Chuyên đề quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

(1)

1/

14

QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Phương pháp chung các dạng

Để quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, ta thực hiện các bước sau đây:

Bước 1. Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.

Bước 2. Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

Bước 3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Tìm mẫu thức chung của các phân thức Bài 1. Tìm mẫu thức chung của các phân thức sau:

a) 3 5 3 2 ; 4

x x

 

b) 5 5 6

3; 5 a

a



c) 5 3

6 ; 8 x a x

a



Bài 2. Tìm mẫu thức chung của các phân thức sau:

a) 2 ₂

3 ; 5 x y xy x

 b) 3 5 3₂

7 ; 2 x xy y

 

c) ₂2 _{3 2} 1₃

; ;

2 4 3

x x x

x y x y xy

  

a) ^^{5 7}^{2 3}^;



^x^x^^²¹



^b) ^x³^^{1 3}^; ⁷^x^^^x³ ^c)³¹^x^;⁴^x⁵^^{4 6}^; ^x^x²^^⁷⁶^x

a) 2 3 x ;

2 6 x

x ; ₂3 9

x  b) 1 ₂

5x x ; ₃14 25 x  x;

3 15 x

x c) ₃3 1 x

x  ; x₂ 1 x x



 ; ₂ 5 1 x x x



  Bài 5. Tìm mẫu thức chung của các phân thức sau:

a) ₂ 1 3 2 x  x ; 1

1 x ; 1

2x4

b)

2

2 2 2

7 2

; ;

3 2 5 6 4 3

x x x

x x x x x x



     

Dạng 2: Quy đồng các mẫu thức:

(2)

2/

14

Bài . Quy đồng mẫu các phân thức sau:

a) 3 3

2 ; 4 a a

 

b) 5 1

3 3; x

x

 c) 2 2 3

3 ; 4 x ax x



Bài 7. Quy đồng mẫu các phân thức sau:

a) 4 3 ²

; ;

6 18 9

b a b x

a ab b

 b) 6 5 1₂

; ;

4 20 10

x a bx a

a ab b

 

c) 13_{2 3} 63

z

x y ; ₂ 15

y xz

 ; 2₂ 9

x y z Bài 8. Quy đồng mẫu các phân thức sau:

a) ⁵^{6 3}^;



^x^x^^²¹



^b) ⁵^x²^^{5 3}^; ²^x^^^x³ ^c)^{2 10}¹^x^; ^x⁵^^{10 5}^; ^x^x²^^⁷⁵^x

a) 1 2x4;

2 4 x

x ; 3 ₂

4x b) 1 ₂

2

x x ; 20₃

4x x; ₂7

2x x c) ₃ 1 x

x  ; x₂ 1 x x



 ; ₂ 2 1 x x x



 

a) ₂ 1 3 2 x  x ;

 

²

1 1 x ;

 

²

1 2 x

b)

2 3

2 ; 2 ; 2

4( 3 2) 6( 5 6) 8( 4 3)

x x x

x x x x x x

       

Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các phân thức sau:

a) ₂ 7

4 5 A x x

  b) 6

3 2 4

B x

  c)

2 6

4

x x

C  



HƯỚNG DẪN

Dạng 1: Tìm mẫu thức chung của các phân thức Bài 1. Tìm mẫu thức chung của các phân thức sau:

a) 3 5 3 2 ; 4

x x

 

b) 5 5 6

3; 5 a

a



c) 5 3

6 ; 8 x a x

a



Giải

a) ^BCNN

 

^{2; 4} ^⁴

Mẫu thức chung: 4x b) ^BCNN

 

^3;5 ^¹⁵

(3)

3/

14

Mẫu thức chung: 15a c) ^BCNN

 

^6;8 ^²⁴

Mẫu thức chung: 24a

a) 2 ₂

3 ; 5 x y xy x

 b) 3 5 3₂

7 ; 2 x xy y

 

c) ₂2 _{3 2} 1₃

; ;

2 4 3

x x x

x y x y xy

  

Giải

a) MTC: 15x y² b) MTC: 14xy² c) MTC: 12x y^{3 3}

a) ^^{5 7}^{2 3}^;



^x^x^^²¹



^b) ^x³^^{1 3}^; ⁷^x^^^x³ ^c)³¹^x^;⁴^x⁵^^{4 6}^; ^x^x²^^⁷⁶^x

Giải

a) MTC:³⁵



^x^¹



b) ³^x^{ }^{3 3}



^x^¹



MTC:³



^x^¹



c) ⁴^x^{ }^{4 4}



^x^^{1 ; 6}



^x²^⁶^x^⁶^{x x}



^¹



MTC: ¹²^{x x}



^¹



a) 2 3 x ;

2 6 x

x ; ₂3 9

x  b) 1 ₂

5x x ; ₃14 25 x  x;

3 15 x

x c) ₃3 1 x

x  ; x₂ 1 x x



 ; ₂ 5 1 x x x



 

Giải

(4)

4/

14

a) ²^x^{ }^{6 2}



^x^^{3 ;}



^x²^{ }⁹



^x^³



^x^³



MTC:²



^x^³



^x^³



b) ⁵^{x x}^ ² ^{ }^{x x}



^^{5 ;}



^x³^²⁵^{x x x}^



²^^{25 ; 3}



^x^^{15 3}^



^x^⁵



MTC:³^{x x}



^⁵



^x^⁵



c) ^x³^{ }¹



^x^¹

 x2 x 1 ; x2 x x x 1

MTC: ^{x x}



^¹

 x2 x 1

a) ₂ 1 3 2 x  x ; 1

1 x ; 1

2x4

b)

2

2 2 2

7 2

; ;

3 2 5 6 4 3

x x x

x x x x x x



     

Giải

a) ^x²^³^x^{ }²



^x^¹



^x^^{2 ; 2}



^x^{ }^{4 2}



^x^²



MTC: ²



^x^¹



^x^²



b) ^x²^³^x^{ }²



^x^¹



^x^²



  

2 5 6 2 3

x  x  x x

  

2 4 3 1 3

x  x  x x

MTC:



^x^¹



^x^²



^x^³



Dạng 2: Quy đồng các mẫu thức:

a) 3 3

2 ; 4 a a

 

b) 5 1

3 3; x

x

 c) 2 2 3

3 ; 4 x ax x



Giải

a) ^BCNN

 

^{2; 4} ^⁴

(5)

5/

14

MTC: 4a

 

3 2 3

2 4

a a

  

3 3

4 4a

 



b) MTC: 3x

5 5 1

3 3 ; 3 x x

x x

 

c) ^BCNN

 

^{3; 4} ^¹²

MTC: 12x

 

2 2 3 .3

2 2 .4 8 2 3 6 9

3 3.4 12 ; 4 4 .3 12

x x x x ax ax ax

x x x x x

  

   

a)

4 3 2

; ;

6 18 9

b a b x

a ab b

 b) 6 5 1₂

; ;

4 20 10

x a bx a

a ab b

 

c) 13_{2 3} 63

z

x y ; ₂ 15

y xz

 ; 2₂ 9

x y z Giải

a) Ta có: 6a2.3.a 18ab2.32ab

9b32b

MTC: 2.3²ab18ab

2 2

3 4 3 2

; ;

6 18 18 9 18

b b a b x ax

a ab ab b ab

  

b) Ta có: 4a2 .²a 20ab2 .5.2 ab

2 2

10b 2.5b

MTC: 2 .3.² ab² 20ab²

(6)

6/

14

2 2

.5 5

4 4 .5 20

x x b b x

a a b  ab

 

²

2

6 5 .

6 5 6 5

20 20 20

a bx b

a bx ab b x

ab ab ab

    

 

²

2

2 . 1

1 2 2

10 10 . 20

a ab a a b ab

b b ab ab

    

c) Ta có: 63x y^{2 3} 7.3 .²x y^{2 3}

2 2

15xz 3.5.xz

2 2 2

9y z3 y z

MTC: 3 .5.7² x y z^{2 3 2} 315x y z^{2 3 2}

2 3

2 3 2 3 2 2 3 2

13 13 .5 65

63 63 .5 315

z z z z

x y  x y z  x y z

3 4

2 2 3 2 3 2

.21 21

15 15 .21 315

y y xy xy

xz xz xy x y z

    

2 3

2 2 2 2 3 2

2 2 .35 70

9 9 .35 315

x x x yz x yz

y z  y z x yz  x y z

a) ⁵^{6 3}^;



^x^x^^²¹



^b) ⁵^x²^^{5 3}^; ²^x^^^x³ ^c)^{2 10}¹^x^; ^x⁵^^{10 5}^; ^x^x²^^⁷⁵^x

Giải

a) MTC: ⁶



^x^¹



 

   

5 1

5 5 5

6 6 1 6 1

x x

 

 

 

   

2 2 .2 2 4

3 1 3 1 .2 6 1

x x x

    

  

b) ⁵^x^{ }^{5 5}



^x^^{1 ;3}



^x^{ }^{3 3}



^x^¹



(7)

7/

14

MTC: ¹⁵



^x^¹



     

2 2 2.3 6

5x 5 5 x 1 5 x 1 .3 15 x 1

   

   

2 .5

2 2 10 5

3 3 3 1 3 1 .5 15 1

x x x x

      

   

c) ¹⁰^x^^{10 10}^



^x^^{1 ; 5}



^x²^⁵^x^⁵^{x x}



^¹



MTC: ¹⁰^{x x}



^¹



 

   

5 1

1 5 5

2 2 .5 1 10 1

x x

x x x x x

 

 

 

     

5 5 5. 5.

10 10 10 1 10 1 . 10 . 1

x x

x  x  x x  x x

   

   

2

7 7 7 .2 2 14

5 5 5 1 5 1 .2 10 1

x x x x

x x x x x x x x

      

   

a) 1 2x4;

2 4 x

x ; 3 ₂

4x b) 1 ₂

2

x x ; 20₃

4x x; ₂7

2x x c) ₃ 1 x

x  ; x₂ 1 x x



 ; ₂ 2 1 x x x



 

Giải

a) 3 ₂ ₂ 3

4 x x 4

 

 

MTC: 2(x²4)

2

1 2

2 4 2( 4)

x

x x

 

 

2

2 4 2( 4)

x x

 

 

2 2

3 6

4 x 2(x 4)

 

 

b) ^x^²^x² ^{ }^{x x}



² ^^{1 ; 4}



^x³^{ }^{x x x}



⁴ ²^^{1 ; 2}



^x²^{ }^{x x x}



² ^¹



MTC: ^{x x}



⁴ ²^¹



(8)

8/

14

   

 

2 2

2 1

1 1

2 2 1 4 1

x

x x x x x x

 

  

  

 

3 2

20 20

4x x  x x4 1

 

   

2 2 2

7 2 1

7 7 14 7

2 2 1 4 1 4 1

x x

x x x x x x x x

 

  

   

c) MTC: x x( ³1)

2

3 1 ( 3 1)

x x

x  x x

 

3

2 3

1 1 1 1

( 1) ( 1)

x x x

x x x x x x x

  

  

  

3 2

2 3 3

2 ( 2)( 1) 3 2

1 ( 1) ( 1)

x x x x x x x

x x x x x x

      

   

a) ₂ 1 3 2 x  x ;

 

²

1 1 x ;

 

²

1 2 x

b) ₂ ; ₂ ² ; ₂ ³

4( 3 2) 6( 5 6) 8( 4 3)

x x x

x x x x x x

       

Giải

a) MTC: (x1) (² x2)²

2

2 2 2

1 3 2

3 2 ( 1) ( 2)

x x

x x x x

 

    

 

2

2 2 2

1 (x 2)

( 1) ( 2)

1 x x

x

 

 



 

2

2 2 2

1 ( 1)

( 1) ( 2) 2

x

x x

x

 

 



h)^⁴



^x²^³^x^²



^{ }⁴



^x^¹



^x^²



(9)

9/

14

    

2

6 5 6 6 2 3

8 4 3 8 1 3

x x x x

    

      

MTC:^²⁴



^x^¹



^x^²



^x^³



^.



²



²⁴



⁶¹

 

³²

 

³



4 3 2

x x x

x x

 

   

  

       

2 2 2

4 1

24 1 2 3

6 5 6

x x x

x

 

    

 

       

3 3 2

3 2

24 1 2 3

8 4 3

x x x

x x

 

   

  

Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các phân thức sau:

a) ₂ 7

4 5 A x x

  b) 6

3 2 4

B x

  c)

2 6

4

x x

C  

Giải

a) Vì phân thứcA có tử thức là 5 0 và mẫu thức là ^x²^⁴^x^{ }⁵



^x^²



²^{ }^{1 0}nên phân thức A có GTLN khi ^x²^⁴^x^{ }⁵



^x^²



²^¹^{có GTNN.}

Vì



^x^²



² ^⁰^nên^x²^⁴^x^{ }⁵



^x^²



²^{ }^{1 1} có GTNN bằng 1 khi x 2.

Vậy GTLN của ₂ 7

4 5 A x x

  bằng 7 khi x 2. b) Ta có: 2x   4 0 3 2x 4 3

6 6

3 2 4 3 2

B x

   

 

Vậy B đạt GTNN bằng 2 khi x2 c) Ta có: ^{ }^x² ⁶^x^{  }



^x ³



²^{ }^{9 9}

(10)

10/

14

 

²

2 6 3 9 9

4 4 4

x x  x 

   

2 6 9

4 4

x x

C  

  

Vậy C đạt GTLN bằng 9

4 khi x3 B.BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Quy đồng mẫu thức hai phân thức:

a/ 1 ; 3

2a 2b ^b/ ^{4 3} ^{2 4} 2 ; 4

x y 3x y c/ 2x 3x 2; 5 5a 15



 ^d/ ² 5 x 7;

3x 6x



a/ 2 ; 3

x 1 x 1  ^b/ ² 4 ; 2x 3 x 2 x 4



  ^c/ ²

x ; 5 2x 2 x 1  Bài 3. Quy đồng mẫu các phân thức sau:

a/ b ; c ; x

6a 18ab 9b ^b/

3 a 1 x 4; ; 4a 10b 20ab

 

a/ 3 ; 2 ; ₂3a 1 b 1 3a a (b 1)



  ^b/ ²

2 1 a 4

; ;

3a 2a 2 6a 6a



 

Bài 5. Quy đồng mẫu các phân thức sau

a/ 5 3b ₂ a ₂

; ;

xy 4x 6y 2x y 3xy



  b/ 5b 3a 2ab

; ;

a 3 b 3 ab 3a 3b 9



    

a/ a 1 a 1₂

(a 2); ; 3a 6 (a 2)

 

   b/ ₂ab ₂ ₂ a b ₂ ₂ a b ₂

; ;

a b a 2ab b a 2ab b

 

    

(11)

11/

14

a/ ₂2x 3x 4

; ;

x 1 2x 2 x 1



   b/ 2 x₂ x 3

; ;

x 9 3 x x 3

 

   Bài 8. Quy đồng mẫu các phân thức sau:

a/

2 2

x 1 x 1 x 1

; ;

x 1 x 1 x 1

  

   b/

2 2

3x 2 x x 3

; ;

9 4x 2x 3 2x 3

 

  

Bài 9. Quy đồng các phân thức sau:

a/ x 9x 11₂ 1

; ;

10x 10 30x 30 3x 3



   b/

2

2 3

1 8a 1

; ;

x 2a 4a x x x 2a   Bài 10. Quy đồng các phân thức sau:

a/

3

2 3

1 a 1 a 2a

; ;

2a 2 a a 1 a 1

 

    b/

2

2 3 2

a 1 2a 4a 4a 1

; ;

4a 4a 1 8a 1 4a 2a 1

   

    

a/ 3x ₂x 1 2x

; ;

x 2 x x 6 x 3

 

    b/

2 2

a a 1 a 3a

; ;

2 6a 2 5a 15a a 2

 

   

HƯỚNG DẪN

Bài 1. Quy đồng mẫu thức hai phân thức:

a / MTC : 2ab

1 b

2a 2ab 3 3a 2b 2ab



4 4

4 3 4 4

2 4 4 4

b / MTC : 3x y 2 6y

x y 3x y

4 4

3x y 3x y



c / MTC : 5(a 3) 2x 2x.(a 3)

5 5(a 3) 3x 2 3x 2 5a 15 5(a 3)



 



 

  

2

2 2

2

d / MTC : 6 x 5 x 2(5 x)

3x 6x

7 7x 6x 6x

  



(12)

12/

14 a / MTC : x 1 x 1

  

2 2(x 1) x 1 (x 1)(x 1)

3 3(x 1) x 1 (x 1)(x 1)

 

 

  

 

  

2

b / MTC : (x 2)(x 2) 4 4(x 2) x 2 (x 2)(x 2)

2x 3 2x 3

(x 2)(x 2) x 4

 

 

  

  

 



2

c / MTC : 2(x 1)(x 1)

x x x(x 1)

2x 2 2(x 1) 2(x 1)(x 1)

5 5 10

(x 1)(x 1) 2(x 1)(x 1) x 1

 

  

   

 

   



a / MTC : 18ab b 3a 6b 18ab

c x18ab2ax 9b 18ab



b / MTC : 20ab 3 15b 4a 20ab a 1 2a.(a 1) 10b 20ab

x 4 20ab



  



2 2 2

2

2 2

a / MTC : 3a (b 1)

3 9a

b 1 3a .(b 1) 2 2a.(b 1) 3a 3a .(b 1)

3a 1 3.(3a 1) a .(b 1) 3a .(b 1)



  

 



 

  

2

b / MTC : 6a .(a 1) 2 4.(a 1) 3a 6a.(a 1)

1 1 3a

2a 2 2.(a 1) 6a.(a 1)

a 4 a 4

6a 6a 6a.(a 1)



 



 

  

  

 

(13)

13/

14

2 2

a / MTC : 2xy.(2x 3y) 5 10.(2x 3y) xy 2xy.(2x 3y)

3b 3b 3bxy

4x 6y 2.(2x 3y) 2xy.(2x 3y)

a a 2a

2x y 3xy xy.(2 x 3 y) 2xy.(2x 3y)



 



 

  

    

  

b / MTC : (a 3).(b 3) 5b 5b.(b 3) a 3 (a 3).(b 3)

3a 3a.(a 3) b 3 (a 3).(b 3)

2ab 2ab

ab 3a 3b 9 (a 3).(b 3)

 

   

  

 

  

     

2 2 2

2

2 2

a / MTC : 3.(a 2) 3.(a 2).(a 2) a 2 3.(a 2)

a 1 a 1 (a 1).(a 2) 3a 6 3.(a 2) 3.(a 2)

a 1 3.(a 1) (a 2) 3.(a 2)



 

  

   

 

  

  

 

2 2

2 2 2

b / MTC : (a b).(a b)

ab ab

a b (a b).(a b)

a b a b 1 a b

a 2ab b (a b) a b (a b).(a b)

a b a b 1 a b

a 2ab b (a b) a b (a b).(a b)

 

   

     

     

     

     

2

a / MTC : 2.(x 1).(x 1)

2x 2x 4x

x 1 (x 1).(x 1) 2.(x 1).(x 1)

3x 3x 3x.(x 1)

2x 2 2.(x 1) 2.(x 1).(x 1) 4 8.(x 1)

x 1 2.(x 1).(x 1)

 

 

    

     

   

 

  

2

b / MTC : (x 3).(x 3)

2 x 2 x

x 9 (x 3).(x 3)

x x x.(x 3)

3 x x 3 (x 3).(x 3) 3 3.(x 3)

x 3 (x 3).(x 3)

 

  

  

   

   

 

  

2 2

2

a / MTC:(x 1).(x 1)

x 1 x 1

x 1 (x 1).(x 1) x 1 (x 1) x 1 (x 1).(x 1) x 1 (x 1) x 1 (x 1).(x 1)

 

  

  

  

  

  

  

2 2

2

b / MTC : (3 2x).(3 2x)

3x 3x

9 4x (3 2x).(3 2x)

2 x x 2 (x 2).(3 2 x) 2x 3 3 2x (3 2x).(3 2x)

x 3 (x 3).(3 2 x) 2x 3 (3 2x).(3 2x)

 

   

     

   

   

  

(14)

14/

14

2 2

a / MTC : 30.(x 1).(x 1)

x x 3x.(x 1)

10x 10 10.(x 1) 30.(x 1).(x 1)

9x 11 9x 11 9x 11

30x 30 30.(x 1) 30.(x 1).(x 1)

1 1 10.(x 1)

3x 3 3.(x 1) 30.(x 1).(x 1)

 

  

   

    

   

  

   

² ²

2 3

b / MTC : x.(2a x).(2a x)

1 x.(2a x)

x 2a x.(2a x).(2a x)

8a 8a

4a x x x.(2a x).(2a x)

1 x.(2a x)

x 2a x.(2a x).(2a x)

 

   

 

  

2 2

2

2 2

3 3

3 2

a / MTC : 2.(a 1).(a a 1)

1 1 a a 1

2a 2 2.(a 1) 2.(a 1).(a a 1) a 1 2.(a 1).(a 1)

a a 1 2.(a 1).(a a 1) a 2a 2.(a 2a)

a 1 2.(a 1).(a a 1)

  

   

    

   

    

  

   

2 2

2

2 2 2 2

3 2 2 2

2 2 2 2

b / MTC : (2a 1) .(4a 2a 1)

a a a.(4a 2a 1)

4a 4a 1 (2a 1) (2a 1) .(4a 2a 1)

1 2a 1 2a (1 2a).(1 2a)

8a 1 (2a 1).(4a 2a 1) (2a 1) .(4a 2a 1) 4a 4a 1 (2a 1) (2a 1) .(1 2a)

4a 2a 1 4a 2a 1 (2a 1) .(4a

  

    

 

     

     

      

      

     2a 1)

2

a / MTC : (x 2).(x 3) 3x 3x.(x 3) x 2 (x 2).(x 3)

x 1 x 1

x x 6 (x 2).(x 3) 2x 2x.(x 2) x 3 (x 2).(x 3)

 

 

  

  

   

   

  

2 2 2

2

b / MTC : 2.(3a 1).(5a 2)

a a a

2 6a 2.(1 3a) 2.(3a 1).(5a 2) a 1 2.(3a 1)

2 5a 2.(3a 1).(5a 2)

a 3a a 3a 2.(a 3a)

15a a 2 (3a 1).(5a 2) 2.(3a 1).(5a 2)

 

  

   

 

   

    

     