Bài tập toán trong khi nghỉ dịch Covisd -19

Chuyên đề:

I- KIẾN THỨC LÝ THUYẾT LIÊN QUAN 1, KIẾN THỨC 6, 7, 8 QUAN TRỌNG CẦN NHỚ.

a, Tính chất về phân số (phân thức): ^{( 0, 0)}

.

.  M  B 

B A M B

M A

b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

+) (A + B)² = A² + 2AB + B² +) (A - B)² = A² - 2AB + B² +) A² - B² = (A - B)(A + B)

+) (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³ +) (A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³ +) A³ + B³ =(A + B)(A² - AB + B²)

+) A³ - B³ =(A - B)(A² + AB + B²) 2, CÁC KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI

1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, ^a = x  x² = a 2)Để ^A có nghĩa thì A ≥ 0

3) A²  A

4) AB  A. B ( với A  0 và B  0 )

5) B

A B

A  ( với A  0 và B > 0 ) 6) A²B  A B (với B  0 )

7) A B  A²B ( với A  0 và B  0 ) A B  A²B ( với A < 0 và B  0 )

9) B

AB B

A  ( với AB  0 và B  0 )

10) B

B A B

A  ( với B > 0 ) 11) ^{C C( A} ₂^B)

A B  A B

 

 ( Với A  0 và A  B² )

12) ^{C C( A B)}

A B  A B

 

 ( với A  0, B  0 và A  B )

II. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN:

1. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC KHÔNG CHỨA BIẾN

1.1/Rút gọn nhờ sử dụng hằng đẳng thức ^{A2  A}

*)Ví dụ 1: Rút gọn:

a) ^{(3)2  (8)2} ; b) ^{(3 5)2} c) ^{(1 2)2  (1 2)2} d) ^{( 53)2  (2 5)2}

Giải:

a) ^{( 3) 2  ( 8) 2}       ^{3 8 3 8 11}

b) ^{(3 5)2  3 5  3 5}

c) ^{(1 2)2  (1 2)2  1 2  1 2   }



 



d) ( 53)²  (2 5)²  53 2 5   5  3 2 51

*)Ví dụ 2: Rút gọn:

a) A= ^{42 3} b) B = ^{14  8 3.(2 2  6)} ; c) C = ^{74 3} + ^{74 3} d) D = ^{52 72 6}

Giải:

a) A = 32 31 ( 31)²  31 31

b) B = ^{14  8 3.(2 2  6)} = ^{142 48(2 2 6)}= ^{82 8. 66.( 8 6)} = ( 8 6)²( 8 6)( 8 6)( 8 6)862

c) C = ^{74 3} + ^{74 3} = ^{72.2 3  72.2 3  (2 3)2  (2 3)2} = 2- ³ + 2 + ³ = 4

d) D = ^{52 72 6}

5 2 6 2 6 1 5 2 ( 6 1)2

5 2( 6 1) 7 2 6

      

    

= ^{( 61)2  61}

*)Ví dụ 3: Rút gọn A = ^{2 3  2 3} Giải:

Cách1: ²A = ^{4 2 3  4 2 3  3 2 3 1   3 2 3 1  }









 3 1  3 1  3 1  3 1 2 3

Suy ra A = ⁶

Cách 2: Ta có: A² =^{2 32 432 36} Do A > 0 nên A = ⁶

*)Bài tập:

Bài 1: Tính: ^a)













Bài 2: Tính: ^{a) 82 7 b) 4 7  4 7 c) 3 5  3 5}

Bài 3: Rút gọn A = ^{3 1 2112 3} Bài 4: Rút gọn A = ^{62 32 22 6}

1.2/ Rút gọn vận dụng các quy tắc khai phương, nhân chia các căn bậc hai:

*)Ví dụ 1:Tính

a) ^{14. 56} b) ^{. 12}

7 33 2.

31 c) ^{4 7 . 4 7} Giải:

a) ^{14. 56} = ^{14.56  14.14.4  142.4  142. 4 14.228}

b) ^{.12 12 12}

7 .24 2 12 7 7 . . 24 2 12 7 7. 33 2.

31    ² 

c) ^{4 7 . 4 7 }







*)Ví dụ 2: Rút gọn: a) 5 20 80 b) 3 123 2. 24

Giải:

^{) 5 20 80 5 2 5 4 5 (1 2 4) 5 5}

) 3 12 3 2. 24 3 2 3 3.2.2. 3 (1 2 12) 3 15 3 a

b

         

        

*) Bài tập:

Bài 1: Tính: a) ^{12. 75} b)

25 . 36 25 124 9.

27 c) ^{0,04.25; d) 90.6,4} e) ^{9 17 . 9 17}

Bài 2: Rút gọn:

a) ^{125 3 48} b) ^{5 5 203 45} c) 2 324 85 18 d) 3 124 275 48

e) ^{12 75 27} f) ^{2 187 2 162}

1.3/ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu vận dụng trục căn thức ở mẫu bằng phương pháp nhân liên hợp.

*)Ví dụ 1: Trục căn ở mẫu các biểu thức sau

a)

2 3

1

 b)

3 2

1

 c)

2 1

1

 d)

3 1

1 3 1

1







Giải:

1 3 2 3 2

) 1;

3 2 ( 3 2)( 3 2) 3 2

1 2 3

) 2 3

2 3 4 3

1 1 2

) (1 2)

1 2 1 2 a

b

c

 

  

   

   

 

    

 

d)

3 1

1 3 1

1





 =

2 ) 3 1 ( 3 1 3 1

3 1 3 1

3 1 ) 3 1 )(

3 1 (

3 1 )

3 1 )(

3 1 (

3 1







 



 



 





 







= ³

2 3 2 2

3 1 3

1 

 









*)Ví dụ 2: Trục căn ở mẫu: a) ⁷ ) ¹¹

5 3 2 b 2 3 1

 

Giải:

a)

 

 

 

7 5 3 2 7 5 3 2

7 5 3 2

25 18 5 3 2 (5 3 2) 5 3 2

 

   

   

b)

 

 

 

11 2 3 1 11 2 3 1

11 2 3 1

2 3 1 (2 3 1) 2 3 1 12 1

 

   

   

*)Ví dụ 3: Rút gọn:

A =

2 3

3 :2 4 3 5

2 3

5 2











 







*)Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau:

a) ^{1 3}

2 3

 b) ^{2 2}

3 1 3 1

  c) ^{3 3}

3 1 1 3 1 1



   

d) ^{1 1 1 1 1 1 1 1}

1 2  2 3 3 4  4 5 5 6  6 7  7 8  8 9

       

1.4/ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu nhờ phân tích thành nhân tử:

*) Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức:

a) ^{3 3}

3 1



 b) ^{3 6 2 8}

1 2 1 2

 

  

c) ^{2 3 3 . 2 3 3}

3 1 3 1

     

 

   

     

   

d) ^{5 7 5 11 11}

5 1 11

 

 

Giải:

a) 3 3 ³





3 1 3 1 3

 

 

 

b) 3 6 2 8 ^{3 1}









3 2

1 2 1 2 1 2 1 2

 

 

    

   

c) 3 3 3 3 ³









2 . 2 2 2

3 1 3 1 3 1 3 1

     

            

   

           

       

^



 



d) 5 7 5 11 11 ⁵









5 7 11

5 1 11 5 11 1

 

 

     

 

*)Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau:

a) ^{15 12}

5 2



 b) ^{5 5 10}

5 1 5

 

 c) 1 ^{5 5} . 1 ^{5 5}

5 1 5 1

     

 

   

     

   

d) ^{2 3 2 5 5}

2 1 5

 





2. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA BIẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN PHU 2.1/CÁC BƯỚC THỰC HIÊN PHẦN RÚT GỌN:

Bước: Tìm ĐKXĐ của biểu thức (Nếu bài toán chưa cho)(Phân tích mẫu thành nhân tử, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mẫu khác 0 và phần chia khác 0)

Bước :Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được).

Bước :Quy đồng, gồm các bước:

+ Chọn mẫu chung: là tích củc nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng.

+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung.

Bước : Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.

Bước : Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.

Bước : Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên).

Bước :Rút gọn.

Lưu ý: Bài toán rút gọn tổng hợp thường có các bài toán phụ: tính giá trị biểu thức khi cho giá trị của ẩn; tìm điều kiện của biến để biểu thức lớn hơn (nhỏ hơn) một số nào đó; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá

trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức...Do vậy ta phải áp dụng các phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại toán.

2.2/ CÁC VÍ DỤ VỀ BÀI TẬP RÚT GỌN TỔNG HỢP:

*)Ví dụ 1: Cho biểu thức: A ^{a a} 1 : ^{a 2 a} 1

a 1 a 2

     

     

 

   

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A Bài giải: ĐKXĐ: ⁰

1 0 a

a

 



  



 0

1 a a

 

 



Ta có:

A ^{a a} 1 : ^{a 2 a} 1 ^{a ( a 1)} 1 : ^{a ( a 2)} 1

a 1 a 2 a 1 a 2

           

          

   

       

^{( a 1) : ( a 1)} Vậy A = ¹

1 a a





b) Tìm a để A = 5 (Dạng bài toán phụ thứ nhất).

Phương pháp: Thay A bởi biểu thức vừa rút gọn được vào và giải phương trình:

^{1 5}

1 a a

 

 ^{ a 1 5( a1) a 1 5 a 5 4 a 6}

^{3 9}

2 4

a a

    (TMĐK)

Vậy với a = ⁹

4 thì A = 5.

c) Tính giá trị của A khi a = 3 + 2 2 (Dạng bài toán phụ thứ hai).

Phương pháp: Thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút gọn được rồi thực hiện các phép tính (Lưu ý: Có thể tính giá trị ^a rồi thay vào).

Ta có: ^a ^{2 2 2 1} ^{( 2 )2}^{2. 2.1 1} ² ^{( 2 1)} ²

Suy ra ^{a  2 1  2 1} . Do đó thay vào biểu thức A ta được:

A = ^{2 1 1 2 2 1 2}

2 1 1 2

  

  

 

d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên (Dạng bài toán phụ thứ ba).

Phương pháp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là ước của phần dư (một số), chú ý điều kiện xác định.

Ta có: A = ¹

1 a a



 = 1 + ²

1 a

Để A nguyên thì ²

1

a nguyên, suy ra ^a1 là ước của 2

1 1 1 1 0

4 1 2

9 1 2

a a a

a

a a

a

   

  

   

 

 

    

   



(TMĐK).

Vậy a = 0; 4; 9 thì A có giá trị nguyên.

e) Tìm a để A < 1 (Dạng bài toán phụ thứ tư).

Phương pháp: Chuyển vế và thu gọn đưa về dạng ^M

N < 0 (hoặc ^M

N > 0) trong đó dựa vào điều kiện ban đầu ta đã biết được M hoặc N dương hay âm, từ đó dễ dàng tìm được điều kiện của biến.

1 1 a a



 < 1 ^{ 1}

1 a a



 - 1 < 0 ^{ 1 1}

1

a a

a

  

 < 0 ^{ 2}

1

a < 0 ^{ a1} < 0 ^a <1.

Kết hợp điều kiện ban đầu, suy ra 0 ^ a < 1.

*)Ví dụ 2: Cho biểu thức A ( ^{x 2} ) : ¹

x 1 x x x 1

 

  

a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x1. Rút gọn

1 : 1

) ) 1 (

2 1

( 1 : 1

2 ) 1

(   















x x

x x

x x

x x x

A x

( x )2 2 x 1 ( x 2 )( x 1) x 2

A .

x ( x 1) 1 x ( x 1) x

    

  

 

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của A (Dạng bài toán phụ thứ năm).

Phương pháp: Dựa vào điều kiện ban đầu và các bất đẳng thức.

Ta có A= ^{x 2} x ² 2 2

x x

    (BĐT Côsi cho hai số dương)

min

A 2 2 x 2 x 2

    x   (TMĐK)

Vậy A_min = 2 2 x2.

*)Ví dụ 3: Cho biểu thức A ^{1 1} . 1 ¹

x 1 x 1 x

   

     

 

   

a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A.

b)Tìm giá trị của x để A A.

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1.

  

1 1 1 x 1 x 1 x 1

A . 1 .

x 1 x 1 x x 1 x 1 x

   

   

     

 

      =

 

  

2 x x 1 2

A x 1

x 1 x 1 x



 

  

b) A A 0 A 1 0 ² 1.

x 1

      

 2

 

)0 x 1 0 x 1 1

x 1

2 2 x 3

) 1 1 0 0

x 1 x 1 x 1

      



       

  

x 3 0

x 1 0

  

 

  



(vì x > 1)x9. Vậy x > 9 thì A A.

*)Ví dụ 4: Cho biểu thức A ^{x 2 x 1}

x 1 x x

  

 

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị nào của x thì A A

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1.

 

 

 

 

 

2 2

x 2 x 1 x 1

x 2 x 1 x 1

A x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x

  

 

    

   

b) A A A 0 ^{x 1} 0 x 1 0 x

         (vì x 0)

x 1 x 1

    . Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A A.

*)Ví dụ 5:

Cho biểu thức: P 1 ¹ . ¹

x 1 x x

 

  

 

 

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P

b) Tìm x để P. ^{52 6.}





Bài giải:

a) ĐKXĐ: x > 0; x 1:

 

1 1 x 1

P 1 .

x 1 x x x 1 x x 1

 

   

         

 

 

P 1

x 1

 



b) ^{P. 52 6 .}











 



x 1

      



2 3 x 2005 2 3

      x2005 (TMĐK)

Vậy x = 2005 thì P. ^{52 6}





2.3/ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

Bài 1: Cho biểu thức A ^{1 1} : ³

x 3 x 3 x 3

 

  

  

 

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị nào của x thì A > ¹

3

c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất.

Bài 2. Cho biểu thức P ^{3 1} : ¹

1 x x 1 x 1

 

  

  

 

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x để P = ⁵

4

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M ^{x 12 1}. x 1 P

 



Bài 3. Cho biểu thức: D ^{2 x x 3x 3 2 x 2} 1 x 9

x 3 x 3 x 3

    

     

   

  

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức b) Tìm x để D < -¹

2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D

Bài 4. Cho biểu thức: P ^{a 2 a} 1 : ^{a a} 1

a 2 a 1

     

     

 

   

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm a Z để P nhận giá trị nguyên.

Bài 5. Cho biểu thức

   

1 1

B

2 x 3 1 2 x 3 1

 

   

a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B.

b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.

Bài 6. Cho biểu thức x² x 2x x ^{2 x 1}

 

P x x 1 x x 1

  

  

  

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P c) Tìm x để biểu thức Q ^{2 x}

 P nhận giá trị nguyên.

Bài 7. Cho biểu thức:

 

1 1 x 1

P :

x x 1 x 1 x

  

  

 

  

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0

Bài 8. Cho biểu thức P ^{1 1} : ^{a 1 a 2}

a 1 a a 2 a 1

   

 

     

  

   

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P b) Tìm giá trị của a để P > 0

Bài 9. (Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012)

Cho ^{A x 10 x 5}

x 25

x 5 x 5

  

   , với x  0 và x  25.

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tính giá trị của A khi x = 9.

3) Tính x để A < ¹

3.

Bài 10. Cho biểu thức: P ^{x 3 6 x 4} x 1 x 1 x 1

   

  

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P.

b) Tìm x để P <¹

2.

Bài 11. Cho biểu thức A ^{x 1} : ¹

x 1 x x x 1

 

  

  

 

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0

Bài 12. Cho biểu thức: P ^{1 1 1} 1

1 a 1 a a

  

    

 

   với a > 0 và a^1.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Với những giá trị nào của a thì P > ¹

2. Bài 13. Cho biểu thức: A = ²

1

x x x

x x x

 

  với ( x > 0 và x ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tính giá trị của biểu thức khi x 3 2 2

Bài 14. Cho biểu thức P =

x x

x x

x

x  













 :

1 1

a) Rút gọn P

b) Tính GT của P khi x= 4 c) Tìm GT của x để P =

3 13

(Đề thi Hà Nội năm 2008-2009) Bài 15. Cho biểu thức: A = ^{1 2}

1 1

x x x x

x x

  



 

1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A 2) Với giá trị nào của x thì A < -1

Bài 16. Cho biểu thức: A = ^{(1 )(1 )}

1 1

x x x x

x x

 

 

  (Với ^x0;x1) a) Rút gọn A

b) Tìm x để A = - 1

Bài 17. Cho biểu thức: B =

x x x

x  





 2 2 1

1 2

2

1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị của B với x = 3 c) Tính giá trị của x để

2

 1 A

Bài 18. Cho biểu thức: P =

x x x

x x

x



 









4 5 2 2 2 2 1

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn P b) Tìm x để P = 2

Bài 19. Cho biểu thức: Q = ( ⁾

1 2 2

( 1 : 1 ) 1 1



 



 

 a

a a

a a

a

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q.

b) Tìm a để Q dương.

c) Tính giá trị của biểu thức khi a = 9 - 4 ⁵

Bài 20. Cho biểu thức: M = _^













 















 

1 1

2 1

2 a

a a a

a a a

a

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn M b) Tìm giá trị của a để M = - 4.

MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI.

Bài 1: Tính:

a. 3 3 3 3

2 3 2 2 2 3 2 2

A  

 

   

b. B = 5 + 5

5 - 5 + 5 - 5 5 + 5 c. C = 5. 1

5 + 1

2 . 20 + 5

HƯỚNG DẪN GIẢI:

a. 3 3 3 3

2 3 2 2 2 3 2 2

A  

 

    .

2( 3 3) 2( 3 3)

4 2 3 4 4 2 3 4

 

 

   

2( 3 3) 2( 3 3)

3 1 4 3 1 4

 

 

   

2 2

2( 3 3) 2( 3 3)

3 9

  

 

24 2 6 4 2

  

 b. B = 5 + 5

5 - 5 + 5 - 5

5 + 5 = (5 + 5 )² + (5 - 5 )² (5 - 5 )(5 + 5 )

= 25 + 10 5 + 5 + 25 - 10 5 + 5

25 - 5 = 60

20 = 3 c. C = 5. 1

5 + 1

2 . 20 + 5 = 5. 5 5² + 1

2 . 4.5 + 5

= 5

5 5 + 2

2 5 + 5 = 3 5 Bài 2: Cho biểu thức A =





: 1 1 1 1

















 x

x x

x x

a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A b) Tim giá trị của x để A =

3 1.

c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9 x

HƯỚNG DẪN GIẢI:

a). Điều kiện 0 x1 Với điều kiện đó, ta có:

   