Giải và biện luận phương trình, bất phương trình bằng phương pháp hàm số – Nguyễn Thành Trung - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung

Contents

 DẠNG 1: Cho đồ thị hàm số ^{y= f x}

( )

xác định số nghiệm của phương trình

( ) ( )

f t x =k ... 4

 DẠNG 2: Cho bảng biến thiên ^{f x}

( )

tìm tham số m để bất phương trình ^{g x m}

(

^,

)

^0

có nghiệm thuộc D. ... 6

 DẠNG 3: Cho hàm số ^{y= f x}

( )

có đồ thị ^{f x}

( )

xác định tham số m để ^{g x m}

(

^,

)

^{0 13}

 DẠNG 4: Cho hàm số ^{y= f x}

( )

có đồ thị ^{f x}

( )

xác định tham số m để ^{g x m}

(

^,

)

^{0 36}

 DẠNG 5: Cho đồ thị hàm số ^{y= f x}

( )

xác định tham số để phương trình có nghiệm ... 41 Theo bất đẳng thức Bunyakovsky ... 48

 DẠNG 6: Cho đồ thị hàm số ^{y= f x}

( )

xác định số nghiệm của hàm số

( ) ( ) ( )

g x = f x +g x ... 51

 DẠNG 7 : Biện luận tham số m của bất phương trình hoặc phương trình bằng cách đưa về hàm số đặc trưng ... 53

Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung

 DẠNG 1: Cho đồ thị hàm số ^{y= f x}

( )

xác định số nghiệm của phương trình ^{f t x}

( ) ( )

^=k

Ví dụ 1.

Cho hàm số ^{f x}

( )

liên tục trên có đồ thị

( )

y= f x như hình bên. Đặt

( ) ( )

g x = f f x  xác định số nghiệm của phương trình ^{g x}

( )

⁼⁰

A. 8. B. 7.

C. 6. D. 5.

 Lời giải

 Chọn đáp án A Ta có

( ) ( ( ) ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 2

0 0 1 1

2 2 g x f f x f x f f x

x

f x x

g x f f x f x

f x

   

 =  =   

 = −

  =  =



 =    =   =

 =



Phương trình

( )

¹ có 3 nghiệm vì đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số ^{f x}

( )

tại 3 điểm phân biệt.

Phương trình

( )

² có 3 nghiệm vì đường thẳng y=2 cắt đồ thị hàm số ^{f x}

( )

tại 3 điểm phân biệt.

Tư duy giải tốn Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Suy ra ^{g x}

( )

⁼⁰ cĩ 8 nghiệm.

Ví dụ 2.

Cho hàm số ^{f x}

( )

liên tục trên cĩ đồ thị ^{y= f x}

( )

như hình bên. Số nghiệm thực của phương trình ^f

(

^{2+ f e}

( )

^x

)

⁼¹

là

A. 1. B. 2.

C. 3. D. 4.

 Lời giải

 Chọn đáp án B Ta cĩ

Theo đồ thị

(

²

( ) )

^{1 2}

( ) ( )

¹

( )

2 , 2 3

 + = − + = 

 + =  



x x

x

f e

f f e

f e a a

( ) ( )

¹

(

_loại

)

2 1 3 0

1

x

x x

x

f e f e e x

e b

+ = −  = −  =  =

=  −



( ) ( ) ( ) ( )

( )

loại loại 1

2 2, 0 2 1 0 ln

2

x

x x x

x

e c

f e a f e a a e d x t

e t

 =  −

+ =  = −  −   =   =

 = 



Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm phân biệt Ví dụ 3.

Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Cho hàm số ^{f x}

( )

liên tục trên có đồ thị

( )

y= f x như hình bên. Phương trình

(

²

( ) )

⁰

f − f x = có bao tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt.

A. 4. B. 5.

C. 6. D. 7.

Thi Thử THPT Quốc Gia Trường Yên Lạc Vĩnh Phúc Lần 4

 Lời giải

 Chọn đáp án B Theo đồ thị

( 2 1)

( ) 0 (0 1)

(1 2)

x a a

f x x b b

x c c

 = −   −

=  =  

 =  



2 ( ) ( ) 2 (1)

(2 ( )) 0 2 ( ) ( ) 2 (2)

2 ( ) ( ) 2 (3)

f x a f x a

f f x f x b f x b

f x c f x c

 − =  = −

 

 − =  − =  = −

 − =  = −

 

Nghiệm của phương trình

( ) ( ) ( )

^{1 ; 2 ; 3 là giao điểm của đường thẳng}

2 ; 2 ; 2

y= −a y= −b y= −c với đồ thị hàm số ^{f x}

( )

^.

• a − −  − ( 2; 1) 2 a (3; 4) suy ra phương trình

( )

¹ có đúng 1 nghiệm phân biệt.

• b(0;1) − 2 b (1; 2)suy ra phương trình

( )

² có đúng 1 nghiệm phân biệt.

• c(1; 2) − 2 b (0;1) suy ra nên phương trình

( )

³ có 3 nghiệm phân biệt.

Kết luận: Có tất cả 5 nghiệm phân biêt.

 DẠNG 2: Cho bảng biến thiên ^{f x}

( )

tìm tham số m để bất phương trình ^{g x m}

(

^,

)

^{0 có}

nghiệm thuộc D. Ví dụ 1.

Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung

Cho hàm số ^{y= f x}

( )

có đạo hàm trên . Bảng biến thiên của hàm số ^{y= f x}

( )

^{như hình}

dưới

x −1 1 3

( )

3 f x

1 2

Tìm m để bất phương trình ²

( )

^{1 3}

m x+  f x +3x nghiệm đúng với mọi ^x

( )

^{0; 3 .}

A. m f(0). B. m f(0). C. m f(3). D. 2

(1) 3 m f − .

 Lời giải

 Chọn đáp án A

Ta có ²

( )

^{1 3}

( )

^{1 3 2}

3 3

m x+  f x + x  m f x + x −x . Đặt

( ) ( )

^{1 3 2}

g x = f x +3x −x .

Ta có ^{g x}

( )

^{= f x}

( )

^{+x2−2x= f x}

( )

^{− − +}

(

^{x2 2x}

)

^.

( )

⁰

( )

^{2 2}

g x =  f x = − +x x.

Theo bảng biến thiên ^{f x}

( )

^{1 x}

( )

^{0; 3 và − +x2 2x= −1}

(

^x−1

)

^{2  1, x}

( )

^{0; 3 nên}

( )

^0,

( )

^{0; 3}

g x   x .

Từ đó ta có bảng biến thiên của g x( ):

x 0 3

( )

g x +

( )

³

g

( )

g x

( )

⁰

g

Bất phương trình

( )

^{1 3 2}

m f x +3x −x nghiệm đúng với mọi ^x

( )

^{0; 3}

 ^{m g}

( )

^{0  m f(0).}

Ví dụ 2.

Cho hàm số ^{y= f x}

( )

có bảng biến thiên như sau:

x − −1 0 2 +

( )

f x + 0 − 0 + 0 −

4 3

Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung

( )

f x

− 2 −

Bất phương trình

(

^x2+1

)

^{f x}

( )

^m có nghiệm trên khoảng

(

^{−1; 2}

)

khi và chỉ khi A.

m  10

. B.

m  15

. C.

m  27

. D.

m  15

.

Đề thi Duyên Hải Bắc Bộ năm 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án B

Yêu cầu bài toán

( )

 ^{1; 2}

max

−

m g x

Với ^{g x}

( )

⁼

(

^x2+1

)

^{f x}

( )

^.

Ta có: ^{g x}

( )

^{=2x f x}

( )

⁺

(

^x2+1

)

^f

( )

^{x .}

Với ^{x −}

(

^{1; 0}

)

^thì

( ) ( )

2

0

2 4

0 1 0

 

  

  

 + 

 x

f x f x x

( )

^0,

(

^{1; 0}

)

g x    −x .

Tại

x = 0

, ^g

( )

^{0 =0.}

Với ^x

( )

^{0; 2 thì}

( )

( )

2

0

2 3

0 1 0

 

  

  

 + 

 x

f x f x x

( )

^0,

( )

^{0; 2}

g x   x .

Ta có bảng biến thiên của hàm số ^{g x}

( )

⁼

(

^{x2 +1}

)

^{f x}

( )

trên khoảng

(

^{−1; 2}

)

^{như sau}

x −1 0 2

( )

g x − 0 +

8 3 15

( )

g x

2

Suy ra

( )

 ^{1; 2}

max 15

−

= g x . Kết luận: m15.

Ví dụ 3.

Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Cho hàm số ^{y= f x}

( )

có bảng biến thiên như sau:

x 0 1 +

( )

4 f x

− −

Tìm m để bất phương trình ^{m+2sinx f x}

( )

nghiệm đúng với mọi ^x

(

^0;+

)

^.

A. ^{m f}

( )

^{0 . B. m f}

( )

^{1 −2sin1. C. m f}

( )

^{0 . D. m f}

( )

^{1 −2sin1.}

 Lời giải

 Chọn đáp án C

BPT ^{m+2sinx f x}

( )

^{ m f x}

( )

^−2sinx.

Yêu cầu bài toán ^{ m ming x}

( ) ( ) ( )

^{; g x = f x −2sinx}

Ta có ^{g x}

( )

^{= f x}

( )

^−2cosx.

( )

⁰

( )

^2cos

g x =  f x = x.

Mà ^{f x}

( )

^{  2, x}

(

^0;+

)

^{và 2cosx 2,  x}

(

^0;+

)

^{nên g x}

( )

^{  0, x}

(

^0;+

)

^.

( )

^{0 '( ) 2 0}

2 cos 2

g x f x x

x

 =

 =  =  = . Với ^g

( ) ( )

^{0 = f 0 −2sin 0= f}

( )

⁰

Từ đó ta có bảng biến thiên của g x( ):

x 0 +

( )

g x +

+

( )

g x

( )

⁰

f

Bất phương trình ^{m f}

( )

⁰ nghiệm đúng với mọi ^x

(

^0;+

)

Ví dụ 4.

Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung

Cho hàm số ^{y= f x}

( )

^{có f}

( )

^{− = +2 m 1, f}

( )

^{1 = −m 2. Hàm số y= f x}

( )

có bảng biến thiên

x 0 0 2 +

0 +

( )

f x

− −2

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình ¹

( )

^{2 1}

2 3

f x x m

x

− +  + có nghiệm trên x − 2;1 là

A. 7

5; 2

 

− − 

 . B.

(

^−;0

)

^{. C.}

(

^−2;7

)

^{. D. 7;}

2

 

− +  

 .

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Yêu cầu bài toán

( ) ( ) ( )

2; 1

1 2 1

, 2; 1 min

2 3

g x f x x m x g x m

x − 

+  

= − +    −  

Ta có

( ) ( )

( )

²

1 5

2 3

g x f x

x

 =  −

+ .

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ^{y= f x}

( )

^{ta có f x}

( )

^{   −0, x}

(

^2;1

)

và

(

⁵

)

₂ ^0,

(

^2;1

)

3

x x

−    −

+ . Do đó ^{g x}

( )

^{   −0, x}

(

^2;1

)

^.

Bảng biến thiên của hàm số ^{y h x=}

( )

trên khoảng −2;1.

x −2 1

( )

g x +

( )

²

g −

( )

g x

^g

( )

¹

( ) ( )

2; 1

ming x g 1

− 

 

 =

Suy ra ^g

( )

^{1 m 1}

( )

^{1 3}

2 f 4 m

 −  2 3

2 4

m− m

 −  2 7

4 m− m

  7

2 m

 −  .

Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Ví dụ 4.

Cho hàm số ^{y= f x}

( )

^{liên tục và có đồ}

thị như hình vẽ. Tập các giá trị thực của tham số m để phương trình

(

^{4 2}

)

f −x =m có nghiệm thuộc nữa khoảng^−_ ^{2 ; 3}

)

^là

A. −1; 3. B. −1; ( 2)f . C.

(

^{−1 ; f}

( )

^{2 }_^{. D.}

(

^{−1; 3.}

Đề thi thử THPT Quốc Gia Phan Bội Châu Nghệ An Lần 2 năm 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Đặt t= 4−x² ,

(

²

)

2 2

4

2 4 4

x x

t

x x

−  −

 = =

− − , t=  =0 x 0 Bảng biến thiên

x − 2 0 3

( )

t x

2

t

2 1

Suy ra t ^t

(

^{1; 2}_^.

Phương trình tương đương với ^{f t}

( )

^=m

( )

¹ có nghiệm ^t

(

^{1; 2}_

Nghiệm của phương trình

( )

¹ là giao của đường thẳng y m= và đồ thị hàm số ^{y= f x}

( )

^với

(

^{1; 2}

x .

Tư duy giải bài tốn vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung

Ví dụ 5.

Cho hàm số ^{y= f x}

( )

^{liên tục và cĩ đồ}

thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên dương của m để phương trình

(

^{2 4 5}

)

¹

f x − x+ + =m cĩ nghiệm là

A. 0. B. 3.

C. 4. D. Vơ số.

8 Trường chuyên đồng bằng Sơng Hồng Lần 1 năm 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án B

(

^{2 4 5}

)

¹

(

^{2 4 5}

)

¹

( )

¹

f x − x+ + = m f x − x+ = − m f t = −m

Với ^{t=x2−4x+ =5}

(

^x−2

)

^{2+   1 1 t }_^{1;+  ⎯⎯⎯}

)

^{đồthị→f t}

( )

^_^{2;+ }

)

Nên để phương trình cĩ nghiệm ^{ − m 1 }^2;+   −   

)

^{m 1 2 m 3} Và ^{m + m}



^{1; 2; 3}



. Chọn đáp án B.

Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung

 DẠNG 3: Cho hàm số ^{y= f x}

( )

có đồ thị ^{f x}

( )

xác định tham số m để ^{g x m}

(

^,

)

^0

Ví dụ 1.

Cho hàm số ^{y= f x}

( )

có đạo hàm trên , có đồ thị ^{f x}

( )

như hình vẽ.

Bất phương trình ( ) sin 2





x+

f x m nghiệm đúng với mọi ^{x −}



^1;3



khi và chỉ khi A. m f(0)_{. B.} m f(1) 1− _{. C.} m f( 1) 1− + _{. D.} m f(2)_.

 Lời giải

 Chọn đáp án B

( )

( ) sin sin

2 2

 

 x+   − x

f x m m f x

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi ^{x −}



^1;3



^thì

 

( )

min1; 3 sin 2



−

 

  − 

m f x x

Xét hàm số

( ) ( )

^sin

2

= −



x

g x f x _,

( ) ( )

^cos

2 2

 

 =  − x

g x f x

Nhận thấy ^f

( )

^x đổi dấu khi qua x=1gợi ý cho ta xét dấu của hàm ^{g x}

( )

trên 2 khoảng

(

^−1;1

)

và

( )

^1;3

• Với^{x −}

(

^1;1

)

(

^1;1

)

^

( )

⁰

  −x  f x  ( đồ thị hàm số ^f

( )

^x nằm dưới trục hoành )

(

^1;1

)

^{; cos 0,}

(

^1;1

)

2 2 2 2 2

 −     

 −    −     −

x x

x x

Vậy

( ) ( )

^{cos 0,}

(

^1;1

)

2 2

  

 =  −     −

g x f x x x

• Với x=1

( )

¹

( )

^{1 cos .1 0}

2 2

 _ _

 =  −  =

 

g f

Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung

( )

^{1;3 }

( )

⁰

 x  f x  (đồ thị hàm số ^f

( )

^x nằm trên trục hoành )

( )

^{1;3 ;3 cos 0,}

( )

^1;3

2 2 2 2 2

      

    −    

x x

x x

Vậy

( ) ( )

^{cos 0,}

( )

^1;3

2 2

  

 =  −    

g x f x x x

Ta có bảng biến thiên

x −1 1 3

( )

g x − 0 +

( )

^{1 1}

f − + 3 ^f

( )

^{3 +1}

( )

g x

( )

^{1 1}

f − Suy ra

 

( ) ( )

1;3 1 1

− = −

Min g x f Vậy ^{m f}

( )

^{1 −1.}

Ví dụ 2.

Cho hàm số ^{f x}

( )

liên tục trên và có đồ thị ^{f x}

( )

như hình vẽ. Bất phương trình

( ) ( )

log5f x + +m 2+ f x  −4 m đúng với mọi ^{x −}

(

^{1; 4}

)

khi và chỉ khi

A. m − −4 f( 1). B. m −3 f(1) . C. m4 - (-1)f . D. m −3 f(4).

Thi Thử THPT Quốc Gia Chuyên Hạ Long năm tháng 5 năm 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án D

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⁵

( )

5 5 5

log f x + +m 2+ f x  −4 m 1 log f x + +m 2  + f x + +m 2log +5 2 Xét hàm số đặc trưng cho 2 vế của BPT

( )

²

( )

log^t5

g t = +t với t0

( )

^{1 1 0}

g t 5ln

 = t+  suy ra^{g t}

( )

đồng biến với t0

( )

^{2 f x}

( )

^{m 2 5 m 3 f x}

( )

  + +    −

Yêu cầu bài toán  ^{mmax 3}

(

^{− f x}

( ) )

^{=maxh x}

( ) ( )

^{2   −x}

(

^{1; 4}

)

^{với h x}

( )

^{= −3 f x}

( )

^{khi đó}

( )

_max

h x  ^{f x}

( )

_min

Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Từ đồ thị suy ra bảng biến thiên

x −1 1 4

( )

f x 0 + 0 − 0

( )

¹

f

( )

¹

f − ^f

( )

⁴

( ) ( )

( )

min

1 4 f x f

f

=  −



So sánh ^f

( )

^{−1 và f}

( )

⁴

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 4

1 2

1 1

1 1 4 1 1 4

S S f x dx f x dx f f f f f f

−

 

 

 



 −



 − −  − −  − 

Suy ra ^{f x}

( )

_min ^{= f}

( )

^{4 và}

( )

^{2   −m 3 f}

( )

⁴

Ví dụ 3.

Cho hàm số ^{y= f x}

( )

có đạo hàm liên tục trên có đồ thị khi và chỉ khi

A. ^{m f}

( )

^{1 −1.}

B. ^{m f}

( )

^{1 +1.}

C. ^{m f}

( )

^{1 −1.}

D. ^{m f}

( )

^{1 −1.}

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Ta có ^{f x}

( )

^{3x−2x m+  f x}

( )

^{−3x+2x m .}

Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Đặt ^{g x( )= f x}

( )

^{−3x+2 .x Khi đó g x( )= f x}

( )

^{−3 ln 3 2.x +}

( )

( ) 0 3 ln 3 2.^x g x =  f x = −

Đặt h x( ) 3 ln 3 2.= ^x − Khi đó h x( ) 3 ln 3 0,= ^{x 2}    − x

(

; 1 . Bảng biến thiên

x − 1

( )

h x + + − 3ln 3 2−

( )

h x

−2

(

( ) 2, ; 1 .

h x x 

  −   −  (1) Theo đồi thị y=f x( ), ta thấy ^{f x( )} −   − ^{3, x}

(

^{; 1 .} (2) Từ (1) và (2), ta được ^{f x( )h x( ),}_{  − }^x

(

^{; 1 .}

Nên ^{g x( )= f x}

( )

^{−h x( ) 0,}_{   − }^x

(

^{; 1,=suy ra} ₍

( )

min ( ); 1 g x g(1) f 1 1.

−  = = −

Do đó ^{f x}

( )

^{3x−2x m+} có nghiệm trên

(

_{− }^{; 1} khi và chỉ khi ₍

( )

min ( ); 1 1 1.

m g x m f

− 

   −

Ví dụ 4.

Cho hàm số ^{y= f x}

( )

có đạo hàm liên tục trên và đồ thị như hình vẽ. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

( )

(

²

( ) )

^{( )}

(

²

)

^{( )}

9.6^{f x} + 4− f x .9^{f x}  −m +5m .4^{f x} đúng với  x là

A. 10. B. 4. C. 5. D.

9.

 Lời giải

 Chọn đáp án A

( )

(

²

( ) )

^{( )}

(

²

)

^{( )}

9.6^{f x} + 4− f x .9^{f x}  −m +5m .4^{f x}

( )

¹

Đặt ^{t= f x}

( ) (

_{ − − }^{; 2}( theo đồ thị)

( )

^{1 :}

 ^9.6t+

(

^4−t2

)

^{.9t  −}

(

^m2+5m

)

^.4t

(

²

)

^{2 2}

3 3

9. 4 5

2 2

t t

t m m

   

   + −    − +

   

( )

²

Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Đặt: ^{g t}

( )

^{=9. } ³₂ ^t+

(

^4−t2

)

^{. } ³₂ ^{2t = } ₂^{3 t. 9 +}

(

^4−t2

)

^{. } ³₂ ^t

 

         , ^t_{ − − }

(

^{; 2.}

Xét hàm số: ^{h t}

( )

^{= +9}

(

^4−t2

)

^{. } ³₂ ^t

  với ^t_{ − − }

(

^{; 2}

( )

^{2 . 3}₂ ^t

(

^{4 2}

)

^{. 3}₂ ^t.ln3₂

h t = − t   + −t   

    ^{=  }  ³₂ ^{t. − +2t}

(

^4−t2

)

^.ln3₂^

   .

( )

⁰

h t =

3 2

1 1 4 ln

2 2

ln3 2 t

 

− + +  

 

 =  − (loại) hoặc

3 2

1 1 4 ln

2 2

ln3 2 t

 

− − +  

 

=  − (tm)

Ta có BBT:

x −

3 2

1 1 4 ln 2 ln3

2

 

− − +  

  −2

( )

h t 0 − 0 + 0

9 9

( )

h t

Từ BBT ^{ h t( ) 9}   − − ^t

(

^{; 2} (3).

Vì ^t_{ − − }

(

^{; 2 0 3 4}

2 9

 t

   

  (4).

Từ (3) và (4) suy ra ^{g t}

( )

^{= } ³₂ ^{t. 9 +}

(

^4−t2

)

^{. } ³₂ ^t4

 

      _{  − − }^t

(

^{; 2}

(

( )

⁴

max; 2 g t

− − 

 = . (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t= −2).

Bất phương trình (1) đúng với  x Bất phương trình (2) đúng với _{  − − }^t

(

^{; 2}

(

( )

2

5 max; 2

m m g t

− − 

 − +   −m²+5m4 m²−5m+ 4 0   1 m 4.

Do m suy ra ^m



^{1; 2; 3; 4}



. Vậy tổng các giá trị nguyên của m là: 1 2 3 4 10+ + + = . Ví dụ 5.

Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Cho hàm số ^{y= f x}

( )

liên tục trên đoạn −1; 9 và có đồ thị là đường cong như hình vẽ

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

( ) ²

( ) ( )

^{( )}

(

²

)

^{( )}

16.3^{f x} −f x +2f x −8 .4 ^{f x}  m −3m .6^{f x} nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc đoạn −1; 9?

A.32. B. 31. C. 5. D.

6.

Đề thi thử THPT Quốc Gia Yên Khánh Ninh Bình Lần 4 năm 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Từ đồ thị ta suy ra ^{− 4 f x}

( )

^{2   −x }_ ^1;9_^.

Đặt ^{t= f x}

( )

^{, t −}_ ^{4; 2}_^.

ycbt tìm m sao cho bất phương trình ^16.3t−_^{t2+2t−8 .4}_ ^{t }

(

^m2−3m

)

^{.6 1t}

( )

^{đúng với}

4; 2 t  

  − 

( )

^{1 16 2 2 8 . 2 2 3}

2 3

t

t t t    m m

 − + −      − với   −t  4; 2 (*).

Ta có 16

4, 4; 2

2^t    −t  . Dấu bằng xảy ra khi t=2. Mặt khác t²+2t− 8 0 với   −t  4; 2.

Do đó

(

^{t2+2t−8 .}

)

^{ } ²₃ ^{t 0,   −t } ^{4; 2}

  . Dấu bằng xảy ra khi t=  = −2 t 4.

Như vậy 16 ² 2

2 8 . 4 4; 2

2 3

t

t −t + t−        t  − . Mà 16 ² 2 ²

2 8 . 3

2 3

t

t −t + t−      m − m với 4; 2

t  

  − .

Suy ra m²−3m  −  4 1 m 4. Như vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

y

Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Ví dụ 6.

Cho hàm số ^{y= f x}

( )

liên tục trên



^{−1; 3}



và có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình f x( )+ x+ +1 7− x m có nghiệm thuộc



^{−1; 3}



khi và chỉ khi A. m7.

B. m7. C. m2 2−2. D. m2 2+2.

Đề thi thử THPT Quốc Gia Yên Khánh A Ninh Bình Lần 4 năm 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án A

Xét hàm số ^{g x}

( )

^{= x+ +1 7−x} liên tục trên



^−1;3



^{ta có:}

( )

^{1 1}

( 

' , 1;3

2 1 2 7

= −  −

+ −

g x x

x x

( )

' = 0 + =1 7−  + = −  =1 7 3

g x x x x x x _(nhận)

( ) ( )

_{ }

( )  ( ) ( )  ( ) ( )

1;3

1 2, 3 4 max max 1 , 3 3 4. 1

− = =  − = − = =

g g g x g g g

Từ đồ thị hàm số ^{y= f x}

( )

^{ta có:} _{ }

( ) ( ) ( )

1;3

max 3 3. 2

− f x = f =

Đặt ^{h x}

( )

^{= f x( )+g x}

( )

^trên



^−1;3



, kết hợp với

( )

^{1 và}

( )

² ta suy ra:

( )

_{ }

( )

_{ }

( ) ( ) ( )

1;3 1;3

max max 3 3 7

− −

 + = + =

h x f x g x f g , đẳng thức xảy ra khi

x = 3.

Vậy bất phương trình ^{mh x}

( )

có nghiệm thuộc



^−1;3



khi và chỉ khi

 

( )

1;3

max 7.

 − =

m h x

Ví dụ 7.

Cho hàm số f x( )=x³−4x²− +x 4 có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sau có 4 nghiệm thuộc đoạn 0; 2

(

²

)

²

2019f 15x −30x+16 −m 15x −30x+16− =m 0 A. 4541.

B. 4542. C. 4543.

Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung

THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 3 – tháng 5 – 2019

 Lời giải

 Chọn đáp án B

Theo đề ^{f x}

( ) (

^{= x+1}

)(

^x−1

)(

^x−4

)

( )

²

( ) ( )

0; 2 : 15 2 30 16 15 1 1 1; 0 2 4 1; 4

x   t x x x t t t  

   = − + = − +  = =   

Với t1 thì phương trình có 2 nghiệm x thoả mãn.

Với t=1 có 1 nghiệm x thoả mãn.

BPT ^{ 2019f t}

( )

^{=m t}

( )

^{+ 1 2019}

( )( )(

^{t+1 t−1 t−4}

)

^{=m t}

( )

⁺¹

Xét ^t

(

^{1; 4}_

( )

²⁰¹⁹

( )(

^{1 4}

)

²⁰¹⁹

(

^{2 5 4}

)

^{2019 5}₂ ^{2 9}₄ ^{2019 9}₄ ^4542,75

m g t t t t t t    

 = = − − = − + =  −  −  − = −

    

 

x 1 5

2 4

( )

g t 0 − 0 + 0

( )

g t 0 0

y m= 4542,75

−

Yêu cầu bài toán  −^4542,75    −m ⁰ m



45042; 45042;...; 1− −



có45042 m nguyên thoả mãn.

Ví dụ 8.

Cho hàm số ^{y= f x}

( )

liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.

Tập hợp tất cả các giá trị của m để bất phương trình 1 ₂2

1 0

2 1

f f x m

x

  + − 

  + 

  có nghiệm là

A. m2. B. 1 m 2. C. m1. D. m −5.

 Lời giải

 Chọn đáp án A

Đánh giá: ² 2_{2 2}2

1 2 1 1 1

1 1

x x

x x

x x

+     −  

+ +

Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Từ đồ thị thấy

1;1 2 ( ) 2

x −  −  f x  2; 2 2 ( ) 2 x −  −  f x  Xét bất phương trình

2

1 2

2 1 1

f f x m

x

  

  + + 

  . Đặt ₂2

1 t x

=x

+ ; ₂2 1 u f x

x

 

=  + .

Vì ^{1;1 2; 2 2 ( ) 2 0 1}

( )

^{1 2}

t −   −u   −  f u   2 f u +  Vậy để bất phương trình ban đầu có nghiệm thì m2.

Ví dụ 9.

Cho hàm số ^{f x}

( )

^{=ax3+bx2+cx d+ với}

, , ,

a b c d có đồ thị như hình vẽ. S là tập hợp chứa tất cả m thuộc −10; 10để

(

^{1− 2}

)

⁺²₃ ^{3− 2+10}₃ ^{− ( )0}

f x x x f m có nghiệm

số phần tử của S là A. 9.

B. 10. C. 11. D.12.

 Lời giải

 Chọn đáp án A

(

^{1 2}

)

²₃ ^{3 2 1}₃ ^{( ) 0}

( ) (

^{1 2}

)

²₃ ^{3 2 1}₃

( )

f −x + x −x + −f m   f m  f −x + x −x + =g x

Yêu cầu bài toán ^{mming x}

( )

^=minf

(

^1−x2

)

^+min_²₃^x3−x2+1₃^_ ^{  −x  1; 1}

(vì điều kiện 1−x²  −  0 1 x 1)

• 0 =t 1−x² 1 suy ra ^f

(

^1−x2

)

^{= f t}

( )

^{  t0; 1} quan sát đồ thị ta thấy

( ) ( )

0; 1 1; 1

minf t minf 1 x 3

 

  − 

= − = khi t=  =0 x 1.

•

( )

^{2 3 2 1}

3 3

h x = x −x +   −x  1; 1 ;^{h x}

( )

^{=2x2−2x=2x x}

(

^{−1 ;}

) ( )

^{h x =  =0 x 0;x=1}

( ) ( )

⁸

( )

min min 0 ; 1 0 0

h x = h =3 h = =

 

( )

1; 1

ming x

− 

 

=

( ) (

²

) ( )

1; 1 1; 1 1; 1

ming x minf 1 x minh x 3 0 3

−  − 

  −   

= − + = + =

Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung

Suy ra ^{f m}

( )

^3 quan sát đồ thị  m 0 và m − 10; 10 suy ra m



0; 1; 2;...;10



có 10 0 1 11− + = giá trị.

Ví dụ 10.

Cho hàm số ^{f x}

( )

^{=ax3+bx2+cx d+ với}

, , ,

a b c d có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ^{3sin cos 1}

(

^{2 4 4}

)

2cos sin 4

x x

f f m m

x x

 − −  + +

 − + 

 

luôn đúng ?

A. 3. B. 4.

C. 1. D.vô số.

 Lời giải

 Chọn đáp án D Đặt 3sin cos 1

2 cos sin 4

x x

t x x

− −

= − + ^

(

^{2t+1 cos}

)

^{x− +}

(

^{t 3 sin}

)

^{x= − −1 4t}

( )

^{* .}

Phương trình

( )

^* có nghiệm ^

(

^2t+1

) (

^{2+ +t 3}

) (

^{2 4t+1}

)

^{2 9 1}

11 t

 −   . Suy ra 0 t 1.

Từ đồ thị ^{y= f x}

( )

^{ta có}

( )

y= f x đồng biến trên  x ^{ +}_^0;

)

Do ^{m2+4m+ =4}

(

^m+2

)

^2_^0;+

)

^{; t}_^0;+

)

Nên ^f _2cos^3sinx_x⁻₋^cos_sinx^x₊⁻¹₄ ^{ f m}

(

^2+4m+4

)

^

  ^{f t}

( )

^{ f m}

(

^2+4m+4

)

^{ t m2+4m+4 Bất}

phương trình luôn đúngm²+4m+ 4 1 3 1 m m

  −

  −

 . Suy ra có vô số giá trị của tham số m. Ví dụ 11.

Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Cho hàm số ^{y= f x}

( )

liên tục trên và có

đồ thị như hình vẽ.Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

( ) ( ) ( )

2 1 m 0

f x mf x

+ − f x −  luôn đúng trên đoạn −1; 4 ?

A. 3. B. 4.

C. 1. D.vô số.

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Dựa vào đồ thị ta có ^{  −x }_ ^{1; 4}_^{ 1 f x}

( )

^{  4 m 0}

Bất phương trình ban đầu tương đương với :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2

2

5 1 2 . 0

4 2 4

5 1

4 2

5 1

4 2

5 1

4 2

f x f x

m m

f x

f x f x m f x f x

f x

f x m

f x

f x

g x f x f x f x m

 

 

+ − + + 

 

 

 

 

 +  +

 

 

 + − 

 

 = + −  

Đặt ^{f x}

( ) (

^{=t 1 t 2}

)

Bất phương trình trở thành

2

5 4

4 1 2

t t t m

 

+ − 

 

 

 

Yêu cầu bài toán ^{ mh t}

( )

^với

( )

^{5 4 1 2}

4 2

h t  t t t

= + − 

( )

4

2 4

304 2 3 0, 1; 2 5 2

2 1

4 t

h t t t

t

 = + −       +

( ) ( )

^{2 , 1; 2}

h t h t  

    

Để bất phương luôn đúng trên đoạn −1; 4ta phải có

Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung

( )

^{2 2}

( )

²

(

^{2 21 4}

)

²

mh  m h = − Suy ra có vô số giá trị m thoả mãn.

Ví dụ 12.

Cho hàm số ^{y= f x}

( )

có đồ thị như hình vẽ.Có bao nhiêu số nguyên âm để bất phương trình 1

3 2 1

fx+  −m x

  có

nghiệm thuộc đoạn −2; 2 ?

A. 3. B. 9. C. 8. D. 10.

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Ta có bất phương trình 1 6 1 3 6

2 2

x x

f    m

  + +  +  +

    (*)

Yêu cầu bài toán ^{3m+ 6 ming t}

( )

^{với g t}

( ) ( )

^{= f t +6t với 1}

2

t= +x và t0; 2 Xét hàm số ^{g= f t}

( )

^{+6t vớit}_^{0; 2}_

Quan sát đồ thị 0; 2 hàm số ^{f t}

( )

đồng biến suy ra ^{f t}

( )

^0

Ta có ^{g'= f t'}

( )

_{+    }^{6 0, t 0; 2} suy ra hàm số g đồng biến   t 0; 2 nên

( ) ( )

^{0 0 4}

g g = f = − ^min

( )

^{4 3 6 4 10}

g t m m 3

 = −  +  −   − . Vì m nguyên âm nên ^{m − − −}



^{3; 2; 1}



^.

Ví dụ 13.

Cho hàm số ^{y= f x}

( )

liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn −50 của tham số m để bất phương trình

( ) ( )

(

^{f3 x −3f x +m}

)

^{3−4f x}

( )

^{+ m 0 luôn}

đúng trên đoạn −1; 4 ?

A. 3. B. 5.

C. 1. D. 2.

 Lời giải

m

Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung

 Chọn đáp án D

BPT

(

^f3

( )

^{x −3f x}

( )

^+m

)

^{3−4f x}

( )

^{+ m 0}

( ) ( )

(

^{f3 x 3f x m}

)

³

(

^f3

( )

^{x 3f x}

( )

^m

)

^{f x}

( )

^{3 f x}

( )

 − + + − +   +

Đặt ^f3

( )

^{x −3f x}

( )

^{+ =m t}

Bất phương trình trở thành ^{t3+ t f3}

( ) ( )

^{x + f x}

Xét hàm số đặc trưng cho hai vế của BPT ^{g u}

( )

^{=u3+u có g u}

( )

^{=3u2+   1 0, u}

Vậy hàm số ^{g u}

( )

luôn đồng biến trên vậy ta có

( ) ( ( ) )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3

3 4 g t g f x

t f x

f x f x m f x

m f x f x



 

 − + 

  − +

Yêu cầu bài toán ^{ m ming x}

( )

^{với g x}

( )

^{= −}_^{f x}

( )

^_^{3+4f x}

( )

Đặt ^{f x}

( )

^=v

Có ^{  −x }_ ^{1; 4}_^{ 1 f x}

( )

^{   4 1 v 4}

Để BPT luôn đúng trên đoạn −1; 4 ta phải có

(

³

)

1;4 4 48

m Min v v m

 

 

 − +   − và ^{m −   −50 m}



^49;−48



^.

Ví dụ 14.

Cho hàm số

y = f x ( )

và

y = g x ( )

liên tục trên đồ thị của hàm số

( ) ( )

=

y f x g x

như sau Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc −2020; 2020 của tham số m để bất phương trình

( ) ( )

2 2

1 1

1 0

1 1

+ − − 

+ +

m f x g x ^luôn

đúng trên đoạn



^{−1; 4}



^?

A. 2019. B. 2020.

C. 2021. D. 2022.

 Lời giải

 Chọn đáp án D

Ta có bất phương trình tương đương với :

Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung

( ) ( ) ( )

2 2

1 1

1 1 1

+  + =

+ +

m h x

f x g x

Yều cầu bài toán

( )

1; 4

1 min

m h x

− 

 

 + 

Xét bất đẳng thức sau : Nếu  ab 1, Có

2 2

( )

1 1 2

1 +1 1 1 +a +b +ab Chứng minh:

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2

1 1 2

1 1 1

2 2

1 1 1

1 2 2 1

1 1 1 1 1 1

1 0

1 1 1

+ 

+ + +

+ +

 

+ + +

+ + + + + +

 

+ + + + + +

− −

 

+ + +

a b ab

a b a b ab

ab a b a b a b

a b ab ab a b

ab a b

ab a b

Áp dụng

( )

^{1 h x}

( )