Toán 10 Bài tập cuối chương 4 | Giải Toán lớp 10 Kết nối tri thức

(1)

Bài tập cuối chương 4

A - Trắc nghiệm

Bài 4.27 trang 71 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. ^u ⁼

( )

^2;3 ^và^v ¹^;6

2

 

=  .

B. ^a ⁼

( )

^2;6 ^và^b⁼

(

^{1;3 2}

)

^.

C. ⁱ⁼

( )

^0;1 ^và ^j⁼

( )

^1;0 ^.

D. ^c⁼

( )

^1;3 ^và^d⁼

(

^{2; 6}⁻

)

^.

Lời giải

+) Xét hai vectơ ^u⁼

( )

^2;3 ^và^v ¹^;6

2

 

=  :

Ta có: 2 3

1 6

2

 suy ra hai vectơ u và v không cùng phương.

Do đó A sai.

+) Xét hai vectơ ^a ⁼

( )

^2;6 ^và^b ⁼

(

^{1;3 2}

)

^:

Ta có: ² ⁶ 2

1 =3 2 = suy ra hai vectơ a và bcùng phương.

Do đó B đúng.

+) Xét hai vectơ ⁱ⁼

( )

^0;1 ^và ^j⁼

( )

^1;0 ^:

(2)

Đây là hai vectơ đơn vị nên chúng vuông góc với nhau suy ra hai vectơ i và j không cùng phương.

Do đó C sai.

+) Xét hai vectơ ^c⁼

( )

^1;3 ^và^d⁼

(

^{2; 6}⁻

)

^:

Ta có: 1 3 2  6

− suy ra hai vectơ c và d không cùng phương.

Do đó D sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.28 trang 71 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. ^u ⁼

( )

^2;3 ^và^v ⁼

( )

^4;6 ^.

B. ^a ⁼

(

^{1; 1}⁻

)

^và^b^{= −}

(

^1;1

)

^.

C. ^z ⁼

( )

^{a; b} ^và^t^{= −}

(

^b;a

)

^.

D. ⁿ ⁼

( )

^1;1 ^và^k ⁼

( )

^2;0 ^.

Lời giải

+) Xét hai vectơ ^u⁼

( )

^2;3 ^và^v⁼

( )

^4;6 ^:

Ta có: u.v=2.4+3.6= +8 18=260.

Suy ra hai vectơ u, v không vuông góc. Do đó A sai.

+) Xét hai vectơ ^a ⁼

(

^{1; 1}⁻

)

^và^b^{= −}

(

^1;1

)

^:

(3)

Ta có: ^{a.b 1.}⁼

( ) ( )

^{− + −}¹ ^{1 .1}= − + − = − ¹

( )

¹ ² ^0.

Suy ra hai vectơ a, b không vuông góc với nhau. Do đó B sai.

+) Xét hai vectơ ^z⁼

( )

^{a; b} ^và^t ^{= −}

(

^b;a

)

^:

Ta có: ^z.t⁼^a.

( )

^{− +}^b ^b.a ^{= − +}^ab ^ab⁼^0.

Suy ra hai vectơ z, t vuông góc với nhau. Do đó C đúng.

+) Xét hai vectơ ⁿ⁼

( )

^1;1 ^và^k ⁼

( )

^2;0 ^:

Ta có: n.k=1.2 1.0+ = + = 2 0 2 0.

Suy ra hai vectơ n, k không vuông góc. Do đó D sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.29 trang 71 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. ^a ⁼

( )

^1;1 ^.

B. ^b⁼

(

^{1; 1}⁻

)

^.

C. 1

c 2;

2

 

=  .

D. d ¹ ; ¹ 2 2

 − 

=  

 . Lời giải

+) Xét vectơ ^a ⁼

( )

^1;1 ^ ^a ⁼ ¹² ⁺¹² ⁼ ²^¹. Do đó A sai.

(4)

+) Xét vectơ ^b⁼

(

^{1; 1}^{− }

)

^b ⁼ ¹² ^{+ −}

( )

¹ ² ⁼ ²^¹. Do đó B sai.

+) Xét vectơ

2

1 2 1 17

c 2; c 2 1

2 2 4

   

=  = +  = 

    . Do đó C sai.

+) Xét vectơ

2 2

1 1 1 1

d ; d 1

2 2 2 2

− −

     

=  =   +  = . Do đó D đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 4.30 trang 71 SGK Toán 10 tập 1: Góc giữa vectơ ^a ^{= −}

(

^{1; 1}

)

và vectơ

( )

b= −2;0 có số đo bằng:

A. 90°.

B. 0°.

C. 135°.

D. 45°.

Lời giải

Ta có: ^a ⁼

(

^{1; 1}⁻

)

^và^b ^{= −}

(

^2;0

)

Suy ra:

+) ^{a.b 1.}⁼

( ) ( )

^{− + −}² ^{1 .0}^{= −}^2;

+) ^a ⁼ ¹² ^{+ −}

( )

¹ ² ⁼ ^2;

+) ^b ⁼

( )

⁻² ² ⁺⁰² ⁼^2.

(5)

Do đó: ^{cos a, b}

( )

^a.b ² ¹

2. 2 2

a . b

= = − = −

( )

^{a, b} ^{135 .}

 = 

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.31 trang 71 SGK Toán 10 tập 1: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

( ) ( )

^{a.b c}⁼^{a b.c .}

B.

( )

^a.b ² ⁼^{a .b .}² ²

C. ^a.b= a . b .sin a, b .

( )

D. ^{a b}

( )

⁻^c ⁼^a.b⁻^a.c.

Lời giải

+) Xét phương án A:

( )

^{a.b c}= a . b .cos a, b

( )

c;

( ) ( )

a b.c = a b . c .cos b, c .

Suy ra

( )

^{a.b c}^^{a b.c .}

( )

Do đó A sai.

+) Xét phương án B:

( )

^a.b ² =a . b .cos a, b

( )

² = a . b .cos² ² ²

( )

a, b

(6)

2 2 2 2

a .b = a . b .

Suy ra

( )

^a.b ² ⁼^{a .b}² ² chỉ đúng khi ^{cos a, b}²

( )

⁼¹. Do đó B sai.

+) Xét phương án C:

( ) ( )

a.b= a . b .cos a, b  a . b .sin a, b .

Do đó C sai.

+)Xét phương án D:

Theo tính chất của tích vô hướng ta có:

( )

a b−c =a.b−a.c (tính chất phân phối đối với phép trừ).

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 4.32 trang 71 SGK Toán 10 tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

(

^{AB, BD}

)

⁼^{45 .}^

B. AC.BC=a .² C. AC.BD=a² 2.

D. BA.BD= −a .² Lời giải

(7)

ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = CD = DA = a;

Và BD=AC= AB² +BC² = a² +a² =a 2

Lấy điểm M và N sao cho ABDM, ABNC là các hình bình hành.

+) Vì ABDM là hình bình hành nên BD=AM

(

^{AB, BD}

) (

^{AB, AM}

)

^BAM ⁹⁰ ⁴⁵ ^{135 .}

 = = =  +  = 

Do đó A sai.

+) Vì ABNC là hình bình hành nên AC= BN

(

^{AC, BC}

) (

^{BN, BC}

)

^CBN ⁴⁵

 = = = 

0 2

AC.BC AC.BC.cosCBF a 2.a.cos45 a .

 = = =

Do đó B đúng.

+) Ta có AC⊥BDAC⊥BDAC.BD=0. Do đó C sai.

+) Ta có: ^BA.BD=BA.BD.cos BA, BD

( )

=BA.BD.cos ABD=a.a 2.cos45⁰ =a .² Do đó D sai.

(8)

B – Tự luận

Bài 4.33 trang 71 SGK Toán 10 tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3MC.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ MB và MC. b) Biểu thị vectơ AM theo hai vectơ AB và AC.

Lời giải

a) Vì điểm M nằm trên cạnh BC nên hai vectơ MB và MC là hai vectơ ngược hướng.

Lại có MB = 3MC nên MB= −3MC. Vậy MB= −3MC.

b) Theo câu a: MB= −3MC 3

MB 3CM CB

 = = 4 3

4BC.

= −

Ta có: AM=AB BM+ =AB MB−

( )

3 3

AB BC AB AC AB

4 4

= + = + − (quy tắc ba điểm)

3 3 1 3

AB AC AB AB AC

4 4 4 4

= + − = +

(9)

Vậy AM ¹AB ³AC

4 4

= + .

Bài 4.34 trang 72 SGK Toán 10 tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

MA+MC=MB+MD Lời giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Suy ra O là trung điểm của AC và BD.

OA OC 0

 + = và OB+OD =0 Ta có:

+) ^MA⁺^MC⁼^MO⁺^OA⁺^MO⁺^OC⁼^2MO⁺

(

^OA⁺^OC

)

⁼^2MO ^(Vì

OA+OC=0)

+) ^MB⁺^MD⁼^MO⁺^OB⁺^MO⁺^OD⁼^2MO⁺

(

^OB⁺^OD

)

⁼^2MO ^(Vì

OB+OD=0)

Suy ra MA+MC =MB+MD.

(10)

Vậy MA+MC= MB+MD.

Bài 4.35 trang 72 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ BA và BC.

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Lời giải

a) Với A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2) ta có: ^BA⁼

(

^{4; 4}⁻

)

^và^BC^{= − −}

(

^{3; 3 .}

)

b) Ta có: ^BA.BC⁼^4.

( ) ( ) ( )

^{− + −}³ ^{4 .} ^{− = − +}³ ^{12 12}⁼⁰

BA BC

 ⊥

BA BC

 ⊥

 ABC vuông tại B.

Do ^BA⁼

(

^{4; 4}^{− }

)

^BA⁼ ⁴² ^{+ −}

( )

⁴ ² ⁼^{4 2}^;

( ) ( ) ( )

² ²

BC= − − 3; 3 BC= −3 + −3 =3 2.

Với A(2; 1) và C(‒5; 2) ta có: ^AC^{= −}

(

^7;1

)

^^AC⁼

( )

⁻⁷ ² ⁺¹² ⁼ ⁵⁰ ⁼^{5 2}

Diện tích tam giác vuông ABC là:

(11)

ABC

1 1

S .AB.BC .4 2.3 2 12

2 2

 = = = (đơn vị diện tích)

Chu vi tam giác ABC là:

AB + BC + AC = 4 2+3 2+5 2 =12 2 (đơn vị độ dài)

c) Với A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2) ta có tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

( ) ( )

G

2 2 5 5

x 3 3 G 5 8;

1 5 2 8 3 3

y 3 3

+ − + −

 = =−

 −

   

 + +  

 = =



Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: 5 8

G ; .

3 3

− 

 

 

d)

Để tứ giác BCAD là hình bình hành thì AC= DB Giả sử D(x; y) là điểm cần tìm.

Với A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2) ta có: ^AC^{= −}

(

^7;1

)

^và^DB^{= − −}

(

² ^x;5⁻^y

)

Do đó AC= DB ² ^x ⁷ ^x ⁵ ^{D 5; 4}

( )

5 y 1 y 4

− − = − =

 

 − =   =  .

Vậy với D(5;4) thì tứ giác BCAD là một hình bình hành.

(12)

Bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) và D(6; 5).

a) Tìm tọa độ của các vectơ AB và CD.

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ AB và CD cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để vectơ AC và BE cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ AE theo các vectơ AB và AC. Lời giải

a) Với A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) và D(6; 5) ta có: ^AB⁼

( )

^{2; 2} ^và^CD⁼

( )

^7;7 ^.

b) Xét hai vectơ ^AB⁼

( )

^{2; 2} ^và^CD⁼

( )

^7;7 ^:

Ta có: 7 7

2 = 2 nên hai vectơ AB và CD cùng phương.

Vậy hai vectơ AB và CD cùng phương.

c) Với A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) và E(a; 1) ta có: ^AC^{= − −}

(

^{2; 4}

)

^và^BE⁼

(

^a^{− −}^{3; 3}

)

Hai vectơ AC và BE cùng phương khi và chỉ khi ^a ³ ³

2 4

− −

− = −

 (‒ 4).(a – 3) = (‒3). (‒2)

 ‒ 4a + 12 = 6

 4a = 6 a 3.

 = 2

(13)

Vậy a ³

= 2 thì hai vectơ AC và BE cùng phương.

d) Với 3 3

a E ;1

2 2

 

=    Với A(1; 2) và 3

E ;1 2

 

 

 

AE 1; 1 2

 

 = − 

Ta có: ^AB⁼

( )

^{2; 2} ^và^AC^{= − −}

(

^{2; 4}

)

Tồn tại hai số thực m và n thỏa mãn: AE=mAB+nAC

( ) ( )

1 1 m 1

m.2 n. 2 2m 2n

2 2 3

1 m.2 n. 4 2m 4n 1 n 4

 = + −  − =  =

  

− = + −  − = −  =

AE AB 3AC

 = + 4

Vậy 3

AE AB AC

= +4 .

Bài 4.37 trang 72 SGK Toán 10 tập 1: Cho vectơ a 0. Chứng minh rằng 1 a a (hay còn được viết là ^a

a

) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ a.

Lời giải

Ta thấy ¹ ^{0 a}

( )

⁰

a

  nên 1 a

a là vectơ cùng hướng với vectơ a.

(14)

Độ dài của vectơ 1 a

a là: 1 a a

1 1

. a . a 1

a a

= = =

Vậy vectơ 1 a

a (hay còn được viết là ^a a

) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ a.

Bài 4.38 trang 72 SGK Toán 10 tập 1: Cho ba vectơ a, b, u với a = b =1 và a⊥ b . Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị i=a, j=b. Chứng minh rằng:

a) Vectơ u có tọa độ là

(

^{u.a; u.b .}

)

b) ^u⁼

( ) ( )

^{u.a .a}⁺ ^{u.b .b.}

Lời giải

a) Vì ⁱ^{=  =}^a ^a

( )

^1;0

Và ^j^{=  =}^b ^b

( )

^0;1

Gọi tọa độ của vectơ ^u ⁼

( )

^{x; y}

Khi đó, ta có:

u.a =1.x+0.y=x;

u.b=0.x 1.y+ =y;

(15)

Suy ra ^u ⁼

( )

^{x; y} ⁼

(

^{u.a; u.b}

)

Vậy tọa độ của vectơ u là

(

^{u.a; u.b .}

)

b) Ta có:

( )

^{u.a .a} ⁼^x.a^mà^a ⁼

( )

^1;0 ^nên

( )

^{u.a .a} ⁼

( )

^x;0

( )

^{u.b .b}⁼^y.b^mà^b⁼

( )

^0;1 ^nên

( )

^{u.b .b}⁼

( )

^{0; y}

Suy ra

( ) ( )

^{u.a .a}⁺ ^{u.b .b} ⁼

(

^{x; y}

)

Lại có ^u⁼

( )

^{x; y}

Do đó ^u⁼

( ) ( )

^{u.a .a}⁺ ^{u.b .b.}

Vậy ^u⁼

( ) ( )

^{u.a .a}⁺ ^{u.b .b.}

Bài 4.39 trang 72 SGK Toán 10 tập 1: Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S15°E (xem chú thích ở Bài 3.8, trang 42) với vận tốc có độ lớn bằng 20km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3 km/h.

Lời giải

(16)

Ta mô tả bài toán bằng hình vẽ trên, trong đó:

OE là hướng đông, OS là hướng nam, OW là hướng tây, ON là hướng bắc;

OA biểu diễn vectơ vận tốc của dòng nước vn và OA = vn =3;

OB là hướng S15°E biểu diễn vectơ vận tốc chuyển động của ca nô v^cano tạo với OS một góc 15° và OB= vcano =20;

Lấy điểm C sao cho OABC là hình bình hành. Khi đó OC biểu diễn vectơ vận tốc riêng vrcủa ca nô.

Vì OB tạo với OS một góc 15° nên OB tạo với OA một góc là 90° ‒ 15° = 75° tức là AOB=75

Xét tam giác OAB có: AB² = OA² + OB² – 2.OA.OB.cosAOB

(17)

 AB² = 3² + 20² – 2.3.20.cos75°

 AB ≈ 19,44

Vì OABC là hình bình hành nên OC = AB ≈ 19,44 (tính chất hình bình hành) Suy ra vr = OC =OC 19,44 (km/h)

Vậy vận tốc riêng của ca nô khoảng 19,44 km/h.