Lý thuyết và ví dụ về hình học không gian cổ điển – Dương Phước Sang - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN Mục lục

1 Hình học không gian (cổ điển) 1

I. Một số vấn đề cơ bản về quan hệ song song . . . 1

1. Việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng . . . 1

2. Việc xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . . . 1

3. Một số định lý về nhận dạng quan hệ song song . . . 2

II. Một số vấn đề cơ bản về quan hệ vuông góc . . . 2

1. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . . . 2

2. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc . . . 2

3. Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc . . . 2

III. Phương pháp xác định các loại góc trong không gian . . . 3

1. Góc giữa hai đường thẳng . . . 3

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (cắt nhau nhưng không vuông góc) . . . . 3

3. Góc giữa hai mặt phẳng (cắt nhau) . . . 3

IV. Phương pháp xác định khoảng cách . . . 4

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . . . 4

2. Khoảng cách giữa 2 đối tượng song song nhau . . . 4

3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng avàbchéo nhau . . . 4

V. Một số vấn đề về khối đa diện lồi, khối đa diện đều . . . 5

1. Tính chất của một hình đa diện, khối đa diện . . . 5

2. Bảng tổng hợp tính chất của các đa diện đều . . . 5

VI. Một số công thức tính toán hình học . . . 6

1. Công thức tính toán hình học liên quan đến tam giác . . . 6

2. Công thức tính toán hình học liên quan đến tứ giác . . . 7

3. Công thức thể tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ . . . . 8

4. Công thức tính toán với các khối nón - trụ - cầu . . . 8

5. Phương pháp dựng tâmI của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . 9 VII. Một số khối đa diện thường gặp trong các đề thi . . . 10

1. Hình chóp tam giác đều . . . 10

2. Hình tam diện vuông O.ABC(vuông tạiO) . . . . 10

3. Hình chóp S.ABCcó đường caoSA,ABvuông góc vớiBC . . . 10

4. Hình chóp S.ABC có cạnh bên SA “thẳng đứng”, mặt đáy là tam giác“thường” . . . 11

5. Hình chóp S.ABCcó 1 mặt bên b“cân tại S”và“dựng đứng” 11 6. Hình chóp tứ giác đều . . . 11

7. Hình chópS.ABCDcó cạnh bênSA “thẳng đứng”, mặt đáy là “hình chữ nhật” . . . 12

8. Hình chóp S.ABCDcó 1 mặt bên“cân tại S”và“dựng đứng”. 12 9. Hình hộp chữ nhật . . . 13

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

? Công thức tính nhanh một số khối tứ diện đặc biệt . . . 13

? Một số công thức biệt liên quan khối tròn xoay . . . 14 VIII. Ví dụ giải toán điển hình . . . 15

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN Chương 1

Hình học không gian (cổ điển)

I. Một số vấn đề cơ bản về quan hệ song song

1. Việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

A B

α

β b

a

∆ α

β

a

∆ α

β

Nếu 2 mặt phẳng phân biệt (α) và (β) có 2 điểm chung phân biệt A và B thì đường thẳng ABlà giao tuyến của chúng.

Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt qua 2 đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với cả hai đường thẳng đó hoặc trùng với 1 trong 2 đường thẳng đó.

Hai mặt phẳng phân biệt nếu thoả mãn tính chất “mặt phẳng này chứa đường thẳng a, còn mặt phẳng kia song song với a” thì giao tuyến của chúng song song vớia.

c

a b

γ α

β

c

a b

γ α

β

a b

β α

γ

Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau tạo thành 3 giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Cho hai mặt phẳng song song với nhau. Nếu có mặt phẳng thứ ba cắt mặt phẳng thứ nhất thì mặt phẳng thứ ba đó cắt luôn mặt phẳng thứ hai, đồng thời hai đường giao tuyến tạo thành song song với nhau.

2. Việc xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng PP cơ bản: muốn tìm giao điểm của đường thẳngdvới

mặt phẳng(α)ta tìm giao điểm của đường thẳngd đó với 1 đường thẳng∆(hợp lý) trong mặt phẳng(α). Nếu chưa tìm được đường thẳng∆trong(α)như trong

PP cơ bản đã nêu, ta thực hiện 3 bước giải như sau:

I d

∆ α 1

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

+o Bước 1: chọn mặt phẳng phụ(β)chứa đường thẳngd. +o Bước 2: tìm giao tuyến∆của(β)và mp(α)đã cho.

+o Bước 3: tìm giao điểm I của∆và đường thẳngd.

I d

α ∆

3. Một số định lý về nhận dạng quan hệ song song

Muốn chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đó nằm ngoài mặt phẳng đồng thời song song với 1 đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng.

Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau ta chứng minh mặt phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

II. Một số vấn đề cơ bản về quan hệ vuông góc

1. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng







d⊥a⊂(P) d⊥b⊂(P) a∩b=I

⇒d⊥(P) d

b a

P







(α)⊥(P) (β)⊥(P) d=(α)∩(β)

⇒d⊥(P)

α β

d

P







(P)⊥(Q) d⊂(Q)

d⊥∆=(P)∩(Q)

⇒d⊥(P) d

P

Q

∆

Muốn chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Xét 2 mặt phẳng vuông góc với nhau: nếu trong mặt phẳng này có 1 đường thẳng vuông góc với giao tuyến của chúng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia.

2. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với

nhau ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia

(d⊥(P)

∆⊂(P)⇒d⊥∆

d

∆

P

3. Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau

ta chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

(d⊥(P)

d⊂(Q)⇒(P)⊥(Q)

d

P

Q

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

III. Phương pháp xác định các loại góc trong không gian

1. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a⁰ và b⁰ cắt nhau lần lượt song song hoặc trùng với hai đường thẳnga,b đó.

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (cắt nhau nhưng không vuông góc) Bước 1: Xác định giao điểm I củad và(α)

(góc cần vẽ có đỉnh đặt tại đây)

Bước 2: Tìm hình chiếu vuông gócd⁰củad lên(α) +o Trên d, lấy điểm Akhác I.

+o Tìm hình chiếu A⁰ của Atrên(α)

+o Kẻ đường thẳng nốiI và A⁰, đó chính làd⁰ Bước 3: Xác định góc_ϕ=(d, (àα))=(d,ƒd⁰).

d A

A⁰

I α

ϕ

? Lưu ý:Nếu đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (β)vuông góc với (α)thì góc hợp bởid và (α)bằng góc hợp bởi d với giao tuyến của(α)và(β).

(giao tuyến của (α) và (β) trong trường hợp này chính là hình chiếu vuông góc của ^dlên(α))

d

I α

ϕ

3. Góc giữa hai mặt phẳng (cắt nhau)

Bước 1: xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng (α)và(β).

Bước 2: tìm 2 đường thẳng a,b cắt nhau, cùng vuông góc với giao tuyến c, lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng(α)và(β).

Bước 3: xác định góc giữa 2 mặt phẳng (α) và (β): góc đó chính là góc(a,b)6^90◦.

? Lưu ý: góc giữa 2 mặt phẳng được định nghĩa là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó.

I c a

b α

β

∆ M

N d

α

β I

M

N d

ϕ

α

β

? Đặc biệt:

Nếu có đường thẳng∆vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng (α)và (β)mà đường thẳng ∆đó đi qua 2 điểm^¡M∈(α)và N∈(β)¢

, để xác định góc giữa 2 mặt phẳng(α)và (β), từ điểmN ta vẽ N I⊥d tạiI∈d. Khi đó((áα), (β))=M I Nƒ.

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

IV. Phương pháp xác định khoảng cách

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Bài toán cơ bản 1:

Cho M là hình chiếu vuông góc của điểm S ∉(β) lên mặt phẳng (β). Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng nằm nghiêng(α)¡

quaS và cắt(β)¢

ta làm như sau:

+o Bước 1: Xác định giao tuyếnd của(α)và (β). +o Bước 2: Từ M, vẽ M I⊥d tại I∈d.

+o Bước 3: Vẽ MH⊥S I tạiH∈S I thìd¡

M, (α)¢

=MH.

I

S

M

d H

α

β Bài toán cơ bản 2:

Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau, điểm M∈(β). Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α)ta làm như sau:

+o Bước 1: Xác định giao tuyếnd của(α)và (β). +o Bước 2: vẽ MH⊥d tạiH∈d thìd¡

M, (α)¢

=MH. _β

α H M d Một số lưu ý:

d¡ A, (α)¢ d¡

B, (α)¢ = A I BI A

A⁰ B

B⁰

I α

d¡ A, (α)¢

=d¡ B, (α)¢ A

A⁰

B

B⁰ α

d¡

M, (ABC)¢

=3.V_{M ABC} S_4ABC M

A B

C α

2. Khoảng cách giữa 2 đối tượng song song nhau

Khoảng cách giữa d và d⁰(song song nhau) là khoảng cách từ điểmM∈d đến d⁰. Khoảng cách giữa d và(α)(song song nhau) là khoảng cách từ điểmM∈d đến(α). Khoảng cách giữa (α)và(β)(song song nhau) là khoảng cách từ điểm M∈(α)đến(β). 3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳngavàbchéo nhau

a

b

A

β B α

a

b

M A

P B

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau (avàb) bằng độ dài đoạn vuông góc chung của chúng (tức đoạn thẳng ABcó A∈a,B∈b và AB⊥a,AB⊥b).

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này và một mặt phẳng song song với nó đồng thời chứa đường thẳng kia.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song với nhau lần lượt chứa 2 đường thẳng đó.

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

V. Một số vấn đề về khối đa diện lồi, khối đa diện đều

1. Tính chất của một hình đa diện, khối đa diện

Hai đa giác phân biệt chỉ có thể: hoặc là không có điểm chung, hoặc chỉ có 1 đỉnh chung, hoặc chỉ có 1 cạnh chung. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 đa giác.

Mỗi cạnh của bất kỳ đa giác nào cũng đều là cạnh chung của đúng 2 đa giác.

Bất cứ hình đa diện nào cũng có thể phân chia thành nhiều khối tứ diện.

Bất cứ hình đa diện nào cũng có ít nhất 4 đỉnh, ít nhất 4 mặt và ít nhất 6 cạnh.

Hình chóp có mặt đáy là n-giác thì có(n+1)đỉnh,(2n)cạnh và(n+1)mặt.

Hình lăng trụ có mặt đáy là n-giác thì có(2n)đỉnh,(3n)cạnh và(n+2)mặt.

Một hình đa diện có M mặt, mỗi mặt có pcạnh thì có ^{M p}

2 cạnh.

Với một đa diện lồi bất kỳ cóĐđỉnh,Ccạnh vàMmặt thìM+C−Đ=2(định lý Euler).

Khối đa diện là phần không gian giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

Khối đa diện lồi là một khối đa diện mà đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ của khối đa diện đó luôn thuộc vào chính nó.

2. Bảng tổng hợp tính chất của các đa diện đều

Tứ diện đều H.lập phương Bát diện đều 12 mặt đều 20 mặt đều Tên đa diện Loại Số

đỉnh Số cạnh

Số mặt

Số mặt đ.xứng

Số trục

đ.xứng Thể tích Bán kính mc ng.tiếp

Tứ diện đều {3;3} 4 6 4 6 3 V=

p2c³

12 R=

p6c 4

H.lập phương {4;3} 8 12 6 9 9 V=c³ R=

p3c 2

Bát diện đều {3;4} 6 12 8 9 _V=

p2c³

3 R=

p2c 2

12 mặt đều {5;3} 20 30 12 15

20 mặt đều {3;5} 12 30 20 15

Ký hiệu{p;q}cho biết plà số cạnh của mỗi mặt, q là số mặt đi qua mỗi đỉnh

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

VI. Một số công thức tính toán hình học

1. Công thức tính toán hình học liên quan đến tam giác Đối với tam giác đều

+o Độ dài đường cao: h=(cạnh)_×^p3 2

+o Bán kính đường tròn ngoại tiếp:R=(cạnh)_×^p3 3 +o Bán kính đường tròn nội tiếp: r=(cạnh)_×^p3

6

A

B H C

O

Đối với tam giác vuông cân

+o Độ dài cạnh huyền: cạnh huyền₌(cạnh góc vuông)_×^p2 +o Độ dài cạnh góc vuông: cạnh góc vuông₌cạnh huyền

p2

A

B C

Hệ thức lượng trong tam giác vuông +o a²=b²+c²

+o b²=b⁰.a +o h= bc

pb²+c² +o h²=b⁰.c⁰ +o ^b0

a = b² a²

+o ah=bc +o c²=c⁰.a +o ¹

h²= 1 b²+ 1

c² +o a=2.m_a +o ^c0

a = c² a²

H M

A

B C

h c

c⁰

b

b⁰ a m

a

Hệ thức lượng trong mọi tam giác +o Định lý côsin:a²=b²+c²−2bccosA +o Công thức tính góc:cosA= b²+c²−a²

2bc +o Định lý sin: ^a

sinA= b

sinB = c

sinC =2R +o Định lý trung tuyến: m²_a= b²+c²

2 −a² 4

A

B M C

c b

a m_a

Công thức tính diện tích tam giác

+o Diện tích của tam giác đều:S_4đều=(cạnh)²_×^p3 4

+o Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích của hai cạnh góc vuông.

+o Diện tích của mọi tam giác (bất kỳ):

S_4ABC=1

2a.h_a=1

2bcsinA=abc

4R =pr=p

p(p−a)(p−b)(p−c)

* h_a: đường cao ứng với cạnh đáy a.

* R: bán kính đường tròn ngoại tiếp

* p=a+b+c

2 : nửa chu vi

* r: bán kính đường tròn nội tiếp +o Công thức tỉ số diện tích: ^S4AB0C0

S_4ABC = AB⁰ AB ·AC⁰

AC, trong đóB⁰∈AB,C⁰∈AC.

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

Định lý Menelaus Định lý Ceva

B K

A

C M

N

M A MB×K B

K C×NC N A=1

(M,N,K thẳng hàng)

B C

A

M

N

K

(AK,BN,CM đồng quy) 2. Công thức tính toán hình học liên quan đến tứ giác

Đối với hình vuông

+o Độ dài đường chéo: đường chéo₌(cạnh)_×^p2 +o Độ dài cạnh: cạnh₌đường chéo

p2

+o Diện tích hình vuông: S_hv=(cạnh)²₌(đường chéo) 2

2

A

B C

D

Đối với hình chữ nhật

+o Độ dài đường chéo hình chữ nhật:

đường chéo₌ q

(chiều dài)²₊(chiều rộng)² +o Diện tích:S_hcn=(chiều dài)_×(chiều rộng)

A

B C

D

Đối với hình thang

+o Diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy nhân với chiều cao:

S_h.thang=(đáy lớn)₊(đáy bé)

2 ×(đường cao)

A

B C

D

H Đối với hình bình hành

+o Diện tích h.bình hành bằng cạnh nhân với đường cao Sh.bình hành=(cạnhBC)_×(đường cao AH)

+o Diện tích hình bình hành bằng tích của 2 cạnh kề nhân với sin của một góc

Sh.bình hành=(cạnh AB)_×(cạnhBC)_×sinƒABC

A

B C

D

H Đối với hình thoi

+o Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo S_h.thoi=(đường chéo 1)_×(đường chéo 2)

2

? Đặc biệt: hình thoi có góc60^◦hoặc120^◦có diện tích Sh.thoi (ĐB)=(cạnh)²_×^p3

2

A

B

C O D

Với tứ giác lồi có 2 đường chéo vuông góc: diện tích bằng nửa tích của 2 đường chéo.

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

3. Công thức thể tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ

h

V_{lăng trụ}=S_{mặt đáy}×h V_{khối chóp}=1

3S_{mặt đáy}×h h

Công thức dùng để tính tỉ số thể tích:

S

A

B

C A⁰

B⁰ C⁰

V_S.A0B⁰C⁰

V_S.ABC =S A⁰ S A ·SB⁰

SB ·SC⁰ SC

S

A

B C

D A⁰

B⁰

C⁰ D⁰

V_S.A0B⁰C⁰D⁰

V_S.ABCD =a+b+c+d 4abcd

a= S A S A⁰ b= SB

SB⁰ c= SC

SC⁰ d= SD SD⁰

A

B

C A⁰

B⁰

C⁰ M

N

P

V_{M N P.A}0B⁰C⁰

V_ABC.A0B⁰C⁰

=1 3

µA⁰M

A A⁰ +B⁰N BB⁰+C⁰P

CC⁰

¶

A

B C

D A⁰

B⁰ C⁰ D⁰ M

N

P Q

V_{M N PQ.A}0B⁰C⁰D⁰

V_ABCD.A0B⁰C⁰D⁰

=1 2

µA⁰M A A⁰ +C⁰P

CC⁰

¶

4. Công thức tính toán với các khối nón - trụ - cầu Đối với hình nón - hình nón cụt

+o Diện tích mặt đáy:S_đáy=πr² +o Diện tích xung quanh:S_xq=πrl +o Diện tích toàn phần:S_tp=S_đáy+S_xq +o Thể tích:V_nón=1

3S_đáy.h=1 3πr²h +o Chu vi đường tròn đáy:C=2πr +o Góc ở đỉnh nón:2β=2IO A +o Tỉ số thể tích:

V⁰

(O,I⁰,r⁰)

V_(O,I,r) = µr⁰

r

¶3

= µh⁰

h

¶3

= µl⁰

l

¶3

I O

I⁰ h

h⁰ l⁰

l

r r⁰

A⁰

A +o Thể tích hình nón cụt có hai đáy(I,r)và(I⁰,r⁰)là:V_{nón cụt}=1

3πh³

r²+rr⁰+r⁰²´ +o Diện tích xung quan hình nón cụt nêu trên là: Sxq (nón cụt)=π¡

r+r⁰¢ l

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

Đối với hình trụ

+o Diện tích mặt đáy:S_đáy=πr² +o Diện tích xung quanh:S_xq=2πrl +o Diện tích toàn phần:S_tp=2S_đáy+S_xq +o Thể tích:V_trụ=S_đáy.h=πr²h

+o Chu vi đường tròn đáy:C=2πr

I I⁰

A A⁰

r r⁰

Đối với hình cầu

+o Diện tích mặt cầu:S_{mặt cầu}=4πR² +o Thể tích khối cầu:V_{khối cầu}=4

3πR³

I

M R

5. Phương pháp dựng tâmI của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S

O I d

A H

R_mc= r

R²

d+1 4h²

A

O S

I H

R_mc= b² 2h

B S

O I A K

d

R_mc= r

R²

d+R²

b−1 4(gt)²

? Một số lưu ý:

+o Một hình chóp nội tiếp được một mặt cầu khi và chỉ khi mặt đáy của nó là một đa giác nội tiếp được đường tròn.

+o Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp luôn nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp mặt đáy hình chóp.

Với hình chóp có cạnh bên (S Achẳng hạn) vuông góc với mặt đáy +o Gọid là trục của đường tròn ngoại tiếp mặt đáy thìd chứa tâm I. +o GọiH là trung điểm của cạnh bên (vuông với đáy). Khi đó

I H∥AO và I H là1 đường trung trực của cạnh bênS A. Với hình chóp đều

+o GọiSOlà đường cao của hình chóp đều thì SOchứa tâm I. +o GọiH là trung điểm của cạnh bênS A. Khi đó

I H là1đường trung trực của cạnh bên S A. Với hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với mặt đáy

+o Gọid là trục của đường tròn ngoại tiếp mặt đáy thìd chứa tâm I. +o GọiK tâm của đường tròn ngoại tiếp mặt bên (vuông với đáy). Khi đó

I K là trục của đường tròn ngoại tiếp mặt bên đó.

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

VII. Một số khối đa diện thường gặp trong các đề thi

1. Hình chóp tam giác đều S

A α B

C O M

ϕ b

d

S

A

B

C I

O

S

A

B

C O

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:_α=ƒS AO=SBO =SCO Góc giữa mặt bên và mặt đáy: _ϕ=SMOƒ

Công thức tính độ dài đường cao: h= r

b²−1

3d²= btanϕ q

tan²ϕ+4 Công thức thể tích khối chóp tam giác đều:V= d²p

3b²−d²

12 = d³tanϕ

24 =d³tanα 12 Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:R= b²

2h

Khoảng cách giữa 2 cạnh đối diện nhau:d(S A,BC)=d(M,S A)

Tâm mặt cầu ngoại tiếp luôn thuộcSO đồng thời cách đều 2 điểmS và A. 2. Hình tam diện vuôngO.ABC(vuông tạiO)

OH⊥(ABC)tạiH

⇔Hlà trực tâm của₄ABC ¹

OH² = 1

O A²+ 1

OB²+ 1 OC² Bán kính mặt cầu ngoại tiếp

R=1 2

pO A²+OB²+OC² B A

O C

M H

B A

O C

E

G I

Đặt a=O A,b=OB,c=OCvà S₁=S_{4O AB};S₂=S_4OBC;S₃=S_{4O AC} thì V_O.ABC=abc

6 =

p2S₁S₂S₃ 3

3. Hình chópS.ABCcó đường caoSA,ABvuông góc với BC AH⊥(SBC), BC⊥(S AB),

SC⊥(AHK), SC⊥(BM N), BM⊥(S AC).

((SBC), (S AC))á =AK Hƒ=BN Mƒ ((SBCá), (ABC))=SB A.

d¡

A, (SBC)¢

=AH, d¡

M, (S AC)¢

=BM A

B

C S

H O I K

A

B

C S

M

N

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

Tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC (trường hợp này) là trung điểmI của cạnh bênSC. Tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện lồiHK.ABC là trung điểm Ocủa cạnh đáy AC. Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnBCM N là trung điểm của cạnh đáyBC.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chópB.S AM N là trung điểm của cạnh bênSB.

4. Hình chópS.ABCcó cạnh bênSA “thẳng đứng”, mặt đáy là tam giác“thường”

((SBC), (ABC))á =SM Aƒ d¡

A, (SBC)¢

=AH. d¡

A, (S AC)¢

=d¡

B,AC¢

Nếu mặt đáy ABCcân tại A (hoặc mặt đáy ABC đều) thì M là trung điểm của cạnh BC, ngoài raSB=SC.

A

B

C S

M H

B

C S

K ∆ A T

Khoảng cách giữa 2 cạnh đối diệnSB và AC:d¡

SB,AC¢

=d¡

AC, (SBK)¢

=AT Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABClàR=

r R²

d+1 4h²

(trong đó đường cao h=S Avà R_d là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt đáy ABC) 5. Hình chópS.ABCcó 1 mặt bên b “cân tại S”và“dựng đứng”

Nếu₄ABC vuông tại A thì M là trung điểm cạnh AB N là trung điểm cạnh AC ((S AB), (áABC))=SMHƒ

((S AC), (ABC))á =SN Hƒ d¡

A, (SBC)¢

=d¡

A,BC¢ d¡

H, (S AB)¢

=HP, d¡

H, (S AC)¢

=HQ B

A H C S

M N

P Q

B

A

C S

K H

T

Khoảng cách giữa hai cạnhS A vàBClàd¡

S A,BC¢

=d¡

BC, (S AK)¢

=AT Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABClàR=

q R²

d+R²

b−¹₄(gt)²

(R_d,R_b: bán kính đ.tròn ngoại tiếp mặt đáy và mặt bên, gt: giao tuyến của chúng) 6. Hình chóp tứ giác đều

S

A B

C

D

O E

H

S

A B

C D I

O

S

A

B C

D O

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:_α=ƒS AO=SBO =SCO =SCO Góc giữa mặt bên và mặt đáy: _ϕ=ƒSEO

Công thức tính độ dài đường cao: h= r

b²−1

2d²= btanϕ q

tan²ϕ+2 Công thức thể tích: V=d²p

4b²−2d²

6 =d³tanϕ 6

Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp (mọi hình chóp đều): R= b² 2h Tâm mặt cầu ngoại tiếp luôn thuộcSO đồng thời cách đều 2 điểmS và A.

7. Hình chópS.ABCDcó cạnh bênSA “thẳng đứng”, mặt đáy là“hình chữ nhật”

BC⊥(S AB), AH⊥(SBC), CD⊥(S AD), AK⊥(SCD), SC⊥(AHP K), BD⊥(S AE), AT⊥(SBD) B

D

C S

A H

P K I

O

B

D

C S

A O E T

M N

((SBC), (ABCD))á =SB A; ((SCD), (ABCDá ))=ƒSD A; ((SBD), (ABCD))á =ƒSE A d¡

A, (SBC)¢

=AH; d¡

A, (SCD)¢

=AK; d¡

A, (SBD)¢

=AT; d¡

SB,AC¢

=AN 1

AT²= 1

S A²+ 1

AB²+ 1 AD²

? Chú ý: nếu ABCD là hình vuông thìE≡O; AM∥OB; AH=AK; HK∥BD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD làR=

s R²

d+ µh

2

¶2

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là trung điểm I của cạnh bênSC Mặt cầu ngoại tiếp đa diện lồi HP K.ABCD có tâm là tr.điểmOcủa mặt đáy ABCD Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHP K có tâm là trung điểm của đường caoS A 8. Hình chópS.ABCDcó 1 mặt bên“cân tại S” và“dựng đứng”

CD⊥(SHE), HK⊥(SCD), AM⊥(SBC), BN⊥(S AD), HT⊥(SBD) d¡

A, (SBC)¢

=AM d¡

B, (S AD)¢

=BN B

D

C S

H E

K M A

N

B

D

C S

H M T

A

((SBC), (ABCD))á =SB A; ((SCD), (ABCDá ))=SEH;ƒ ((SBD), (áABCD))=SMHƒ

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABClàR= q

R²_d+R²_b−¹₄(gt)²

(R_d,R_b: bán kính đ.tròn ngoại tiếp mặt đáy và mặt bên, gt: giao tuyến của chúng) 9. Hình hộp chữ nhật

Độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật:

AC⁰=p

a²+b²+c² Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:R=1

2AC⁰ Thể tích hình hộp chữ nhật:V_hhcn=abc=p

S₁S₂S₃ (S₁,S₂,S₃ là diện tích của 3 mặt chung 1 đỉnh của hhcn) Thể tích khối chóp BD A⁰C⁰:V_{BD A}0C⁰=1

3V_{hình hộp}

A

B C

D

A⁰

B⁰ C⁰

D⁰ O

G I a

b

c

Công thức tính nhanh thể tích của một số khối tứ diện đặc biệt

Điều kiện Công thức tính thể tích

(S A=a,SB=b,SC=c ASB =α,BSC =β,ƒCS A=γ

V=abc 6

p1−cos²α−cos²β−cos²γ+2 cosαcosβcosγ (biết 3 cạnh chung đỉnh và 3 góc tại đỉnh đó) (S A=a,BC=b

d(S A,BC)=d;(S A,BC)á =α

V=1

6abd. sinα

(biết 2 cạnh đối diện; khoảng cách và góc giữa chúng)

(S A=a,S_{S AB}=S₁,S_{S AC}=S₂ ((S AB), (S AC))á =ϕ

V=2S₁S₂sinϕ 3a

(biết 1 cạnh; diện tích và góc giữa 2 mặt kề với nó)











S A=a,SB=b,SC=c ASB =α,ƒASC=β ((S AB), (S AC))á =ϕ

V=1

6.abc. sinαsinβsinϕ

(biết 3 cạnh chứa đỉnh, 2 góc ở đỉnh và 1 góc nhị diện)







S A=BC=a SB=AC=b SC=AB=c

V= p2

12

p(a²+b²−c²)(b²+c²−a²)(a²+c²−b²) (biết các cặp cạnh đối diện bằng nhau)

(S A=x,SB=y,SC=z BC=a,AC=b,AB=c















M=a²x²(b²+c²+y²+z²−a²−x²) N=b²y²(a²+c²+x²+z²−b²−y²) P=c²z²(a²+b²+x²+y²−c²−z²) Q=(abc)²+(a yz)²+(x yc)²+(xbz)²

1

V= 1 12

pM+N+P−Q

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

Một số công thức về hình, khối đặc biệt liên quan khối tròn xoay

Công thức Hình minh hoạ

S_xq=2πRh=π(r²+h²) V_{chỏm cầu}=πh²

µ R−h

3

¶

=πh

6 (h²+3r²)

O h H

r R

S_xq=πr(h₁+h₂) V=πr²

µh₁+h₂ 2

¶

O h₁

h₂ r

V_{hình nêm}=2

3r³tanϕ=2 3r²h

O r r

h ϕ r

S_parabol=4

3rh; S⁰ S =



 s

h⁰ h





3

= µr⁰

r

¶3

V_parabolic=1 2πr²h

r h r⁰

h⁰

r h

S_elip=πab V_{quay quanh2a}=4

3πab² V_{quay quanh2b}=4

3πa²b

A⁰ A

B

B⁰ b a O

Quay mọi tam giác ABC xung quanh cạnh AB ta sẽ được hình tròn xoay có

V=4π 3 ·S²

4ABC

AB S_xq=2πS_4ABC

µAC+BC AB

¶

A

B C H

A

B

C H

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

VIII. Ví dụ giải toán điển hình

|Ví dụ 1. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằnga, cạnh bên bằng2a. GọiM là trung điểm của cạnhBC.Tính góc hợp bởi hai đường thẳng dưới đây:

a) AM và SC. b) SM và NC.

$ Lời giải

?Phương pháp cổ điển

Để tính được góc giữa hai đường thẳng chéo nhau thường ta dựng thêm một đường thẳng song song với 1 trong 2 đường thẳng đó và cắt đường thẳng còn lại.

Góc giữa AM &SC dễ dựng hơn góc giữaSM & NC!

A

B

C M

S

a 2a

A

B

C M

S

a N

Câu a. GọiK là trung điểm cạnh SBthìMK∥SC, do đó(AM,áSC)=(AM,áMK) Ta có AK²=S A²+AB²

2 −SB²

4 =3a²

2 ; MK=1

2SC=a ; AM=ap 3 2 4AMK cócosAMKƒ = AM²+MK²−AK²

2.AM.MK =

p3

12 ⇒ (AM,áSC)=AMKƒ ≈81^◦42⁰. Câu b. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AM thìN I∥SM, do đó(SM,áNC)=(N Iá,NC)

Ta có NC=AK=ap 6

2 ; N I=1

2SM=1 2

pSC²−MC²=ap 15

4 ; IC=p

I M²+CM²=ap 7 4 4I NC cócosI NC =N I²+NC²−IC²

2.N I.NC =4p 10

15 ⇒ (SMá,NC)=I NC ≈32^◦30⁰.

A

B

C M

S

a 2a

K

A

B

C M

S

a N

I

A

B

C M

S

x

y

z

a 2a

H

?Phương pháp toạ độ Ta có AM=ap

3

2 ; AH=ap 3

6 ; SH= r

b²−1 3d²=

r

(2a)²−1

3a²=ap 33 3 . Gắn hệ trục M x yz (như hình vẽ) với toạ độ các điểm như sau:

M(0; 0; 0); A Ãp

3 2 ; 0; 0

!

;C µ

0;−1 2; 0

¶

; H Ãp

3 6 ; 0; 0

!

⇒S Ãp

3 6 ; 0;

p33 3

!

⇒N Ãp

3 3 ; 0;

p33 6

!

Đến đây dùng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta giải được cả 2 câu a và b.

cos(SM,áSC)=

¯

¯

# » AM.# »

SC¯

¯

AM.SC ;cos(SMá,NC)=

¯

¯

# » SM.# »

NC¯

¯ SM.NC

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

|Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a,AD =2a, S A=ap

3 và S A vuông góc với mặt đáy. Tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau đây: a)SC và(S AB) b) ACvà (SCD)

$ Lời giải Câu a. Ta cóSC∩(S AB)=S

Do

(BC⊥AB

BC⊥S A nênBC⊥(S AB)tạiB. Do đó (SC, (S AB))á =(SC,SB)á =BSC 4S ABvuông tại Acó SB=p

S A²+AB²=2a 4SBCvuông tạiBcótanBSC =BC

SB =1⇒BSC =45^◦ Vậy(SC, (S AB))á =45^◦

Câu b. Ta cóAC∩(SCD)=C

Vẽ AE⊥SD tạiE∈SD thì ... AE⊥(SCD)

A

B C

D S

E

a

2a ap 3

Như vậy(AC, (SCD))á =(AC,áCE)=ƒACE Ta cóAE= S A.AD

pS A²+AD² =2ap p 3

7 ; AC=p

AB²+BC²=ap

5 ;sinƒACE= AE AC =2p

105 135 Vậy(AC, (SCD))á ≈35^◦50⁰.

|Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=2a,BD=3a, mặt bênS ABlà tam giác cân tạiSđồng thời nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. BiếtSB=ap

5, hãy tính góc hợp bởi các cặp mặt phẳng sau đây:

a) (SCD)và(ABCD) b) (SBD)và(ABCD) c) (SBC)và(S AD)

$ Lời giải

GọiHlà trung điểm của cạnh ABthìSH⊥AB(do₄S AB cân tạiS) Mà







(S AB)⊥(ABCD) SH⊂(S AB)

AB=(S AB)∩(ABCD)

nênSH⊥(ABCD).

4SHB vuông tạiH cóSH=p

SB²−HB²=2a. 4ABD vuông tại Acó AD=p

BD²−AB²=ap 5 Câu a. GọiK là trung điểm cạnh CD ta có

(CD⊥HK

CD⊥SH ⇒CD⊥(SHK)⇒CD⊥SK

A D

K S

H I

B C

Do







CD=(SCD)∩(ABCD) CD⊥HK⊂(ABCD) CD⊥SK⊂(SCD)

nên((SCD), (áABCD))=(SK,áHK)

4SHK vuông tại HcótanSK Hƒ= SH HK = 2a

ap 5= 2

p5 ⇒SK Hƒ≈41^◦48⁰ Vậy((SCD), (ABCD))á ≈41^◦48⁰.

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

Câu b. Vẽ H I⊥BD tạiI∈BD, ta sẽ chứng minh đượcBD⊥(SH I)và BD⊥S I. Với kết quả đó ta tiếp tục chứng minh được ((SBD), (áABCD))=(S I,H Iá) Ta có₄BI Hv4B AD nên ^{H I}

AD=BH

BD ⇒H I= AD.BH BD =ap

5.a 3a =ap

5 3 Cuối cùngtanS I H =SH

I H = 6

p5, do đó ((SBD), (áABCD))=S I H ≈69^◦33⁰.

Câu c. Do(SBC)và(S AD)có chung điểmS và cóBC∥AD nên giao tuyến∆của chúng đi qua đỉnh S và song song với hai cạnhBC, AD.

Hình chóp S.ABCD này có tính chấtSB⊥BCvà S A⊥ADvì thế SB⊥∆và S A⊥∆ Như vậy((SBC), (S AD))á =(SB,áSC)=2.BSHƒ≈53^◦8⁰.

|Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng a, cạnh bênS A vuông góc với mặt đáy, cạnh bênSC tạo với mặt đáy một góc bằng60^◦.

a) Tính theo athể tích của khối chóp S.ABCD

b) Tính khoảng cách từ điểm Ađến mặt phẳng(SCD)

$ Lời giải

Câu a. Do SC∩(ABCD)=C và S A⊥(ABCD)nên(SC, (áABCD))=(SC,áAC)⇒ƒSC A=60^◦ Tam giácS AC vuông tạiC cótanƒSC A= S A

AC

⇒S A=AC. tanƒSC A=ap

2. tan 60^◦=ap 6 Vậy V_S.ABCD=1

3S_ABCD.S A=1

3.a².ap

6=a³p 6 3 Câu b. Vẽ AH⊥SD tạiH∈SD ta sẽ chứng minh được

AH⊥(SCD)tạiH∈(SCD) Suy rad(A, (SCD))=AH= S A.AD

pS A²+AD²= ap 42 7 .

A

B C

D S

H

|Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với CD=a, AB=AD=2a, mặt bên S AD cân tại S đồng thời nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa(SBC)và(ABCD)bằng60^◦. Tính theo a

a) Thể tích của khối chóp S.ABCD

b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(SBC)

$ Lời giải Câu a. GọiH là trung điểm cạnh ADthìSH⊥(ABCD)

Vẽ H I⊥BCtại I∈BCta được BC⊥S I, từ đó((SBC), (áABCD))=S I H=60^◦ .

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

Hình thang ABCD cóS_ABCD=1

2(AB+CD).AD=3a² Suy raS_4HBC=S_ABCD−S_{4H AB}−S_4HCD=3a²

2 Từ đóI H=2S_4HBC

BC = 3a² ap

5=3ap 5 5 M^{SH I} cóSH=I H. tanS I H =3ap

5

5 tan 60^◦=3ap 15 5 VậyV=3a²

3 ·3ap 15

5 =3a³p 15

5 D C

B S

H A

I Câu b. S_4ABC=S_ABCD−S_4ACD=2a² ⇒V_S.ABC=1

3S_4ABC.SH=a³p 15 5 4S I H cóS I=p

SH²+I H²=6ap 5

5 ⇒S_4SBC=1

2BC.S I=3a² Như vậyd(A, (SBC))=3V_S.ABC

S_4SBC = ap 15 5

|Ví dụ 6. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A⁰B⁰C⁰ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,BC=a, mp(A⁰BC) tạo với đáy một góc 30^◦ và ∆^A0BC có diện tích bằng a²p

3. Tính thể tích khối lăng trụ.

$ Lời giải Do

(BC⊥AB

BC⊥A A⁰ nênBC⊥A⁰B Do







BC⊥AB⊂(ABC) BC⊥AB⊂(A⁰BC) BC=(ABC)∩(A⁰BC)

nên((A⁰BCá), (ABC))=AB Aƒ⁰

Ta có A⁰B=2.S_4A0BC

BC =2a²p 3

a =2ap 3. 4AB A⁰ có AB=A⁰B·cosAB Aƒ⁰=2ap

3·cos 30^◦=3a A A⁰=A⁰B·sinAB Aƒ⁰=2ap

3·sin 30^◦=ap 3

A

B

C

A⁰ C⁰

B⁰

30◦

VậyV_ABC.A0B⁰C⁰=B·h=S_ABC·A A⁰=1

2AB·BC·A A⁰=1

2·3a·a·ap

3=3a³p 3

2 .

|Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABC có đường cao S A =a, AB vuông góc với BC, các cạnh AB=ap

3 và AC=2a. Một mặt phẳng(α)đi qua điểm Avuông góc với cạnh SB, cắtSB vàSC lần lượt tạiM và N. Tính theoathể tích của khối chóp A.BCN M.

$ Lời giải Dễ dàng chứng minh đượcBC⊥(S AB)vàBC⊥SB Do SB⊥(AM N)nênSB⊥AMvà SB⊥M N

Xét trong(AM N),

(BC⊥SB

M N⊥SB⇒M N∥BC⇒SM SB =SN

SC DoV_{S.AM N}=SM

SB.SN

SC.V_S.ABC nên V_{A.BCN M}=

µ

1−SM² SB²

¶

V_S.ABC

A

B

C S

M N

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

4ABC vuông tạiB cóBC=p

AC²−AB²=a

⇒S_4ABC=1

2AB.BC=a²p 3

2 vàV_S.ABC=1

3.S_4ABC.S A=a³p 3 6 4S AB vuông tạiA có ^SM

SB =S A²

SB² = S A²

S A²+AB² =1 4. VậyV_{A.BCN M}=

µ 1− 1

4²

¶ .a³p

3

6 =5a³p 3 32 . Chú ý

Giả thiết 2 đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 không đủ để kết luận hai đường thẳng đó song song với nhau. Chỉ khi cả 3 đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng thì kết luận đó mới đúng.

|Ví dụ 8.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích làV. Gọi Mlà trung điểm của cạnhSB;P là điểm thuộc cạnhSDsao cho SP=2DP. Mặt phẳng (AMP)cắt cạnhSCtại điểmN. Tính thể tích của khối chópS.AM N P theoV.

Nhận xét:

Nếu không dựng được thiết diện của hình chóp cắt bởi(AMP)thì không thể giải được bài toán này!

A

B C

D S

M P

$ Lời giải

Dựng giao điểm N=SC∩(AMP)(và tạo nên thiết diện của hình chóp cắt bởi(AMP)) + Vẽ giao điểm O=AC∩BD

+ NốiSOcắt MP tại I + Kéo dài A I cắt SD tạiN Tính tỉ số ^{S I}

SO (dựa vào tỉ số diện tích các tam giác):

+₄SMP cóS_4SMP=1 2.2

3.S_4SBD=1

3.S_4SBD (1)

+S_4SMP=S_{4SM I}+S_{4SP I}= µ1

2.S I SO+2

3.S I SO

¶ .1

2S_4SBD (2) + Từ (1) và (2) ta tính được ^{S I}

SO=4 7.

A

B C

D S

M P

O N I

Tính tỉ số ^SN

SC (dựa vào tỉ số diện tích các tam giác):

+ Dùng tỉ số giữa S_{4S AN} vàS_{S AC} 2 lần tương tự như trên ta tính được ^SN SC =2

5. Dùng tỉ số thể tích giữa hai khối chóp tam giácđể tínhV_{S.AM N P}

+ Ta có V_{S.AM N P}=V_{S.AM N}+V_{S.AN P}= µSM

SB.SN SC +SN

SC.SP SD

¶ .1

2V_S.ABCD= 7 30V.

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

|Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnha, tam giácS AB vuông tạiB, tam giác S AC vuông tạiC. Biết góc giữa hai mặt phẳng (S AB)và (ABC) bằng60^◦. Tính thể tích khối chóp S.ABC theoa.

$ Lời giải

Gọi I,Mtương ứng là trung điểm của các cạnh S A,AB.

Do₄S ABvuông tạiB,₄S ACvuông tạiCnênI A=IB=IC=S I GọiOlà tâm của mặt đáy ABC thì IO⊥(ABC)

Ngoài ra,

(I M⊥AB

OM⊥AB⇒((S AB), (ABC))á =ƒI MO⇒ƒI MO=60^◦ 4I MO có IO=OM. tanMc=ap

3

6 . tan 60^◦=a 2 Suy raV_S.ABC=2V_I.ABC=2

3.S_4ABC.IO=2 3.a²p

3 4 .a

2= a³p 3 12 .

? Ghi nhớ:^Vhình chóp đềuS.ABC=d³tanϕ 24

A

B

C

M O

I

S

? Chú ý:nếu thuộc được công thức tính thể tích khối chóp tam giác đều khi biết trước cạnh đáy và góc hợp bởi mặt bên với mặt đáy thì bài toán sẽ được giải nhanh hơn

|Ví dụ 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A⁰B⁰C⁰ có mặt đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết AB=ap

3,AC=a,A A⁰=2a, hãy tính khoảng cách giữa:

a)B và(ACB⁰) b) A⁰B⁰và AC⁰. c)BCvà AC⁰.

$ Lời giải

A

B C

A⁰

B⁰ C⁰

H

A

B C

A⁰

B⁰ C⁰

K

A

B C

A⁰

B⁰ C⁰

I

Chú ý: Với giả thiết của bài toán ta chứng minh được A⁰C⁰⊥(ABB⁰A⁰)và A⁰B⁰⊥(ACC⁰A⁰). Câu a. TừB, ta vẽ BH⊥AB⁰tạiH∈AB⁰ thì sẽ chứng minh đượcBH⊥(ACB⁰)tạiH.

Từ đód(B, (ACB⁰))=BH= B A.BB⁰

pB A²+BB⁰²=2ap 21

7 .

Câu a có thể giải bằng phương pháp thể tích như sau (nếu không vẽ được hình) d(B, (ACB⁰))=3V_B⁰_.ABC

S_4ACB0 =V_{lăng trụ} S_4ACB0

(có thể dùng CT. Hê-rông để tính S_4ACB0) Câu b. Từ A⁰, ta vẽ A⁰K⊥AC⁰sẽ chứng minh được A⁰K⊥A⁰B⁰.

Kết hợp A⁰K⊥AC⁰ ta suy ra đượcd(A⁰B⁰,AC⁰)=A⁰K= A⁰C⁰.A A⁰

pA⁰C⁰²+A A⁰²=2ap 5 5 .

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

Câu c. Ta cóBC∥(AB⁰C⁰)nênd(BC,AC⁰)=d(BC, (AB⁰C⁰))=d(C, (AB⁰C⁰))

DoC A⁰cắt(AB⁰C⁰)tại điểmIlà trung điểm củaC A⁰nênd(C, (AB⁰C⁰))=d(A⁰, (AB⁰C⁰)) A⁰.AB⁰C⁰là một tam diện vuông tại A⁰ nên nếu đặth=d(A⁰, (AB⁰C⁰))thì

1

h²= 1

A⁰B⁰²+ 1

A⁰C⁰²+ 1

A A⁰² = 19

12a² ⇒ d(A⁰, (AB⁰C⁰))=h=2ap 57 19 .

|Ví dụ 11. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE. Tính thể tích của khối đa diện ABCDSEF.

$ Lời giải

Cắt khối đa diện ABCDSEF bởi mặt phẳng(CDF E)ta được khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰và khối chóp S.CDF E.

Ta cóV_ABC.A0B⁰C⁰= µ1

2.BC.BE

¶

.AB=1

2.1.1.1=1 2. Gọi I=DE∩BS ta có

(BS∩(CDF E)=I IB=I S

⇒d (S, (CDF E))=d (B, (CDF E))

=d (B,CE)=BC.BE CE =

p2 2 .

⇒V_{S.CDF E}=1

3.SCDF E.d (S, (CDF E))=1 3.p

2.

p2 2 =1

3 VậyV_ABCDSEF=V_ABC.A0B⁰C⁰+V_{S.CDF E}=1

2+1 3=5

6. B

C

E A

D

F

I

S

1

1 p

2

|Ví dụ 12. Cho hình chóp đềuS.ABCcó cạnh đáy bằngavà cạnh bên bằng3a. Một mặt phẳng thay đổi luôn song song với hai cạnh SB và AC, cắt hình chóp theo thiết diện là một đa giác(H). Tính diện tích lớn nhất của(H).

$ Lời giải

Gọi(P)là mặt phẳng song song vớiSBvà AC,(P)cắt ABtạiM. Khi đó thiết diện của hình chóp S.ABC cắt bởi

(P)là hình hình hành M N PQ (như hình vẽ) DoS.ABC là hình chóp đều nên SB⊥AC, từ đó

M N PQ là hình chữ nhật.

Đặt M N=x(0<x<3a), ta có ^{N A}

S A =M N SB = x

3a Suy ra ^SN

S A =3a−x

3a ⇒ N P

AC =SN

S A =3a−x

3a ⇒ N P=3a−x 3

A

B

C S

M

N P

Q

Diện tích thiết diện:S_{M N PQ}=M N.N P= x(3a−x)

3 6¹

3

µx+(3a−x) 2

¶2

=3a² 4 (*) Dấu "=" của (*) xảy ra khi và chỉ khi x=3a−x⇔x=3a

2 ∈(0; 3a). Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện(H)làS_max=3a²

4 .

DƯƠN G PHƯỚC SAN G - THPT CHU V ĂN AN

|Ví dụ 13. Cho một hình nón có độ dài đường sinh bằng5, bán kính đáy bằng3. a) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón đó.

b) Một mặt phẳng (α) qua đỉnh của hình nón, cách tâm của mặt đáy một đoạn bằng 2. Tính diện tích của thiết diện tạo bởi hình nón và mặt phẳng(α)đó.

$ Lời giải Xét hình nón đỉnhS có l=5,r=3. Khi đó h=p

l²−r²=4 Câu a. S_{t p}=S_xq+S_đ=πrl+πr²=π.3.5+π.3²=24π;V=1

3π.r²h=12π. Câu b. Xét thiết diệnS ABthoả đề bài (như hình vẽ)

GọiI là trung điểm dây cung AC

vàH là hình chiếu vuông góc củaO lên đoạn thẳngS I. Khi đó ta chứng minh đượcOH⊥(S AB)tạiH.

Suy raOH=d(O, (S AB))=2 4SOI vuông tạiOcó ¹

OI² = 1

OH²− 1 SO²= 3

16 ⇒OI= 4

p3 ⇒S I=p

SO²+OI²= 8 p3 S

A

B O I H

4IOBvuông tại I có IB=p

OB²−OI²= p33

3 ⇒AB=2IB=2p 33 3 Vậy diện tích thiết diệnS ABlàS_{4S AB}=1

2.S I.AB=8p 11 3

|Ví dụ 14. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=3,AC=4. Quay tam giác ABC lần lượt quanh các cạnh của nó để tạo ra các khối tròn xoay. Tính tổng thể tích của các khối tròn xoay đó.

$ Lời giải C

B A

B

C A

C

B

A H

Xét khối nón có trục là cạnh AC.

Khối nón này có h₁=AC=4,r₁=AB=3⇒V₁=1

3π.r²₁h₁=1

3π3².4=12π. Xét khối nón có trục là cạnh AB.

Khối nón này có h₂=AB=4,r₂=AC=3⇒V₁=1

3π.r²₂h₂=1

3π4².3=16π. Xét khối tròn xoay (T)do₄ABC quay quanh cạnhBCtạo ra.

Khi đó(T)là hợp của hai khối nón (như hình vẽ), bán kính đáy chung r₃=AH=12 5 Thể tích khối này làV₃=1

3π.r²₃.AH+1

3π.r²₃.BH=1

3π.r²₃.AB=48 5 pi. Vậy tổng thể tích của 3 khối làV₁+V₂+V₃=188

5 π.