ĐỒ THỊ HÀM ẨN CHỨA THAM SỐ

ĐỒ THỊ HÀM ẨN CHỨA THAM SỐ

I. Lý thuyết

1. CÁCH BIỂN ĐỔI ĐỒ THỊ TỪ ĐỒ THỊ

 

^{C : y f x}

 

BAN ĐẦU

ĐỒ THỊ CÁCH VẼ

 

y f x Lấy đối xứng đồ thị ^y ^{f x}

 

qua trục Oy

 

y f x Lấy đối xứng đồ thị ^{y f x}

 

^{qua trục} Ox

 

y f x + Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị

 

y f x .

+ Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của ^{y f x}

 

, lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.

 

y f x + Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị

 

y f x .

+ Bỏ phần đồ thị phía dưới Oxcủa ^{y f x}

 

, lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

 

y f x Thực hiện liên hoàn biến đổi đồ thị ^{y f x}

 

thành đồ thị

 

y f x , sau đó biến đổi đồ thị ^{y f x}  thành đồ thị

 

y f x .

   ^.

y u x v x với

 

^{C :yu x v x}

   

^.

+ Giữ nguyên phần đồ thị trên miền ^{u x}

 

^0 của đồ thị

 

y f x .

+ Bỏ phần đồ thị trên miền ^{u x}

 

⁰của ^y ^{f x}

 

, lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

 

y f x m với m0 Dịch chuyển đồ thị lên trên m đơn vị.

 

y f x m với m0 Dịch chuyển đồ thị xuống dưới m đơn vị.

 

y f xn với n0 Dịch chuyển đồ thị sang trái n đơn vị.

 

y f xn với n0 Dịch chuyển đồ thị sang phải n đơn vị.

 

y f px với p1 Co đồ thị theo chiều ngang hệ sốp .

 

y f px với 0 p1 Giãn đồ thị theo chiều ngang hệ số¹

p.

 

yqf x với p1 Giãn đồ thị theo chiều dọc hệ số q.

 

yqf x với 0q1 Co đồ thị theo chiều dọc hệ số¹

q.

 

y f x m Vẽ ^{y f x}  trước sau đó tịnh tiến đồ thị lên trên hoặc xuống dưới tùy theo m.

 

y f xm Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theo m sau đó lấy đối xứng qua trục Ox(Giữ nguyên phần trên Ox, bỏ phần dưới Ox, lấy đối xứng phần bị bỏ qua Ox)

 

y f x m Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theo m sau đó lấy đối xứng qua trục Oy(Giữ nguyên phần bên phải Oy, bỏ

phần bên trái Oy, lấy đối xứng phần được giữ nguyên qua Oy).

 

y f xm Vẽ ^{y f}

 

^x trước sau đó tịnh tiến đồ thị sang trái hoặc phải tùy theo m.

2. SỰ ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ

 Giả sử hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm trên khoảng



^{a b;}



^{khi đó:}

 Nếu ^f

 

^{x 0,  x}



^{a b;}



^{ hàm số f x}

 

đồng biến trên khoảng



^{a b;}



^.

 Nếu ^f

 

^x ^0,  ^x



^{a b;}



 hàm số ^{f x}

 

nghịch biến trên khoảng



^{a b;}



^.

 Nếu ^f

 

^{x 0,  x}



^{a b;}



^ hàm số ^{f x}

 

không đổi trên khoảng



^{a b;}



^.

 Nếu ^{f x}

 

đồng biến trên khoảng



^{a b;}



^{ f}

 

^{x 0,  x}



^{a b;}



^.

 Nếu ^{f x}

 

nghịch biến trên khoảng



^{a b;}



 ^f

 

^x ^0,  ^x



^{a b;}



^.

 Cho hàm số ^{f x}

 

_và ^{g x}

 

xác định trên D

 Nếu hai hàm số ^{f x}

 

_và ^{g x}

 

cùng đồng biến, dương và liên tục trên cùng một tập xác định D thì ^{h x}

 

^{ f x g x}

   

^. _và ^{k x}

 

^{ f x}

 

^{g x}

 

là các hàm số đồng biến và liên tục trên D.

 Nếu hai hàm số ^{f x}

 

_và ^{g x}

 

cùng nghịch biến, dương và liên tục trên cùng một tập xác định D thì ^{h x}

 

^{ f x g x}

   

^. là hàm số đồng biến và liên tục trên D còn

     

k x  f x g x

là hàm số nghịch biến và liên tục trên D.

 Nếu hai hàm số ^{f x}

 

đồng biến, dương; ^{g x}

 

nghịch biến, dương và cùng liên tục trên cùng một tập xác định D thì ^{h x}

 

^{ f x g x}

   

^. là hàm số nghịch biến và liên tục trên D.

 Hàm số ^{f x}

 

liên tục và đồng biến (nghịch biến) trên



^{a b;}



thì hàm số ^{f x}

 

^m

đồng biến (nghịch biến) trên



^{a b;}



_.

 Hàm số ^{f x}

 

liên tục và đồng biến (nghịch biến) trên



^{a b;}



thì hàm số ^{f x m}







đồng biến (nghịch biến)



^{a m b m ; }



^.

 Hàm số ^{f x}

 

liên tục và đồng biến (nghịch biến) trên



^{a b;}



thì hàm số ^{f mx}

 

đồng biến (nghịch biến) trên

; , 0

a b m

m m

 

 

 

  .

3 .XÁC ĐỊNH TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO ĐỒ THỊ ^f

 

^x _.

 Hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^f

 

^x trên D nếu:

 Đồ thị hàm số ^f

 

^x nằm phía trên ^Ox thì hàm số ^{y f x}

 

đồng biến trên ^D.

 Đồ thị hàm số ^f

 

^x nằm phía dưới ^Ox thì hàm số ^{y f x}

 

nghịch biến trên D.

 Hàm số ^{y f x}

 

^{h x}

 

^{g x}

 

, cho trước các đồ thị ^{h x g x}

 

^{, }

 

_.

 Nếu đồ thị ^{h x}

 

nằm phía trên đồ thị ^{g x}

 

_thì ^f

 

^{x 0}_{: Hàm số} ^{y f x}

 

_đồng

biến trên ^D .

 Nếu đồ thị ^{h x}

 

nằm phía dưới đồ thị ^{g x}

 

_thì ^f

 

^{x 0}: Hàm số ^{y f x}

 

nghịch biến trên^D.

4. SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI

 Gọi m là số điểm cực trị của hàm số ^{y f x}

 

và k là số giao điểm giữa đồ thị

 

y f x với trục Ox.

 Số điểm cực trị của đồ thị hàm số ^{y f x}

 

là mk .

 Gọi n là số điểm cực trị có hoành độ dương của hàm số ^{y f x}

 

.

 Số điểm cực trị của đồ thị hàm số ^{y f}

 

^{x là 2n1 .}

 Bài toán chứa tham số: Cho hình vẽ đồ thị hàm số ^{y f x}  ^có n1 điểm cực trị.

Tìm giá trị của tham số m để hàm số ^{y f x}



^k



^{ f m}

 

có n₂ điểm cực trị.

 Khi tịnh tiến sang trái hoặc sang phải k đơn vị thì số điểm cực trị hàm số

 

y f xk vẫn bằng số điểm cực trị hàm số ^{y f x} ^.

 Để tìm số giao điểm ^{y f x} ^{ f m}  với trục Ox ta chuyển về dạng tìm số giao điểm của đồ thị ^{y f x}  và đường thẳng ^{y f m} ^.

Lưu ý: Số giao điểm này không tính giao tại điểm cực trị của hàm ^{y f x} ^. II. Bài tập

1. NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH

f  ( ( ) f x   0

Câu 1. Đồ thị hàm số ^{f x}

 

^{ax4bx3cx2dx e} có dạng như hình vẽ sau.

Phương trình ^{a f x} ^{( )}^{4b f x} ^{( )}^{3c f x} ^{( )}^{2df x( ) e 0} (*) có số nghiệm là A. 2. B. 6. C. 12. D. 16.

Hướng dẫn

Ta thấy đồ thị ^{y f x}

 

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên phương trình ^{f x}

 

^0 có 4 nghiệm phân biệt:

 

1 1, 5; 1

x    , x2  



1; 0, 5



, x3



0; 0, 5



, x4



1,5; 2



. Kẻ đường thẳng ym.

Với mx1 



1,5; 1



có 2 giao điểm nên (*) có 2 nghiệm.

Với m x2  



1; 0,5



có 4 giao điểm nên (*) có 4 nghiệm.

Với mx3



0; 0,5



có 4 giao điểm nên (*) có 4 nghiệm.

Với mx4



1,5; 2



có 2 giao điểm nên (*) có 2 nghiệm.

Vậy phương trình (*) có 12 nghiệm.

 Chọn C.

Câu 2. Đồ thị hàm số ^{f x}

 

^{ax4bx3cx2dxe}có dạng như hình vẽ sau :

Phương trình ^{a f x} ^{( )}^{4b f x} ^{( )}^{3c f x} ^{( )}^{2df x( ) e 0} (*) có số nghiệm là

A. 2. B. ^4. C. 6. D. 12.

Hướng dẫn Ta thấy đồ thị ^y ^{f x}

 

cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

nên phương trình ^{f x}

 

^0 có 2 nghiệm phân biệt:

 

1 2; 1

x    , x2



2;3



. Kẻ các đường thẳng ym.

Với mx1  



2; 1



có 4 giao điểm nên (*) có 4 nghiệm.

Với mx2



2;3



có 4 giao điểm nên (*) có 4 nghiệm.

Vậy phương trình (*) ban đầu có 6 nghiệm.

 Chọn C.

Câu 3. Đồ thị hàm số ^{f x}

 

^{ax3bx2cxd} có dạng như hình vẽ sau:

Phương trình ^{a f}

  

^x



^{3b f}

  

^x



^2cf

 

^{x d0} (*) có số nghiệm là A. 3. B. ^4. C. 6. D. 9.

Hướng dẫn

Đặt ^{t f}

 

^{x . Ta có at3bt2ctd 0}

Dựa vào đồ thị hàm số ^y ^{f x}

 

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên ta tìm được 3 giá trị của t : t1  



2; 1,5



, t2  



1; 0,5



, t3



0,5;1



Vẽ đồ thị hàm số ^{y f}

 

^x

Kẻ đường thẳng ym.

Với t1  



2; 1,5



m f

 

x t1, có 2 giao điểm nên (*) có 2 nghiệm.

Với t2  



1; 0,5



m f

 

x t2, có 2 giao điểm nên (*) có 2 nghiệm.

Với t3



0,5;1



m f

 

x t3, có 2 giao điểm nên (*) có 2 nghiệm.

Vậy phương trình (*) có 6 nghiệmChọn C.

Câu 4. Đồ thị hàm số ^{f x}

 

^ax3^bx2^cx^d có dạng như hình vẽ sau:

Phương trình ^{a f x}



^{( )}



^{3b f x}



^{( )}



^{2c f x( )d0} (*) có số nghiệm là

A. 4. B. ^6. C. 10. D. 12.

Hướng dẫn

Vẽ đồ thị hàm số ^{y f x}

 

ta thấy đồ thị ^{y f x}

 

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

nên phương trình ^{f x}  ^0 có 3 nghiệm phân biệt nhưng chỉ có 1 nghiệm dương :



^0;1



x .

Kẻ đường thẳng ym.

Với ^{m x}



^0;1



có 6 giao điểm nên (*) có 6 nghiệm ^ Chọn C.

Câu 5. Cho hàm số ^{y f x}

 

^{ax3bx2cxd a}



^0



có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình ^f



^{f x}

  

^0 có bao nhiêu nghiệm thực ?

A. 9. B. 6. C. 8. D. 7.

Hướng dẫn

Từ đồ thị hàm số đã cho trong hình vẽ ta có phương trình ^{f x}

 

^0 có ba nghiệm phân biệt x₁, x₂ và x₃ thuộc khoảng



^{2; 2}



^hay

 

1 2 3

0

x x

f x x x

x x

 

  

 

với x₁, x₂và x₃

thuộc khoảng



^{2; 2}



.

Đặt ^{t f x}

 

ta có

 

1 2 3

0

t t

f t t t

t t

 

  

 

hay

 

 

 

1 2 3

f x t f x t f x t

 

 



 



với t₁, t₂và t₃ thuộc khoảng



^{2; 2}



Dựa vào đồ thị ta thấy ba đường thẳng phân biệt yt₁, yt₂ và yt₃ mỗi đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại ba điểm.

Vậy phương trình ^f



^{f x}

  

^{0 có 9 nghiệm Chọn A.}

Câu 6. Đồ thị hàm số ^{f x}

 

^{ax3bx2cxd} có dạng như hình vẽ:

Biết

 

^{1 1}

f  2. Phương trình

 

³

 

²

 

^{1 0}

af x bf x cf x d2 (*) có

A. 1 nghiệm đơn 1 nghiệm kép. B. 2 nghiệm đơn 1 nghiệm kép.

C. 2 nghiệm đơn 2 nghiệm kép. D. 4 nghiệm đơn 1 nghiệm kép.

Hướng dẫn

Ta có

 

^{1 1}

f  2

 

^{1 1 0}

f 2

  

Đặt ^{t f}

 

^{x . Ta có at3bt2ctd 0}

Dựa vào đồ thị hàm số ^{y f x}

 

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên ta tìm được 3 giá trị của t : 1

1; 1 t  2

   

 , t₂1, t3 



1; 2



Tịnh tiến đồ thị ^{y f x}

 

xuống dưới ¹

2 đơn vị sau đó lấy đối xứng phần bên phải đồ thị qua trục tung ta được đồ thị hàm số

 

¹

y f x 2. Kẻ đường thẳng ym.

Với ₁ ^{1; 1} t  2

   

 

 

1

1 m f x 2 t

    , không có giao điểm nên (*) vô nghiệm.

Với t₂1

 

2

1 m f x 2 t

    , tiếp xúc tại 1 điểm và cắt tại 2 điểm nên (*) có 1 nghiệm kép và 2 nghiệm đơn.

Với t3



1; 2

  

3

1 m f x 2 t

    , có 2 giao điểm nên (*) có 2 nghiệm.

Vậy phương trình (*) có 4 nghiệm đơn 1 nghiệm képChọn D.

Câu 7. Đồ thị hàm số ^{f x}

 

^{ax4bx3cx2dx e} có dạng như hình vẽ sau:

Phương trình ^{f x} ^{a f x}



 



^{4b f x}



 



^{3c f x}



 



^{2d f x}



 



^{e (*) có}

A. 3 nghiệm đơn 1 nghiệm kép. B. 4 nghiệm đơn 1 nghiệm kép.

C. 5 nghiệm đơn 1 nghiệm kép. D. 6 nghiệm đơn 1 nghiệm kép.

Hướng dẫn

Làm tương tự dựa vào đồ thị ta thấy (*) có 5 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép.

Chọn C.

Câu 8. Đồ thị hàm số ^{f x}

 

^ax4^bx2^c có dạng như hình vẽ:

Phương trình ^{f x} ^{a f x}



 



^{4b f x}



 



^{2c (*) có}

A. 3 nghiệm đơn 2 nghiệm kép. B. 2 nghiệm đơn 3 nghiệm kép.

C. 5 nghiệm đơn 2 nghiệm kép. D. 4 nghiệm đơn 1 nghiệm kép.

Hướng dẫn

Làm tương tự dựa vào đồ thị ta thấy (*) có 2 nghiệm đơn và 3 nghiệm kép.

Chọn B.

Câu 9. Đồ thị hàm số ^{f x}

 

^{ax4bx2c} có dạng như hình vẽ :

Phương trình ^f



^{f x}

  

^m có 4 nghiệm thì số giá trị nguyên của m thỏa mãn là

A. 1 B. 4 . C. 3. D. 2.

Hướng dẫn

Hàm số ^{y f x}

 

là hàm bậc 4 trùng phương, đồ thị đối xứng qua trục tung nên

 

¹

 

^{1 2}

f   f 

Phương trình ^f



^{f x}

  

^m có 4 nghiệm thì đồ thị hàm số ^{y f}



^{f x}

  

cắt đường thẳng ym tại 4 điểm phân biệt.

Đặt ^{f x}

 

^{t  f t}

 

^m. Phương trình ^{f x}

 

^m có 2 nghiệm phân biệt khi m 1

Để phương trình ^f



^{f x}

  

^m có 4 nghiệm phân biệt thì ^{f t}

 

^m có 2 nghiệm  1 Do đó ^{ 1 m2m}

 

^{0;1 }Chọn D.

Câu 10. Đồ thị hàm số đa thức ^y ^{f x}

 

có dạng như hình vẽ :

Phương trình ^f



^{f x}

  

^m có 4 nghiệm thì số giá trị nguyên của m thỏa mãn là

A. 3. B. ⁴ . C. ⁵. D. 6.

Hướng dẫn

Phương trình ^f



^{f x}

  

^m có 4 nghiệm thì đồ thị hàm số ^{y f}



^{f x}

  

cắt đường thẳng ym tại 4 điểm phân biệt.

Đặt ^{f x}

 

^{t  f t}

 

^m. Phương trình ^{f x}

 

^m có 2 nghiệm phân biệt khi m 1

Để phương trình ^f



^{f x}

  

^m có 4 nghiệm phân biệt thì ^{f t}

 

^m có 2 nghiệm  1 Do đó  ^{1 m} ^{3 m}



^{0;1; 2}



Chọn A.

Câu 11. Đồ thị hàm số ^{f x}

 

^{ax3bx2cxd} có dạng như hình vẽ sau:

Để phương trình ^f



^{f x}

 

^1



^m có số nghiệm là lớn nhất thì ^m



^{a b;}



. Giá trị

2 b alà

A. 8 B. ⁴ . C. 6. D. 7. Hướng dẫn

Vẽ đồ thị hàm số ^{y f x}

 

^1 bằng cách từ đồ thị hàm số ^{y f x}

 

tịnh tiến lên trên 1 đơn vị . Phương trình bậc 9 ^f



^{f x}

 

^1



^m có tối đa 9 nghiệm. Do đó đường thẳng ym cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn

2^{m }



^{2; 2}



^{a 2;b2 b 2a6}

 Chọn C.

2. CỰC TRỊ

Câu 1 : Hàm số ^{y f x}  có đồ thị như hình vẽ:

Với ^{m }



^1;1



thì hàm số ^{g x} ^{ f}



^{x2019m22019}



có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Hướng dẫn

Lấy đối xứng trước ta được đồ thị hàm số ^f

 

^x như hình bên dưới

Đồ thị hàm số ^f



^xm



được suy ra từ đồ thị hàm số ^{f x}  bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến.

Dựa vào đồ thị hàm số ^f

 

^{x ta thấy f}

 

^{x có 3} điểm cực trị ^{ f}



^{x2019m21}



cũng có 3 điểm cực trị vì phép tịnh tiến không làm thay đổi số cực trị Chọn C.

Câu 2 : Cho hàm số bậc ba ^y ^{f x}

 

có đồ thị như hình vẽ bên.

Tìm tham số m để hàm số ^{y f x} ^m có ba điểm cực trị?

A. 1m3. B. m 1 hoặc m3.

C. m 1 hoặc m3. D. m 3 hoặc m1.

Hướng dẫn

Đồ thị hàm số ^{y f x}

 

^m là đồ thị ^{y f x}

 

tịnh tiến lên trên một đoạn bằng m

khi m0, tịnh tiến xuống dưới một đoạn bằng m khi m0. Hơn nữa đồ thị ^{y f x} ^{m là:}

+) Phần đồ thị của ^{y f x}

 

^m nằm phía trên trục Ox.

+) Lấy đối xứng phần đồ thị của ^{y f x}

 

^{m nằm dưới Ox qua Ox} và bỏ đi phần đồ thị của ^{y f x}

 

^{m nằm dưới Ox}.

Vậy để đồ thị hàm số ^{y f x}

 

^m có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số

 

y f x m xảy ra hai trường hợp:

+) Đồ thị hàm số ^{y f x}

 

^m nằm phía trên trục hoành hoặc có điểm cực tiểu thuộc trục Ox và cực đại dương. Khi đó m3.

+) Đồ thị hàm số ^{y f x}

 

^m nằm phía dưới trục hoành hoặc có điểm cực đại thuộc trục Ox và cực tiểu dương. Khi đó m 1.

Vậy giá trị mcần tìm là m 1 hoặc m3Chọn C.

Câu 3 : Cho hàm số ^{y f x}  có đồ thị như hình vẽ bên

Biết rằng hàm số ^{y f x}  ^{có m} điểm cực trị, hàm số ^{y f x}  ^{có n} điểm cực trị, hàm số ^{y f}

 

^{x có p} điểm cực trị. Giá trị m n p là

A. 26. B. 30. C. 27. D. 31. Hướng dẫn

Hàm số ^{y f x}  ^{có 6} điểm cực trị,

Hàm số ^{y f x}  cắt trục hoành tại 5 điểm nên ^{y f x}  ^{có 6 5 11 } điểm cực trị, Hàm số ^{y f x}  có 4 điểm cực trị có hoành độ dương nên hàm số ^{y f}

 

^{x có}

2.4 1 9  điểm cực trị.

Vậy m n p 6 11 9 26Chọn A.

Câu 4 : Cho hàm số ^{y f x m}



^;



có đồ thị hàm số ^{y f}



^{x m;}



như hình vẽ:

Biết ^{f a}

 

^{ f c}

 

^0, ^{f b}

 

^{ 0 f e}

 

. Hỏi hàm số ^{y f x m} ^;  có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 5. B. 7. C. 9. D. 10. Hướng dẫn

Từ đồ thị của hàm số y f^



x m^;



ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số ^{y f x m}



^;



có 4 điểm cực trị.

Khi ^{f a}

 

^{ f c}

 

^0, ^{f b}

 

^{ 0 f e}

 

thì đồ thị hàm số ^{y f x m}



^;



cắt trục hoành tại

3 điểm phân biệt nên hàm số ^{y f x m} ^;  ^{có 7} điểm cực trị  Chọn B.

Câu 5 : Cho đồ thị hàm số ^{y f x}

 

như hình vẽ dưới đây:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số



²



  m4

y f x có

7 điểm cực trị.

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn

Hàm số ^{y f x}



^2



có đồ thị bằng cách từ đồ thị hàm số ^{y f x}

 

tịnh tiến sang phải 2 đơn vị.

Hàm số



²



  m4

y f x có đồ thị bằng cách từ đồ thị hàm số ^{y f x}



^2



tịnh tiến xuống dưới

4

m đơn vị.

Ta thấy đồ thị hàm số ^{y f x}

 

có 3 điểm cực trị. Khi tịnh tiến sang phải 2 đơn vị thì số điểm cực trị hàm số y f x



²



vẫn là 3 điểm cực trị.

Để đồ thị hàm số



²



  m4

y f x có 7 điểm cực trị thì đồ thị ^{y f x}

 

^{cắt trục}

hoành tại 4 điểm phân biệt (theo hướng kéo đồ thị xuống dưới).

0 1

 m4

0 4

 m . Do m suy ra ^m



^{1; 2;3}



^.

Vậy có 3 giá trị tham số m thỏa mãn Chọn C.

3. BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ HÀM ẨN ĐA THỨC

Câu 1. Cho hàm số ^{f x}

 

^{x3bx2cxd} và ^{g x}

 

^{ f mx}



^n



có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số ^{f x}

 

nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng k, hàm số ^{g x}

 

nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 2k. Giá trị biểu thức 2m n là

A. 3. B.0. C.1 . D. 5. Hướng dẫn

Ta có ^f

 

^{x x32ax2cxd  f}

 

^{x 3x22bx c .}

Hàm số đạt cực trị tại x0 và đồ thị hàm số qua điểm



^{1; 0}



nên

 

 

 

1 0 0 0 1 1 0 f f f a



 



 

 





1 2 0 1 a b c d

 

  

 

 

 

 

^{x3 2x2 1}

f x   

 .

Hàm số ^{f x}

 

nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng k, hàm số ^{g x}

 

^nghịch

biến trên khoảng có độ dài bằng 2k suy ra ¹ m 2.

Ta có ^g  ^{x  mxn}^32^mxn^21. Hệ số tự do bằng: n³2n²1. Đồ thị hàm số

 

g x cắt trục tung tại điểm



^{0; 2}



nên n³2n²   1 2 n³2n² 3 0n 1. Vậy 2m n 0 Chọn B.

Câu 2. Cho hàm số bậc ba ^{f x}

 

và ^{g x}

 

^{ f mx}



^n



,



^{m n; }



có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số ^{g x}

 

nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 5. Giá trị biểu thức 3m2n là A. 5. B. ¹³

 5 . C.¹⁶

5 . D. 4.

Hướng dẫn Ta có ^f

 

^x ^ax3^bx2^cx^d  ^f

 

^x ^3ax2^2bx^c.

Hàm số đạt cực trị tại x0;x2 và đồ thị hàm số qua điểm



^{0; 1}



^,



^2;3



^nên

 

 

 

 

0 0 2 0

0 1

2 3 f

f f f





 



 











1 3 0 1 a b c d

  

 

 

 

  



 

^{x3 3x2 1}

f x    

 .

Hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên



^{0; 2}



, độ dài khoảng đồng biến bằng 2

Hàm số ^{g x}

 

^{ f mx}



^n



nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 5 nên

   

g x  f mxn đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 5 suy ra ² m 5.

Ta có ^{g x} ^{  }_ ^mxn^33^mxn^21_. Hệ số tự do bằng: n³3n²