CHỦ ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

ÔN TẬP ĐẠI SỐ HỌC KÌ 1

CHỦ ĐỀ 1. MỆNH ĐỀ

1. Mệnh đề

Mệnh đề là một câu khẳng định chỉ đúng hoặc chỉ sai.

Ví dụ 1: Mệnh đề (đúng): “3 là một số nguyên tố”

Mệnh đề (sai): “7 chia hết cho 5”

Không là mệnh đề: “Chị ơi, mấy giờ rồi ?”

2. Phủ định mệnh đề

✓ Khi phủ định một mệnh đề P (Đ) ta được một mệnh đề P (S) và ngược lại.

✓ Phủ định P có thể phát biểu “không P”.

✓ Khi phủ định mệnh đề chứa kí hiệu  _{ta thay b}ằng kí hiệu  và ngược lại.

Ví dụ 2: Phủ định mệnh đề P : " x :x² 1" là mệnh đề P : " x :x² 1"

CHỦ ĐỀ 2. HÀM SỐ

1. Tập xác định của hàm số

1

A xác định A 0 A xác định ^{A 0} 1

A xác định A 0

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số: 2 5

x x

y x x

Giải:

2 0 2

0 0 2 5 0

5 0 5

: : [ ; ) \

x x

ÐK x x TXÐ D

x x

2. Đồ thị của hàm số

Cho hàm số y f x( ) xác định trên tập D. Ta đã biết, trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp (G) các điểm có tọa độ ( ; ( ))x f x với ^{x D}, gọi là đồ thị của hàm số f .

Nói cách khác: M x y( ; ) ( )G x D và y f x( )

Ví dụ 2. Cho hàm số 1 ² ( ) 2

y f x x có đồ thị như hình vẽ

Dựa vào đồ thịx 2 f( )2 2 hoặc 1 ²

2 2 2 2

( ) 2.

x f

3. Sự biến thiên của hàm số

✓ Hàm số y f x( ) gọi là đồng biến (tăng) trên K K( D) khi và chỉ khi:

2 1

1 2 1 2

2 1

, và ,f x f x 0

x x K x x

x x

✓ Hàm số y f x( ) gọi là nghịch biến (giảm) trên K K( D) khi và chỉ khi:

2 1

1 2 1 2

2 1

, và ,f x f x 0

x x K x x

x x Ví dụ 3. Xét tính tăng, giảm của hàm số x² 6x 7 trên ( ; )3 Giải:

1 2 1 2

2 2 2 2

2 2 1 1

2 1 2 1 2 1

2 1

2 1 2 1 2 1

1

2 1 2

2

3

6 7 6 7 6

6

3 3 6 0

3

, ( ; ) và ta có:

, ( ; )

x

x x x x

x x x x

f x f x x x x x

x x

x x x x x x

x x x x x

x

Vậy hàm số giảm trên ^{( ; )3} .

4. Tính chẵn lẻ của hàm số a/ Định nghĩa

Cho hàm số y f x( ) với tập xác định D.

✓ Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D, ta có −x thuộc D và f x f x

✓ Hàm số f gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D, ta có –x thuộc D và f x f x . b/ Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ

✓ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

✓ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Ví dụ 4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y x x 1 x 1 x Giải:

1 0 1

1 0 1 1 1

: : ;

,

x x

ÐK TXÐ D

x x

x D x D

1 1 1 1

( ) ( ) ( )

f x x x x x x x x x f x là hàm số lẻ trên D

5. Hàm số y ax b

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng y ax b, với a và b là các hằng số và a 0.

✓ Hàm số bậc nhất có tập xác định là .

✓ Khi a > 0, hàm số y = ax + b đồng biến trên .

✓ Khi a < 0, hàm số y = ax + b nghịch biến trên .

✓ Cho hai đường thẳng ( ) :d y ax b; ( ') :d y a x' b' ( ) / /( ') '

' a a

d d

b b ( )d ( ')d aa' 1

Ví dụ 5. Viết phương trình đường thẳng a) đi qua hai điểm A( ; ), B( ;2 1 1 5)

b) qua điểm ( ;1 3) và có hệ số góc bằng 3

c) qua điểm ^{( ; )2 3} và song song với đường thẳng ^{y 2x 1} d) qua điểm ( 2 1; ) và vuông góc với đường thẳng y 3x 7 Giải:

Gọi ^{( ) :d y ax b}

a/ ^{( )d} qua 2 1 1 5 ^{2 1 2}

5 3

; , B ; a b a

A a b b

Vậy ( ) :d y 2x 3_.

b/ ^{( )d} có hệ số góc bằng 3 nên a 3 ( ) :d y 3x b ( )d qua điểm ( ;1 3) 3 b 3 b 6

Vậy ( ) :d y 3x 6.

c/ ^{( )d} song song với đường thẳng y 2x 1 nên a 2 ( ) :d y 2x b ( )d qua điểm ( ; )2 3 4 b 3 b 7

Vậy ( ) :d y 3x 6.

d/ ^{( )d} vuông góc với đường thẳng y 3x 7 nên 1 1

3 1

3 3

.( ) ( ) :

a a d y x b

( )d qua điểm 2 5

2 1 1

3 3

( ; ) b b

Vậy 1 5

3 3

( ) :d y x .

6. Hàm số bậc hai

a/ Dạng: y ax² bx ctrong đó a, b, c là các hằng số và a 0 b/ Đồ thị: là 1 parabol

c/ Khảo sát và vẽ đồ thị:

+ TXĐ: ^D

+ Tọa độ đỉnh: ² ( 2 ) x b

ab y f

a

+ Trục đối xứng:

2 x b

a + Bảng biến thiên:

 Khi a 0:

 Khi a 0:

+ Bảng giá trị + Vẽ hình

Ví dụ 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x² 2x 2

• TXÐ D:

• Tọa độ đỉnh: ¹ 3 x y

• Trục đối xứng x 1

• BBT:

Hàm số đồng biến trên (-;1), nghịch biến trên (1;+)

• BGT:

x -1 0 1 2 3

y -1 2 3 2 -1

•

Ví dụ 7. Xác định parabol y ax² bx c, biết rằng parabol đi qua điểm A( ; )8 0 và có đỉnh là 6 12

( ; )

I .

Giải:

Parabol y ax² bx c đi qua điểm A( ; )8 0 , đỉnh là I( ;6 12) nên trục đối xứng 6 2 x b

a

Ta có hệ phương trình:

2 2

8 8 0 64 8 0 3

6 6 12 36 6 12 36

12 0 96

2 6

. .

. .

a b c a b c a

a b c a b c b

b a b c

a Vậy ( ) :P y 3x² 36x 96.

CHỦ ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1. Định lý Vi-et a) Định lý thuận:

Nếu phương trình bậc hai ax² bx c 0 a 0 có hai nghiệm x x₁, ₂ thì: ^{1 2}

1 2

S x x b c a P x x

a

b) Định lý đảo:

Nếu có hai số ^{u v,} có tổng ^{u v S} và tích ^{uv P} thì ^{u v,} là các nghiệm của phương trình

2 0

x Sx P .

Ví dụ 1. Với giá trị nào của m thì phương trình x^{2 2}x m ^{1 0} có hai nghiệm phân biệt

1, 2

x x thỏa mãn x₁² x₂² 4

• Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 0 ( 2)² 4 1. .(m 1) 0

8 4m 0 m 2

• x₁² x₂² 4 (x₁ x₂)² 2xy 4 với ^{1 2}

1 1

2 1

S x x

P x x m

2

22 2(m 1) 4 m 1 ^m nhận

Vậy m 1 thỏa YCBT.

2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

B 0

A B

A B

A B

A B

A B

A B

Ví dụ 2. Giải phương trình ³x ^{2 2}x ³ Giải:

3

2 3 0

2 5

3 2 2 3

3 2 2 3

1

3 2 2 3

5 ( )

( ) x x

x n

x x

x x

x x

x n

Vậy 1

5; 5

x x là nghiệm phương trình.

3. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

2

B 0

A B

A B

0 0

A hay B

A B

A B

Ví dụ 3. Giải phương trình ⁴x^{2 2}x ^{10 3}x ¹ Giải:

2

2 2

2

1

1 3

3 1 0

4 2 10 3 1 3 1

4 2 10 3 1

5 4 9 0 9

5 ( ) ( )

( )

x x x

x n

x x x

x x x x x

x l

Vậy ^{x 1} là nghiệm phương trình.

4. Hệ phương trình đối xứng loại 1

a/ Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi.

b/ Cách giải:

Bước 1: Đặt x + y = S và xy = P, với S² 4P_, ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S, P.

Bước 2: Giải hệ mới tìm S, P. Chọn S, P thoả mãn S² 4P.

Bước 3: Với S, P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình: X²−SX P 0+ = .

* Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu

(

)

(

)

Ghi nhớ:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

( ) ( )

S P

x y x xy y x y xy x y x y S P

3 3 2 2 3 3 3 3

3 3 3

(x y) x x y xy y (x y) x y xy x( y)

3 3 3 3 3 3

3 3

( ) ( )

S P S

x y xy x y x y x y S PS

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình _{2 2} ¹¹ 30 xy x y x y xy Giải:

2 2

11 11

30

30 ( )

xy x y xy x y

xy x y x y xy

Đặt ^{x y S.Ðk S: 2 4P} xy P

2

11 11

11 11 6 5

30 11 30 11 30 0 6 5 6

5

( )

( ) ( )

P S

P S

P S P S S P n

Hpt S

PS S S S S S P n

S ,

x y là nghiệm phương trình X² SX P ⁰

• 6 5 ² 6 5 0 ¹

, X 5

S P X X

X Nghiệm: ( ; ),( ; )1 5 5 1

• 5 6 ² 5 6 0 ³

, X 2

S P X X

X Nghiệm: ( ; ),( ; )3 2 2 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ; ),( ; ),( ; ),( ; ).1 5 5 1 3 2 2 3

5. Hệ phương trình đối xứng loại 2

a/ Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ.

b/ Cách giải:

o Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.

o Kết hợp phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ.

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình

2 2

2 3

2 3

x xy x

y xy y

Giải:

2 2

2 3 1

2 3 2

( ) ( )

x xy x

y xy y

Lấy (1) trừ (2) ta được:2x² 2y² 3x 3y

2 2

2(x y ) 3x 3y 0 2(x y x)( y) 3(x y) 0

2 2 3 0

(x y)( x y )

• x y 0 x y

2 2 0

1 2 3 3 3 0

( ) . x 1 y

x x x x x x

x y Nghiệm: ( ; ),( ; )0 0 1 1

• 3 2

2 2 3 0

2

x y y x

2

0 3

3 2 2

1 2 3

2 3

2 0

( ) . x x y

x x x

x y

Nghiệm: 3 3

0 0

2 2 ( ; ),( ; )

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 3 3

0 0 1 1 0 0

2 2 ( ; ),( ; ),( ; ),( ; ).