Bài 2: Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp
A. Các câu hỏi, hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 47 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3.
Lời giải:
Ghép 3 chữ số lần lượt tạo thành: 123; 132; 213; 231; 312; 321.
Hoạt động 2 trang 49 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm mười người được xếp thành một hàng dọc.
Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Lời giải:
Một cách xếp 10 học sinh thành 1 hàng dọc là một hoán vị 10 phần tử.
Do đó số cách xếp 10 người thành 1 hàng dọc là: 10! (theo định lí)
Hoạt động 3 trang 49 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Liệt kê tất cả các vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối của chúng thuộc tập điểm đã cho.
Lời giải:
Các vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối của chúng thuộc tập điểm đã cho là:
AB;AC;AD BA;BC;BD CA;CB;CD DA;DB;DC
Hoạt động 4 trang 51 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho A = {1; 2; 3; 4; 5}. Hãy liệt kê tổ hợp chập 3, chập 4 của 5 phần tử của A.
Lời giải:
Các tổ hợp chập 3 là: {1; 2; 3}; {1; 2; 4}; {1; 2; 5}; {1; 3; 4}; {1; 3; 5}; {1; 4; 5};
{2; 3; 4}; {2; 3; 5}; {2; 4; 5}; {3; 4; 5}.
Vậy có 10 tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A.
Các tổ hợp chập 4 là: {1; 2; 3; 4}; {1; 2; 3; 5}; {1; 2; 4; 5}; {1; 3; 4; 5};{2; 3; 4;
5}.
Vậy có 5 tổ hợp chập 4 của 5 phần tử của A.
Hoạt động 5 trang 52 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có 16 đội bóng đá tham gia thi đấu. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu sao cho hai đội bất kì đều gặp nhau đúng một lần?
Lời giải:
Số trận đấu sao cho hai đội bất kì trong 16 đội tham gia gặp nhau đúng một lần là:
2
16 120
C
= trận.B. Bài tập
Bài tập 1 trang 54 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi:
a) Có tất cả bao nhiêu số?
b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
c) Có bao nhiêu số bé hơn 432 000?
Lời giải:
a) Cách 1: Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là một cách sắp xếp 6 chữ số hay một hoán vị của 6 phần tử:
Vậy có P6 = 6! = 720 (số)
Cách 2: Số tự nhiên có thể có là abcdef , với a, b, c, d, e, f
1;2;3;4;5;6
và a, b, c, d, e, f đôi một khác nhau.a có 6 cách
ba nên có 5 cách chọn cb,a nên có 4 cách chọn dc, b,a nên có 3 cách chọn ed,c, b,a nên có 2 cách chọn f e,d,c, b,a nên có 1 cách chọn
Vậy theo quy tắc nhân ta có 6.5.4.3.2.1 = 720 số
b) Số tự nhiên chẵn cần lập có dạng abcdef , với a, b, c, d, e, f
1;2;3;4;5;6
, có kể đến thứ tự, f chia hết cho 2 .f chia hết cho 2 nên f{2;4;6} có 3 cách.
ef nên có 5 cách chọn.
d e,f nên có 4 cách chọn.
cf ,e,d nên có 3 cách chọn.
bf ,e,d,c nên có 2 cách chọn.
a f ,e,d,c, b nên có 1 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân có 3.5.4.3.2.1 = 360 số tự nhiên chẵn.
Do đó có: 720 – 360 = 360 số tự nhiên lẻ.
Cách khác:
Với f
2, 4,6
nên có 3 cách chọn5 chữ số còn lại có 5! = 120 cách sắp xếp thứ tự.
Theo quy tắc nhân có 3.5! = 360 (số chẵn).
Tương tự ta cũng có 360 số lẻ.
Vậy có 360 số chẵn và 360 số lẻ.
c) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng là abcdef , với a, b, c, d, e, f
1;2;3;4;5;6
Xét các trường hợp:
Trường hợp 1: a = 4, b = 3
Có 1 cách chọn a và 1 cách chọn b.
c < 2 nên c = 1, có 1 cách chọn c.
Số cách chọn d, e, f là số hoán vị của 3 chữ số còn lại nên có 3! cách.
Do đó có 1.1.1.3! = 6 số.
Trường hợp 2: a = 4, b < 3.
Có 1 cách chọn a.
b < 3 nên b {1;2} , có 2 cách chọn b.
Số cách chọn c, d, e, f là số hoán vị của 4 chữ số nên có 4! cách.
Do đó có 2.4! = 48 số.
Trường hợp 3: a < 4.
Vì a < 4 nên a {1;2;3} và có 3 cách chọn a.
Số cách chọn các chữ số b, c, d, e, f là số hoán vị của 5 chữ số còn lại nên có 5!
cách.
Do đó có 3.5! = 360 số.
Vậy có 6 + 48 + 360 = 414 số bé hơn 432 000.
Bài tập 2 trang 54 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế thành 1 dãy.
Lời giải:
Số cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người vào 10 ghế kê thành một dãy là số hoán vị của 10 người.
Vậy cách xếp chỗ cho 10 người khách vào một dãy 10 ghế là:
P10 = 10! = 3 628 800 cách xếp.
Bài tập 3 trang 54 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiệu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)?
Lời giải:
Cách 1:
Số cách chọn 3 bông hoa trong 7 bông là C 37
Cứ 1 cách chọn 3 bông hoa thì ta được số cách cắm bông hoa vào 3 lọ là hoán vị 3 bông hoa đó: P3 = 3! = 6 (cách)
Vậy có C cách chọn 3 bông hoa vào 3 lọ thì có 37 C .37 6=210 cách cắm 3 bông hoa vào 3 lọ.
Cách 2:
Vì 7 bông hoa màu khác nhau và cắm vào 3 lọ cắm hoa khác nhau nên mỗi lần chọn ra 3 bông hoa để cắm vào 3 lọ ta có một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử.
Vậy số cách cắm hoa bằng số các chỉnh hợp chập 3 của 7 (bông hoa)
3 7
A 7! 210
(7 3)!
= =
− (cách cắm hoa).
Bài tập 4 trang 55 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?
Lời giải:
Cách 1:
Số cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn chọn từ 6 bóng khác là một chỉnh hợp chập 4 của 6 bóng đèn.
Có A46 6! 360 (6 4)!
= =
− (cách)
Cách 2:
Số cách chọn 4 bóng đèn trong 6 bóng đèn: C cách 46
Cứ một cách chọn như vậy ta có hoán vị của 4 bóng đèn tức là ta đc P4 = 4! Cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn.
Vậy có C .46 4! = 360 cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn.
Bài tập 5 trang 55 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:
a) Các bông hoa khác nhau?
b) Các bông hoa như nhau?
Lời giải:
a) Đánh số thứ tự cho 3 bông hoa.
Mỗi cách cắm hoa là một cách chọn ra 3 lọ và sắp thứ tự cho chúng nên mỗi cách cắm là một chỉnh hợp chập 3 của 5 lọ.
(Vì các bông hoa khác nhau nên mỗi cách sắp xếp cho ta 1 kết quả khác nhau) Vậy số cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ là A35 =60 (cách)
b) Việc cắm 3 bông hoa giống nhau vào 3 lọ chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa để cắm và chính là kết quả của tổ hợp chập 3 của 5.
(Vì các bông hoa giống nhau nên sắp xếp các lọ theo cách nào cũng đều cho cùng một kết quả)
Vậy có C35 =10 (cách)
Bài tập 6 trang 55 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?
Lời giải:
Ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một tam giác.
Do đó mỗi tập con gồm 3 điểm (không phân biệt thứ tự) của tập hợp 6 điểm đã cho xác định duy nhất một tam giác.
Vậy số tam giác chính bằng số tổ hợp chập 3 của 6.
3 6
C 6! 20
3!(6 3)!
= =
− (tam giác)
Bài tập 7 trang 55 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó?
Lời giải:
Ta thấy: Một hình chữ nhật được tạo thành từ hai đường song song và 2 đường vuông góc bất kì.
Chọn 2 đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm 4 đường thẳng song song đã cho có C = 6 (cách) 24
Chọn 2 đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm 5 đường thẳng đã cho, vuông góc với 4 đường thẳng song song có C25 =10 (cách).
Vậy theo quy tắc nhân có 6.10 = 60 (cách) hay 60 hình chữ nhật.
