Bài 6. Cung chứa góc A. Lý thuyết
1. Quỹ tích cung chứa góc
Với đoạn thẳng AB và góc α (0 < α < 180°) cho trước thì quỹ tích các điểm M thoả mãn AMB là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.
Lưu ý:
- Hai cung chứa góc α nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB.
- Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích.
- Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.
2. Cách vẽ cung chứa góc α
– Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
– Vẽ tia Ax sao cho BAx .
– Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.
– Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.
- AmB được vẽ như trên là một cung chứa góc α.
Ta có hình vẽ:
3. Cách giải bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
– Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.
– Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.
– Kết luận: Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.
Ví dụ. Cho góc xOy cố định và điểm A cố định nằm trên tia Ox. B là điểm chuyển động trên tia Oy. Tìm tập hợp trung điểm M của AB.
Lời giải:
- Phần thuận:
+ Xét tam giác vuông OAB có OM = MA = MB Nên ∆OAM cân tại M.
Mà OA cố định suy ra M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng OA.
- Phần đảo:
Lấy M bất kỳ thuộc tia M1z, AM cắt Oy tại B.
Suy ra MO = MA MAOMOA.
Mặt khác OBMBOM (cùng phụ với góc MAOMOA) MO = MB.
Suy ra MO = MA = MB.
Hay M là trung điểm của AB.
- Kết luận: Tập hợp các trung điểm M của AB là đường trung trực của đoạn OA.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho một góc vuông xOy, trên tia Ox lấy điểm A cố định, B là điểm chuyển động trên tia Oy. Tìm tập hợp các điểm C sao cho ABC vuông cân tại C.
Lời giải:
- Phần thuận: Vẽ CHOx (H Ox) và CKOy (K Oy).
Xét ∆CAH vuông tại H và ∆CBK vuông tại K có:
CA = CB (vì ABC vuông cân tại C) CAHCBK
Do đó CAH = CBK (cạnh huyền – góc nhọn) Suy ra CH = CK (hai cạnh tương ứng).
Mà xOy cố định.
Do đó C thuộc tia phân giác Oz của góc vuông xOy.
- Phần đảo: Lấy điểm C bất kỳ thuộc tia C’z.
Vẽ đường thẳng vuông góc CA tại C cắt tia Oy tại B.
Vẽ CHOx (H Ox) và CKOy (K Oy).
Ta có CH = CK và KHC90o.
Xét ∆CAH vuông tại H và ∆CBK vuông tại K có:
CH = CK và CAHCBK
Nên CAH = CBK (cạnh góc vuông – góc nhọn kề) Suy ra CA = CB (hai cạnh tương ứng).
Do đó ABC vuông cân tại C.
- Kết luận: Tập hợp các điểm C là tia C’z của tia phân giác Oz của góc xOy.
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định và cạnh CD chuyển động trên đường thẳng d song song với AB. Gọi I là trung điểm của CD. Tia AI cắt BC tại N. Tìm quỹ tích điểm N khi CD thay đổi trên đường thẳng d.
Lời giải:
- Phần thuận:
Gọi khoảng cánh giữa đường thẳng AB và đường thẳng d là h không đổi.
Vì ABCD là hình bình hành nên BC // AD hay CN // AD.
Suy ra IDAICN (hai góc so le trong).
Xét ∆IAD và ∆INC có:
AIDCIN (đối đỉnh)
ID = IC (vì I là trung điểm của CD) IDAICN (cmt)
Do đó IAD = INC (g.c.g)
Suy ra CN = AD (hai cạnh tương ứng)
Mà AD = BC (vì tứ giác ABCD là hình bình hành).
Do đó CN = AD = BC.
Kẻ NHAB, NH cắt đường thẳng d tại K.
∆NBH có CB = CN và CK // BH nên suy ra KH = KN.
Từ đó ta được HN = 2KH = 2h không đổi.
Khi CD chuyển động trên đường thẳng d thì với mọi vị trí của CD, điểm N luôn cách đường thẳng AB một khoảng 2h không đổi.
Vậy điểm N thuộc đường thẳng d’ song song với đường thẳng AB và cách đường thẳng AB một khoảng 2h không đổi.
- Phần đảo: Lấy điểm N bất kì trên đường thẳng d’.
Đường thẳng AN cắt đường thẳng d tại I, đường thẳng NB cắt đường thẳng d tại C.
Lấy điểm D đối xứng với C qua điểm I.
Ta cần chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của CD.
Thật vậy, Kẻ NHAB, NH cắt đường thẳng d tại K.
Ta có K là trung điểm của HN.
Do đó trong ∆HNB thì C là trung điểm của NB. 9 Trong ∆NAB có C là trung điểm của BN và IC // AB.
Nên IC là đường trung bình.
Từ đó ta được IC 1AB
2 .
Vì D đối xứng với C qua I nên ta được ID = IC 1AB 2 . Do đó AB = CD.
Mà AB // CD nên tứ giác ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của CD.
- Kết luận: Vậy quỹ tích điểm N là đường thẳng d’ song song với đường thẳng AB và cách đường thẳng AB một khoảng 2h không đổi.
Bài 3. Cho đường tròn O; R cố định. Lấy B, C là hai điểm cố định trên đường tròn và A là một điểm tuỳ ý trên đường tròn. Gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua trung điểm I của AB. Tìm quỹ tích các điểm M.
Lời giải:
- Phần thuận:
Kẻ OO’// BC và OO’ = BC (O’ và B trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC).
Do đó ta được O’ cố định (vì O, B, C cố định và BC không đổi).
Xét tứ giác AMBC có:
IA = IB (vì I là trung điểm của AB)
IC = IM (vì điểm M đối xứng với B qua I) Do đó tứ giác AMBC là hình bình hành.
Suy ra MA // BC và MA = BC Mà OO’// BC và OO’ = BC Do đó MA // OO’ và MA = OO’
Từ đó ta được tứ giác AMO’O là hình bình hành.
Nên suy ra O’M = OA = R không đổi và O’ cố định.
Do đó khi A di động thì M di động theo nhưng M luôn cách O’ cố định một khoảng không đổi là O’M = OA = R.
Vậy M thuộc đường tròn tâm O’ bán kính OA = R.
- Phần đảo: Trên đường tròn O’; R lấy điểm M bất kỳ. Nối MB.
Qua C kẻ đường thẳng song song với BM cắt đường tròn (O) ở điểm thứ hai A. Ta dễ dàng chứng minh được M đối xứng với C qua trung điểm I của AB.
- Kết luận: Do đó khi A di động thì M di động theo nhưng M luôn cách O’ cố định một khoảng không đổi là O’M = OA= R.
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm O’ bán kính OA = R.
