1) Định nghĩa, tính chất căn bậc hai

(1)

ÔN TẬP HỌC KÌ 1 TOÁN 9 NĂM HỌC 2021 – 2022 Phần A- Đại số

Chương I CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA

A - LÝ THUYẾT I. ĐẠI SỐ:

a) Với số dương a, số

a

được gọi là căn bậc hai số học của a.

b) Với a  0 ta có x =

a





( )





=



a a x x

0

2 2

c) Với hai số a và b không âm, ta có: a < b 

a  b

d)

_A² _A ^{A neu A} ⁰

A neu A 0

 

= = − 

2) Các công thức biến đổi căn thức

1.

A² = A

2.

AB = A. B

(A  0, B  0)

3.

^A ^A

B = B

(A  0, B > 0) 4.

A B² = A B

(B  0)

5.

A B = A B²

(A  0, B  0)

A B= − A B²

(A < 0, B  0) 6.

^A ¹ _AB

B = B

(AB  0, B  0) 7. ( )

2

C A B C

A B A B=

 −

m

(A  0, A  B

²

)

8.

^A ^{A B}

B

B=

(B > 0) 9.

C ^C

(

^A ^B

)

A B

A B=

−



m

(A, B  0, A  B)

 Giải phương trình:

Phương pháp:

•

A² =B² = A B

; •

A+ B=   =⁰  =^AB ⁰0

•

A⁼ B  =^{ }^AA B^{0 (}^{hay B}^⁰⁾

•

A B ^B A B²

0

=    =

•

A B^{=  }^^AA B^=⁰ hay^^^AA^= −⁰B

•

A B=   =^{ }^BA B hay A⁰ = −B

•

A B=  =A B hay A= −B

•

A B+ =   =⁰  =B^A ⁰0

• Chú ý:

√𝐴² = 𝐵

 |A|=B ; |A|=A khi A ≥ 0; |a|=-A khi A≤ 0.

(2)

CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN:

A.Các bước thực hiên:

 Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được)

Quy đồng, gồm các bước:

+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng.

+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung.

Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.

Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.

Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên).

Rút gọn.

Chương II HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT I. HÀM SỐ:

Khái niệm hàm số

* Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.

* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.

II. HÀM SỐ BẬC NHẤT:

 Kiến thức cơ bản:

3) Định nghĩa, tính chất hàm số bậc nhất

a) Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b (a, b  R và a  0) b) Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị x R.

Hàm số đồng biến trên R khi a > 0. Nghịch biến trên R khi a < 0.

4) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a  0) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b (a: hệ số góc, b: tung độ gốc).

5) Cho (d): y = ax + b và (d'): y = a'x + b' (a, a’ ≠ 0). Ta có:

(3)

(d)  (d')





=

 =

' ' b b

a

(d)  (d')







 =

' '

b b

a a

(d)  (d')  a  a' (d) ⊥ (d')

 a.a '= −1

6) Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox thì:

Khi a > 0 ta có tan = a

Khi a < 0 ta có tan’

= a

(’ là góc kề bù với góc

 Các dạng bài tập thường gặp:

-Dạng 3: Tính góc



tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox Xem lí thuyết.

-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:

Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x

1

; y

1

) có thuộc đồ thị không?

Thay giá trị của x

1

vào hàm số; tính được y

0

. Nếu y

0

= y

1

thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y

0

y

1

thì điểm M không thuộc đồ thị.

- Dạng1: Xác dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng

song song; cắt nhau; trùng nhau.

Phương pháp: Xem lại lí thuyết

-Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b

Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d

1

): y = ax + b; (d

2

): y = a

^,

x + b

^,

Phương pháp: Đặt ax + b = a

^,

x + b

^,

giải phương trình ta tìm được giá trị của x; thay giá trị của x vào (d

1

) hoặc (d

2

) ta tính được giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng.

Tính chu vi - diện tích của các hình tạo bởi các đường thẳng:

Phương pháp:

+Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py- ta -go để tính độ dài các đoạn thẳng không tính trực tiếp được. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh.

+ Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S.

(4)

-Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng ( xác định hệ số a và b của hàm số y=ax+b)

Phương pháp chung:

Gọi đường thẳng phải tìm có dạng (hoặc công thức của hàm số ): y=ax+b Căn cứ vào giả thiết để tìm a và b.

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x

0

; y

0

) và điểm Q(x

1

; y

1

).

Phương pháp: + Thay x

0

; y

0

vào y = ax + b ta được phương trình y

0

= ax

0

+ b (1) + Thay x

1

; y

1

vào y = ax + b ta được phương trình y

1

= ax

1

+ b (2) + Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a và b.

+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta được phương trình đường thẳng cần tìm.

-Dạng 6: Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:

Ví dụ: Cho các đường thẳng : (d

1

) : y = (m

²

-1) x + m

²

-5 ( Với m



1; m



-1 )

(d

2

) : y = x +1

(d

3

) : y = -x +3

a) C/m rằng khi m thay đổi thì d

1

luôn đi qua 1điểm cố định . b) C/m rằng khi d

1

//d

3

thì d

1

vuông góc d

2

c) Xác định m để 3 đường thẳng d

1

;d

2

;d

3

đồng qui

(5)

Phần B - HÌNH HỌC Chương I. HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

 Hệ thức giữa cạnh và đường cao:Hệ thức giữa cạnh và góc:

+

b² =a.b^,;c² =a.c^,

+

h² =b^,.c^,

+

a.h=b.c

+

¹₂ ¹₂ ¹₂

h =b +c

+

a² =b² +c²

+

a=b^,+c^,

+

_,

, 2 2 , , 2 2

.; b

c b c c b c

b = =

Tỷ số lượng giác:

D Cotg K K Tg D H Cos K H

Sin= D; = ; = ; =

Tính chất của tỷ số lượng giác:

1/ Nếu

+ =90⁰

Thì:









Sin Cos

Cos Sin

=

^Tan ^Cot

Cot Tan

 

=

2/Với



nhọn thì 0 < sin



< 1, 0 < cos



< 1 *sin

² 

+ cos

² 

= 1 *tan



= sin



cos



*cot



= cos



sin



*tan



. cot



=1

Hệ thức giữa cạnh và góc:

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối:

b=a.SinB.;c=a.SinC

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề:

b=a.CosC.;c=a.CosB

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tan góc đối:

b=c TanB c. .; =b TanC.

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cot góc kề:

b=c CotC c. .; =b CotB.

Chương II. ĐƯỜNG TRÒN:

 .Sự xác định đường tròn: Muốn xác định được một đường tròn cần biết:

+ Tâm và bán kính,hoặc

+ Đường kính( Khi đó tâm là trung điểm của đường kính; bán kính bằng 1/2 đường kính) , hoặc + Đường tròn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đường trung trực của hai đoạn thẳng nối hai trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một trong 3 điểm đó) .

 Tính chất đối xứng:

+ Đường tròn có tâm đối xứng là tâm của đường tròn.

+ Bất kì đường kính vào cũng là một trục đối xứng của đường tròn.

 Các mối quan hệ:

1. Quan hệ giữa đường kính và dây:

+ Đường kính (hoặc bán kính)

⊥

Dây



Đi qua trung điểm của dây ấy.

(6)

2. Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:

+ Hai dây bằng nhau



Chúng cách đều tâm.

+ Dây lớn hơn



Dây gần tâm hơn.

 Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn:

+ Đường thẳng không cắt đường tròn



Không có điểm chung



d > R (d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng; R là bán kính của đường tròn).

+ Đường thẳng cắt đường tròn



Có 2 điểm chung



d < R.

+ Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn



Có 1 điểm chung



d = R.

 Tiếp tuyến của đường tròn:

1. Định nghĩa: Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đó.

2. Tính chất: Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính (tiếp điểm)

3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đường thẳng vuông góc tại đầu mút của bán kính của một đường tròn là tiếp tuyến của đường tròn đó.

4.

TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

a) Điểm đó cánh đều hai tiếp điểm.

b)Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi 2 tia tiếp tuyến.

c) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

❖ Đường tròn (O; R) có: a tiếp tuyến tại điểm A; b là tiếp tuyến tại điểm B; a cắt b tại điểm c, ta có:

a) CA = CB.

b) Tia CO là tia phân giác của góc ACB c) Tia OC là tia phân giác của góc AOB

B A

O C

(7)

Bài 1: Thực hiện phép tính Bài 1: Thực hiện phép tính a) ¹²⁻^{3 20}⁺ ¹²⁵⁺

(

³⁻ ⁵

)

² ^a) ⁸⁺

( )

⁻ ² ² ⁻^{3 18}⁺ ⁵⁰

b) (2− 3)² + 4−2 3 b) ( 3−2)² − 19 8 3−

c)

(

³ ²

)

² ¹² ⁶

+ − − 3 c) 6

17 4 15 20

3− − −

d)

3 6 1 3

2 1

2 6

3 +

− −

−

− d) 4 6 7 7

7 3 3 3 7 1

+ + −

− + −

e) ⁷ ⁶ ³ . 10 2 21

7 1 2

 + −  +

 

 − 

  e)  2 4,5−2 5 + 9+4 5: 2

(8)

Bài 2: Cho hai hàm số :y= − +2x 3 và y= −x 1 a/ Vẽ đồ thị của 2 hàm số trên cùng mặt phẳng b/ Tìm toạ độ giao diểm của 2 đồ thị bằng phép toán.

c/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-2 ; 1) và song song với đường thẳngy= − +2x 3

Bài 2: Cho hai hàm số : 1

2

y= +x và ¹ 3 y= −2 x+ a/ Vẽ đồ thị của hai hsố trên cùng mặt phẳng toạ độ.

b/ Tìm giao diểm A của 2 đồ thị bằng phép toán.

c/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và có hệ số góc là 1

(9)

Bài 3: Giải phương trình Bài 3: Giải phương trình

a) 2 2x− − =1 3 3 a) 5 2 2− x− =3 1

b) x²−4x+ =4 2 b) 2 x²−2x+ =1 4

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AK. Biết AB = 3,6cm, AC = 4,8cm.

Tính: BC, BK, CK, AK

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết AB = 6cm, BC = 10cm.

Tính: AC, BH, CH, AH

(10)

Bài 5: Nếu một con thuyền vượt qua một khúc sông lúc nước chảy mạnh với vận tốc 12km/h mất khoảng 6 phút và đường đi của con thuyền đó tạo với bờ một góc 80⁰ thì chiều rộng khúc sông là bao nhiêu mét?

(làm tròn đến hàng đơn vị).

Bài 5: Một em học sinh đứng trên mặt đất dùng giác kế cao 1,2m nhìn thấy ngọn tháp một góc xấp xỉ 35^o, khoảng cách từ vị trí đo đến chân ngọn tháp là 29m.

Ngọn tháp cao bao nhiêu mét? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Bài 6: Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật hiện nay, người ta tạo ra nhiều mẫu xe lăn đẹp và tiện dụng cho người khuyết tật. Công ty A đã sản xuất ra những chiếc xe lăn cho người khuyết tật với số vốn ban đầu là 500 triệu đồng. Chi phí để sản xuất ra một chiếc xe lăn 2 500 000 đồng. Giá bán ra mỗi chiếc là 3 000 000 đồng.

a) Viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đã đầu tư đến khi sản xuất ra được x chiếc xe lăn (gồm vốn ban đầu và chi phí sản xuất ) và hàm số biểu diễn số tiến thu được khi bán ra x chiếc xe lăn

b) Công ty A phải bán bao nhiêu chiếc xe mới có thể thu hồi được vốn ban đầu.

Bài 6: Trong một ngày trường Lam Sơn cần làm 120 cái lồng đèn ông sao để trang trí trường nhân ngày trung thu. Biết rằng mỗi bạn nam làm được 2 cái, mỗi bạn nữ làm được 3 cái trong một ngày. Gọi x là số bạn nam, y là số bạn nữ được trường huy động làm.

a) Viết phương trình biểu diễn y theo x.

b) Nếu trường chỉ có thể huy động 15 bạn nam có khả năng làm thì cần phải huy động thêm bao nhiêu bạn nữ?

(11)

Bài 7: Một hình chữ nhật có hai kích thước là 50 cm và 60 cm. Gọi y ( cm ) là chu vi của hình chữ nhật sau khi đã giảm mỗi kích thước x ( cm )

a) Hãy lập hàm số y theo x

b) Hãy tính chu vi vủa hình chữ nhật khi giảm mỗi kích thước đi 10cm

Bài 7: Một hình chữ nhật có hai kích thước là 50 cm và 60 cm. Gọi y ( cm ) là chu vi của hình chữ nhật sau khi đã giảm mỗi kích thước x ( cm )

a) Hãy lập hàm số y theo x

b) Hãy tính chu vi vủa hình chữ nhật khi giảm mỗi kích thước đi 10cm

Bài 8: Một câu lạc bộ bóng đá đặt hàng 7500 lít nước uống chuẩn bị cho một trận thi đấu . Lượng nước uống tiêu thụ trong trận đấu được ghi nhận bằng đồ thị (hình bên), trong đó t là thời gian diễn ra trận đấu (tính bằng phút), y là lượng nước uống hiện có của câu lạc bộ bóng đá trong thời gian thi đấu.

a) Hỏi sau t phút diễn ra trận đấu thí lượng nước uống hiện có của

câu lạc bộ là nhiêu lít?

b) Tính lượng nước uống câu lạc bộ đã dùng trong 45 phút diễn ra trận đấu.

Bài 8: Tiền vốn và lãi bán hàng của một cửa hàng kinh doanh 6 tháng đầu năm được biểu thị bằng một đoạn thẳng, với vốn ban đầu là: 15 triệu đồng (hình) Hãy viết phương trình đồ thị trên, từ đó suy ra tiền vốn và lãi ở tháng thứ tư là bao nhiêu?

t

y

(12)

Bài 9: Ở siêu thị có thang máy cuốn nhằm giúp khách hàng di chuyển từ tầng này của siêu thị lên tầng kế cận rất

tiện lợi. Biết rằng thang

cuốn này được thiết kế có độ nghiêng 36⁰ so với phương ngang là góc BAH và tốc độ vận hành là 2m/s. Một khách hàng đã di chuyển bằng thang cuốn này từ tầng 1 lên tầng 2 của siêu thị theo hướng AB hết 8 giây. Hỏi khoảng cách giữa tầng 1 và 2 của siêu thị (BH) cao bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)

Bài 9: Bạn An có tầm mắt cao 1,5 m đứng gần 1 tòa nhà cao thì thấy nóc của tòa nhà với góc nâng 30⁰. An đi về phía

tòa nhà 20m thì nhìn thấy nóc tòa nhà với góc nâng bằng 65⁰. Tính chiều cao của tòa nhà (kết quả làm tròn và chữ số thập phân thứ nhất )

Bài 10: Một chiếc ti vi hình chữ nhật màn hình phẳng 75 inch (đường chéo ti vi dài 75 inch) có góc tạo bởi chiều dài và đường chéo là 36⁰52’. Hỏi chiếc ti vi ấy có chiều dài, chiều rộng là bao nhiêu cm. Biết 1 inch

= 2,54 cm. (Kết quả tính làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Bài 10: Một màn hình laptop 17 inch có tỉ lệ chiều rộng và chiều dài là 16:10. Hỏi chiều rộng màn hình là bao nhiêu cm biết 1 inch ≈ 2,54 cm.

A H

B

(13)

Bài 11: Trên bờ biển có một ngọn hải đăng cao 40m.

Với khoảng cách bao nhiêu km thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát ở độ cao 10m so với mực nước biển và bán kính trái đất gần bằng 6400km

Bài 11: Một vệ tinh nhân tạo địa tĩnh chuyển động theo quỹ đạo tròn cách bề mặt trái đất một khoảng 36000km, tâm quỹ tạo trùng với tâm O của trái đất.

Vệ tinh phát tín hiệu theo đường thẳng đến một vị trí trên mặt đất. Hỏi vị trí xa nhất trên trái đất có thể nhận được tín hiệu từ vệ

tinh này cách vệ tinh một khoảng là bao nhiêu km?

(ghi kết quả chính xác đến hàng đơn vị). Biết bán kính trái đất 64000km

(14)

Bài 12: Cho đường tròn (O) và A là điểm nằm ngoài (O).Qua A vẽ tiếp tuyến AB,AC với (O) (B,C là các tiếp điểm), AO cắt BC tại M.

a)Chứng minh: 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và OA vuông góc BC

c)Vẽ đường kính BE,AE cắt đường tròn (O) tại F.Gọi G là trung điểm của EF.Đường thẳng OG cắt đường thẳng BC tại H. Chứng minh OM.OA=OG.OH d)Chứng minh EH là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài 12: Cho điểm M thuộc đường tròn (O;R), đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt đường tròn tại A và B, cắt OM tại H

a) Cm: H là trung điểm của AB và ^D OAM đều.

b)Vẽ hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O), Chúng cắt nhau tại C. Chứng minh rằng O, M, C thẳng hàng. Tính AC và AH theo R

c) Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt BC tại N.

Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của (O)Từ điểm A

(15)

Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB

= 2R và K là một điềm tùy ý trên nửa đường tròn ( K  A và B ) . Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn . Qua K kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By tại M và H .

a) Chứng minh : MH = AM + BH và AK // OH b) Chứng minh : AM . BH = R²

c) Đường thẳng AB và đường thẳng MH cắt nhau tại E .Chứng minh : ME . HK = MK . HE

Bài 13: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O; R), trên đường tròn (O; R) lấy điểm C sao cho CAB=60⁰.

a/ C/m: ^DABC vuông và tính độ dài AC, BC theo R.

b/ Tia BC cắt Ax tại M, kẻ CH⊥AB tại H. Chứng minh: MC.BC = AH.AB

c/ Gọi I là trung điểm của CH, tia BI cắt AM tại E.

Chứng minh: E là trung điểm của AM và EC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

(16)

Bài 14: Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O, đường kính BC cắt cạnh AB ở M và cắt cạnh AC ở N.

Gọi H là giao điểm của BN và CM, AH cắt BC tại K.

a) Chứng minh AK ⊥ BC.

b) Chứng minh: 4 điểm A, M, H, N cùng thuộc 1 đường tròn, xác định tâm E và chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Cho biết

2 C 2 A ˆ B

sin =

, hãy so sánh AH và BC

Bài 14: Cho (O;R) và đường kính AB, C( )O với AC<AB. Vẽ dây CD⊥AB tại M.

a) Chứng minh: ABC vuông và MC = MD b) E là điểm đối xứng của A qua M. Chứng minh:

DE⊥BC

c) Vẽ (I) đường kính EB, (I) cắt BC tại F. C/m: E, D, F thẳng hàng.