Chuyên đề phương trình lượng giác bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LƯỢNG GIÁC

PHẦN 1

Bài 1. Giải phương trình: 2 3 sin . 1 cos

 

4cos .sin² 3

2 0

2sin 1

x x x x

x

  

 

Hướng dẫn giải

Điều kiện: sin 1 6 , ,

5 2

6

x k

x k l

x l

 

 

  

  

  



 (*).

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

 

²

2 3 sin . 1 cos 4cos .sin 3 0 2

x  x  x x 

 

2 3 sinx 2 3 sin .cosx x 2cos 1 cosx x 3 0

     

  

^{2 2}



2 3 sinx cosx 3sin x 2 3 sin .cosx x cos x 0

     



^{3 sin cos}

 

^{3 sin cos 2}



^{0 3 sin cos 0}

3 sin cos 2

x x

x x x x

x x

  

      

 



TH1: 3 sin cos 0 cot 3 ,

x x  x   x 6 k k 

TH2: 3 sin cos 2 2 sin cos cos sin 2 sin 1

6 6 6

x x   x   x    x 

2 2 2 ,

6 2 3

x   k  x  k  k

       

Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm

7 2

2 , 2 ,

6 3

x  k  x  k  k .

Bài 2. Tìm tất cả các nghiệm x(2009; 2011) của phương trình : cosx  sinx cos 2 1 sin 2x  x 0 Bài 3. Chứng minh rằng: 1 sin 2 ²

cot .

1 sin 2 4

a a

a



    

  

Bài 4. Cho: ^{sinxsiny2sin}



^{x y}



, với x y k,k . Chứng minh rằng: 1 tanxtan y  .

Bài 5. Giải phương trình : 3 1 cot

3tan 2 2 2 2 0

2 1 cot

x x cos x

cos x x

    



Bài 6. Cho tam giác ABC với các kí hiệu thông thường, biết: sin . ³ sin . ³ .

2 2 2 2

A B B A

cos  cos Chứng minh

rằng tam giác ABC cân.

Bài 7. Giải phương trình sau: 2(sinx 3 cos )x  3cos x2 sin 2 .x

Bài 8. Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x: 3sin²x2sin .x cosx c os2x a 3

Bài 9. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là ^a, b, ^c, độ dài ba đường phân giác trong tương ứng với các góc A, B, C lần lượt là la, lb, lc.

1. Chứng minh rằng: l^a l^b l^b l^c l^c l^a 3 3.

c a b

  

  

2. Nhận dạng tam giác, biết: tan ( tan a+btanb).

2 a b  C a

Bài 10.Định a để hệ:

2

2 2

cos

sin 1

ax a y x

x y

   



 

 có nghiệm duy nhất.

Bài 11.Chứng minh rằng nếu x 2x² thì:

2 2

2 cos sin 2 sin . os2 16

x x

x c x

 

Bài 12.Tìm ^m để hệ phương trình sau đây có nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng với những giá trị tìm được của m:

4 2

3

s inx. os2 2 2

cos . os2 1 .

c y m m

x c y m

   



 



Bài 13.Cho hai phương trình sau:

2sin⁷x (1 sina).sinx a .sin³x (1) (a1)(1cos x² ) 2sin ⁶x2sin²x2(a1)³ (2) a. Giải các phương trình trên với a2.

b. Tìm tất cả các giá trị của ^a để hai phương trình (1) và (2) tương đương.

Bài 14.Giải hệ phương trình:

sin sin sin 3 3

32 .

cos cos cos

2

x y z

x y z

   



   



Bài 15.Tìm tất cả các giá trị ^x



^{0; 2}



sao cho: 2cosx 1 sin 2 x 1 sin 2 x 2.

Bài 16.Tìm số tự nhiên ^a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm:

2 3

( ) 2 ( ) . 2 0.

2 2 3

x x

cos a x cos a x cos cos

a a

  

         

 

Bài 17.Cho tam giác ABC có tanAtanC2 tanB. Chứng minh rằng: 3 2

cos cos .

A C 4 Bài 18.Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức: BC AB BC.

AB BC AC

 

 Tính tổng số đo

góc: 3A B .

Bài 19.Xét các tam giác ABC thoả mãn ràng buộc:



^{, ,}



Max A B C 2. Tìm giá trị lớn của biểu thức:

2 3

sin sin sin .

P A B C

Bài 20.Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (2m1)(sinxcos ) (sinx  xcos ) 2x  m²2m 2 0 Bài 21.Chứng minh rằng với mọi x ta luôn có sinx  cosx 1.

Bài 22.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm



^{sin cos 1}



^{sin 2 sin cos 2}

m x  x   x  x  x 

Bài 23.Giải phương trình: cos 2xcos3xsinxcos 4xsin 6x.

Bài 24.Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm của phương trình 2x 1 2x 1 ² 2x 1

sin sin 3 s 0

3 co 3

x x x

  

   thỏa

mãn điều kiện 1 x10

Bài 25.Tìm m để phương trình mcosx cos3x cos2x 1 có đúng 8 nghiệm trên khoảng 5

( ; )

2 2

  Bài 26.Trong tất cả các tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có P c os2Acos2B c os2C lớn nhất.

Bài 27.Giải phương trình : 8cos4 .cos 2x ² x 1 cos3 x 1 0

Bài 28.Tính số đo các góc trong tam giác ABC , biết ^{sin sin sin}

1 3 2

A B C Bài 29.Giải phương trình ^2cos2x



^{1 cot x}



^{2sin2x 1 0}

Bài 30.Tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức ^{cos 2A 2 cos 2}



^{Bcos 2C}



^{ 2 0}

Bài 31.Tìm số tự nhiên a bé nhất để phương trình sau có nghiệm :

; 0 3 2

cos 2 2 . cos3 ) ( cos 2 ) (

cos²  



 



 







    

 a

x a

x x a x

a

Bài 32.Cho tam giác ABC có : tanA+tanC=2tanB.CMR : ; 4

2 cos 3

cosA C

Bài 33.Giải phương trình: 1 tan .tan 2 x xcos 3x

Bài 34.Trong tam giác ABC biết số đo ba góc , ,A B C lập thành cấp số cộng với A B C  và thỏa hệ

thức 1 3

cos cos cos

A B C 2

   . Tính số đo các góc , ,A B C.

Bài 35.Giải phương trình

 

     

 



2

5

2

9

3 sin7 2sin 2cos

4 2 2

x x

cos x x

Bài 36.Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt trong khoảng ; 2 2

 

 

 :

 

      

 

2 4 4

4cos 16 sin cos 14 1 0

4 4

x x

x m m

Bài 37.Giải phương trình : cosx.cos2x = 1/4

Hướng dẫn giải

x=kπ không phải là nghiệm.nhân thêm sinx vào hai vế để đưa về pt sin4x=sinx Suy ra x=k2π/3 ; x=π/5 +k2π/5

vì x≠kπ nên pt có các nghiệm x=±2π/3 +k2π; x=±π/5 +k2π; x=±3π/5 +k2π Bài 38.Giải phương trình:

(cos 1)(2cos 1)

²

1 sin 2 2cos . sin

x x

x x

x

    

Bài 39.Cho phương trình: (m3)sin³x(m1)cos³xcosx(m2)sinx0 a) Giải phương trình khi m 5.

b) Xác định tham số ^m để phương trình có đúng một nghiệm 5 , 4 x  . Bài 40.Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn hệ thức:

1 1 1 1 1 1

cos cos cos sin sin sin

2 2 2

A B C

A B C   

Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 41.Giải phương trình :

2 3

3 3

2sin ( )sinx - os

4 2 0

sin os

x c x

x c x

 

 

. Bài 42.Tìm m để phương trình cos ⁰

1 cos 2 1 4

2

2  

 

 m

x x x

x có nghiệm.

Bài 43.Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức :

0 17 ) cos cos

(sin 3 4 sin sin cos

8 A B C A B C   . Hãy tính các góc của tam giác đó.

Bài 44.Giải phương trình: cos 2 3cos 1 sin 1 1

x x

x

   



Bài 45.Giải phương trình sau ^{sin 2x}



^{sinxcosx1 2sin}

 

^{xcosx 3}



⁰. Hướng dẫn giải

     

       

   

sin cos 2 1 sin cosx 1 2sin cos 3 0

sin cos 1 sin cos 1 sin cosx 1 2sin cos 3 0

sin cos 1 sin 2cos 4 0

PT x x x x x

x x x x x x x

x x x x

        

          

      

sin cos 1 2

,( )

sin 2cos 4( ) 2

2 x x x k

x x VN x k k



 

 

 

 

      



Vậy phương trình cĩ hai họ nghiệm: 2 , 2 ,( ) x k  x 2 k  k Bài 46.Cho 2 ⁴

  5

cos với

2

   . Tính giá trị của biểu thức: ^{ }



^{1 }



^₄^{ }

 

P tan cos

Hướng dẫn giải Do 2

    nên sin 0,cos 0. Ta cĩ:

2 1 2 1 1

2 10 10

 

  cos     

cos cos ,

2 2 9 3

1 10 10

       

sin cos sin ,     3

 tan sin

cos

Khi đĩ:



¹



¹

  

^{1 3}



^{1 1 3 2 5}₅

2 2 10 10

 

           

 

P tan . cos sin .

Bài 47.Tìm tập xác định của hàm số 1 cot 2cos 1 y x

x

 



Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định cos 1

2

sin 0

x x

 



 



 

2 , ,

x 3 k

k l x l

 



   

 

 



Bài 48.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ycos²xtan² x Hướng dẫn giải

* ² 1₂

cos 1

y x cos

  x

* ² 1₂

cos 2

x cos

 x 

* y 1 GTNN y = 1

* y = 1 ² 1₂ ⁴

cos cos 1 sin 0 ,

x cos x x x k k

x 

        

Bài 49.Giải phương trình 3 cos 2xsin 2x2

Hướng dẫn giải

3 1

3 cos 2 sin 2 2 cos sin 2 1

2 2

x x  x x

cos 2 .cos sin 2 .sin 1

6 6

cos 2 1

6

2 2

6 12 ,

x x

x

x k

x k k

 



 

 

  

 

   

  

    

Bài 50.Tìm tất cả giá trị thực ^m để phương trình sau cĩ hai nghiệm phân biệt thuộc 0;

2

 

 

 

 :

 

cot2x2 m1 cotx3m 1 0

Hướng dẫn giải

* t = cotx , 0; 0 x 2 t

* ^cot2x2



^{m1 cot}



^{x3m 1 0} (1)

 

2 2 1 3 1 0

t m t m

      (2)

Pt(1) cĩ 2 nghiệm phân biệt 0;

x  2

  ^pt(2) cĩ 2 nghiệm dương phân biệt

' 0 0 0 S P

 

 

 

^kết quả đúng : m < - 1 v 0 < m< 1 3 Bài 51.Giải phương trình (7 5 2) ^cosx(17 12 2) ^cos3x cos3x

Hướng dẫn giải Tập xác định: D = R.

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

3

3

3cos 4cos 3

3cos 3 4cos

(1 2) (1 2) 4cos 3cos

(1 2) 3cos 4cos (1 2)

x x

x x

x x

x x

    

     

Xét hàm số f(t) = (1 2)^t t, ta cĩ f(t) đồng biến với mọi t nên ta cĩ: f(3cosx) = f(4cos³x)  3cosx = 4cos³x

 cos3x = 0  x =

6 3

 k , k  Z

Bài 52.Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x. 1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – 1 Hướng dẫn giải

Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx. Bài toán trở thành: tìm m sao cho maxf(x)  2m – 1.

Ta có f²(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx

Đặt t = sinx + cosx,  2 t 2. Ta có:

f²(x) = g(t) = 6 + 4t + 22t² + 2t – 1 với  2 t 2. Xét sự biến thiên của g(t) ta có: max_{2; 2} g t( ) 4( 2 1)²

 

 

 

Vì f(x)  0 nên ta có:

maxf(x) = max f x²( ) max ( ) 2( 2 1)g t  

Vậy ta có: 3 2 2

2( 2 1) 2 1

m m 2

     .

Bài 53.Rút gọn tổng S =

x n nx x

x x

x cos cos( 1)

... 1 3 cos 2 cos

1 2

cos cos

1

 



 trong đó n là một số tự

nhiên.

Bài 54.Biết rằng sin²x + sin²y = 2

1, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = tg²x + tg²y.

Bài 55.Rút gọn : P =

1 cos2 ..

1. 2 cos 3 1 2 cos 2 1 cos2







 n

n n

n n







 .

Bài 56.Chứng minh rằng nếu ta có









2 2

sin 1

cos 1



  tg

tg thì sin(3)7sin( ).

Bài 57.Trong tam giác ABC có A = 36⁰, AB = AC = 1 và BC = x. Giả sử

2 q x p

 , hãy tìm cặp số nguyên (p, q).

Bài 58.Cho

b a b

x a

x

 

cos 1

sin^{4 4} . Chứng minh rằng: _{3 3}

8 3

8

) (

1 cos

sin

b a b

x a

x

 

 , (a > 0, b > 0).

Bài 59.Cho tg²xtg²ytg²ytg²ztg²ztg²x2tg²xtg²ytg²z1. Tính giá trị của biểu thức z

y x

Psin² sin² sin²

Bài 60.Tính giá trị của biểu thức:

7 cos5

1 7

cos3 1 cos7

1





 ^{ }



Q .

Bài 61.Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm đặc điểm của tam giác khi biểu thức

cos 2 cos2

cos2A B C

M  đạt

giá trị lớn nhất.

Bài 62.Cho các số thực a, b, c thoả mãn a² b² c²4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tab 2sinxcsin2x, trong đó )

;2 0 ( 



x .

Bài 63.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số x x x

f

y sin²

) 2

(  

 với ]

;2 [2 



x .

Bài 64.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

n n

x x x

f

y 



 

 

 



 

 



 _{2 2}

cos 1 1 sin

1 1 )

( với n là số tự nhiên.

Bài 65.Cho tam giác ABC thoả mãn: 2tgB = tgA + tgC. Chứng minh rằng:

a) B 3

 , b) cosA+ cosC 4

2

 3 .

Bài 66.Cho tam giác ABC thoả mãn:

2 1 2

2 B 

Atg

tg . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông là

10 1 sin 2

sin 2

sin 2A B C  .

Bài 67.Tính tổng S = sin39⁰ sin69⁰ sin183⁰ sin213⁰.

Bài 68.Chứng minh rằng: ³

2 3 7 3 3 5

7 cos6

3 7

cos4

3 7

cos2 





  

 .

Bài 69.Cho x, y, z, t là các số thực nằm giữa 2



 và 2

 thoả mãn:























3 2 10 cos 2 cos 2

cos 2 cos

1 sin sin sin

sin

t z

y x

t z y x

.

Chứng minh rằng: 0x, y, z, t 6

 .

Bài 70.Tìm GTNN của hàm số )

;2 0 ( cos ,

1 sin

1   

 x

x

y x .

Bài 71.Tìm GTNN, GTLN của hàm số: 1 1

cos 4 1

sin 2 _{2 2} 

 

 

x x x

y x .

Bài 72.Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

1 cos

1 cos cos

2 ²





 

x x

y x .

Bài 73.Cho tam giác ABC có C = 2B = 4A. Gọi O, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm của tam giác ABC. Tính tỷ số

R

OH trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Bài 74.Cho tam giác ABC vuông ở C. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, ma,mblần lượt là độ dài các đường trung tuyến của tam giác kẻ từ A, B. Tìm giá trị lớn nhất của: _{2 2}

2

b

a m

m r

 . Bài 75.Giải các phương trình sau:

1/ sin³xcos³xsin³ xcotgxcos³ xtgx 2sin2x. 2/ 2cosx 2sin10x3 22cos28x.sinx.

3/ 5

5 sin 3

3

sin x  x.

4/ 

   











 )

cos(3 3 )

cos(

sin 4 3 8) ( cos 2 8) cos(

8) sin(

3

2 x  x  ² x  ² x  x  x

5/ 2sin5x(16sin⁴ x20sin² x5)1.

6/ (16sin⁴ x20sin²x5)(16sin⁴5x_20sin²5x51

Bài 76.Chứng minh rằng: 4cos36⁰cotg7⁰30 1 2 3 4 5 6

Bài 77.Cho 7

cos 1 sin

1 cot

1 1

2 2

2

2    

x x

x g x

tg . Tính sin²2x.

Bài 78.Chứng minh rằng:

2 1 5 cos2 cos5   

.

Bài 80.Thu gọn P = (2cosa-1)(2cos2a-1)...(2cos2^n1a1) Bài 81.Tính các tổng:

S =

7 sin 6

1 7

sin 3 1 7

sin 2 1

2 2

2  ^  ^  , P =

18 7 18

5 18

8 8

8   

tg tg

tg   , R =

18 7 18

5 18

6 6

6   

tg tg

tg  

Bài 82.Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số F(x)=cos(2006x)+kcos(x) trong đó k,^ là các tham số thực. Chứng minh rằng:M² m² 2

Bài 83.Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của tam giác ABC thoả mãn đẳng thức sau:

2 2 4 2

1 2

1 2 2 2

1 2

2 2

1 2

2

tgC tg B tg A tg B

tg A tgC tg A

tgC tgB tgC

tg B tg A













PHẦN 2

Câu 1: Giải các phương trình sau đây: sinx 1 sin 2 x cos 2x Hướng dẫn giải:

Ta có: sinxsinxcos²xcosx

1 1 2

sin sin cos cos

4 x x 4 x x

     

2 2

1 1

sin cos

2 2

x x

   

     

   

2

cos 1

1 1

sin 2 cos 2 sin cos 1 sin 0

1 1 sin cos cos 0

sin cos

2 2 sin cos

x x x x xx

x x x

x x

x x

 

    

     

        

2

cos 1 2 ,

cos 0

cos 0

1 5

sin sin 1 0 sin

2 2

5 1 ,

arcsin 2

2

x k k

x x

x

x x x

x k

x m k m





 

 

 

  

  

       

 

  

      

 Z

.

Câu 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a)



^sinxcosx



^{2 3 cos 2x2}

b) t an 1

2 sin cot 1

x x

x

 



c) 4( osc ⁴xsin⁴x) 1 sin 2  x

Hướng dẫn giải:

a)



^sinxcosx



^{2 3 cos 2x2}

sin 2 3 cos 2 1 sin(2 ) 1

3 2

x x

x 

  

  

2 2

3 6

2 5 2

3 6

x k

x k

  

  

   

 

   



12 k 4

x k

x k

 

 

   

 

  



Z

b) t an 1

2 sin cot 1

x x

x

 



Điều kiện:

sinx 0

cos 0

cot 1

x x

 

 

  



 

^{sin cos . sin 2 sin}

cos cos sin

sin 2 sin 0 cos

sin ( 1 2) 0 cos

sin 0

1

cos 2

x x x

pt x

x x x

x x

x

x x

x x

  



  

  

 

  



Với sinx0, không thỏa mãn điều kiện

Với ^{cos 1 2 k}

 

2 4

x    x  k  0 Z

Giá trị ^{2 k}

 

x  4 k  0 Z bị loại do điều kiện cotx 1 Vậy pt đã cho có họ nghiệm là: ^{2 k}

 

x 4 k  0 Z c) 4( osc ⁴xsin⁴x) 1 sin 2  x

 

2 2

2

2

4(1 2sin . os ) 1 sin 2 4(1 1sin 2 ) 1 sin 2

2

2sin 2 sin 2 3 0 sin 2 1

sin 2 3

2 sin 2 1

4

x c x x

x x

x x

x x x

x  k k

   

   

    

 



  



 

   Z

.

Câu 3: Giải phương trình 1

. 2

cosx cos x4.

Hướng dẫn giải

x k  không phải là nghiệm.nhân thêm sinx vào hai vế để đưa về pt sin 4xsinx. Suy ra 2

3

x k  ; 2

5 5

x  k  .

Vì x k  nên pt có các nghiệm 2 3 2

x   k ; 2

x  5 k ; 3 5 2

x   k . Câu 4: Giải phương trình 5 sin ²x sinx2cosx.

Hướng dẫn giải

5 sin2 5

VT   x  .

Theo BĐT Bunhiacôpski sinx2cosx (1²2 )(sin^{2 2}x cos x ² )  5. Vậy phương trình xảy ra khi và chỉ khi

sin 2 0 2

2 1

sin 2cos 5 sin( ) 1; sin ;cos

5 5

x k x

x x x



  

 

  

     

       

(Hệ phương trình vô nghiệm).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos x( ²)cos[ ( x²2x1)]. Hướng dẫn giải

2 2

( ) [ ( 2 1)]

cos x cos x  x x²  [ ( x²2x1)]; k 

2 2

2 2

2 1 2

( 2 1) 2

x x x k

x x x k

    

     



2

2 1 2 0 (1)

2 2 1 2 0 (2)

x k

x x k

  

     

Ta có:

min

1 2 1

(1) ;

2 2

x   k k x

     (nghiệm dương nhỏ nhất khi k 1).

(2) có 1

4 1 0 1

k k 4 k

        (do k nguyên).

(2) có hai nghiệm ₁ 1 4 1 ₂ 1 4 1

0; 0

2 2

k k

x     x     .

Suy ra nghiệm dương x1 nhỏ nhất khi k 1. Khi đó _1min 1 3 2 0 x   

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của pt là _1min 1 3 x  2

 .

Câu 6: Cho phương trình:^{cos2 – 2x}



^m1



^{cosx m  1 0}. a. Giải phương trình khi ³

m 2.

b. Tìm m để phương trình có nghiệm 3 2 2; x   

 ^. Hướng dẫn giải a. khi ³

m 2 phương trình 2cos2x8cosx504cos²x8cosx30.

2 ( )

x 3 k  k

      .

b. Tìm m để phương trình có nghiệm 3 2 2; x  

 ^.

phương trình









 











m x m x

x m

x

cos 2 cos 1 0

cos ) 1 2 ( cos

2 ² .

với 3

2 2; x  

  ^{ta có 1cosx0 nên} cos 1

x 2 không thoả mãn.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm 3 2 2; x   

    1 m 0.

Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình ^{cosx sinx cos2x. 1sin2x 0} thỏa mãn điều kiện:

2004 x 2005.

Hướng dẫn giải

0 2 sin 1 . 2 cos sin

cosx  x  x  x  (*)

+ 1 sin 2 x  cosxsinx

   

cos2x cosx sinx cosx sinx

+

 

^{* }



^{cosx sinx}

 

^1



^{cosx  sinx}



^cosxsinx



^0

 

cosx sinx 0 1

   hoặc



^{cosx  sinx}



^{cosxsinx 1 2}

 

+

 

^{1 cos2x0}(1)

+

 

^{2  }



^{1 sin 2x}

 

^{1 sin 2 x}



^{ 1 sin 2x0} (vì sin 2x0 không thể xảy ra) Ta có:

 

^{* cos2x0} hoặc sin 2x0 ^{sin 4 0 ,}

 

x x k4 k

     .

+ Với điều kiện 2004 x 2005, chọn số nguyên k2552. Vậy x638. Câu 8: Cho phương trình msinxcosx 1 m (1) (^m là tham số).

a. Giải phương trình (1) với m1. b. Tìm ^m để phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn giải a. Với m1. Thay vào phương trình

 

1 ta được:

 

^{1 sin cos 0 2 sin 0 sin 0}

4 4 4 4

x x x   x   x  k x  k

                  . b. Phương trình có nghiệm ^{m2  1}



^{1 m}



^{2 m2  1 1 2m m 2  m 1.}

Câu 9: Giải phương trình:

(2 3) cos 2sin2

2 4 1

2cos x x

x

 

     

Hướng dẫn giải Điều kiện: cosx0.

Ta có:

(2 3) cos 2sin2

2 4 1

2cos x x

x

  

     



^{2 3 cos}



^{x 2sin2}_{2 4}^{x   2cosx}

     

3 cos 1 cos 0 sin 3 cos 1

x  x 2 x x

         

1 3 1 1

sin cos sin .cos cos .sin

2 x 2 x 2 x 3 x 3 2

     

2 2

3 6 2

sin sin

3 6 7

2

2 6

3 6

x k x k

x

x k

x k

    

 



    

      

 

 

           

,



^k



.

Vậy phương trình có họ nghiệm là 2

x 2 k  và 7 6 2

x  k  ,



^k



. Câu 10: Cho phương trình ^sin



^{1 cos}



cos

m x m x m

   x. Tìm các giá trị của ^m sao cho phương trình đã cho có nghiệm.

Lời giải

ĐKXĐ: cosx0. Với điều kiện đó chia hai vế của phương trình cho ^cosx, ta được:



²



²

tan 1 1 tan tan tan 1 0

m x m  m  x m x m x  Đặt tanx t , ta được phương trình: ^{mt2mt 1 0 *}

 

Do phương trình ^{tanx t} có nghiệm với mọi ^t nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

 

* có nghiệm ² 0

4 0

4 m m m

m

 

         .

Câu 11: Giải phương trình ^{sin 2 cot 3 sin}



²



^{2 cos5 0}

2 x x x x

 

      

 

 

Lời giải ĐKXĐ: sin 3x0.

Ta có: ^{sin 2 cot 3 sin}



²



^{2 cos5 0}

2 x x x x

 

      

 

 

 

 

cos 2 cos3 sin 2 2 cos5 0 sin 3

cos 2 cos3 sin 2 sin 3 2 cos5 sin 3 0 cos5 1 2 sin 3 0

5 2 10 5

cos5 0

3 2 2 .

2 4 12 3

sin 3

2 2

3 2

4 4 3

x x x x

x

x x x x x x

x x

x k

x k

x

x k x k k

x

x k x k

 

 

   

  

 

   

   

  

     

 

  

  

        



     

 

 

 .

Câu 12: Giải phương trình 1 2 tan cot 2 2sin 2

sin 2

x x x

   x

Lời giải Điều kiện:

x k 2 .

 

 

   

2

2

2 tan cot 2 2sin 2 1

sin 2 1 cos 2 2 tan 2sin 2

sin 2

2 tan 2sin 2 2sin 2sin 2 tan

2sin cos tan 2sin 2

4sin 4cos 1 0

sin 2cos 2 1 0

sin 0

2x 2 2 , .

1 3 3

cos 2

2

x x x

x

x x x

x

x x x x x

x x

x x

x x

x x

x l

k x k k

x

   

  

   

    

 

  

  





           



 .

Câu 13: Giải phương trình sin 3² xcos 4² xsin 5² xcos 6² x Lời giải

   

 

2 2 2 2

sin 3 cos 4 sin 5 cos 6

1 cos 6 1 cos8 1 cos10 1 cos12

cos12 cos 6 cos10 cos8 0

sin 9 .sin 3 2sin 9 .sin 0 sin 9 sin 3 sin 0

2sin 9 .sin 2 .cos 0

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x

  

       

    

   

  

 

 

sin 9 0 9

sin 2 0 2 9 .

cos 0

2 2

x x k x k

x x k k

x x k

x k

 

 

 

 

  

   

        



 .

Câu 14: Giải phương trình 3cosx2 sinx 2

Lời giải

3cosx2 sinx 2 2 sin x  2 3cosx (Điều kiện: 2 cosx 3)

 

   

2 2

2

4 1 cos 4 12cos 9 cos

13cos 12cos 0

cos 0

cos 0 , .

12 2

cos 13

x x x

x x

x

x x k k

x l

 

    

  

 

      

 



 .

Câu 15: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình cos²x4 cosx m 0 có nghiệm.

Lời giải Đặt ^tcosx, điều kiện   1 t 1.

Phương trình cos²x4 cosx m 0 (1) trở thành ^{t2   4t m 0 f t}

 

^{  4t t2 m} (2).

Để (1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm ^{t }



^1;1



.

Lập bảng biến thiên của ^{f t}

 

, dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là   5 m 3. Câu 16: Với giá trị nào của m thì phương trình sin 2x 3 cos 2x 1 m có nghiệm?

Lời giải

1 3 1

sin 2 3 cos 2 1 sin 2 cos 2

2 2 2

x x  m x x m

1 1

sin 2 cos cos 2 sin sin 2

3 3 2 3 2

m m

x  x    x  

      

Phương trình có nghiệm ^{1 1 1 1 1 2 1 2 3 1}

2 2

m m

m m

 

               .

Câu 17: Cho 3 số thựca b c  0. Số nghiệm của phương trình sina x b cosx c trên khoảng ^;0 2

 

 

 

là

A. 0. B. 1. C. 2 . D. thay đổi theo , ,a b c.

Lời giải

2 2 2 2 2 2

sin cos a sin b cos c

a x b x c x x

a b a b a b

    

   (1)

 

sin x  sin

   (2) (vì ⁰ ₂^c ₂ ¹

a b

 

 )

Trên khoảng ;0 2

 

 

  thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

Giải thích: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, các họ nghiệm của phương trình sinusinv sẽ được biểu diễn bởi 2 điểm đối xứng với nhau qua Oy, mà ở đây đề bài chỉ cho trên 1 góc phần tư thứ IV nên chỉ có 1 nghiệm duy nhất.

Câu 18: Với giá trị nào của m thì phương trình cos²x2sin cosx xsin²x m có nghiệm Lời giải

Ta có: ^{cos2 2sin cos sin2 cos 2 sin 2 2 sin 2}

x x x x m  x x m   x4m sin 2

4 2

x  m

 

    .

Phương trình có nghiệm khi 1 2 2

2

m     m .

Câu 19: Gọi M , ^m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y2sinx2cosx2sin 2x. Lời giải

Đặt ^{sin cos 2 cos}

t x x x4,  2 t 2. Ta có ^{t2 }



^sinxcosx



^{2  1 sin 2x} sin 2x t ² 1. Ta được hàm số y 2t² 2t 2, 2 t 2. Bảng biến thiên:

t  2 1

2 2

y  2 2 2 5

2  2 2 2

Suy ra 5

; 2 2 2

M  2 m   .

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số ^m để phương trình



^{m22 cos}



^{2 x4 sin cosm x x m 23 vô}

nghiệm.

Lời giải



^{m22 cos}



^{2x4 sin cosm x x m 23 }



^m22



^{1 cos 2} ₂ ^{x4 sin cosm x x m 23}



^{m2 2 cos 2}



^{x 4 sin 2m x m2 4}

     .

Phương trình vô nghiệm ^



^m22



^{216m2 }



^m24



^{2 m2     1 1 m 1.}

Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số ^m để phương trình 2sinx m cosx 1 m có nghiệm 2 2;

x   .

Lời giải

cos 0 2

x không là nghiệm của phương trình.

Đặt tan 2

t x sin ² ₂; cos ^{1 2}₂

1 1

t t

x x

t t

   

  .

Ta được phương trình

2

2 2

2 1

2. . 1

1 1

t t

m m

t t

   

  ^{   t2 4 1 2t m0 1}

 

. Phương trình có nghiệm ^;

x   2 2 ^

 

¹ có nghiệm ^{t }



^1;1



.

Phương trình

 

^{1    t2 4 1 2t m} là phương trình hoành độ giao điểm parabol

 

^{P y t:   2 4 1t} và đường thẳng :d y2m. Bảng biến thiên của hàm số y t  ² 4 1t

t  1 1 2 

y

6

2

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình

 

1 có nghiệm ^;

x   2 2   2 2m6   1 m 3. Câu 22: Phương trình



^{sinx 3 cosx}



^{2  5 cos 4} ^x₃^ có bao nhiêu nghiệm dương bé hơn 10?

Lời giải



^{sinx 3 cosx}



^{2  5 cos 4} ^x₃^

4sin2 5 cos 4

3 3

x  x 

   

       .

Ta có: ^{0 sin2 1 0 4sin2 4}

3 3

x  x 

   

         .

1 cos 4 1 4 5 cos 4 6

3 3

x  x 

   

          

    .

Dấu " " xảy ra

sin2 1

3

cos 4 1

3 x

x





   

  

     

3 2

4 2 , ,

3

x k

x l k l

  

  

   

 

    

 

 

6 ,

x  k k

   

Vậy có 4 nghiệm dương bé hơn ¹⁰ ứng với k 0,k 1,k2,k 3. Câu 23: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2cos 4

cot tan

sin 2 x x x

  x trên đường tròn lượng giác ta được bao nhiêu điểm?

Lời giải

Điều kiện: ^{sin 2 0 2 ,}

 

2

x  x k   x k k . 2cos 4

cot tan

sin 2 x x x

  x cosx sin cos 4

sin cos sin .cos

x x

x x x x

   cos 2xcos 4x

2cos 22 x cos 2x 1 0

   

cos 2 1

2 cos 2 1

x x

  



 



.

+ Với cos 2x 1 sin 2x0 (không thỏa điều kiện).

+ Với ^{cos 2 1 ,}

 

2 3

x     x  k k (thỏa điều kiện).

Biểu diễn hai họ nghiệm ^,

 

x  3 k k trên đường tròn lượng giác ta được 4 điểm.

PHẦN 3

Bài 1. Giải các phương trình sau: ^{(cos 1)(2 cos 1)} 1 sin 2 2 cos .² sin

x x

x x

x

    

Hướng dẫn giải.

Điều kiện: ^sinx  ⁰ x m⁽m Z ^).

Phương trình đã cho tương đương với: 2cos²x3cosx 1 sinx2sin .cos² x x2sin .cosx ²x. cos 2 3cos 2 sin cos (1 cos 2 ) sin (1 cos 2 )

 x x  x x  x  x  x . cos 2 2(sin cos 1) cos 2 (sin cos ) 0

 x x x x  x x x  .

   

^{ cos 2x 2 0 .}

cos 2 2 2

( ).

2 2

sin 4 2 2





 

    

 

       

x x k

x k k Z

x .

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 2 2

 

 

x k (k ).

Bài 2. Giải các phương trình sau: ^{2 2} 3

4sin 3 cos 2 1 2cos .

2 4

  

     

x x x

Hướng dẫn giải.

Phương trình đã cho tương đương với ^{2 1 cos}

 

^{3 cos 2 1 1 cos 2 3}

2

  

 x  x    x . 2cos 3 cos 2 sin 2

  x x  x.

1 3

sin 2 cos 2 cos

2 2

 x x x.

sin 2 cos

3

  

   

 x  x.

sin 2 sin

3 2

 

   

  x   x.

5 2

2 2

3 2 18 3 ( ).

2 2 5 2

3 2 6

    

    

       

 

  

       

 

 



x x k x k

k

x x k x k

Bài 3. Giải phương trình sin 2x2cosx0.

Hướng dẫn giải.

Phương trình đã cho tương đương với 2sin .cosx x2cosx0. 2cos (sin 1) 0

 x x  .

cos 0

sin 1

 

   x

x .

2 ( ).

2 2 2

   

 

  

    

  





x k

x k k

x k

.

Bài 4. Giải phương trình: 2 3.sin 2 3tan 2 3 2 sin 2 1 x x

x ^

 _.

Hướng dẫn giải.

Điều kiện:

 

sin 2 0 sin 2 1 *

4

os2 0

x x

c x

 

 



 

( nếu thí sinh viết không đủ (*) thì trừ 0,5 điểm).

Khi đó: sin 2

(1) 4 3.sin 2 2 3.sin 2 3 2 3.sin 2 3 cos 2

   x 

PT x x x

x

.

2 3.sin 4 3sin 2 3cos2

 x x x^.

 

3 1

2 2 2 6

4 2 2

6 12 , '

5 '

4 2 '2

36 3

6

sin 4 sin 2 os2 sin 4 sin x

x x k x k

k k Z

x k

x x k

x x c x x ^

   

 

  

  

 

 

      

 

  

       

 



    

.

Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là

 

, 5 ' , ' , ' 6 2, ' 6 5,

12 36 3

x  k x  k  k k Z k  m k  m m Z . Bài 5. Cho phương trình: sin⁴xcos⁴xcos 4² x m . ( m là tham số).

1) Giải phương trình khi ³ m 2.

2) Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; 4 4

 

 

 . Hướng dẫn giải.

Phương trình đã cho tương đương với:

3 cos 4 2

cos 4 . 4

 x 

x m

1) Với ³

m 2 ta có phương trình:

²

cos 4 1

4 2

4 cos 4 cos 4 3 0 3 .

1 3

cos 4 4 4arccos4 2

 



    

 

         

x x k

x x

x x k

2) Đặt t = cos4x ta được: 4t² t 4m3, (2).

Với ;

x   4 4 thì ^{t }



^{1;1 .}



Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ;

x   4 4 khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt ^{t }



^{1;1 .}



(3).

Xét g(t) = 4t²t với ^{t }



^{1;1 .}



ta có bảng biến thiên :

t

1 ¹

8 1

g(t)

5 3

¹

16

Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra  ^{1 4 3 3}

16 m

     ^{47 3}

64  m 2 Vậy giá trị m cần tìm là: ⁴⁷