Chuyên đề rút gọn phân thức

(1)

RÚT GỌN PHÂN THỨC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau:

Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của phân thức;

Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.DẠNG BÀI MINH HỌA

Dạng 1. Rút gọn phân thức

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:

Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử;

Bước 2. Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung.

Bài 1: Rút gọn phân thức

3 4 3 2

17 34 A xy z

x y z



2

4 7 2

y xy B xy y

 



2 2

25 5 C x

x x

 



2 2

x xz xy yz D x xz xy yz

  

   

 

²

45 3

15 3

x x

E x x

 



2 2

3 3 2 3 2 3

y x G x x y xy y

 

  

4 4

2 2

ax a x A a ax x

 

 

3 2

3

6 4

x x x

B x x

 

 

2a2 2ab C ac ad bc bd

 

  

 

² ²

2 2

4

9 6

x a x

D a x ax

 

  

   

2 2

y x x y E x y y x

 

  

2 3

3 2 1

x x

F x

 

 

(2)

3 2

2

5 6

4 10 4

x x x

A x x

 

  

2 2

3 2 2 3

3 2

2 2

x xy y B x x y xy y

 

   



^{a b}



² ^c²

C a b c

 

  

2 2 2

2 2 a b c ab

D a b c ac

  

   

     

3 3 3

2 2 2

b c c a a b

F a b c b c a c a b

    

     

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.

Phương pháp giải: Thực hiện tương tự các bước chứng minh đẳng thức đã học trong CD 1 và CD2.

Bài 4: Chứng minh đẳng thức.

2

3 3 6

)2 3 2 6

a x

x x x

 

  

2

3 2

2 2 6

) 4 7 12

x x

b x x x x

 

  

5

4 3 2

) 1 1

1

a x x x x x

x

     



2 2

) 2

2 3

x xy y x y b x xy y x y

  

   

Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.

Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho.

Bài 6: Cho x y z 0

a   b c . Rút gọn biểu thức

  

 

2 2 2 2 2 2

2

x y z a b c

ax by cz

   

 

Bài 7: Cho ax by cz  0 . Rút gọn phân thức

(3)

     

2 2 2

ax by cz

A bc y z ac x z ab x y

 

     

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x.

Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho sao cho không còn các ẩn ( x,y …đề bài yêu cầu không phụ thuộc )

Bài 8: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biếnx.

  

2 2

x y A x y ay ax

 

 

2 2 3 3

4 6 9 6

ax x y ay

B ax x y ay

  

   

Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x y, .

9 2 1 3 3 2 2 1

; ; 1

1 3 1 3

x xy x y

x y

      

 

Dạng 5: Bài toán nâng cao.

Bài 10: Cho x y 0 .Chứng minh rằng

2 2

x y x y x y x y

  

 

(4)

HƯỚNG DẪN Dạng 1: Rút gọn phân thức.

Bài 1:

3 4 3

3 2 2

17

34 2

xy z yz A x y z  x

 

2

4 7 2

4 7 4 7

y xy B xy y

y x y y x

y x y x y

 



  

 

 

  

 

2 2

25 5

5 5 5

5 C x

x x

x x x

 



  

 

  

  

2 2

x xz xy yz D x xz xy yz

x z x y x y x z x y x y

  

   

  

 

  

 

²

45 3 3

15 3 3

x x

E x x x

  

 

  

   

2 2

3 2 2 3

3 2

3 3

y x G x x y xy y

x y x y x y

x y x y

 

  

    

 

 

Bài 2:

 

   

 

4 4

2 2

3 3

2 2

ax a x A a ax x

ax x a a ax x

ax x a a ax x a ax x ax x a

 

 

 

 

  

  

 

 

  

3 2

2

6 4

2 3

2 2

3 2

x x x

B x x

x x x x x x x x x x x x

x

 

 

  



 

  

 



 

   

 

  

2 2 2 2

2 2

a ab C ac ad bc bd

a a b a c d b c d

a a b c d a b

a c d

 

  

 

  

 

 

 

 

  

 

2 2

2

4

9 6

2 2

6 9

3 3 3

x a x

D a x ax

x a x x a x a ax x x a a x

x a a x

x a

 

  

   

  

 

 

 



   

  

2 2

1

y x x y E x y y x

xy x y xy y x xy x y xy y x

 

  

 

  

  

  

 

  

   

 

2 3

2

3 2 1

1 2

1 1

2 1

x x

F x

x x

x x x

 

 

 

   

 

 

(5)

Bài 3:

 

  

 

3 2

2 2

2

5 6

4 10 4

5 6

2 2 5 2

2 3

2 2 1 2

3 2 2 1

x x x

A x x

x x x x

x x

x x x

x x

x x x

 

  

 

  

 

  

 

 

  

   

  

   

  

   

 

  

2 2

3 2 2 3

2 2

3 2

2 2

2

2 2

x xy y B x x y xy y

x y x y x x y y x y

x y x y x y x y

x y x y x y x y x y

x y x y x y

 

   

 

   

 

  

 

   

 

 

 

  

2 2

a b c C a b c

a b c a b c a b c a b c

 

  

   

  

 

  

2 2 2

2 2

2 2 2

2

a b c ab

D a b c ac

a ab b c a ac c b

a b c a c b

a b c a b c a b c a b c a b c

a b c

  

   

  

   

 

  

   

    

  

 

     

 

     

   

     

   

3 3 3

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

3 3 3

b c c a a b

F a b c b c a c a b

Mau a b c b c a c a b a b c b c b a ac bc a b c bc b c a b c

b c a a b c a b b c a c a b

b c c a a b

F a b b c c a

    

     

     

      

   

    

     

Ta có nhận xét

Nếu x y z   0 x³y³z³ 3xyz Đặt b c x c a  ;   y a b z;   thì

0 x y z  

3 3 3 3

x y z xyz 3

F xyz xyz

 

    

 

(6)

 

  

2

3 3 6

)2 3 2 6

3 2

3 6 3

2 6 2 2 3 2 3

a x

x x x

x x

VP VT

x x x x x

 

  

 

   

    

 

      

2

3 2

2

3 2 2

2 2 6

) 4 7 12

2 3 2 3

2 6 2

7 12 7 12 4 3 4

x x

b x x x x

x x x x

x x

VP VT

x x x x x x x x x x

 

  

 

     

      

5

4 3 2

) 1 1

1

a x x x x x

x

     



Thực hiện phép chia đa thức

   

5 1 1 4 3 2 1

x   x x x x  x

  

2 2

2 2 2 2

) 2

2 3

2 2 2 2

2 3 2 2 2

x xy y x y b x xy y x y

x y x y

x xy y x xy xy y x y

VT x xy y x xy xy y x y x y x y

VT VP dpcm

   

  

 

     

   

       

 

Bài 7: Cho x y z 0

a   b c . rút gọn biểu thức

  

 

2 2 2 2 2 2

2

x y z a b c

ax by cz

   

 

Đặt x y z 0 ; ;

k x ka y kb z kc a      b c  

(7)

  

 

  

 

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

1

x y z a b c

ax by cz

k a k b k c a b c aka bkb ckc

k a b c k a b c

   

 

   

  

 

  



Bài 8: Cho ax by cz  0 . rút gọn phân thức

     

2 2 2

ax by cz

A bc y z ac x z ab x y

 

     

Áp dụng hằng đẳng thức



^{x y z}^{ }



² ^^x²^^y²^^z²^²



^{xy yz zx}^ ^



   

  

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

0 0 2 0

2 1

ax by cz ax by cz a x b y c z axby axcz bycz a x b y c z axby axcz bycz

             

      

Biến đổi mẫu thức

     

 

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 (2)

bc y z ac x z ab x y

bcy bcz acx acz abx aby abxy acxz bcyz

    

        

Thay (1) vào (2) thì mẫu thức bằng

     

   

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

bcy acx c z bcz abx b y acz aby a x c by ax cz b cz ax by a cz by ax

cz by ax a b c

       

        

    

Vậy 1

A a b c

 

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x.

Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biếnx .

(8)

  

2 2

1

x y A x y ay ax

x y x y a x y y x

x y x y a x y x y

a

 

 

  

 

  



  

2 2 3 3

4 6 9 6

1 2 3

2 3 2 3

1 2 3

ax x y ay

B ax x y ay

a x y

x y a a

x

  

   

 

  

 



Bài 10: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x y,

  

     

    

9 2 1 3 3 2 2 1

; ; 1

1 3 1 3

3 1 3 1 3 1 2 1

3 1 1

3 2 1

3 1

1 3 1 3 2 1

x xy x y

x y

x x x y y

x y

x x

   

  

 

    

 

  

 

   



    



Bài 11:cho x y 0 .chứng minh rằng

2 2

x y x y x y x y

 

  

Do x y 0nên x y 0

Theo tính chất cơ bản của phân thức, ta có

  

    

2 2 2 2

x y x y

x y x y x y

x y x y x y x y x xy y

 

     

      (1)

(9)

Mặt khác vì x y 0nênx²2xy y ² x²y²

Vậy

2 2 2 2

2 2 2 2(2)

2 (1)(2)

x y x y

x xy y x y dpcm

  

  



B.PHIẾU TỰ LUYỆN Dạng 1: Rút gọn phân thức.

Bài 1: Rút gọn các phân thức sau.

a)

5 3 2 2 4

14 21

x y z

x y z b)

 

2 3

25 1

30 1

x y x xy x



 c)

 

³

3 5 12 5

x x

x



 d)

 

3 2

60 3 2 45 2 3

xy x



a) 6₂ 12 24 48

x

x x



 b)

 

2 2

2 2 y x x x y y



 c)

3 3

2

yx xy

x xy



 d)

2 3

3

48 12 3

64

y y y

y

 



a)

 

2

5 3

4 3 x

x x



  b)

  

2

3 3 3 5

25 9

x x

x

 

 c) x²₂ xy x y x xy x y

  

   d) 2 ₃³ ²₂ 2 1

3 3

y y y

  

   Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.

a)

2

3 2 2

2 1 1

3 3 3

b b b

  

  b)

 

² ²

2 2

4

9 6 3

x a x a x

a x ax a x

  

    c)

2

3 2

3 2 2

1 1

x x x

  

   

a) x 2

1 y x

4x 4

2 2y x xy

2 

 





 b)

2 2

3 2 2 3

2 3 1

2 2

x xy y

x x y xy y x y

 

    

Bài 6: Cho hai phân thức 4 ² ₃4 ² ₂ ³

4 8

xy x y x

P x x y

 

  và 2 ² 2₂

4 4 xy x y x

Q x x

  

  với x0;x1;x2y

Chứng minh rằng P = Q.

(10)

Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức.

a) 3₂ ² 2

9 12 4

m m

A m m

 

  tại m 8 b) ₃ ² 7₂ 6

6 6

n n

B n n n

 

    tại n1000001

Bài 8: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, hãy tính.

   

2 2

a b c a b c C a b c a c b

     

 

      

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Bài 9: Chứng minh giá trị của các phân thức sau luôn là hằng số.

a)

  

2 2

3 3 x y

M x y x y

 

  b) 5 5 3 3

25 15 9 15 kx x y ky

N kx x y ky

  

    (với k là hằng số khác 3

5 )

Bài 10: Cho phân thức ₄ ⁴ ₃ ³ ₂ 1

2 1

x x x

A x x x x

  

    

a) Thu gọn biểu thức A.

b) Chứng minh A luôn không âm với mọi giá trị của x.

Bài 11: Tìm giá trị nguyên của u để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên.

a) 3 2

u với u2 b) 3 ² 2 1 3 1

u u

u

 

 với 1

u 3 Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của x² 2x₂ 2019

A x

 

 với x0.

b) Tìm giá trị lớn nhất của

2 2

3 9 17

3 9 7

x x

B x x

 

  

HƯỚNG DẪN Dạng 1: Rút gọn phân thức.

(11)

Bài 1: Rút gọn các phân thức sau

5 3 2 3

2 4

14 2

) 21 3

x y z x z

a x y z  y b)

 

³

 

²

25 2 1 5 1

30 1 6

x y x x x xy x

 

 

c)

 

   

3 3 2

3 5 3 5

12 5 12 5 4 5

x x x x x

x x x

     

   d)

 



³

  

²

2

60 3 2 4 3 2

45 2 3 3

xy x x

xy x y

  

 

Bài 4: Chứng minh đẳng thức

a) ² ₃ 2 ₂1 ₂1

3 3 3

b b b

   

 b)

 

² ²

2 2

4

9 6 3

x a x a x

a x ax a x

  

    c) ² ₃3 2 ₂ 2

1 1

x x x

   

  

Bài 5: Chứng minh đẳng thức

(12)

a) x 2 1 y x

4x 4

2 2y x xy

2 

 





 b)

2 2

3 2 2 3

2 3 1

2 2

x xy y

x x y xy y x y

  

   

Bài 6: - Có:

2 2 3

3 2

4 4

4 8

xy x y x

P x x y

 

  ^và

2 2

4 4 xy x y x

Q x x

  

  với x0;x1;x2y

Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức

a) 3₂ ² 2

9 12 4

m m

A m m

 

  tại m 8

Thay m=-8 vào A ta được:

b) ₃ ² 7₂ 6

6 6

n n

B n n n

 

    tại n1000001

Thay n=1000001 vào B ta được:

Bài 8: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, hãy tính

   

2 2

a b c a b c C a b c a c b

     

 

      

(13)

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Bài 9: Chứng minh giá trị của các phân thức sau luôn là hằng số

a)

  

2 2

3 3 x y

M x y x y

 

  b) (với k là hằng số khác 3

5)

5 5 3 3

25 15 9 15 kx x y ky

N kx x y ky

  

   

Khi đó

là hằng số.

Bài 10: Cho phân thức ₄ ⁴ ₃ ³ ₂ 1

2 1

x x x

A x x x x

  

    

a)Thu gọn biểu thức A.

b) Chứng minh A luôn không âm với mọi giá trị của x.

Có:

Bài 11: Tìm giá trị nguyên của u để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên.

a) 3 2

u với u2

(14)

Để 3 2

u nguyên thì Ta có bảng

u-2 -1 1 -3 3

u 1 (TM) 3 (TM) 5 (TM) -1 (TM)

Vậy thì 3

2

u nguyên.

b) 3 ² 2 1 3 1

u u

u

 

 với 1

u 3

Để 3 ² 2 1 3 1

u u

u

 

 nguyên thì Ta có bảng

3u+1 -1 1 -2 2

u

(KTM)

0 (TM)

-1 (TM)

(KTM)

Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

2 2019

x x

A x

 

 với x0.

Dấu “=” xảy ra khi x- 2019= 0 x=2019

(15)

Vậy khi x=2019

b) Tìm giá trị lớn nhất của 3 ²₂ 9 17

3 9 7

x x

B x x

 

  

2

2 2

3 9 17 10 10

1 1

3 9 7 3 9 7 3 1

3. 2 4

x x

B x x x x

x

 

    

       

Để B lớn nhất nhỏ nhất

Mà vì

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy MaxB = 41 khi .