ĐỀ SỐ 10 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề
Câu 1. Cho hàm số y ax 4bx2c với a 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số luôn có ba điểm cực trị.
B. Hàm số có một điểm cực trị khi ab 0 .
C. Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm trục đối xứng.
D. Hàm số có ba điểm cực trị khi ab 0 .
Câu 2. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng f (x) là một trong bốn hàm số được liệt kê trong các phương án A, B, C, D dưới đây. Tìm f (x) .
A. f (x) log x3
B. f (x) x 3 C. f (x) ln x D. f (x) e x
Câu 3. Đạo hàm của hàm số y log (2 e ) 3 2x là A.
2x 2x
2e ln 3 y 2 e
B.
2x 2x
y e
2 e
C.
2x 2x
y 2e
(2 e ) ln 3
D.
2x 2x
y e
(2 e ) ln 3
Câu 4. Gọi M là điểm biểu diễn số phức z 1 3i . Khi đó độ dài đoạn OM bằng bao nhiêu?
A. OM 10 B. OM 2 C. OM 5 D. OM 5
Câu 5. Cho z1 5 10i và z2 2 i. Khi đó số phức 1
2
w z
z có phần ảo là
A. 3 B. 3 C. 4 D. 4
Câu 6. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?ℝ A. 2x 1
y x 1
B. y x 3x2 x 1 C. y x 4x22 D. y x21
Câu 7. Có bao nhiêu cách xếp 6 quyển ách lên kệ sách thành một dãy hàng ngang, trong đó có 3 cuốn sách Toán giống nhau và 3 cuốn sách Văn giống nhau?
A. 20 B. 120 C. 720 D. 40
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) : x 2z 3 0 .
A. n1 (2;0; 4)
B. n2 ( 1;0; 2)
C. n3 (1; 2;0)
D. n4 (1;0; 2)
A. MH 1 B. MH 2 C. MH 3 D. MH 4 Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số 2x 1
f (x)
2x 3
.
A. f (x)dx x ln 2x 3 C
B.
f (x)dx x 12ln 2x 3 C C. f (x)dx x 2ln 2x 3 C
D. f (x)dx 2x 2ln 2x 3 C
Câu 11. Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 x 2 với đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 2x 1
x 2
là
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 12. Cho a là số thực dương khác 1. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 32log a3 2a B. a
log 1 1
a C. 2log 1a 1 D. a
1 1
log a 2 Câu 13. Cho hàm số y 4 x 2x 3 6x ln 2. Tập nghiệm S của bất phương trình y 0 là
A. S (0;2) B. S (0;log 3) 2
C. S ( ;0) (log 3; 2 ) D. (2;) Câu 14. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình
f (x) m có ba nghiệm đều không lớn hơn 3 khi và chỉ khi A. 1 m 2 B. 0 m 2
C. 1 m 0 D. 0 m 2
Câu 15. Cho hàm số y 2x3(2m 1)x 2(m21)x 2 . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
A. 4 B. 5 C. 3 D. 6
Câu 16. Cho hình nón có chu vi đáy là 6π cm và độ dài đoạn nối đỉnh của nón và tâm đáy bằng 4 cm.
Diện tích xung quanh S của nón làxq
A. Sxq 12 cm2 B. Sxq 24 cm 2 C. Sxq 15 cm2 D. Sxq 25 cm 2
Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 2;1), N(2; 3;3) . Gọi P là giao điểm của MN và mặt phẳng (Oyz). Tọa độ điểm P là
A. P(0;1;1) B. P( 1;0;0) C. P(0; 1; 1) D. P(0; 2;1) Câu 18. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z , z1 2
như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z .z1 2 OM.ON
B. z1z2 MN C. z z MN D. z z MN
Câu 19. Gọi m m 0 là giá trị lớn nhất làm cho hàm số y x 4m x2 2 m 2 có giá trị nhỏ nhất trên
1;3 bằng 1. Khi đó m gần giá trị nào nhất sau đây?0A. 0 B. 1 C. 3 D. 4
Câu 20. Số mặt đối xứng của đa diện đều loại
4;3 làA. 4 B. 6 C. 9 D. 12
Câu 21. Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f (x), y g(x) và trục hoành như hình dưới đây. Thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay (H) quanh trục Ox là
A.
c b
2 2
a c
V
f (x)dx
g (x)dx B.c b
2 2
a c
V
f (x)dx
g (x)dx C.b
2 2
a
V
f (x) g (x) dx D.b
2 2
a
V
f (x) g (x) dx Câu 22. Phương trình log x log x22 2 2 1 0 có hai nghiệm x , x . Tính tích 1 2 x x .1 2
A. x x1 2 1 B. x x1 2 16 C. x x1 24 D. x x1 2 2 Câu 23. Cho hàm số ax b
y x c
có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị của a 2b 3c bằng bao nhiêu?
A. 1 B. 2
C. 3 D. 0
Câu 24. Tính tích phân 2
2
0
I
max x ; x dx. A. 17I 6 B. 11
I 6 C. 7
I 6 D. 8
I3 Câu 25. Cho z là số phức thuần ảo. Trong những khẳng định sau, đâu là khẳng định sai?
A. z z 0 B. z2 z2 C. z 2z z D. z3z3
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy. Biết AB a , AC a 5 và góc tạo bởi SC và (ABCD) bằng 60. Thể tích V của
khối chóp S.ABCD là
C. V 2a 15 3 D.
a 153
V 6
Câu 27. Cho f (x) 2x 1 và f (1) 5 . Phương trình f (x) 5 có hai nghiệm x , x . Tính tổng1 2
2 1 2 2
S log x log x .
A. S 0 B. S 1 C. S 2 D. S 4
Câu 28. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết ACC A là hình vuông và AB = a. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
A. a3 2
V 6
B. V a3 2
C. V 2 a 3 2 D.
a3 2
V 2
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( 1; 2; 3), B(1;0; 2), C(x; y; 2) thẳng hàng. Khi đó tổng x y bằng bao nhiêu?
A. x y 1 B. x y 17 C. 11
x y 5 D. 11
x y 5
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M( 2;1;3) và chứa trục hoành có phương trình là
A. (P) : y z 4 0 B. (P) : x y z 0 C. (P) : 3y z 6 0 D. (P) : 3y z 0 Câu 31. Cho hàm số ax 1
f (x)
bx 1
có đồ thị (C). Biết (C) có tiệm cận ngang y 2 và f (1) 6. Khi đó giá trị của a b lớn nhất bằng
A. 0 B. 1
2 C. 2 D. 4
Câu 32. Biết đồ thị (T) của hàm số y ax 4bx2c có A(1;4) và B(0;3) là các điểm cực trị. Hỏi trong các điểm sau đây, đâu là điểm thuộc đồ thị (T)?
A. M( 2;5) B. N( 1; 4) C. P(3; 15) D. Q(2; 5) Câu 33. Cho lăng trụ ABC.A B C có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a.
Gọi D, E lần lượt là trung điểm của cạnh BC, A C . Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng DE và AB.
A. a 3
h 2 B. a 3
h 3 C. a 3
h 6 D. a 3
h 4
Câu 34. Cho hàm số y f (x) liên tục trên và hàm sốℝ
2 3
y g(x) x .f (x 1) có đồ thị trên đoạn
1; 2
như hình vẽ bên. Biết diện tích phần tô màu là S 3 . Khi đó giá trịcủa tích phân
7
2
I f (x)dx
bằng bao nhiêu?A. I 1 B. I 3
C. I 9 D. 3
I 2
Câu 35. Nếu ba cạnh của một tam giác bất kì mà lập thành một cấp số nhân thì tập tất cả các giá trị của công bội có thể nhận được là S (a;b) . Tính giá trị của T a b .
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
Câu 36. Cho đồ thị (C) : y x 33x23x 1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của a để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0;a) . Tính tổng các phần tử của (S).
A. 1 B. 2 C. 1 D. 3
Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2;0) , đường thẳng
x 2 y 5 z 3
d : 1 3 2
và mặt phẳng (P) : 2x y z 5 0 . Đường thẳng đi qua M cắt d và song song với (P) có phương trình là
A. x 1 y 2 z
: 1 1 1
B. x 1 y 2 z
: 1 1 3
C. x 1 y 2 z
: 1 2 4
D. x 1 y 2 z
: 2 1 3
Câu 38. Cho hàm số y f (x) liên tục trên
0;
và thỏa mãn 4x 1xf (0) 1, f (x) f (x) e
với mọi
x 0 . Giá trị f (2) thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (0;1) B. (1; 2) C. (2;3) D. (3; 4)
Câu 39. Cho số phức z thỏa mãn (z 1)(z 2i) là một số thuần ảo. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một dường tròn có diện tích bằng
A. 5π B. 5
4
C. 5
2
D. 25π
Câu 40. Một người đem gửi ngân hàng 10 triệu đồng với thể thức lãi suất kép kì hạn 3 tháng với lãi suất 6% một năm. Sau 2 năm người đó đến rút tiền cả vốn lẫn lãi. Hỏi người đó nhận được tất cả bao nhiêu tiền?
A. 11.200.000 đồng B. 11.000.000 đồng C. 11.264.926 đồng D. 11.263.125 đồng
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị của tham số thực a để hàm số cos x a sin x 1
y cos x 2
có giá trị lớn nhất bằng 1?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 42. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x 2y z 5 0 và mặt cầu
2 2 2
(S) : x y z 2x 4z 1 0 có tâm I. Từ một điểm M(a; b;c) thuộc mặt phẳng (P) kẻ một đường thẳng tiếp xúc với (S) tại N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 2 . Khi đó giá trị T a 2b 3c bằng bao nhiêu?
A. T 1 B. T 5 C. T 3 D. T 2
Câu 43. Cho hàm số
2
x 2018 x 2
f (x) ln ax sin x 1
2018
với a, b,c và
f (1) f ( 2) f (3) ... f ( 2018) b ; f ( 1) f (2) f ( 3) ... f (2016) c . Tính giá trị của biểu thức T f ( 2017) f (2018) .
A. T b c a B. T 2018 a b c C. T 2018 b c D. T 4036 b c Câu 44. Cho hàm số y f (x) có đồ thị (C), xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiệnℝ
f (x) 0, x ; f (x)
x.f (x) , x
2 và f (0) 2 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 1 của đồ thị (C) làA. y 6x 30 B. y 6x 30 C. y 36x 30 D. y 36x 42 Câu 45. Cho x, y là các số thực và x dương thỏa mãn
2
2 2
log 1 y 3(x y 1) x
. Biết giá trị lớn nhất của
biểu thức
2 2
2 2
1 y 9x 1
P 8x y x
bằng a b2
c với a, b, c là các số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức T a b c .
A. T 8 B. T 10 C. T 12 D. T 7
Câu 46. Cho đa giác có 20 đỉnh. Chọn 4 đỉnh bất kì của đa giác. Tính xác suất để 4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác.
A. 3
14 B. 1
7 C. 30
323 D. 20
323
Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2y2z2 25cắt mặt phẳng ( ) : x 2y 2z 9 0 theo giao tuyến là một đường tròn (T) có đường kính CD. Biết A là một điểm di động thuộc mặt cầu (S) sao cho hình chiếu vuông góc của A trên ( ) là điểm B thuộc đường tròn (T) (khác C, D). Thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD là
A. 32 B. 96 C. 16 D. 64
Câu 48. Giả sử z , z là hai số phức thỏa mãn 1 2 z1 2 3i 1 và z2 2 5i 2 và số phức z thỏa mãn z 3 i z 1 i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T z z1 z z2 .
A. 4 5 B. 2 5 C. 4 5 3 D. 2 5 1
Câu 49. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều, SA vuông góc với đáy và góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60. Biết diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng
13 a2
3
. Khi đó thể tích V của khối chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
A.
3a3
V 4 B.
3a3
V 4 C.
3a3
V 2 D.
a3
V 4
Câu 50. Gọi V, V , V lần lượt là thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi một tam giác vuông khi quay1 2
quanh cạnh huyền và các cạnh góc vuông của tam giác đó. Biết V13 và V2 4. Khi đó giá trị của V là:
A. V 5 B. V 7 C. 12
V 5 D. 7
V12
Đáp án
1-B 2-C 3-C 4-A 5-A 6-B 7-A 8-C 9-A 10-C
11-D 12-A 13-B 14-B 15-B 16-C 17-C 18-B 19-A 20-C
21-A 22-B 23-A 24-A 25-D 26-A 27-B 28-D 29-A 30-D
31-C 32-D 33-D 34-C 35-D 36-A 37-A 38-A 39-B 40-C
41-C 42-B 43-D 44-C 45-D 46-C 47-A 48-C 49-D 50-C
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án B
Hàm số có một điểm cực trị khi ab 0 .
Chú ý: Hàm số y ax 4bx2c với a 0 có ba điểm cực trị ab 0 A, D sai.
Hàm số nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng → C sai.
Câu 2: Đáp án C
Từ đồ thị cho ta biết f (x) đồng biến (0;) → loại A (vì 3 0 1
).
Đồ thị đi qua điểm có tọa độ (1;0) → loại B, D.
Câu 3: Đáp án C
Sử dụng công thức
a
log u u
u ln a
, suy ra
3 2x
2x2xy log (2 e ) 2e
(2 e ) ln 3
.
Câu 4: Đáp án A
Ta có z 1 3i M(1; 3) OM 1232 10. Câu 5: Đáp án A
Ta có 1
2
z 5 10i
w 4 3i
z 2 i
, suy ra w có phần ảo là 3. Câu 6: Đáp án B
Hàm phân thức bậc nhất/ bậc nhất và hàm trùng phương luôn không đồng biến (hoặc nghịch biến) trên ℝ
→ loại A, C;
Xét hàm y x 3x2 x 1, ta có: y 3x22x 1 0, x (thỏa mãn).
Chú ý: Ở đây đáp án D sai vì x2 y x 1
chỉ đồng biến trên
0;
. Câu 7: Đáp án ASố cách xếp 3 cuốn sách Toán giống nhau lên kệ (vào 6 vị trí không quan tâm tới thứ tự) là: C .36
Số cách xếp 3 cuốn sách Văn giống nhau vào 3 vị trí còn lại là: C33 1. Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: C .1 2036 .
Chú ý: Có thể tính theo cách: 6!
3!.3!20.
Câu 8: Đáp án C
Do ( ) : x 2z 3 0 n (1;0; 2)
và những vectơ cùng phương với n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) . Do đó n3 (1; 2;0)
không phải là vectơ pháp tuyến của ( ) . Câu 9: Đáp án A
Ta có MH d M, ( )
2 0 2 12 2 2 1 2 ( 1) 2
. Câu 10: Đáp án C
Ta có 2x 1 4
f (x)dx dx 1 dx x 2ln 2x 3 C
2x 3 2x 3
.Câu 11: Đáp án D Đồ thị hàm số 2x 1
y x 2
có tiệm cận ngang là y 2 .
Khi đó xét phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 x 0
x x 2 2 x(x 1) 0
x 1
. Nghĩa là có 3 giao điểm.
Câu 12: Đáp án A
Do 32log a3 3log a3 2 a2 2a. Câu 13: Đáp án B
Ta có y 4 ln 4 2x x 3 ln 2 6ln 2 2ln 2.(4 x4.2x 3).
Khi đó: y 0 4x4.2x 3 0 1 2x 3 20 2x 2log 32 0 x log 32
S (0;log 3)2
.
Câu 14: Đáp án B
Số nghiệm của phương trình f (x) m (*) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y f (x) và đường thẳng y m (song song hoặc trùng với Ox).
Để phương trình (*) có ba nghiệm x , x , x thỏa mãn1 2 3
1 2 3
x x x 3 thì 0 m 2 . Câu 15: Đáp án B
Ta có y 6x22(2m 1)x (m 21).
2 2
y 0 6x 2(2m 1)x m 1 0 (*)
Để hàm số có 2 điểm cực trị (*) có 2 nghiệm phân biệt
hay 3,12 m 1,12 m m
3; 2; 1;0;1
: có 5 giá trị.Câu 16: Đáp án C
Chu vi: C 6
C 2 r r 3
2 2
.
Ta có h 4 l r2h2 5 Sxq rl 15 . Câu 17: Đáp án C
Ta có:
x 1 t
MN (1; 1; 2) MN : y 2 t P(1 t; 2 t;1 2t) z 1 2t
P (Oyz)
(Oyz):x 0 1 t 0 t 1 P(0; 1; 1)
. Câu 18: Đáp án B
Gọi 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2
M(x ; y ) z x y i
MN (x x ) (y y ) z z
N(x ; y ) z x y i
.
Câu 19: Đáp án A
Ta có y 4x32m x 0, x2
1;3 , suy ra hàm số đồng biến trên
1;3 .
m0 max m 2
x 1;3 0
min y y(1) m m 1 1 m 1 m 1
m 2
gần 0 nhất.
Câu 20: Đáp án C
Đa diện đều loại
4;3 là hình lập phương với 9 mặt đối xứng. Cụ thể:Câu 21: Đáp án A
Đây là thể tích khối tròn xoay thuộc mô hình 2, do đó
c b
2 2
a c
V
f (x)dx
g (x)dx. Câu 22: Đáp án BĐiều kiện: x 0 , ta có phương trình tương đương:
t log x2
2 2
2 2
log x 4log x 1 0 t 4t 1 0
Theo Vi-ét ta có: 4 t 1 t2 log x2 1log x2 2 log (x x )2 1 2 x x1 2 24 16. Câu 23: Đáp án A
Từ hình vẽ, cho ta biết đồ thị có tiệm cận đứng x 2 và tiệm cận ngang y 1.
Suy ra x c 2 c 2 x b
y a 1 a 1 y x 2
(C).
Do 3 b
M(3;0) (C) 0 b 3 a 2b 3c 1 2.3 3.( 2) 1
3 2
.
Câu 24: Đáp án A
Trên đoạn
0; 2 , xét: x2 x x(x 1) 0 x 0 x 0;2 x
1; 2
0x 1
.
Nghĩa là: max x ; x
2
x khi x2
1; 2x khi x 0;1
.
Suy ra: 2
2
1 2 20 0 1
I max x ; x dx xdx x dx 17
6 . Câu 25: Đáp án DDo z là số phức thuần ảo 2 2 2
z z 0
z ai z ai z a z
z 2z ai 2ai ai a z
Suy ra A, B, C đúng.
Câu 26: Đáp án A
Ta có
SC,(ABCD)
SCA 60 SA AC tan 60 a 15
.
Ta có: BC AC2AB2 2a
Suy ra 1 ABCD 1 2a 153
V SA.S .a 15.a.2a=
3 3 3
.
Câu 27: Đáp án B
Suy ra f (x) 5 x2 x 3 5 x2 x 2 0 x x1 2 2
2 1 2 2 2 1 2 2
S log x log x log x x log 2 1
.
Câu 28: Đáp án D
Vì tam giác ABC vuông tại B h AAAC AB2BC2 a 2. Khi đó
2 3
AC a 2 2 a 2 a 2
r V h r a 2. .
2 2 2 2
. Câu 29: Đáp án A
Ta có: AB (2; 2;5) AC (x 1; y 2;1)
.
Khi đó A, B, C thẳng hàng x 1 y 2 1 3 8
x ; y x y 1
2 2 5 5 5
.
Câu 30: Đáp án D
Chọn N(1;0;0) Ox MN (3; 1; 3) . Ta có i (1;0;0)
là vectơ chỉ phương (vectơ đơn vị) của trục Ox.
Do (P)
MN (P)
n MN,i (0; 3;1) (P) : 3y z 0 Ox (P)
hay (P) : 3y z 0 . Câu 31: Đáp án C
Ta có a b2
f (x)
(bx 1)
, khi đó theo đề ra ta có:
2 2
a a 1; b 1
y b 2 a 2b 2 a b 1
max(a b) 2 a 4 2
a b 6(b 1) a b
f (1) 6 a b 2
(b 1) b 2
.
Câu 32: Đáp án D
Ta có f (x) 4ax 32bx. Do A(1;4) và B(0;3) là hai điểm cực trị nên ta có:
4 2
f (1) 0 4a 2b 0 2a b 0 a 1
f (1) 4 a b c 4 a b 1 b 2 f (x) x 2x 3
f (0) 3 c 3 c 3 c 3
.
Chỉ có điểm Q(2; 5) thỏa mãn f (2) 5 Q (T). Câu 33: Đáp án D
Gọi F là trung điểm của B C , khi đó:
EF // A B
(FED) // (A B BA) DE // (A B BA) FD // B B
d(DE, AB ) d DE,(A B BA) d D,(A B BA)
Kẻ DKAB (K AB) , khi đó: d D,(A B BA)
DK Ta có2 ABC ADB
a 3 S
2S 4 a 3
DK AB AB a 4 .
Vậy a 3
d(DE, AB )
4 . Câu 34: Đáp án C Ta có
2 2
2 3
1 1
S 3 g(x)dx x f (x 1)dx
.Đặt 3 2 2 1
t x dt 3x dx x dx dt
3 và x : 1 2 thì t : 2 7. Suy ra:
7 7 7
2 2 2
1 1
3 f (t)dt f (x)dx f (x)dx 9
3 3
.Câu 35: Đáp án D
Gọi ba cạnh của tam giác lần lượt là: m, n, p n mq2 p mq
(với q là công bội của cấp số nhân m, n, p).
Khi đó điều kiện tồn tại tam giác:
2 2
2 2
m n p m mq mq q q 1 0
n p m mq mq m q q 1 0
1 5 1 5
2 q 2
1 5 1 5 1 5 1 5
1 5 q q ; (a; b)
q 2 2 2 2 2
1 5
q 2
.
Suy ra: 1 5 1 5
T a b 5
2 2
.
Câu 36: Đáp án A
Phương trình hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua điểm A(0;a) là:
3 2 2
x 3x 3x 1 (3x 6x 3)x a
3 2
a 2x 3x 1 f (x)
(*).
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt.
Suy ra: S
1;0
S 1 0 1.Câu 37: Đáp án A
Gọi d
N N(2 t;5 3t;3 2t) d MN (t 1;3t 7;2t 3) .Do // (P)MN.n (P) 0 2.(t 1) 1.(3t 7) 1.(2t 3) 0 t 2 N(0; 1; 1) .
x 1 y 2 z
MN ( 1;1; 1) (1; 1;1) u (1; 1;1) :
1 1 1
. Câu 38: Đáp án A
Ta có: 4x 1x x x
f (x) f (x) f (x).e f (x).e 4x 1 e
2 2
x x x 2
0 0 0
f (x)e 4x 1 f (x)e dx 4x 1dx f (x)e 13
3
2
2
13 16
f (2).e f (0) f (2) 0,72 (0;1)
3 3e
.
Câu 39: Đáp án B
Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z x yi (x, y ).
Khi đó (z 1)(z 2i) (x 1 yi) x (y 2)i
x2y2 x 2y (2x y 2)i là số thuần ảo.Suy ra:
2
2 2 1 2 5
x y x 2y 0 x (y 1)
2 4
.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có bán kính 5 2 5
R S R
2 4
.
Câu 40: Đáp án C Phân tích:
+) Số liệu đầu vào: T = 10 triệu; r = 6%/năm = 1,5%/3 tháng (1 kì hạn), 2.12
n 8
3 kì hạn.
+) Số liệu đầu ra: Tn ? Lời giải:
Ta có công thức: Tn T.(1 r) n 10.10 .(1 1,5%)6 8 11.264.926 đồng.
Chú ý: Ở bài toán này ta có thể sử dụng công thức Tn T.(l mr) n với m 3 : là kì hạn 3 tháng và r = 6%/năm = 0,5%/tháng.
Câu 41: Đáp án C
Ta có cos x a sin x 1
y y(cos x 2) cos x a sin x 1 a sin x (1 y) cos x 2y 1 cos x 2
.
Phương trình có nghiệm a2 (1 y)2(2y 1) 2 3y22y a 20
2 2
1 1 3a 1 1 3a
3 y 3
.
Yêu cầu bài toán
2
2 2 a 1
1 1 3a
1 1 3a 2 1 3a 4
a 1
3
. Câu 42: Đáp án B
Mặt cầu (S) có tâm I(1;0; 2) và bán kính R = 2.
Ta có: IMN IN R 2 2 2
S 2 1IN.MN 2 MN 2 IM MN IN 6
2
.
Khi đó: 6 IM d I,(P)
6IM d I, (P)
.Suy ra M là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Khi đó, IM nhận n(P) (1; 2;1)
làm vectơ chỉ phương
nên IM có phương trình: x 1 y y 2
M(1 t; 2t; 2 t)
1 2 1
.
Do M (P) t t 4t 2 t 5 0 t 1 M(2; 2; 1) Khi đó a 2; b 2;c 1 T a 2b 3c 5.
Câu 43: Đáp án D Xét tổng:
2 2
2 2
x 2018 x x 2018 x
f (x) f ( x) ln ax sin x 1 ln ax sin x 1
2018 2018
2 2
x 2018 x x 2018 x 2018
ln . 2 ln 2 2
2018 2018 2018
.
Vậy f (x) f ( x) 2 với x (*).
Áp dụng (*), ta có:
b c T f (1) f ( 1) f (2) f ( 2) ... f (2018) f ( 2018) 2 2 ... 2 2.2018 Suy ra: T 4036 b c .
Câu 44: Đáp án C
Biến đổi:
1 1
2 2 2
2 2
0 0
f ' x f ' x
f (x) x.f (x) x dx x dx
f x f x
.
1 1
1 3
2
0 0 0
f ' x x 1 1 1 1 1 1 1
dx f 1 6
f x 3 f (x) 3 f 1 f 0 3 f 1 6
2
2f (x) x.f (x) f ' 1 1.f 1 36
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần lập là: y 36(x 1) 6 y 36x 30 .
2 2 2
2 2
log (1 y ) 3(1 y ) log x 3x f (1 y ) f (x) (*) với f (t) log t t 2 đồng biến trên (0;). Khi đó (*) 1 y2 x, suy ra:
2
2 2
x 9x 1 1 1
P 8x 1 9x 1 x g(x)
với x 0 .
Xét hàm số g(x) 9x2 1 x với x 0 .
Ta có: 9x2 2 2 x 0 2
g (x) 1 0 9x 1 81x x
9x 1 12
.
Lập bảng biến thiên, suy ra: (0; ) 2 2 2 min g(x) g
12 3
Khi đó max 2 2
(0; )
1 3 3 2 a b a 3
P T 7
b c 2 min g(x) 2 2 2 c
.
Câu 46: Đáp án C
Số cách chọn 4 đỉnh từ 20 đỉnh là: n( ) C 420.
Gọi A là biến cố 4 đỉnh được chọn tạo thành tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác.
Số tứ giác có 2 cạnh chung với đa giác n đỉnh có công thức là: 3n(n 5) 2
.
Trường hợp 1: Tứ giác có hai cạnh kề trùng với cạnh của đa giác. Vì hai cạnh kề cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác có n đỉnh, nên có n cách chọn hai cạnh kề tùng với cạnh của đa giác.
Chọn 1 đỉnh còn lại trong n 5 đỉnh (bỏ 3 đỉnh tạo nên hai cạnh kề và 2 đỉnh hai bên). Do đó trường hợp này có n(n 5) tứ giác.
Trường hợp 2: Tứ giác có hai cạnh đối thuộc cạnh của đa giác. Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách.
Trong n 4 đỉnh còn lại (bỏ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn ở trên và 2 đỉnh liền kề cạnh đã chọn sẽ tạo nên n 5 cạnh.
Chọn 1 cạnh trong n 5 cạnh đó nên có n 5 cách.
Song trường hợp này số tứ giác ta đếm 2 lần, do đó trường hợp này có n(n 5)
2
tứ giác.
Vậy có tất cả: n(n 5) 3n(n 5) n(n 5)
2 2
tứ giác.
Áp dụng vào bài với n 20 , suy ra 3.20.(20 5)
n(A) 450
2
.
Suy ra xác suất cần tìm là: 4 20
n(A) 450 30 P(A)n( ) C 323
.
Câu 47: Đáp án A
Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0) và bán kính R = 5.
Gọi I là tâm đường tròn (T), khi đó: OI d O,( )
2 92 2 31 2 2
2 2 2 2
CD 2CI 2 R OI 2 5 3 8
.
Gọi BH là đường kính của (T), khi đó: AB 2OI 6 . Ta có: ABCD BCD
1 1 1
V .AB.S AB. BK.CD=8BK
3 3 2
Với K là hình chiếu vuông góc của B trên CD.
Ta có: CD
BK BI 4
2 . Dấu “=” xảy ra khi K I hay BICD.
Suy ra: VABCD 8BK 8.4 32 (VABCD max) 32. Câu 48: Đáp án C
Gọi M(z ) , khi đó 1 z1 2 3i 1 M (C ) 1 với (C ) là1
đường tròn tâm I (2;3) và 1 R11.
Gọi N(z ) , khi đó 2 z2 2 5i 2 N (C )2 với (C ) là2
đường tròn tâm I ( 2; 5)2 và R2 2.
Gọi A(z) và z x yi , khi đó: z 3 i z 1 i
2 2 2 2
(x 3) (y 1) (x 1) (y 1) x y 2 0
. Suy ra A : x y 2 0 . Ta có:
1 2 1 2 1 2
T AM AN (AM MI ) (AN NI ) 3 AI AI 3 I I 3 4 5 3 . Dấu “=” xảy ra khi
A I I1 2 . Vậy Tmin 4 5 3 .Chú ý: Ở bài toán này do I , I khác phía so với 1 2 nên dấu “=” xảy ra, nếu trường hợp cùng phía ta phải lấy thêm điểm đối xứng để chuyển về khác phía.
Câu 49: Đáp án D Ta có diện tích mặt cầu
2
2 2 mc 2
mc c c
13 a
S 3 13a
S 4 R R
4 4 12
(*).
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy.d
SA AC tan 60 x 3
Áp dụng mô hình 1 (cạnh bên vuông góc với mặt đáy)
Ta có:
2 2
2 2 2
2 2 2
c day c day
SA SA x 3 x 3 13x
R R R R
2 2 3 2 12
(2*).
Từ (*) và (2*), suy ra: 2
ABC
SA a 3
x a a 3
S 4
.
Khi đó
3
S.ABC ABC
1 a
V SA.S
3 4
.
Câu 50: Đáp án C
Đặt BC a, AC b, AB c, AH h .
Ta có:
2 2
2 2 2 4
2 2
1 2 2 2 4
1 2
2
2 2 2 2 4
2
1 ah 1 9
V BC. h
3 3 V a h
1 bc 1 9
V CA. AB
3 3 V b c
1 cb 1 9
V BA. AC
3 3 V c b
.
Suy ra:
2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2
1 2
1 1 9 9 9 1 1
V V b c c b b c c b
2 2 2 2 2 2 4 2
9 1 9 1
a h h. a h V
.
Vậy
1 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
V .V
1 1 1 3.4 12
V V V V V V 3 4 5
.
