Phương trình bậc nhất hai ẩn

(1)

1 I – LÝ THUYẾT

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn.

Có dạng ax by c a b c ( , , , a²b² 0).

Cặp số ( ;x y₀ ₀)gọi là nghiệm của phương trình ax by cnếu ( ;x y₀ ₀)thỏa mãn phương trình ax by c.

Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ax by c trong mặt phẳng Oxylà một

đường thẳng : a c

d ax by c y x

b b

     . 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Có dạng ¹ ¹ ¹

2 2 2

a x b y c a x b y c

 



  



với ,x ylà ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.

Biểu diễn hình học của tập nghiệm:

Nghiệm ( ; )x y của hệ ( )I là tọa độ điểm M x y( ; ) thuộc cả 2 đường thẳng:

1 1 1 1

( ) :d a x b y c và (d₂) :a x b y₂  ₂ c₂.

 Hệ ( )I có nghiệm duy nhất ( )d₁ và (d₂) cắt nhau ¹ ¹

2 2

a b

 

 Hệ ( )I vô nghiệm ( )d₁ và (d₂) song song với nhau ¹ ¹ ¹

2 2 2

a b c

  

 Hệ ( )I có vô số nghiệm ( )d₁ và (d₂) trùng nhau ¹ ¹ ¹

2 2 2

a b c

  

3. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Có dạng:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

  



   



   



với , ,x y z là ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.

Cách giải: Giải bằng phương pháp cộng đại số hoặc bằng phương pháp thế.

II – DẠNG TOÁN

1. Dạng 1: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp giải: Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ax by c trong mặt phẳng Oxylà một đường thẳng d ax by:  c. Vẽ đường thẳng d ax by:  c đi qua hai điểm (0; ), ( ; 0)c c

A B

b a thì d là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ax by c.

A. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

(2)

2 A. xy– 20. B. xy 2 0. C. 2xy20. D. 2xy– 20. Lời giải

Chọn D.

Cách 1: Giải theo tự luận

Gải sử đường thẳng có phương trình yax b . Đường thẳng đi qua 2 điểm (1; 0), (0; 2) nên tọa độ 2 điểm này thỏa mãn phương trình. Từ đó ta có hệ 0 2

2 2

a b a

b b

  

 

 

   

 

Vậy đường thẳng có phương trình: y2x 2 2x  y 2 0 Ta chọn đáp án D.

Cách 2: Giải theo phương pháp trắc nghiệm:

Nhận thấy đường thẳng đi qua 2 điểm (1; 0), (0; 2) , ta thay tọa độ 2 điểm vào mỗi phương trình, phương trình nào thỏa mãn thì đó là đáp án cần chọn.

Thay điểm (1; 0) vào đáp án A, ta được: 1 0 không thỏa mãn. Loại A, tương tự ta loại B và C. Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

A. 3x2y60. B. 3x2y 6 0. C. 3 x2y60. D. 3x2y 3 0. Lời giải

Chọn A.

Cách 1: Giải theo tự luận y

-2 0 1

x y

3

-2 O

(3)

3 nên tọa độ 2 điểm này thỏa mãn phương trình. Từ đó ta có hệ

2 0 3

3 2

3

a b a

b b

    

 

 

   

Vậy đường thẳng có phương trình: 3

3 3 2 6 0

y2x  x y 

Ta chọn đáp án A.

Cách 2: Giải theo phương pháp trắc nghiệm:

Nhận thấy đường thẳng đi qua 2 điểm ( 2; 0), (0;3) , ta thay tọa độ 2 điểm vào mỗi phương trình, phương trình nào thỏa mãn thì đó là đáp án cần chọn.

Thay điểm ( 2; 0), (0;3) vào đáp án A: thỏa mãn. Chọn đáp án A.

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN NHẬN BIẾT.

Câu 1: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

A. x2 – 2y 0. B. x2y20. C. 2xy20. D. 2xy– 20. Câu 2: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

A. x2y 0. B. x2y0. C. 2xy0. D. 2xy0. Câu 3: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

x y

-1 2 0

x y

1 -1 2 0

(4)

4 A. 2x5y 1 0. B. 2x5y 1 0. C. 2x5y 1 0. D. 2 x5y 1 0. 2. Dạng 2: Xác định được nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp giải: Cặp số ( ;x y₀ ₀)là nghiệm của phương trình ax by c nếu

0 0

ax by cthỏa mãn.

A. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cặp số nào sau đây là một nghiệm của phương trình 3x2y 6 0? A. 3

1;2

 

 

 

. B.



^{ }^{2; 6}



^. ^C.



^{3; 2}^



^. ^D.



^{2; 6 .}



Lời giải Chọn B.

Lấy các cặp số lần lượt thay vào phương trình, cặp số nào thỏa mãn thì đó là nghiệm của phương trình.

Ví dụ 2: Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình 2x5y 3 0? A. 5

0;3

 

 

 . B.

 

^{1;1 .} ^C. ³^{; 0}

2

 

 

 . D.



^{6;3 .}



Lời giải Chọn A.

Lấy các cặp số lần lượt thay vào phương trình, cặp số nào không thỏa mãn thì đó không phải là nghiệm của phương trình.

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN NHẬN BIẾT.

Câu 1: Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình x2y 3 0?

A. 3

0; 2

  

 

 

. B.

 

^{1;1 .} ^C.



^{5;1 .}



^D.



^{3; 3}^



^.

Câu 2: Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình 1 0

2 3

x y

   ?

A.



^{0;3 .}



^B.



^{2; 3 .}



^C.



^{2; 0 .}



^D.



^{ }^{2; 3}



^.

x y

-3 1

-1 2 0

(5)

5 A. 1 1

4 5;

 

 

 . B. 1 1

4 5;

 

 

 . C. 1 1

4 ; 5

 

 

 

 . D. 1 1

4 5;

  

 

 . Câu 4: Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình xy 2?

A.



x0; 2 x0



. B.



x02;x0



. C.



 2 x x0; 0



. D.



 1 x0;1x0



. 3. Dạng 3: Giải hệ phương trình hai ẩn với hệ số tường minh

Phương pháp giải:

Tự luận: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế, hoặc định thức Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ax by c trong mặt phẳng Oxylà một đường thẳng d ax by:  c. Vẽ đường thẳng d ax by:  c đi qua hai điểm

(0; ), ( ; 0)c c

A B

b a thì d là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ax by c. A. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Nghiệm của hệ: 2 1

3 2 2

x y

  



 



là:

A.



²^^{2; 2 2}^^{3 .}



^B.



²^^{2; 2 2}^^{3 .}



C.



²^ ^{2; 3 2 2 .}^



^D.



²^ ^{2; 2 2}^^{3 .}



Lời giải Chọn C.

Cách 1: Giải theo tự luận: Phương pháp thế

Ta có : y 1 2x^{  }^x ^{2 1}



^ ²^x



^²^^x^{ }² ² ^^y^{ }^{3 2 2}^.

Ta chọn đáp án C Cách 2: Bấm máy

Sử dụng MTCT: Bấm theo cú pháp: MODE – 5 -1, nhập các hệ số ở 2 phương trình của hệ, bấm tiếp phím =, = để đọc nghiệm của hệ.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Hệ phương trình: 2 1

3 6 3

x y

 



 



có bao nhiêu nghiệm ?

A.0. B.1. C.2. D. Vô số nghiệm.

Chọn D.

Lời giải Cách 1: Giải theo tự luận

(6)

6 Ta lập các tỉ số : 1 2 1

36 3

 Hệ phương trình có vô số nghiệm Ta chọn đáp án D.

Cách 2: Sử dụng MTCT Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Hệ phương trình

6 5

3 9 10

1 x y

x y

  





  



có nghiệm là:

A.( 3; 5)  B. 1 1 ( ; )

3 5 C.(3;5) D. 1 1

( ; )

3 5

 

Chọn C.

Lời giải Cách 1: Giải theo tự luận

Đặt ẩn phụ : 1 1 ,

u v

x y

  .

Hệ phương trình trở thành

1

6 5 3 12 10 6 3

9 10 1 9 10 1 1

5

u v u v u

u v u v

v

 

    

  

 

  

   

   

 3

5 x y

 

  

Ta chọn đáp án C.

Cách 2: Sử dụng MTCT

Đặt ẩn phụ đưa về hệ cơ bản rồi bấm máy, sau đó lấy nghịch đảo là đc nghiệm của hệ.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 4 : Hệ phương trình: 1 0

2 5

x y

   



 



có nghiệm là ?

A.x 3;y2. B.x2;y 1. C.x4;y 3. D.x 4;y3.

(7)

7 Lời giải

Cách 1: Giải theo tự luận

Từ phương trình 2, rút y theo x, rồi thay vào phương trình 1.

Ta có : x 1 2x 5 0 1 5 2

5 2 0

1 5 2

x x

x x x

  

        

2 x

  y 1. Chọn B.

Cách 2: Giải theo trắc nghiệm: Lần lượt thay các đáp án vào hệ, đáp án nào thỏa mãn thì ta chọn đáp án đó. Chọn B.

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Nghiệm của hệ: 2 1

3 2 2

x y

  

  

 ^là:

A.



²^^{2; 2 2}^³



^B.



²^^{2; 2 2}^³



C.



²^ ^{2; 3 2 2}^



^D.



²^ ^{2; 2 2}^³



Câu 2. Nghiệm của hệ phương trình ( 2 1) 2 1 2 ( 2 1) 2 2

x y

    

   

 ^là:

A. 1

1; 2

 

  

 

  B. 1

1;2

 

 

 

  C.

 

1; 2 D.



1; 2



Câu 3. Tập hợp các nghiệm (x, y) của hệ phương trình : 2 3 4

6 9 12

x y

  

  

 là tập hợp nào sau đây.

A.Một đường thẳng. B.Toàn bộ mặt phẳng Oxy.

C.Nửa mặt phẳng. D.

Câu 4. Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm (x, y) : 2 3 5

4 6 10

x y

  

  



A.0 B.1 C.2 D.Vô số