Đề thi chọn HSG Toán lớp 9 Phú Thọ 2017 - 2018

(1)

Trang 1/3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang)

Thí sinh làm bài (trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) ra tờ giấy thi; không làm bài vào đề thi.

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Câu 1. Cho phương trình x²mx 4 0. Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm kép là

A.



^{4; 4 .}^



^B.

 

^{4 .} ^C.

 

^^{4 .} ^D.

 

^{16 .}

Câu 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi hai đường thẳng có phương trình y 5 x và 5

y x bằng

A.70 .ô B. 30 .ô C. 90 .ô D. 45 .ô

Câu 3. Cho ³^{10 6 3}



^{3 1}



.

6 2 5 5

x  

   Giá trị của biểu thức



^x³^⁴^x^²



²⁰¹⁸^bằng

A. 2²⁰¹⁸. B. 2²⁰¹⁸. C. 0. D. 1.

Câu 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2018; 1) và B( 2018;1). Đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

A. .

2018

y  x B. .

2018

y x C. y2018 .x D. y 2018 .x

Câu 5. Cho biểu thức P 2x 8x 4 2x 8x4 , khẳng định nào dưới đây đúng ? A. P 2 với mọi ¹

x2. B. P 2 với mọi x1.

C. P 2 2x1 với mọi x1. D. P 2 2x1 với mọi ¹ 1.

2 x

Câu 6. Trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M, biết rằng M cách đều trục tung, trục hoành và đường thẳng y 2 x. Hoành độ của điểm M bằng

A. 2 2. B. 2 2. C. ¹.

2 D. 2.

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm ^M



^{2018; 2018}



đến đường thẳng 2

y x bằng

A. 2. B. 2. C. 4. D. 1.

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm ² 10 . A3m;m - 

 

  Khi m thay đổi thì khẳng định nào dưới đây đúng ?

A. Điểm A thuộc một đường thẳng cố định. B. Điểm A thuộc một đường tròn cố định.

C. Điểm A thuộc một đoạn thẳng cố định. D. Điểm A thuộc đường thẳng y x 10.

Câu 9. Cho tam giác ABC cóAB3 cm AC, 4 cm và BC5 cm. Kẻ đường cao AH, gọi I K, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác HAB và tam giác HAC. Độ dài của đoạn thẳng KI bằng A. 1, 4 cm. B. 2 2 cm. C. 1, 45 cm. D. 2 cm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

(2)

Trang 2/3 Câu 10. Cho AB là một dây cung của đường tròn



^O^{; 1}^cm



^và^AOB^^{150 .}^o Độ dài của đoạn thẳng

AB bằng

A. 2 cm . B. 2 3 cm. C. 1 5 cm. D. 2 3 cm.

Câu 11. Cho hai đường tròn

 

^{I 3}^; ^và



^O^{; 6}



tiếp xúc ngoài với nhau tại .A Qua A vẽ hai tia vuông góc với nhau cắt hai đường tròn đã cho tại B và C. Diện tích lớn nhất của tam giác ABC bằng

A. 6. B. 12. C. 18. D. 20.

Câu 12. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 1. Gọi x y, lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và tam giác ABD. Giá trị của biểu thức 1₂ 1₂

x  y bằng

A. 4. B. 2. C. ³.

2 D. ¹.

4

Câu 13. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn



^{O R}^;



đường kính AC và dây cung BDR 2.

Gọi , , , x y z t lần lượt là khoảng cách từ điểm O tới AB CD BC DA, , , . Giá trị của biểu thức xyzt bằng

A. 2 2R². B. 2R². C. ² ².

2 R D. ² ².

4 R

Câu 14. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I; 2 cm) và nội tiếp đường tròn



^O^{; 6}^cm



^.^Tổng

khoảng cách từ điểm O tới các cạnh của tam giác ABC bằng

A. 8 cm. B. 12 cm. C. 16 cm. D. 32 cm.

Câu 15. Nếu một tam giác có độ dài các đường cao bằng 12,15, 20 thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng

A. 5. B. 4. C. 3. D.6 .

Câu 16. Trên một khu đất rộng, người ta muốn rào một mảnh đất nhỏ hình chữ nhật để trồng rau an toàn, vật liệu cho trước là 60m lưới để rào. Trên khu đất đó người ta tận dụng một bờ rào AB có sẵn (tham khảo hình vẽ bên) để làm một cạnh hàng rào. Hỏi mảnh đất để trồng rau an toàn có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu ?

A.400 m². B.450 m². C. 225 m². D.550 m². B. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Cho ^a²



^b^^c



^^b²



^c^^a



^²⁰¹⁸^với^{a b c}^{, ,} đôi một khác nhau và khác không. Tính giá trị của biểu thức ^c²



^{a b}^



^.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương a b c, , thỏa mãn a b c  91 và b² ca. Câu 2 (3,5 điểm).

a) Giải phương trình x²2x x²2x 2 0.

b) Hai vị trí A và B cách nhau 615 m và cùng nằm về một phía bờ sông. Khoảng cách từ A B, đến bờ sông lần lượt là 118 m và 487 m(tham khảo hình vẽ bên). Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về .B Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến đơn vị mét).

Câu 3 (4,0 điểm).

(3)

Trang 3/3 Cho đường tròn

 

^O và điểm A nằm ngoài

 

^O ^.^Qua ^A kẻ hai tiếp tuyến AB AC, với

 

^O ^{( ,}^{B C} là các tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi qua A cắt

 

^O ^tại^D^và^{E AD}⁽ ^^AE^).^Tiếp

tuyến của

 

^O ^tại^D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC tại các điểm M và N.

a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng bốn điểm M E N I, , , cùng thuộc một đường tròn

 

^T ^.

b) Chứng minh rằng hai đường tròn

 

^O ^và

 

^T tiếp xúc nhau.

c) Chứng minh rằng đường thẳng IT luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 4 (1,5 điểm).

Chứng minh rằng

 

2 2 2

3 3 3

a b b c c a 9 a b c

a ab b bc c ca

  

 

         với a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác.

--- HẾT ---

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………..

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

(4)

Trang 4/3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang)

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm:Mỗi câu 0,5 điểm)

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8

A C B C B,D A,B B A

Câu 9 10 11 12 13 14 15 16

D B C A C A A B

B. PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu 1 3,0 điểm

a) Cho ^a²



^b^^c



^^b²



^c^^a



^²⁰¹⁸^với^{a b c}^{, ,} đôi một khác nhau và khác không.

Tính giá trị của biểu thức ^c²



^{a b}^



^.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương a b c, , thỏa mãn a b c  91 và b² ca. Điểm

a)

1.5 điểm

Ta có ^a²



^b^^c



^^b²



^c^^a



^^bc^ââb ^ âb^b^^ca^ ^{c b}



^{a b}^^^a



^{ }¹^c^. ^0,25

Suy ra ^{ab bc}^ ^^ca^{ }⁰ ^bc^{ }^{a b}



^^c



^{ }^abc^^a²



^b^^c



^^2018.(1) 0,5

 

²

 

0 .(2)

ab bc ca ab c a b  abcc a b 0,5

Từ (1) và (2) ta được ^c²



^a^^b



^^2018. 0,25

b) 1,5 điểm

Đặt ^b^^{qa c}^; ^^{q a q}²



^¹



thì ta được ^{a 1}



^{ }^q ^q²



^^{91 13.7.}^ ^0,25

Trường hợp 1: Nếu q là số tự nhiên thì ta được

2

1 1

1; 9; 81.

1 91 9

a a

a b c

q q q

 

 

    

     



0,25

2

7 7

7; 21; 63.

1 13 3

a a

a b c

q q q

 

 

    

     

 0,25

2

13 13

13; 26; 52.

1 7 2

a a

a b c

q q q

 

 

    

     

 0,25

Trường hợp 2: Nếu q là số hữu tỷ thì giả sử ^q ^x



^x ^3;^y ^{2 .}



 y  

Khi đó ^{a 1}



^{ }^q ^q²



^⁹¹^^{a x}



²^^xy^^y²



^⁹¹^y²



^x²^^xy^^y² ^¹⁹



^0,25

Ta có

2

2 2 2

2 2 91 6; 5.

ax a

c a ty x xy y x y

y y

            

và a25;b30;c36.

Vậy có 8 bộ số



^{a b c}^{; ;}



^{thỏa mãn}



1;9;81 , 81;9;1 , 7; 21; 63 , 63; 21; 7 ;...

      

0,25

Câu 2.

3,5 điểm

a) Giải phương trình x²2x x²2x 2 0.

b) Hai vị trí A và B cách nhau 615m và cùng nằm về một phía bờ sông. Khoảng cách từA B, đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m(tham khảo hình vẽ dưới đây).

Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến 1 chữ số thập phân).

HƯỚNG DẪN CHẤM

(5)

Trang 5/3 a)

1.5 điểm

 

2 2 2 2

2 2 2 0 2 2 2 2 2 0.

x  x x  x   x  x  x  x   0,25

2

2 2 1( )

2 2 2

x x L

x x

    



   



0,25 0,25

2 2

2 2 4 2 2 0

x x x x

        0,25

1 3

.

1 3

x x

   

    

0,25 0,25

b) 2,0 điểm

Gọi C D, lần lượt là hình chiếu của A B, lên bờ sông. Đặt ^CE^^x



⁰^{ }^x ⁴⁹²



Ta có ^CD^ ⁶¹⁵² ^



^{487 118}^



² ^^492. ^0,25

Quãng đường di chuyển của người đó bằng AEEB

 

²

2 2 2

118 492 487

x x

    

0,25

Ta có với mọi a b c d, , , thì ^a²^^b² ^ ^c²^^d² ^



^{a c}^

 

²^{ }^{b d}



²^(1). ^0,25

Thật vậy

 

¹ ^^a²^^b²^{ }^c² ^d²^²



^a²^^b²



^c²^^d²



^



^{a c}^

 

²^{ }^{b d}



²



^a² ^b²



^c² ^d²



^{ac bd}⁽²⁾

    

Nếu ac bd 0 thì (2) luôn đúng. Nếu ac bd 0bình phương hai vế ta được 0,25 (2) trở thành



^ad^^bc



² ^^0.Dấu đẳng thức sảy ra khi ad bc. 0,25 Áp dụng (1) thì ^AE^^EB^



^x^⁴⁹²^^x

 

²^ ^{487 118}^



² ^ ⁶⁰⁸⁰⁸⁹^^779,8^m ^0,25

Dấu đẳng thức xảy ra khi ⁴⁸⁷^x^^{118 492}



^^x



^{ }^x ⁹⁶^m ^0,25

Vậy quãng đường nhỏ nhất là 780 m 0,25

Câu 3

4,0 điểm Cho đường tròn

 

^O ^{và điểm}^A nằm ngoài

 

^O ^.^Qua^A kẻ hai tiếp tuyến AB AC, với

 

^O ⁽^{B C}^, là các tiếp điểm), một cát tuyến thay đổi qua A cắt

 

^O ^tại ^D^và

( ).

E ADAE Tiếp tuyến của

 

^O ^tại^D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC tại các điểm M và N.

a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AD, chứng minh rằng bốn điểm , , ,

M E N I cùng thuộc một đường tròn

 

^T ^.

b) Chứng minh rằng hai đường tròn

 

^O ^và

 

^T tiếp xúc nhau.

c) Chứng minh rằng IT luôn đi qua một điểm cố định.

(6)

Trang 6/3 a)

1,5 điểm

Ta có ABOACO180^o nên tứ giác ABON nội tiếp

0,25

Gọi J là giao điểm của AD với đường tròn



^ABOC



^.^{Suy ra}^^DMA đồng dạng

DNJ

0,25

Suy ra DM DN. DA DJ. 0,25

Mà 2 ; ¹ .

DA DI DJ  2DE 0,25

Nên DM DN. DI DE. DMI đồng dạng DEN 0,25

Vậy tứ giác MINE nội tiếp hay có đpcm. 0,25

b)

1,5 điểm Dễ thấy khi MN OAthì

 

^O ^và

 

^T tiếp xúc nhau tại E. 0,25 Khi MN không vuông góc OA. Gọi K là giao điểm của MN với tiếp tuyến của

 

^O ^tại^E^. ^0,25

Ta có O J K, , thẳng hàng 0,25

Trong tam giác OEK KJ KO: . KE² (1) ( Định lý hình chiếu) 0,25 Trên đường tròn



^ABOC



^{ta có}^{KJ KO}^. ^^{KN KM}^. ^(2). ^0,25

Từ (1) và (2) suy ra KE² KN KM. nên KE tiếp xúc

 

^T ^0,25

c)

1,0 điểm Ta có OEDODETIE 0,25

Nên IT OD. Gọi WOAIT. 0,25

Vì I là trung điểm của AD nên W là trung điểm OA (đpcm) 0,25

Khi MN OA thì WIT. 0,25

Câu 4 1,5 điểm

Chứng minh rằng

 

2 2 2

3 3 3

a b b c c a 9 a b c

a ab b bc c ca

  

 

         với a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Giả sử a b c  t và đặt atx b; ty c;     tz x y z 1. 0,25

Ta chứng minh

   

         

2 2 2 2 2 2

3 3 3

t x y t y z t z x 9 t x y z

t x xy t y yz t z zx

    

 

    

  

 

 

² ² ²

3 3 3

x y y z z x 9.

x xy y yz z zx

  

   

  

0,25

 

   

 

4 4 4 4 1 4 1 4 1

9 9

1 1 1

x x y y y z z z x

x x y y y z z z x z x x y y z

     

          

     

(7)

Trang 7/3

2 2 2

5 1 5 1 5 1

x y y 9

x x y y z z

  

   

  

0,25

Vì a b c, , là ba cạnh của một tam giác nên , , 0;¹ .

a b  c x y z 2 0,25 Ta có:

  

²



2

5 1

18 3 3 1 2 1 0

x x x x

x x

      

 đúng 0;¹

x  2

  

  

²



2

5 1

18 3 3 1 2 1 0

y y y y

y y

      

 đúng 0;¹

y  2

  

  

²



2

5 1

18 3 3 1 2 1 0

z z z z

z z

      

 đúng 0;¹

z  2

  

0,25

Suy ra ⁵^x ¹₂ ⁵^y ¹₂ ⁵^y ¹₂ ¹⁸



^x ^y ^z



⁹

x x y y z z

  

      

   ² ² ²

5 1 5 1 5 1

x y y 9

x x y y z z

  

   

  

0,25

--- Hết---