( ) ( )

2

2 1 4

2 2 0

4

x

x x x x

x

− + − =

− +

−

e) ₂ ⁴ 1 6 ¹ ¹

3 2 2 4 3

x

x x

 

− =  + − + 

+ +   f)

(

³

)

¹⁵ ² ⁷

4 x 5 +50 2x = 6x 30

− − +

g)

2

3 2

1 2 5 4

1 1 1

x

x x x x

+ − =

− − + + h)

( )

2 2

12 1 9 5 108 36 9

6 2 3 1 4 9 1

x x x x

x x x

+ − − = − −

− + −

i) x ¹ x² ¹₂

x x

+ = + j) ¹_x ^{+ =}² ^^_¹_x ⁺²^^_

(

^x² ⁺²

)

Bài 2: Cho ABC có AB=6 cm AC, =9 cm BC, =10 cm, đường phân giác trong AD, đường phân giác ngoài AE.

a) Tính DB DC EB, , .

b) Đường phân giác CF của ABC cắt AD ở I . Tính tỉ số diện tích DIFvà diện tích

ABC.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân ở A, phân giác trong BD BC, =10 cm AB, =15 cm. Tính ,

AD DC.

Bài 4: Cho tam giác ABC có 3 phân giác trong AM BN CP, , cắt nhau tại I . Chứng minh a) AP BM CN 1

AP BC  CA = b) MI NI PI 1

MA+ NB + PC =

(2)

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

a) ⁴ ⁵ 3

1 2

x − x = −

− −

Điêu kiện: ^{1 0} ¹

2 0 2

x x

 −   

 −   



Mẫu chung:

(

^x⁻¹

)(

^x⁻²

)

Phương trình (1) trở thành

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )

4 2 5 1 3 1 2

1 2 2 1 1 2

x x x x

x x x x x x

− − − − −

− =

− − − − − −

( ) ( ) ( )( )

4 x 2 5 x 1 3 x 1 x 2

 − − − = − − −

(

²

)

4x 8 5x 5 3 x 3x 2

 − − + = − − +

3 3 2 9 6

x x x

 − − = − + − 3x2 10x 3 0

 − + =

3x2 9x x 3 0

 − − + =

( ) ( )

3x x 3 x 3 0

 − − − =

(

^x ^{3 3}

)(

^x ¹

)

⁰

 − − =

( )

3 0 3 tm

3 1 0 1 ( )

3 x x

x x L

=

− = 

 

 − =  =

(nhận)

Vậy ¹;3

S = 3 

 

b) 3 ¹ ¹

2 2 x x

x x

− = −

− −

Điều kiện: x−   2 0 x 2 Mẫu chung: x−2

Phương trình (2) trở thành ³

(

²

)

1

(

¹

)

2 2 2

x x x

x x x

− − −

− =

− − −

( ) ( )

3x x 2 1 x 1

 − − = − − 3x2 6x 1 x 1 0

 − − + − = 3x2 5x 2 0

 − − =

(3)

3x2 6x x 2 0

 − + − =

( ) ( )

3x x 2 x 2 0

 − + − =

(

^x ^{2 3}

)(

^x ¹

)

⁰

 − + =

( ) ( )

2 0 2

3 1 0 1 tm

3

x L

x

x x

=

− = 

 

 + =   = −

Vậy ¹

S =   −3

 

c) ₂ ⁴ ₂ ¹ ₂² ⁵

3 2 4 3 4 3

x x x

x x x x x x

+ + + = +

− + − + − +

(

^x ¹^x

)(

⁺^x⁴ ²

) (

^x ¹^x

)(

⁺^x¹ ³

) (

^x ²¹^x

)(

⁺^x⁵ ³

)

⁽³⁾

 + =

− − − − − −

Điều kiện

1 0 1

2 0 2

3 0 3

x x

 −   

 −   

 

 −   



( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )( )( )

4 3 1 2 2 5 2

1 2 3 1 3 2 1 3 2

x x x x x x

x x x x x x x x x

+ − + − + −

+ =

− − − − − − − − −

(

^x ⁴

)(

^x ³

) (

^x ¹

)(

^x ²

) (

²^x ⁵

)(

^x ²

)

 + − + + − = + −

2 2 2

12 2 2 10

x x x x x x

 + − + − − = + − 4

 − =x 4

 = −x (nhận) Vậy ^S ^{= −}

 

⁴

d) ²² 4

(

¹ ²

) (

⁴²

)

⁰

(

²

)(

² ²

) (

¹ ²

) (

⁴²

)

⁰

x x

x x x x x x x x x x

x

− −

− + =  − + =

− + − + − +

− (4)

Điều kiện:

0 0

2 0 2

x x

   

 +    −

 

 −   



Mẫu chung: ^{x x}

(

⁺²

)(

^x⁻²

)

(4)

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )

1 2 4 2

2 0

2 2 2 2 2 2

x x x

x

x x x x x x x x x

+ − −

− + =

− + − + + −

( ) ( )( )

2

2 2

2 2 4 2 0

2 2 6 8 0

5 6 0 2 3 6 0

( 2) 3( 2) 0 ( 2)( 3) 0

2 0 2

3 0 3

x x x x

x x x x x

x x x

x x

 − + + − − =

 − − + − + =

 − + =  − − + =

 − − − =

 − − =

 − =  =

 − =  =

Vậy ^S ⁼

 

³

e) ₂ ⁴ 1 6 ¹ ¹ ⁴ 1 6 ¹ ¹

3 2 2 ( 1)( 3) 3 2( 1)

4 3

x x

x x x x x x

x x

 

− =  + − +  + + − =  + − + 

+ +     (5)

Điều kiện: ^{1 0} ¹

3 0 3

x x

 +    −

 +    −



Mẫu chung: ²

(

^x⁺¹

)(

^x⁺³

)

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( )

( )

2 2 2

2 1 3 1 1 .2 1 3

4.2 6

2 1 3 2 1 3 3 1 .2 2 1 3

4.2 2 1 3 6 2 1 ( 3

8 2 4 3 6 2 2 3

8 2 8 6 6 1

2 6 0 2 3 0

0 0 (t/m)

3 0 3 ( )

x x x x

x

x x x x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x L

 

+ + + +

− =  − 

+ + + +  + + + + 

 − + + = + − +

 − + + = + − −

 − − − = −

 − − =  − + =

 =  =

 + =   = −

Vậy ^S ⁼

 

⁰

(

³

)

¹⁵ ² ⁷

(

³

) ( 215 ) 7

4 x 5 50 2x 6x 30 4 x 5 2 x 25 6(x 5)

+ =  − =

− − + − − +

( )( ) ( )

3 15 7

4(x 5) 2 x 5 x 5 6 x 5

 − =

− − + + (6)

(5)

Điều kiện: ⁵ ⁰ ⁵

5 0 5

x x

 +    −

 −   



Mẫu chung: ¹²

(

^x⁺⁵

)(

^x⁻⁵

)

( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

3.3 5 15.6 7.2 5

4.3 5 5 2 5 5 6 5 .2 5

x x

x x x x x x

+ −

− =

+ − − + + −

( ) ( )

9 5 15.6 14 5 9 45 90 14 70

5 25

x x

x

 + − = −

 + − = −

 − = −

5

 =x (loại) Vậy S = { } g)

2

3 2

1 2 5 4

1 1 1

x

x x x x

+ − =

− − + +

( ) ( )

2 2 2

1 2 5 4

1 1 1 1(7)

x

x x x x x x

 + − =

− − + + + +

Điều kiện: x−   1 0 x 1 vì x²+ +  x 1 0 x Mẫu chung:

(

^x⁻¹

) (x2 + +x 1)

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( )

2 2

2 2 2

2 2

2

1 1 2 5 4 1

1 1 1 1 1 1

1 2 5 4 4

3 3 0

3 ( 1) 0 0 0 tm

1 0 1

x x x x

x x x x x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x L

+ + + − = −

− + + − + + + + −

 + + + − = −

 − =

=

= 

 − =   =

Vậy S={0}

h)

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2

2

12 1 9 5 108 36 9 12 1 9 5 108 36 9

6 2 3 1 4 9 1 2 3 1 3 1 4 3 1 3 1 8

x x x x x x x x

x x x x x x x

+ − − = − −  + − − = − −

− + − − + − +

(6)

Điều kiện:

1

3 1 0 3

3 1 0 1

3 x x

x x

 

 −  

 +   −

  



Mẫu chung: ^{4 3}

(

^x⁺^{1 3}

)(

^x⁻¹

)

( )( )

( )( ) ( )( )

2 12 1 3 1 4 9 5 3 1 108 36 2 9 2.2 3 1 3 1 4 3 1 3 1 4 3 1 3 1

x x x x x x

+ + − − − = − −

+ − + − − +

( )( ) ( )( )

( ) ( )

2

2 2 2

2 12 1 3 1 4 9 5 3 1 ) 108 36 9

2 36 15 1 4 27 24 5 108 36 9 0

72 30 2 108 96 20 108 36 9 0

18 9 0

x x x x x x

x

 + + − − − = − −

 + + − − + − + + =

 + + − + − − + + =

 − =

9 1

18 2

x x

 =  = (nhận)

Vậy ¹

S =   2

  i)

2 2

1 1 1 1 1 1 1

2 . 2 0

x x x x x x x

     

+ = +  + = +  −  +  − + − = Điều kiện: x0

Đặt x ¹ t,

+ =x phương trình (9) trở thành

( ) ( )

( )( )

2 2

2 0

2 2 0

1 2 1 0

2 1 0

2 0 2

1 0 1

t t

t t t

t t t

t t

− − =

 + − − =

 + − + =

 − + =

 − =  =

 + =   = −

Với t =2,ta có x ¹ 2 x² 1 2x x² 2x 1 0 + = x + =  − + =

(

^x ¹

)

² ⁰ ^x ^{1 0} ^x ¹

 − =  − =  = (nhận)

(7)

Với t = −1, ta có x ¹ 1 x² 1 x x² x 1 0 + = − x + = −  + + = 1 2 3

2 4 0

x 

 +  + = (vô nghiệm)

vì

1 2 3 2 4 0

x x

 +  +  

 

 

Vậy ^S ⁼

 

¹

j) ¹_x ^{+ =}² ^^_¹_x ⁺²^^_

(

^x² ⁺²

)

^{ + −}¹_x ² ^^_¹_x ⁺²^^_

(

^x² ⁺²

)

⁼⁰

Điều kiện: x0

( )

2

1 1

2 2 2 0

1 2 1 2 0

1 2 1 0

1 1

2 1 0 2 0

x x x

x x

x x x

   

 +  − +  + =

   

 

 +  − − =

 

 +  − − =

 

 − +  + =  + =

Vì

(

^x² ^{+    +}¹

)

⁰ ^x ^{1 2}^x⁼⁰

1 x −2

 =

Vậy ¹

S =   −2

  Bài 2:

Ta có: ⁶ ²

9 3 BD AB

CD = AC = = (do AD là phân giác trong của ABC)

10 6 9

E

B D C

A

(8)

2 BD 3 DC

 = 

Mà BD+DC=BC=10 (do D nằm giữa B và C)

2 5

10 10 6 4

3DC DC 3DC DC cm BD cm

 + =  =  =  =

Ta có: CE=BE+BC =BE+10 (do B nằm giữa E và C)

Và ²

3 BE AB

CE = AC = (do AE là phân giác ngoài của ABC)

( )

2 3 2 10 20

10 3

BE BE BE BE cm

 BE =  = +  =

+

Vậy BD=4 cm DC, =6 cm BE, =20 cm Bài 3:

15 10 10 DA DC BA BC AC

DC BC DC

+ = +  = +

10. 10.15

6( )

25 25

DC AC cm

 = = =

Ta có DA+DC =AC AD= AC−DC =15 6− =9( cm) Bài 4:

a) Ta có AM là phân giác của góc A

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có MB AB

MC = AC

Tương tự đối với các đường phân giác BN CP, ta có NC BC PA; CA NA = BA PB =CB

Do đó MB NC PA AB BC CA 1

MC NA PB  = AC BA CB  = Vậy AP BM CN 1

AP BC  CA =

b) Gọi a b c, , lần lượt là độ dài của các cạnh BC CA AB, , Trong ABM thì BI là phân giác ứng với cạnh AM nên

MI BM BM MI BM MI BM

IA = BA = c  MI IA= BM c  MA = BM c

+ + + (1)

(9)

Trong ACM thì CI là phân giác ứng với cạnh AM nên

MI CM CM MI CM MI CM

IA = CA = b  MI IA=CM b MA =CM b

+ + +

Mà CM =BC−BM = −a BM. Nên ^MI ^a ^BM MA a BM b

= −

− + (2)

So sánh (1) và (2) ta có ^MI ^BM ^a ^BM ^BM ^a ^BM

MA BM c a BM b BM c a BM b

− + −

= = =

+ − + + + − +

MI a

MA a b c

 =

+ +

Chứng minh tương tự ta có ^NI ^b BN = a b c

+ +

PI c

CP = a b c + +

Suy ra MI NI PI a b c a b c 1

MA BN CP a b c a b c a b c a b c

+ + = + + = + + =

+ + + + + + + +

Vậy MI NI PI 1

MA+ NB + PC =